Математическая задача композитора Иоганна Кунау Интересующимся историей музыки могу предложить историческую задачку для школьников. Этот текст заимствован с ленты новостей, в которой я - один из постеров. Оригинал
вот здесь. По-моему, хорошая задачка для школьников средних классов.
Недавно вышла книга Н.Остроумовой о выдающемся немецком композиторе
Иоганне Кунау (1660-1722). В музыкальной истории, основанной на романтической традиции, он известен прежде всего как предшественник И.С.Баха на посту кантора церкви св. Фомы в Лейпциге, но на самом деле он (как и многие другие) являлся крупным композитором, имеющим очень яркое собственное лицо. Книга Н.Остроумовой (М.: Прест, 2003) - первая большая книга о Кунау на русском языке. Вот здесь:
часть 1,
часть 2 и
часть 3 - можно найти биографический текст, написанный Н.Остроумовой для online-журнала mmv.ru. Книгу о Кунау я купил совсем недавно и читаю с большим интересом. Кунау был, как и большинство крупных музыкантов его эпохи, широко образованным человеком (в частности, в современной ему математике). Традиция широкого образования музыкантов была полностью утеряна в романтическую эпоху. Я предлагаю вашему вниманию фрагмент из предисловия И.Кунау к оригинальному изданию его "библейских сонат" для клавира, русский перевод которого опубликован в упомянутой книге Н.Остроумовой:
"Безусловно, существует много искусных сочинений как у наших, так и у
итальянских музыкантов. Среди прочих, по моему мнению, стоит автор необычный
и восхитительный. Я умалчиваю здесь его имя, чтобы другие, которые тоже могли бы быть упомянуты, не рассердились на меня. Но тому, кто настолько любознателен, что хочет узнать это имя, я хочу доставить удовольствие в качестве Lusu ingenii [Игры ума]. [...]
Прежде всего, он должен узнать, что каждой букве соответствует определенное
число, согласно ее положению в алфавите: А означает 1, В означает 2 и так
далее. [Здесь надо учесть, что, согласно старой нумерологической традиции,
буквы I и J - это в дальнейшем важно - считаются одной и той же буквой, то
есть имеют один и тот же номер в алфавите. Аналогично (из латыни) U и V
могут считаться одной и той же буквой, хотя для дальнейшей задачи это
несущественно - А.З.] Я не стану раскрывать читателю, веду ли я счет с
начала или с конца алфавита. Я делаю это потому, что при счете с конца
числовые значения букв не так бросаются в глаза. [Я уже дал подсказку, что
в ответе надо нумеровать буквы с
начала алфавита - каждая буква
латинского алфавита имеет свой порядковый номер, причем I и J считаются одной и той же буквой и имеют один и тот же номер в алфавите - А.З.] Между
тем, имя появляется после правильного решения.
Эта алгебраическая задача звучит так: все буквы вместе дают определенное
число [имеется ввиду сумма всех числовых значений входящих в имя букв -
А.З] Первая цифра [то есть числовое значение первой буквы имени - А.З.]
составляет четверть от него, если к ней прибавить 4. Вторая на 8 превышает
цифру, составляющую восьмую часть целого. Если к третьей цифре прибавить 1,
то она будет составлять третью часть от значения первой буквы. Отнимая 4 от
остатка, который составят последующие буквы, получаем такое отношение
к предыдущим трем буквам, как между тремя углами треугольника и двумя
прямыми углами. Четвертая цифра получается путем утроения предыдущей. И
когда к сумме этих четырех букв прибавить 7, то пятая получается извлечением
квадратного корня из этого числа. Шестая цифра такова, что если к ней
прибавить единицу, получается кубический корень из пятой. Если отнять от
седьмой цифры 2, и ту же двойку прибавить к восьмой, то каждая из них
составит восьмую часть целого, то есть названной выше и неизвестной суммы.
Кто решит эту задачку, тот может считать себя наполовину Эдипом. Если же
уравнение не решается, то можно прибегнуть к учениям Кардани, Вите [Кардано, Виета - А.З.] и других
математиков, касающихся извлечения корня, или учению о параболе англичанина
Тома Баккери и найти прибежище в основных правилах."
Мне очень понравилась эта задачка композитора. Желаюшие решить ее могут присылать ответ нам на
news@oboe.ru. Любознательные умы могут также прислать мне исследование задачи: именно, на самом деле, как нетрудно видеть, Кунау дает избыточные условия. Какие из условий задачи могут быть опущены без ущерба для ответа, вы можете тоже нам написать.
Еще, конечно, задачку можно решать сугубо "обманным" путем - по смыслу задачи,
как говорят в школе, ответом должны быть целые числа от 1 до 25 (мы считаем
I=J) - среди них полных кубов только два - единица и восьмерка (куб двойки).
Поэтому кубический корень из пятой цифры может быть только двойкой (единица,
как легко видеть, исключается... да, собственно, единица - это не
"настоящий" куб по тогдашним понятиям). Это очень сильно упрощает вычисления, если мы
сразу поймем, что пятая цифра тогда - восьмерка (т.е. буква H), и тогда не
надо возиться с извлечением корней - получится простая система линейных
уравнений. Но интересны прежде всего "честные" решения.
-----
Ссылка на подробное и многословное решение (с прибавлением биографических сведений) -
здесь, но попробуйте сначала решить сами :).
Current Music: J.S.Bach: Et resurrexit (Credo/Messe in h-moll)