Квартика Неособая кубическая поверхность, определенная над
алгебраически замкнутым полем рациональна.
Над алгебраически незамкнутым полем бирациональная
геометрия неособой двумерной кубики изучалась
Маниным.
В частности, в экстремальном случае, когда группа Пикара
есть Z, Маниным были найдены образующие группы бирациональных
автоморфизмов и все соотношения между ними.
Детальное доказательство содержится в
Кубических формах.
Все соотношения происходят из трех точек, лежаших
на одной прямой, и связанных с ними инволюций.
Классический
результат Исковских и Манина о неособой
трехмерной квартики естественно рассматривать как трехмерное
обобщение результатов
Манина о кубических поверхностях.
Бирациональная геометрия трехмерной кубики в определенном
смысле проще, вернее жестче, чем двумерной кубики.
У квартики бирациональных автоморфизмов просто нет,
кроме проективных бирегулярных автоморфизмов.
В этом смысле, правильным обобщением теоремы Манина можно
считать
работу Корти,
Пухликова и
Рида о трехмерных взвешенных
гипервоперхностях Фано, где были вычислены образующие группы
бирациональных автоморфизмов таких гиперповерхностей.
Соотношения между образующими найдены мной и Парком
тут.
Обобщить классический рузультат Манина можно и подругому.
Вместо неособой трехмерной квартики можно рассмотреть
квартику с простейшими особенностями. Нодальную квартику.
Необходимо также предпологать, что квартика факториальна,
что является топологическим условием. Без условия факториальности
трехмерная нодальная квартика может быть
рациональна.
Первый шаг в этом направлении сделан Пухликовым
тут.
Он рассмотрел квартику с одной обыкновенной двойной точкой,
при некоторых естественных услових общности.
Такая квартика уже обладает нетривиальными бирациональными
автоморфизмами. Пухликов нашел образующие группы бирациональных
автоморфизмов и дорказал отсутствие соотношений.
Техническая сложность его работы состоял в доказательстве того,
что особая точка не является максимальной особенностью.
Более поздний локальный
результат Корти, опирающийся на
принцип связности
Шокурова, позволил устранять последнюю
проблему в одну строчку. Практически.
Мелла
рассмотрел наиболее общий случай факториальной
трехмерной квартики с любым числом и расположением
обыкновенных двойных точек. В факториальном случае
возможности для числа и расположения особых точек
на квартике - отдельная задача. Пока неиследованная.
Мелла сконцентрировал внимание своей работе на следующей
технической сложности - описание кривых на трехмерной
квартике, являющихся максимальными особенностямя.
Он показал, что только прямые, проходящие не более чем
через две особых точки могут быть максимальными особенностями.
Работу Меллы нужно перепроверить и даже переписать, поскольку
она заведомо содержит
ошибки в доказательстве дополнительного
результата. Его доказательство местами очень туманно.
Более того, сконцентрировавшись на преодолении технической
сложности, Мелла не говорит не слова о геометрии бирациональных
инволюций, которые порождают группу бирациональных автоморфизмов.
В частности, само доказательство того, что приведенные инволюции
являются образующими просто опущено как очевидное.
Это действительно несложно, но пару слов сказать все таки надо.
Во-первых, могут быть вырождения аналогичные вырождениям бирациональных
инволюций кубических поверхностей, связанных с точками Эккарда.
Во-вторых, конструкции инволюций, индуцированных прямыми, которые
проходйт через две особые точки, просто опущены!
Их конечно легко привести, они квадратичны, а также эллиптичны,
но тем не менее хотя бы пару слов о них сказать нужно.
Но проблема собственно в другом. В соотношениях.
Соотношения между образующими группы бирациональных автоморфизмов
факториальной нодальной трехмерной квартики получаются, вернее
должны получится, точно такие же как в случае кубической поверхности.
А именно, требуется показать, что одновременно максимальными
особенностями на квартике может быть либо пара очобых точек,
лежащих на одной прямой, которая также содержится в квартике,
либо точка и проходящая через нее прямая, которая содержится
в квартике и содержит ровно две особых точки.
Далее необходимо просто сослаться на соответствующее место
в
книжке Манина, поскольку все необходимые инволюции квадратичны
и эллиптичны, а их действие на группе Пикаре регуляризации
точно такое же как в случае кубических поверхностей, поскольку
дискрепанты на раздутии кривых и двойных точек такие же как
в случае раздутия неособых точек на кубической поверхности.
Под регуляризацией я понимаю регуляризацию с точностью
до флипов-флопов-антифлипов, которая получается раздутием
ровно одной максимальной особенности.
Мальчик-вундеркинд, почитывает "Кубические формы" Ю.Манина,
очкарик. Когда моет посуду, любит петь Высоцкого. Двенадцать лет
в восьмеричной системе счисления.