Математическая программа должна быть устроена так

Почему эта программа такая, а не другая?

Мне не кажется, что все области математики одинаково ценные; я уверен, что самоценности математика сама по себе не имеет. Иначе математика оказывается своего рода сложной интеллектуальной игрой, и мы оказываемся в области, обозначенной Германом Гессе ("Игра в бисер"), где никаких критериев нет вообще - кроме оценки профессионального сообщества. А профессиональное сообщество, что и скрывать, одновременно и коррумпировано, и разобщено. Профессиональное сообщество математиков не имеет единого критерия, а если бы и имело его, это было бы только хуже, наверное, потому что он был бы основан на невнятных властных играх по принципу ты почеши мне, а я почешу тебе, а ля академия наук.

Тем не менее, какие-то области математики претерпевают вполне очевидный расцвет. Ю.И.Манин заметил в конце 1980-х, что 1960-е было 10-летием расцвета для алгебраической топологии, 1970-е - для алгебраической геометрии, 1980-е - для математической физики. В этом смысле, 1980-е длятся до сих пор. Математические идеи, связанные с 1990-ми (зеркальная гипотеза, инварианты Громова-Уиттена, инварианты Зайберга-Уиттена, квантовые когомологии) все происходят из струнной геометрии.

Я думаю, что это не случайно. Математика утеряла общие критерии, потеряв общий контекст; в настоящий момент, гораздо меньше людей понимают, что происходит в науке в целом, чем 20 лет назад, и еще меньше, чем 40 лет назад. В условиях потери абстрактных критериев, единственно эффективным критерием становится утилитарный. Математика лишь постольку интересна, поскольку она связана со струнной теорией; это базовое предположение, которое я не хочу сейчас обсуждать. Релевантность для физики это единственный критерий, который у нас остался; а почти вся математика, относящаяся к физике, относится к струнной геометрии. Этот тезис хорошо подтверждается наблюдением, приведенным выше: (почти) все интересные идеи последних 20 лет связаны с физикой струн.

Желающие следить за математикой (в том смысле, в котором это слово понимается выше) приглашаются на сервер http://arxiv.org, где почти все интересные работы по математикe выкладываются сразу после их написания.

Выше приведенная математическая программа нужна именно для этого. Конечно, не все работы в http://arxiv.org будут немедленно понятны, даже и студенту, сдавшему все экзамены; но объяснить ему, в чем дело, можно будет за полчаса.

Можно, конечно, заниматься математикой и не понимая общего контекста, в котором она существует; но подобные занятия, на мой взгляд, еще больше разрушают общий контекст, тем самым усугубляя размывание критериев, невежество и коррупцию, которые и без того доминируют. Неграмотные занятия профессиональной математикой приносят больше вреда, чем пользы; всех статей все равно никто не прочтет, а большинство статей вообще никто не читает. Написание еще одной бессмысленной статьи затрудняет доступ к статьям осмысленным; в этом смысле, математика 20-30 лет назад была гораздо более внятной и осмысленной наукой, чем сейчас. Наступит такой момент, когда "прогресс" в математике просто остановится, и каждая новая статья будет повторять результаты, уже доказанные кем-то в одной из непрочтенных и забытых статей. Во многих областях науки, такая ситуация имеет место уже сейчас.

Математическое образование в России

Математического образования в России нет.

Я уже 6 лет читаю учебные курсы и лекции в Независимом Университете; общая польза, принесенная этими курсами кому бы то ни было, практически нулевая; по крайней мере студентам-математикам пользы не было никакой. Я буду заниматься этим и дальше, но занятие это очевидно бессмысленное.

Мои скромные педагогические способности тут не при чем; будь я даже и Оскаром Зариски напополам с профессором Яу, у меня ничего не вышло бы. За эти 6 лет я не видел в Москве ни одного студента, который доучился бы до состояния, позволяющего вести научную работу (я видел довольно много хороших молодых ученых - Стефан Немировский, например - но учились они где-то в другом месте; я не знаю где, но точно не у нас). Единственная функция Независимого Университета - поставлять кадры для американских аспирантур; но и с ней он справляется, в последнее время, крайне плохо, поскольку интеллектуальный фонд истощился до полного опустошения и кердыка.

Исторически, в России имели место две параллельные образовательные системы; одна из них - университетская - за 5 лет худо-бедно давала знания, которые следует иметь студенту первого года обучения; она дополняла этот материал абсолютно бессмысленным концептуальным и вычислительным баластом и просто откровенным бредом (учебник Камынина помните?) Даже те знания, которые давались университетской программой, давались ей в виде мало-осмысленных вычислительных рецептов, и в результате понимание студентом сути вещей только затруднялось. Университетская программа выпускала не математика, а калеку, который математикой не мог заниматься уже никогда; если кто-то в результате и становился математикой, то только вопреки тому, чему его учили, а не благодаря этому.

Вторая программа была альтернативой, созданной Гельфандом, Маниным и иже с ними вокруг матшкол, Керосинки и семинаров Гельфанда и Манина; студент, попавший в эту структуру, к 3-4 курсу усваивал материал, соответствующий второму-третьему обучения математике (в смысле выше приводимой программы). Потом он оказывался в состоянии, которое Гельфанд охарактеризовал как бег за трамваем в попытках вскочить на его подножку; ни владения текущей литературой, ни возможности в ней ориентироваться программа Гельфанда и Манина не давала (да и библиотек, доступных студенту Керосинки, не было). Курсов, соответствовавших текущему состоянию науки, на мех-мате не читалось, кроме Манина, который избирал одну определенную область и год-два ею занимался; выпуская каждый раз 3-5 студентов, которые с тех пор и до самой смерти занимаются именно этим.

Гельфанд учил, что, чтобы таки допрыгнуть до трамвая, надо ходить на семинары, заведомо непонятные, и самостоятельно пытаться разобраться в том, что там происходит. Именно таким образом люди (кому повезет) осваивали материалы года обучения с третьего по пятый мною обозначенной программы (материал пятого года, конечно, тогда не весь существовал; вместо него были модули Верма и ББГ-резольвента, сейчас, видимо, неактуальные).

В последние 10 лет ситуация отчасти параллельна мною описанной. Имеются две конкурирующие программы: университетская (которая с 1980-х не изменилась, а только сократилась немного - скажем, спектральные последовательности в ней были, а сейчас их нет), и альтернативная, которой занимаются в Независимом Университете и в ИТЭФе.

Но есть существенная разница - люди, которые понимают о чем идет речь в математической литературе (типа, в http://arxiv.org) в основном уехали; в результате, охват альтернативной системы сократился с середины третьего года обучения по Гельфанду и Манину до середины второго. При этом никаких ориентиров в плане дальнейшего самообразования студент не получает. Колоссальный барьер между обучением на студенческих семинарах и чтением научной литературы, который требовалось преодолевать самообразованием, увеличился с 2 лет до 4 и стал непреодолим. Вместо пропасти, второй край которой отчасти просматривается, мы имеем черную дыру, которая поглощает каждого, кто к ней приблизится.

У нас нет учебных заведений, где мою программу обучения можно было бы использовать; но смысл в ней тем не менее есть. Смысл ее - в установлении приоритетов и ориентиров. Конечно, нет у нас студентов, которые в школе учат теорию Галуа и гомотопическую топологию, а на втором курсе постигли классифицирующие пространства и характеристические классы. Не то чтобы их не может быть в принципе - во времена семинаров Гельфанда и Манина такие студенты были - но факт состоит в том, что сейчас их нет; и не будет никогда, если интеллектуальный климат останется таким, как сейчас, и если мы не приложим усилий к его изменению. Программа, мною выше приведенная - есть не данность, а идеал, к которому необходимо стремиться.

Студенту, если он хочет чему-нибудь выучиться, полезно время от времени поглядывать на описанный куррикулум; и сообразовать свое обучение с этой программой. Иначе кердык.

Список полезных книжек по математике

Misha Verbitsky