Гиперболичность по Кобаяши: некоторые алгебро-геометрические аспекты

Екатерина Америк

Это - записки лекций, прочитанных мною в НМУ осенью 2006 года. Понятие гиперболичности по Кобаяши - вариант понятия “отрицательной кривизны”, естественно возникающий в комплексном анализе. Известно, что для компактных многообразий гиперболичность по Кобаяши эквивалентна отсутствию целых кривых (т.е. голоморфных образов ℂ; доказательство будет изложено в части 4). Мы увидим, как доказывать гиперболичность в некоторых простых и не очень простых случаях.

Вначале мы изучим чисто алгебраическую ситуацию: как доказать отсутствие на проективном многообразии рациональных и эллиптических кривых, или, скажем, то, что такие кривые содержатся в собственном подмногообразии? Мы поступим так в том числе и потому, что некоторые основные идеи, использующиеся при изучении гиперболичности - это трансцедентные аналоги соответствующих алгебраических методов.

Эти записки довольно сильно пересекаются с текстом [Deb]; надеюсь, они все-таки столь же сильно от него отличаются. Среди других источников упомянем прежде всего [D] и [L].

1. Подмногообразия общих гиперповерхностей в проективном пространстве

Гиперповерхности степени d в ℙ^{n} параметризуются проективным пространством ℙ^{N_{d}} = ℙ(H^{0}(ℙ^{n}, O_{ℙ^{n}}(d))) (иногда нам будет удобнее параметризовать не сами гиперповерхности, а задающие их многочлены, и тогда пространством параметров будет S^{d} = H^{0}(ℙ^{n}, O_{ℙ^{n}}(d))). Под “общей гиперповерхностью” мы будем понимать такую гиперповерхность, что соответствующая ей точка ℙ^{N_{d}} лежит в дополнении к счетному объединению некоторых (очевидных из ситуации) собственных подмногообразий. Таким образом, выражение “для общей гиперповерхности верно А” означает, что те гиперповерхности, для которых А может оказаться неверным, параметризуются счетным объединением собственных замкнутых подмножеств в ℙ^{N_{d}}.

Первый результат об отсутствии рациональных (и эллиптических) кривых на общей гиперповерхности принадлежит Клеменсу (1986), [Cl]:

Теорема 1.1 На общей гиперповерхности X_{d} степени d в ℙ^{n}, n ≥ 3, нет рациональных кривых, если d ≥ 2n − 1.

Тогда же Клеменс предложил такую гипотезу:

При n ≥ 4 это верно и если d ≥ 2n − 2.

(Эта гипотеза была впоследствии доказана Клэр Вуазен, к чему мы ещё вернемся).

Заметим, что при d = 2n − 3 рациональные кривые на X_{d}, конечно, есть - например, прямые. В самом деле, рассмотрим многообразие инцидентности F ⊂ Grass(1, n) × ℙ^{N_{d}}: F = {(l, X)|l ⊂ X}. Слой F_{l} над l ∈ Grass(1, n) имеет коразмерность h^{0}(ℙ^{1}, O_{ℙ^{1}}(d)) = d + 1 из точной последовательности

0 → I_{l}(d) → O_{ℙ^{n}}(d) → O_{l}(d) → 0;

так что из соображений размерности получаем, что общая гиперповерхность X_{d} ⊂ ℙ^{n} содержит прямые тогда и только тогда, когда d+1 ≤ dim(Grass(1, n)) = 2n − 2.

Естественно предположить, что при d = 2n−3 рациональных кривых на общей X_{d} имеется лишь счетное число, т.е., имеется лишь конечное число рациональных кривых заданной степени; но это трудная задача - знаменитая гипотеза Клеменса. Видимо, из-за нее теорему Клеменса и формулируют как утверждение об отсутствии рациональных кривых; на самом же деле Клеменс доказал более общее утверждение:

Теорема 1.1А Для кривой C на общей X_{d} имеем

H^{0}(C̃, KC̃ ⊗ σ^{∗}O_{ℙ^{n}}(2n − d − 1)) ≠ 0,

где σ : C̃ → C - нормализация.

Почему в такой формулировке результат Клеменса интереснее? Например, отсюда видно, что при d ≥ 2n на общей X_{d} нет и эллиптических кривых; и вообще, deg(KC̃) ≥ (2n − d − 1)deg(C). То есть, при d ≥ 2n, для любой кривой C ∈ X_{d}

2g(C̃) − 2 ≥ ϵdeg(C),

где ϵ - некоторая положительная константа, не зависящая от C. Это свойство X_{d} называется алгебраической гиперболичностью. Мы увидим, что алгебраическая гиперболичность - следствие гиперболичности по Кобаяши.

Гипотеза Кобаяши утверждает, что общая X_{d} ⊂ ℙ^{n} гиперболична при d ≥ 2n − 1. Несмотря на то, что результат Клеменса о рациональных кривых был улучшен Эйном [E], Су (Xu) [X] и Вуазен [V], алгебраическая гиперболичность общей гиперповерхности степени 2n − 1, кажется, пока не доказана даже для n = 3.

Л. Эйн [E] обобщил теорему Клеменса следующим образом:

Теорема 1.2 Пусть X - общее полное пересечение типа (d_{1}, …, d_{k}) в ℙ^{n}, d = ∑ d_{i}, а Z ⊂ X - подмногообразие. Пусть m_{0} - наименьшее число, удовлетворяющее H^{0}(Z̃, KZ̃ ⊗ σ^{∗}O(m_{0})) ≠ 0 (здесь σ : Z̃ → Z - разрешение особенностей Z). Тогда m_{0} ≤ 2n − k − d + 1 − dim(Z).

(Таким образом, в случае гиперповерхности имеем m_{0} ≤ 2n − d − dim(Z).) Для дивизоров имеется также некоторое усиление “граничного случая” этого

результата, принадлежащее Су [X]:

В условиях Теоремы 1.2, если d = n+2, a Z - дивизор на X, то p_{g}(Z̃) ≥ n−1.

В частности, на общей квинтике в ℙ^{3} нет эллиптических кривых.

Общий принцип доказательства похожих утверждений был предложен Вуазен [V]. Для простоты обозначений мы будем рассматривать только случай, когда X - гиперповерхность (хотя аналогичное доказательство теоремы 1.1А проходит и для полных пересечений).

Прежде, чем обратиться к доказательствам, обсудим, что означают слова “подмногообразие общей гиперповерхности”: грубо говоря, “общая гиперповерхность X содержит Z” значит, что Z деформируется вместе с X. Точнее - всевозможные подмногообразия Z в ℙ^{n} параметризуются схемой Гильберта, которая состоит из счетного числа неприводимых компонент. Для фиксированного Z_{0} рассмотрим соответствующую компоненту Hilb(Z_{0}) и подмногообразие I ⊂ Hilb(Z_{0}) × ℙ^{N_{d}}: I = {(t, u)|Z_{t} ⊂ X_{u}} (здесь мы предполагаем для простоты, что Z_{0} соответствует достаточно общей точке Hilb(Z_{0})). Z_{0} “лежит на общей гиперповерхности”, если и только если I доминирует ℙ^{N_{d}}. (Именно так и возникает дополнение к счетному числу собственных замкнутых подмножеств в определении “общности”: мы должны выкинуть образы всевозможных I, не доминирующих ℙ^{N_{d}}.)

Обозначим X ⊂ ℙ^{N_{d}} × ℙ^{n} универсальную гиперповерхность степени d (как подмногообразие ℙ^{N_{d}} ×ℙ^{n}, наша X, естественно, имеет бистепень (1, d)) . Если Z лежит на общей гиперповерхности, то, выбирая мультисечение относительной схемы Гильберта над открытым подмножеством ℙ^{N_{d}} и отбрасывая его ветвление, получим этальный (не сюръективный) морфизм τ : U → ℙ^{N_{d}}, такой, что X_{U} := X ×_{ℙ^{N_{d}}} U содержит “универсальное подмногообразие” Z_{U} (слой Z_{U} над точкой t ∈ ℙ^{N_{d}} - это Z_{t}, деформация Z, содержащаяся в гиперповерхности X_{t}). Для простоты обозначений мы не будем различать X и X_{U} (это действительно несущественно для наших приложений); иными словами, мы будем вести себя так, как если бы наше “универсальное подмногообразие” было определено уже над открытым подмножеством в ℙ^{N_{d}}.

Покажем, следуя Вуазен, что теорема 1.1А следует из такого утверждения:

Предложение 1.3 Рассмотрим универсальную гиперповерхность

X ⊂ H^{0}(ℙ^{n}, O_{ℙ^{n}}(d)) × ℙ^{n},

где d ≥ 2, n ≥ 3. Предположим, кроме того, что H^{0}(X_{t}, T_{X_{t}}(1)) = 0. Тогда для гладкой X_{t} расслоение T X (1)|_{X_{t}} порождается глобальными сечениями.

Здесь и далее T X (1) - это T X ⊗ p^{∗}O_{ℙ^{n}}(1), где p : X → ℙ^{n} - проекция.

Заметим, что последнее условие H^{0}(X_{t}, T_{X_{t}}(1)) = 0 заведомо выполнено в интересующем нас случае, когда X_{t} общего типа (т.е. d > n + 1). Это следует из того, что H^{0}(X_{t}, T_{X_{t}} ⊗ K_{X_{t}}) = H^{0}(X_{t}, Ω_{X_{t}}^{n−2}) = 0 по теореме Лефшеца о гиперплоском сечении.

Вывод 1.2 из 1.3:

Пусть Z ⊂ X - универсальное подмногообразие, а σ : Z̃ → Z - какое-нибудь разрешение особенностей. Предположим, что для некоторого числа a расслоение Ω_{X}^{dim(Z)}|_{X_{t}}(a) порождено глобальными сечениями. Поскольку отображение ограничения

Ω_{X}^{dim(Z)}|_{X_{t}}(a) → Ωdim(Z) ; Z̃|Z̃_{t}(a) ≅ KZ̃_{t}(a)

сюръективно в общей точке, то KZ̃_{t}(a) должно иметь сечения.

Пусть l = codim(Z, X); из предложения 1.3, Λ^{l}T X |_{X_{t}}(l) глобально порождено. Поскольку K_{X} |_{X_{t}} = K_{X_{t}} = O_{X_{t}}(d − n − 1), имеем

Λ^{l}T X |_{X_{t}}(l) ≅ Λ^{dim(Z)}Ω_{X} |_{X_{t}}(l − d + n + 1),

то есть, в качестве a можно взять l−d+n+1 = 2n−d−dim(Z), что и требовалось доказать.

Предложение 1.3 доказывается достаточно элементарно; доказательство состоит в подсчете разности размерностей H^{0}(T X (1)|_{X_{t}}) и H^{0}(T X (1)|_{X_{t}} ⊗ I_{x}), где x - точка X_{t}, а I_{x} - ее пучок идеалов (для глобальной порожденности нeобходимо и достаточно, чтобы эта разность была равна rg(T X) = dim(S^{d}) + n − 1 для любой точки x). Вместо того, чтобы приводить здесь это доказательство (проходящее и для полных пересечений), мы изложим несколько более естественный аргумент , который хорошо работает для гиперповерхностей.

Рассмотрим т.н. “вертикальную компоненту” T X^{vert} расслоения T X: это просто касательное расслоение вдоль слоев проекции p : X → ℙ^{n}, так что

0 → T X^{vert}|_{X_{t}} → T X |_{X_{t}} → T ℙ^{n}|_{X_{t}} → 0.

Заметим, что можно предполагать, что наше “универсальное подмногообразие” Z ⊂ X GL-инвариантно (по отношению к естественному действию GL на ℙ^{n} ×S^{d}: g(x, F) = (gx, F ∘g^{−1})). Из этого сразу следует, что T Z сюръективно отображается на T ℙ^{n}, то есть, “вертикальная коразмерность” Z в X - а именно, codim(T Z^{vert}, T X^{vert}) - равна codim(Z, X).

Отсюда легко выводится, что вместо предложения 1.3 нам достаточно такого:

Предложение 1.3А T X^{vert}(1)|_{X_{t}} порождается глобальными сечениями.

Действительно, пусть l = codim(Z, X); сечения Λ^{l}T X^{vert}(l)|_{X_{t}} можно вычислять на “вертикальных компонентах” касательных плоскостей к Z в точках Z_{t}, поскольку коразмерность этих компонент правильна. Из глобальной порожденности Λ^{l}T X^{vert}(l)|_{X_{t}} следует, что для гладкой точки z ∈ Z_{t}, найдется сечение s ∈ H^{0}(Λ^{l}T X^{vert}(l)|_{X_{t}}), ненулевое на T_{z}Z^{vert}. Применяя, как и выше, двойственность, а потом ограничение на Z, получим ненулевое сечение должным образом подкрученного KZ̃_{t}.

Доказательство 1.3А: Из X ⊂ ℙ^{n} × S^{d} имеем

0 → T X |_{X_{t}} → T ℙ^{n}|_{X_{t}} ⊕ (S^{d} ⊗ O_{X_{t}}) → O_{X_{t}}(d) → 0,

поскольку O_{X_{t}}(d) - это ограничение на X_{t} нормального расслоения X в ℙ^{n} ×S^{d}. Отсюда и из

0 → T X^{vert}|_{X_{t}} → T X |_{X_{t}} → T ℙ^{n}|_{X_{t}} → 0

имеем, что T X^{vert}|_{X_{t}} ≅ M_{ℙ^{n}}^{d}|_{X_{t}}, где M_{ℙ^{n}}^{d} - ядро отображения вычисления глобальных сечений O_{ℙ^{n}}(d):

0 → M_{ℙ^{n}}^{d} → S^{d} ⊗ O_{ℙ^{n}} → O_{ℙ^{n}}(d) → 0.

Значит, достаточно доказать, что M_{ℙ^{n}}^{d}(1) порождается глобальными сечениями.А это следует, например, из его 0-регулярности в смысле Кастельнуово-Мамфорда (которая, в свою очередь, очевидна из точной последовательности, определяющей M_{ℙ^{n}}^{d}). Напомним (см., например, [M]), что пучок F на ℙ^{n} mрегулярен по Кастельнуово-Мамфорду, если для всех i > 0 выполнено условие H^{i}(ℙ^{n}, F (m−i)) = 0; индукцией по n доказывается, что если F m-регулярен, то F (l) порождается глобальными сечениями при l ≥ m. Итак, предложение 1.3А, а с ним и теорема Эйна, доказано.

Замечания (некоторые из них очень длинные!):

1) Оценка Эйна для m_{0} не оптимальна; хотелось бы, конечно, улучшить ее на 1. В случае, когда Z - дивизор, это очень трудно, если и возможно: так, из улучшенного варианта, полагая n = 4 и d = 5, мы получили бы, что на общей квинтике в ℙ^{5} не существует дивизора, покрытого рациональными кривыми - а это и есть гипотеза Клеменса о конечности числа рациональных кривых заданной степени на такой квинтике.

2) Клэр Вуазен попыталась “уменьшить m_{0} на 1” в случае codim(Z) ≥ 2, рассматривая расслоение Λ^{2}T X (1)|_{X_{t}}. Это бы полностью удалось, если бы было верно, что H^{0}(Λ^{2}T X (1)|_{X_{t}}) не имеет базисных точек на множестве GLинвариантных подпространств коразмерности 2 в T X |_{X_{t}} - на этот раз мы получили бы сечение подкрученного канонического класса из сечений

Λ^{codim(Z,X)}T X (codim(Z, X) − 1)|_{X_{t}},

т.е. подкрутка оказалась бы на единицу меньше. К сожалению, утверждение неверно: в X есть довольно много (GL-инвариантных) подмногообразий Z, таких, что ограничение сечений “должным образом” подкрученных дифференциальных форм с X на Z - нулевое.

Такие подмногообразия легко строятся для небольших d. Вот самый элементарный

Пример 1: пусть k - натуральное число, а d = 2n−2−k. Рассмотрим P_{t} ⊂ X_{t} - подмногообразие, заметаемое прямыми. Подсчет размерностей (как после формулировки теоремы 1.1) показывает, что dim(P_{t}) = k. Рассмотрим универсальное P ⊂ X. Если бы Λ^{2}T X (1)|_{X_{t}} порождалось глобальными сечениями, то же было бы верно и для

Λ^{n−1−k}T X (n − 2 − k)|_{X_{t}} ≅ Λ^{dim(P)}Ω_{X} (1)|_{X_{t}},

то есть, у расслоения KP̃_{t}(1) были бы сечения, а это невозможно, так как P_{t} заметается прямыми.

Вот “лучший” пример из [V] (лучший он потому, что эту конструкцию можно обобщить на произвольные d, см. [V]):

Пример 2: Рассмотрим Q_{t} ⊂ X_{t} - подмножество точек x, таких, что для некоторой прямой l имеем X_{t} ∩ l = dx. Это семейство рационально эквивалентных 0-циклов на X_{t}. Аналогичный подсчет размерностей показывает dim(Q_{t}) = 2n − d − 1. Пусть Q ⊂ X универсальное подмногообразие и d = 2n − 1 − k. Тогда

Λ^{n−1−k}T X (n − 2 − k) ≅ Λ^{dim(P)}Ω_{X} .

Теперь сошлемся на одно полезное при работе с алгебраическими циклами утверждение (по-видимому, впервые появившееся в работах Блоха):

Предложение 1.4 Пусть W - гладкое неприводимое семейство 0-циклов на X, а Y ⊂ X × W - его график (“универсальный цикл”). Предположим, что все циклы из W рационально эквивалентны циклам с носителем на подмногообразии X_{0} размерности m_{0}. Тогда цикл Y рационально эквивалентен сумме Y′ + Y′′, где Y′ - dim(W)-цикл на X_{0} × W, а Y′′ - dim(W)-цикл на X × W′, где W′ - собственное подмногообразие W.

В частности, отображение

[Y]^{∗} : H^{0}(X, Ω_{X}^{m}) → H^{0}(W, Ω_{W}^{m})

нулевое для m > m_{0}.

“Наше” m_{0} равно размерности пространства параметров dim(S^{d}), а W является разрешением особенностей Q.

Вуазен доказала, что при d = 2n − 2 это - “единственная неприятность”, и проверила, что геометрический род Q_{t} положителен. Таким образом, гипотеза Клеменса об отсутствии рациональных кривых на гиперповерхности степени 2n − 2 в ℙ^{n}, n ≥ 4, верна. К сожалению, для больших d базисное множество H^{0}(Λ^{2}T X (1)|_{X_{t}}) довольно велико; так что улучшить на 1 оценку в теореме 1.2 (при n ≥ 4) вышеописанным способом не удается.

3) При d = 2n имеем, что для любого Z на общей X, H^{0}(Z̃, KZ̃⊗σ^{∗}O_{Z}(−1)) ≠ 0 (где σ : Z̃ → Z - разрешение особенностей). Из этого сразу следует, что все подмногообразия X - общего типа. В самом деле, расслоение L = σ^{∗}O_{Z}(1) объемно как бирациональный прообраз обильного, т.е. h^{0}(Z̃, L^{⊗m}) растет как m^{dim(Z̃)}; очевидно, что сумма эффективного и объемного дивизоров объемна, т.е. KZ̃ объемен, что и означает, что Z общего типа. Одна из гипотез Ленга утверждает, что из этого должна следовать гиперболичность по Кобаяши.

2. Теорема Богомолова о конечности числа рациональных и эллиптических кривых на поверхности общего типа с c_{1}^{2} > c_{2}

Цель этой лекции - доказать следующий факт:

Теорема 2.1 (Богомолов) Пусть X поверхность общего типа, причем c_{1}^{2}(X) > c_{2}(X). Тогда для любого g, семейство кривых геометрического рода g на X ограничено.

Другими словами, такие кривые параметризуются конечным числом неприводимых алгебраических многообразий.

В частности, на X лишь конечное число рациональных или эллиптических кривых: действительно, поскольку X общего типа, она не может заметаться ни рациональными, ни эллиптическими кривыми, так что все такие кривые на X изолированы; значит, по теореме 2.1 их конечное число.

Условие, что X общего типа, существенно. Действительно, на ℙ^{2} есть особые рациональные кривые произвольно большой степени (поскольку вообще любая кривая проектируется на ℙ^{2} с некоторым числом двойных точек); Мори и Мукаи показали, что то же верно для достаточно общей К3-поверхности, например, общей квартики в ℙ^{3}.

Теорема 2.1 - это первая часть основного утверждения работы [B]. Вторая часть - это утверждение об ограниченности семейства кривых на произвольной поверхности общего типа, инварианты которых как вложенных кривых удовлетворяют некоторым неравенствам. Например, эта вторая часть утверждает, что число кривых с отрицательным квадратом на поверхности общего типа конечно.

Последнее тоже неверно для произвольной поверхности. Классический пример - это раздутие ℙ^{2} в девяти точках, являющихся базисным множеством достаточно общего пучка кубик. Каждая исключительная прямая будет сечением получившегося расслоения на эллиптические кривые. Приняв одно такое сечение за “нулевое”, получим бесконечное множество (−1)-кривых, послойно применяя групповую операцию к оставшимся восьми.

Здесь мы подробно изложим доказательство теоремы 2.1 (следуя, в основном, [MD]) и укажем, как доказывается утверждение о кривых с отрицательным квадратом.

Вот основная идея доказательства 2.1: неравенство c_{1}^{2}(X) > c_{2}(X) означает, что тавтологическое расслоение O_{ℙT X}(1) на проективизации касательного расслоения к X - объемно. ℙT X отображается в проективное пространство линейной системой сечений O_{ℙT X}(m) для достаточно большого m, и затем отдельно изучается семейство кривых рода g, не лежащих в множестве неопределенности, и кривые, в нем лежащие.

Поскольку понятие объемности будет важно и далее, то прежде, чем начать доказывать теорему 2.1, мы сделаем небольшое отступление на эту тему. Оно совершенно элементарно; но, на мой взгляд, все это важно хорошо понимать.

Небольшое отступление об объемных дивизорах

Пусть X - неприводимое проективное многообразие размерности n, D - ℚдивизор Картье на X, а L - соответствующее линейное расслоение O_{X}(D). Рассмотрим множество

N(X, D) = {m ∈ ℕ|h^{0}(X, L^{⊗m}) ≠ 0}.

Ясно, что все элементы этого множества - кратности некоторого числа e(L), их наибольшего общего делителя; и, наоборот, все достаточно большие кратности e(L) попадут в N(X, D).

Определение: Дивизор D называется объемным, если для некоторого положительного C и всех m >> 0, m ∈ N(X, D), верно, что h^{0}(X, L^{⊗m}) ≥ Cm^{n}.

Утверждение 2.2: Следующие условия эквивалентны:

1) D объемен;

2) при m >> 0, m ∈ N(X, D), верно, что mD ∼ A + E, где A обилен, а E эффективен; более того, A можно выбирать произвольно;

3) при m >> 0, m ∈ N(X, D), рациональное отображение

ϕ_{|mD|} : X −−→ ℙ(H^{0}(X, L^{⊗m})^{∗})

бирационально на свой образ.

Доказательство: 1)⇒2): пусть A очень обилен на X, тогда имеем точную последовательность

0 → O(mD − A) → O(mD) → O(mD)|_{A} → 0.

Размерность пространства H^{0}(A, O(mD)|_{A}) не может расти быстрее, чем C′m^{n−1} для некоторого положительного C′, так что при больших m из N(X, D) дивизор mD − A эффективен.

2)⇒3): то, что сечения A+E разделяют общие точки и касательные векторы в них, непосредственно следует из того, что это делают сечения A.

3)⇒1): очевидно, поскольку mD - собственный прообраз расслоения гиперплоскости при отображении ϕ_{|mD|}, и, значит, имеет сечений не меньше, чем расслоение гиперплоскости(в точках неопределенности ϕ_{|mD|} используем теорему Хартогса).

В частности, свойство быть объемным открыто, и конус классов объемных дивизоров в H^{1,1}(X) - это внутренность конуса эффективных классов.

Доказательство теоремы Богомолова 2.1:

Рассмотрим ℙT X - проективизацию касательного расслоения к X, т.е. многообразие прямых (а не гиперплоскостей!) в T X. Пусть C - гладкая неприводимая проективная кривая, а f : C → X - непостоянное отображение. Тогда определен подъем f на ℙT X:

f̃: C → ℙT X; f̃(c) = (f(c), [f′(c)])

(конечно, это выражение имеет смысл только там, где f′(c) не обращается в нуль, но любое рациональное отображение проективной кривой продолжается до регулярного).

По построению, касательное расслоение T_{C} отображается в обратный образ универсального подрасслоения на ℙT X:

T_{C} → f̃^{∗}O_{ℙT X}(−1). (∗)

Коядро этого отображения сосредоточено на множестве критических точек f. Следующее предложение является ключевым в доказательстве:

Предложение 2.3: В условиях теоремы 2.1, расслоение O_{ℙT X}(1) объемно.

Доказательство: По формуле Римана-Роха, для дивизора D на трехмерном многообразии M имеем

χ(M, O(mD)) = m^{3}D^{3}/6 + O(m^{2}).

Значит, достаточно показать, во-первых, что ξ^{3} > 0, где ξ - класс O_{ℙT X}(1), а вовторых, что вторые когомологии O_{ℙT X}(m) растут не быстрее, чем пространство глобальных сечений.

Первое утверждение - это следствие нашего неравенства на классы Чженя поверхности X. Действительно, если E - векторное расслоение ранга r на многообразии M, то на Y = ℙ_{M}(E) имеем

∑_{i=0}^{i=r} ξ^{i}p^{∗}c_{i}(E) = 0,

где ξ = [O_{ℙ_{M} (E)}(1)], а p - проекция. Значит,

ξ(ξ^{2} + p^{∗}c_{1}(X)ξ + p^{∗}c_{2}(X)) = ξ^{3} − p^{∗}c_{1}^{2}(X)ξ + p^{∗}c_{2}(X)ξ = 0,

то есть, ξ^{3} = c_{1}^{2} − c_{2} > 0, что и требовалось.

Для доказательства второго утверждения заметим, что p_{∗}O_{ℙT X}(m) = S^{m}Ω_{X}^{1}, а высших прямых образов нет; то есть,

h^{2}(ℙT X, O_{ℙT X}(m)) = h^{2}(X, S^{m}Ω_{X}^{1}) = h^{0}(X, S^{m}T X ⊗ K_{X});

поскольку T X ≅ Ω_{X}^{1} ⊗ K_{X}^{−1}, то

h^{0}(X, S^{m}T X ⊗ K_{X}) = h^{0}(S^{m}Ω_{X}^{1} ⊗ K_{X}^{⊗1−m}).

Поскольку K_{X}^{⊗m−1} имеет сечения при больших m, то это не превосходит

h^{0}(X, S^{m}Ω_{X}^{1}) = h^{0}(ℙT X, O_{ℙT X}(m)),

а значит, h^{0}(ℙT X, O_{ℙT X}(m)) действительно растет как m^{3}, ч.т.д..

Замечание 2.4: Кроме неравенства на классы Чженя, мы использовали только то, что K_{X}^{⊗m} имеет сечения при больших m (а не то, что K_{X} объемно, т.е. X общего типа). Но из классификации поверхностей следует, что любая поверхность с c_{1}^{2} − c_{2} > 0 и эффективным K_{X}^{⊗m} - общего типа.

Продолжим доказательство теоремы 2.1. Итак, имеем бирациональное на свой образ отображение G : ℙT X −−→ ℙ^{M}, заданное сечениями O_{ℙT X}(m) при некотором достаточно большом m. Пусть Z ⊂ ℙT X - такое собственное замкнутое подмножество, что G - изоморфизм вне Z. Мы разберем отдельно два случая: сначала мы докажем, что неприводимые кривые рода g, подъем которых на ℙT X не лежит в Z, образуют ограниченное семейство, а потом - что то же верно и для кривых рода g с подъемом в Z. Точнее, последнее утверждение - очевидное следствие результата Жуанолу, который интересен сам по себе и который мы разберем в следующей части.

Итак, пусть C - гладкая кривая рода g, а f : C → X - такое отображение, что образ f̃: C → ℙT X не лежит в Z (при этом, как и раньше, f предполагается бирациональным на свой образ) . Тогда Gf̃ отображает C в ℙ^{M}, причем если образы C и C′ в X различны, то же верно и для их образов в ℙ^{M}. Достаточно ограничить степень Gf̃(C) в ℙ^{M} (это легко следует из того хорошо известного факта, что семейство кривых степени не выше данной в проективном пространстве ограничено).

Но мы уже видели, что T_{C} естественно отображается в f^{∗}O_{ℙT X}(−1); значит, степень T_{C} не больше степени f^{∗}O_{ℙT X}(−1). Соответственно,

deg(Gf̃(C)) ≤ deg(f^{∗}O_{ℙT X}(m)) ≤ m · deg(Ω_{C}^{1}) = m(2g − 2),

что и требовалось показать.

Замечание 2.5: Таким образом, подъем всех рациональных или эллиптических кривых с X на T X обязательно попадет в множество Z: в самом деле, для таких кривых m(2g − 2) ≤ 0.

Осталось разобрать случай кривых, лежащих в Z.

Z является объединением конечного числа неприводимых компонент Z_{i}. Те из них, образ которых при проекции на X - кривая C_{i}, мы можем не рассматривать: действительно, на X имеем лишь конечное число кривых, подъем которых попадает в эти Z_{i}, а именно, сами кривые C_{i}. Так что достаточно рассмотреть случай, когда Z - неприводимая поверхность, доминирующая X.

В этом случае пусть α : Z̃ → Z - разрешение особенностей. Тогда Z̃ снабжено естественным слоением. Его можно представлять себе, например, так: локально в окрестности достаточно общей точки z ∈ Z, Z есть сечение проекции p; оно индуцирует некоторое (тавтологическое) распределение прямых на X, которое (все ещё локально!) поднимается на Z. Формально мы можем определить слоение как обратимый подпучок L ⊂ Ω1 ; Z̃; поскольку на ℙT X имеем точную последовательность

0 → M → p^{∗}Ω_{X}^{1} → O_{ℙT X}(1) → 0,

то в качестве L можно взять α^{∗}M|_{Z}: действительно, композиция α^{∗}M|_{Z} → α^{∗}p^{∗}Ω_{X}^{1} → Ω1 ; Z̃ ненулевая, поскольку по условию p изоморфно отображает Z на X в общей точке Z. Из обеих конструкций очевидно, что подъем f(C) на ℙT X будет интегральной кривой нашего слоения, если, конечно, f(C) попадет на Z.

Для того, чтобы закончить доказательство, достаточно сослаться на следующее утверждение:

Теорема Жуанолу: ([J]) Пусть X - гладкое проективное многообразие, а F - слоение на X, такое, что коразмерность его листов равна 1 (таким образом, F задается некоторой мероморфной дифференциальной формой ω). Тогда либо число алгебраических интегральных гиперповерхностей F конечно, либо F имеет мероморфный первый интеграл (здесь первый интеграл - это рациональная функция f с ω ∧ df = 0; таким образом, интегральные гиперповерхности являются компонентами слоев отображения f : X −−→ ℙ^{1}).

Из теоремы Жуанолу, либо наших кривых лишь конечное число, либо они параметризуются некоторой алгебраической кривой; так что теорема 2.1 доказана.

Теорему Жуанолу мы разберем отдельно; а в заключение этой части расскажем, очень приблизительно, как Богомолов получил конечность числа кривых (данного геометрического рода) с отрицательным квадратом (другими словами, ограниченность их семейства - ведь такие кривые не деформируются!) на поверхности общего типа с произвольными классами Чженя. В этом случае O_{ℙT X}(1) не обязательно объемно на ℙT X; но, оказывается, можно подобрать конечное число линейных расслоений F_{i} на X, таких, что:

1) O_{ℙT X}(m_{i}) ⊗ p^{∗}F_{i} объемны для некоторых m_{i};

2) для C с отрицательным квадратом найдется i такое, что F_{i}C ≤ 0, а значит, степень G_{i}(C) в одном из конечного числа бирациональных отображений G_{i}, соответствующих подкруткам на F_{i}, окажется ограниченной. Отсюда легко следует утверждение теоремы.

Для проверки объемности используется, с одной стороны, теорема Римана-Роха, а с другой - для того, чтобы контролировать H^{2} - стабильность по Богомолову кокасательного расслоения на поверхности общего типа. В дальнейшем мы еще увидим примеры таких рассуждений.

3. Теорема Жуанолу

Итак, цель этой части - изложить доказательство следующей теоремы (мы будем работать только с поверхностями, поскольку в конце этой части мы попытаемся, следуя [Br], связать теорему Жуанолу с классической теоремой Кастельнуово - де Франкиса, но приводимое ниже доказательство Жуанолу проходит и для произвольной размерности):

Теорема 3.1: ([J]) Пусть X - гладкая проективная поверхность, а F - слоение на X (заданное некоторой мероморфной дифференциальной 1-формой ω). Тогда либо число алгебраических интегральных кривых F конечно, либо F имеет мероморфный первый интеграл (здесь первый интеграл - это рациональная функция f с ω ∧ df = 0; таким образом, интегральные кривые являются компонентами слоев отображения f : X −−→ ℙ^{1}).

Напомним сначала некоторые основные определения и факты.

Алгебраическое слоение на поверхности X - это обратимый подпучок F в касательном расслоении T X. В случае произвольной размерности F, конечно, может быть любого ранга и предполагается инволютивным, т.е. замкнутым относительно операции коммутирования векторных полей; нам этого предполагать не нужно, поскольку подпучок ранга 1 инволютивен автоматически.

Мы будем предполагать F насыщенным, т.е. таким, что фактор T X/F не имеет кручения. Это предположение на самом деле не вносит никаких существенных ограничений: действительно, любой подпучок L пучка A обладает насыщением - т.е. существует единственный насыщенный подпучок L^{s} ⊂ A, совпадающий с L в общей точке. Очевидно, это просто ядро сквозного отображения A → A/L → (A/L)/(A/L)^{tors}. Другими словами, с помощью насышения мы избавляемся от “ненастоящих особенностей” нашего слоения - особенностей в коразмерности 1.

Итак, имеем точную последовательность

0 → F → T X → N_{F} ⊗ I_{sing(F)} → 0.

Здесь I_{sing(F)} - пучок идеалов нульмерной подсхемы (особенностей F), а N_{F} - линейное расслоение, которое мы будем называть нормальным расслоением слоения F.

Двойственная точная последовательность - это

0 → N_{F}^{∗} → Ω_{X}^{1} → F^{∗} ⊗ I_{sing(F)} → 0.

То есть, наше слоение можно задать мероморфной формой ω_{F}, сечением Ω_{X}^{1} ⊗ N_{F}; а N_{F}^{∗} - линейное расслоение, соответствующее ее дивизору.

Интегральная кривая F - это образ отображения i : C → X (где C - комплексная кривая) такого, что i^{∗}ω_{F} = 0, или, что то же самое, Im(T C → i^{∗}T X) ⊂ i^{∗}F.

Важный момент в доказательстве теоремы Жуанолу - вырождение спектральной последовательности Ходжа - де Рама

E_{1}^{pq} = H^{q}(X, Ω_{X}^{p}) ⇒ H^{p+q}(X, ℂ)

в члене E_{1}, выполняющееся для компактных кэлеровых многообразий. Из него, в частности, следует замкнутость голоморфных форм. Замкнутость голоморфных 1-форм на поверхности, впрочем, доказывается совсем элементарно: в самом деле, если ω - такая форма, то легко проверить, что dω ∧ \overline{dω} - точная форма:

dω ∧ \overline{dω} = d(dω ∧ \overline{ω}).

Значит, ∫_{X} dω ∧ \overline{dω} = 0 по формуле Стокса; то есть, dω = 0 - иначе dω ∧ \overline{dω} была бы формой объема, с положительным интегралом.

Нам потребуется еще одно свойство дифференциальных форм на поверхности, следующее из вырождения спектральной последовательности Ходжа - де Рама (см. (2) ниже).

Доказательство теоремы 3.1: Введем следующие обозначения:

Div(X) - группа дивизоров на X;

Div^{0}(X) - подгруппа дивизоров с нулевым классом Чженя (в H^{2}(X, ℝ)); M - подгруппа Div(X), порожденная алгебраическими интегральными кри-

выми; M^{0} = M ∩ Div^{0}(X). Очевидно, достаточно показать, что в отсутствие первого интеграла про-

странство M^{0} ⊗ ℂ будет конечномерным - из этого сразу следует конечномерность M ⊗ ℂ: dim(M ⊗ ℂ) ≤ dim(M^{0} ⊗ ℂ) + h^{1,1}(X). Мы построим линейное отображение M^{0} ⊗ ℂ в конечномерное пространство, и докажем, что если первого интеграла нет, то ядро этого отображения конечномерно (и даже имеет размерность ≤ 1).

Шаг 1: Сначала определим отображение

ψ : Div^{0}(X) ⊗ ℂ → H^{0}(X, Ω_{X}^{1} ⊗ M_{X}^{∗})/H^{0}(X, Ω_{X}^{1})

(здесь M_{X}^{∗} - обратимые мероморфные функции, т.е. наши дивизоры отображаются в мероморфные формы по модулю голоморфных) следующим образом: пусть D ∈ Div^{0}(X) локально задается функциями f_{α} на элементах покрытия U_{α}. Тогда g_{αβ} = f_{α}/f_{β} - это 1-коцикл на X со значениями в O_{X}^{∗} (он соответствует ассоциированному с D линейному расслоению). Напомним, что (первый) класс Чженя - это отображение

c_{1} = dlog : H^{1}(X, O_{X}^{∗}) → H^{1}(X, Ω_{X}^{1}).

Поскольку c_{1}([D]) = 0, dlog(g_{αβ}) - кограница, т.е.

dlog(f_{α}) − dlog(f_{β}) = ω_{α} − ω_{β},

где ω_{α} ∈ Ω^{1}(U_{α}), ω_{β} ∈ Ω^{1}(U_{β}). Значит,

(1) dlog(f_{α})−ω_{α} склеиваются в глобальную мероморфную форму ψ(D), определенную с точностью до прибавления глобальной голоморфной 1-формы (поскольку ω_{α} тоже определены с точностью до такой формы).

К тому же

(2) Поскольку на U_{α} ∩ U_{β} выполнено dω_{α} = dω_{β},определена глобальная голоморфная 2-форма dω. На самом деле эта глобальная форма даже равна нулю! Это следует из вырождения спектральной последовательности Ходжа - де Рама. Действительно, поскольку c_{1}([D]) = 0, элемент, соответствующий [D] в H^{1}(X, O_{X}^{∗}), является образом элемента из H^{1}(X, O_{X}) (рассмотреть экспоненциальную точную последовательность). А значит, процесс получения dω из g_{αβ} можно интерпретировать как построение дифференциала d_{2} из спектральной последовательности:

Ker(H^{1}(X, O_{X}) →^{d} H^{1}(X, Ω_{X}^{1})) = E_{2}^{0,1} →^{d_{2}} E_{2}^{2,0} ⊂ H^{0}(X, Ω_{X}^{2}).

Как мы знаем, этот дифференциал нулевой.

(Это рассуждение явно выглядит излишне заумным, но я не смогла придумать проще! Если это сделает кто-то из читателей - сообщите.)

Так что замкнута и наша мероморфная форма ψ(D) (вернее, любой представитель класса ψ(D) по модулю голоморфных форм). Это потребуется нам немного позже.

Шаг 2: Проверим, что отображение ψ инъективно. Пусть неприводимые эффективные C_{i} таковы, что ψ(∑_{i=1}^{k} a_{i}C_{i}) = 0, a_{1} ≠ 0. Если C_{i} локально задаются f_{i,α} на U_{α}, то форма ∑_{i} a_{i} \frac{df_{i,α}}{f_{i,α}} должна быть голоморфна на U_{α}. Но она не может быть голоморфной, если U_{α} - малая окрестность неособой точки x ∈ C_{1}, такой, что другие C_{i} не содержат x: иначе получилось бы, что \frac{df_{1,α}}{f_{1,α}} голоморфна.

Шаг 3: Теперь определим отображение

ψ_{F} : M^{0} ⊗ ℂ → H^{0}(X, ω_{X} ⊗ N_{F})/ω_{F} ∧ H^{0}(X, Ω_{X}^{1})

(где ω_{X} - канонический класс X) по формуле

ψ_{F}(D) = ω_{F} ∧ ψ(D) :

локально с точностью до внешнего произведения ω_{F} и голоморфной формы,

ω_{F} ∧ ψ(D)|_{U_{α}} = ω_{F} ∧ (dlog(f_{α}) − ω_{α}) = −ω_{F} ∧ ω_{α},

поскольку f_{α} задает интегральную кривую нашего слоения F; причем это действительно сечение ω_{X} ⊗ N_{F}, так как ω_{F} - сечение Ω_{X}^{1} ⊗ N_{F}.

Докажем, наконец, что если у F нет мероморфного первого интеграла, то dim Ker(ψ_{F}) ≤ 1. Пусть a ∈ Ker(ψ_{F}), а v_{a} - представитель ψ(a) в пространстве мероморфных 1-форм. Тогда dv_{a} = 0 и ω_{F} ∧ v_{a} = ω_{F} ∧ w_{a}, где w_{a} голоморфна; то есть,

v_{a} − w_{a} = ϕ_{a}ω_{F},

где ϕ_{a} - мероморфная функция. При этом

0 = d(ϕ_{a}ω_{F}) = dϕ_{a} ∧ ω_{F} + ϕ_{a}dω_{F} (1).

Если b - другой элемент Ker(ψ_{F}), то, повторив все вышесказанное для b и v_{b} - представителя ψ(b), получим мероморфную функцию ϕ_{b}, такую, что

0 = d(ϕ_{b}ω_{F}) = dϕ_{b} ∧ ω_{F} + ϕ_{b}dω_{F} (2).

Значит

d\frac{ϕ_{a}}{ϕ_{b}} ∧ ω_{F} = \frac{ϕ_{a}dϕ_{b} − ϕ_{b}dϕ_{a}}{ϕ_{b}^{2}} ∧ ω_{F} = 0,

так как числитель этого выражения есть ϕ_{a}·(2)−ϕ_{b}·(1). Поэтому \frac{ϕ_{a}}{ϕ_{b}} - константа λ: иначе это был бы первый интеграл для F. Отсюда легко получаем, что ψ(a) = λψ(b), т.е. a = λb, т.к. ψ инъективно.

Теорема доказана.

В работе [Br] предлагается другая схема доказательства теоремы Жуанолу: оказывается, ее можно рассматривать как аналог классической леммы Кастельнуово-де Франкиса для логарифмических дифференциальных форм. Напомним, что лемма Кастельнуово-де Франкиса состоит в следующем:

Лемма 3.2 Пусть X- гладкая проективная поверхность и L ⊂ Ω_{X}^{1} - (насыщенный) подпучок ранга 1, такой, что h^{0}(X, L) ≥ 2 (другими словами, на X имеются две глобально независимые голоморфные 1-формы ω_{1} и ω_{2}, такие, что ω_{1} ∧ ω_{2} = 0). Тогда существует голоморфное отображение X на кривую C, такое, что ω_{i} - прообразы некоторых голоморфных 1-форм на C.

Идея доказательства: Рассматривается мероморфная функция f, такая, что ω_{1} = fω_{2}; она определяет мероморфное отображение f : X −−→ ℙ^{1}. Затем проверяется, что разложение Штейна f дает искомое голоморфное отображение g : X → C. Действительно, заменив отображение f на разрешение его неопределенности, получим, что над открытым множеством ω_{i} являются прообразами 1-форм θ_{i} на C: это видно из равенств

0 = dω_{1} = d(fω_{2}) = df ∧ ω_{2}.

Дальше легко проверяется, что θ_{i} продолжаются до глобальных s_{i}, и ω_{i} = g^{∗}s_{i}; автоматически имеем, что род C не меньше двойки, а из этого уже следует, что множество неопределенности f с самого начала было пусто.

Таким образом, ключевое место в доказательстве - это замкнутость голоморфных 1-форм (как мы видели, в случае поверхностей доказать ее очень просто).

Вернемся теперь к теореме Жуанолу. Пусть C_{1}, … C_{N} - интегральные кривые для F и C = ∪C_{i}. Рассмотрим Ω_{X}^{1}(log C), пучок дифференциальных форм с логарифмическими особенностями вдоль C. Заметим, что наша ситуация несколько отличается от той, что изучается “обычно”, поскольку мы не предполагаем, что C - дивизор с нормальными пересечениями. Но многие стандартные утверждения о логарифмических формах верны и в нашей более общей ситуации. В частности, имеем точную последовательность

0 → Ω_{X}^{1} → Ω_{X}^{1}(log C) →^{Res} OC̃ → 0,

где C̃ - нормализация C. Поэтому

h^{0}(X, Ω_{X}^{1}(log C)) ≥ N + h^{1,0}(X) − h^{1,1}(X).

Предположим, что N можно выбрать очень большим - например, бо́льшим, чем h^{1,1}(X)−h^{1,0}(X)+h^{0}(X, F^{∗})+2; так, конечно, будет, если число неприводимых алгебраических интегральных кривых F бесконечно. Имеется естественное отображение “свертки” (или “вычисления вдоль слоев”)

Ω_{X}^{1}(log C) → F^{∗};

таким образом, неравенство

h^{0}(Ω_{X}^{1}(log C)) ≥ h^{0}(X, F^{∗}) + 2

означает, что существуют две глобально независимые логарифмические формы, обращающиеся в нуль на листах F.

Теперь, как и в лемме Кастельнуово-де Франкиса, из замкнутости логарифмических форм следует, что их отношение является первым интегралом F.

Оказывается, наконец, что замкнутость логарифмических форм на поверхности (без условия нормальности пересечений на границе) нетрудно доказать ([Br] ссылается на [N]).

4. Гиперболичность по Кобаяши: основные понятия

Вначале приведем два определения гиперболичности по Кобаяши. Они эквивалентны, но доказывать это мы здесь не будем, сославшись, например, на [L] (доказательство, как и определение гиперболичности через финслеровы метрики, впервые появилось в [R1]).

Пусть E - комплексное векторное расслоение на X. Финслеровой метрикой или функцией длины на E называется непрерывное отображение N : E → ℝ_{≥0}, такое, что N(λv) = |λ|N(v), λ ∈ ℂ, и N обращается в нуль только на нулевом сечении E. Финслерова псевдометрика, она же функция псевдодлины - это полунепрерывное сверху отображение N : E → ℝ_{≥0}, такое, что N(λv) = |λ|N(v), λ ∈ ℂ.

Обозначим Δ единичный диск в ℂ. На касательном расслоении ко гладкому комплексному многообразию X введем такую финслерову псевдометрику: для v ∈ T_{X,x} положим

k_{X}(v) = inf{λ > 0|∃f : Δ → X, f(0) = x, f′(0) = x/λ}.

(ее полунепрерывность сверху неочевидна! Но мы здесь, опять же, не будем этого доказывать, снова сославшись на [L] или же на [R1] и [R2] - в последней работе доказывается ключевая лемма о продолжении голоморфных отображений).

Если X = Δ, то это - метрика Пуанкаре

|v|_{hyp} = \frac{|v|_{eucl}}{1 − |x|^{2}} , v ∈ T_{x,Δ},

(или же h_{P} (z) = \frac{dz⊗dz̄}{(1−|z|^{2})^{2}} .) Это видно из классической леммы Шварца:

Лемма 4.1 Пусть f : Δ → Δ - голоморфное отображение диска в себя. Тогда

\frac{|f′(z)|}{1 − |f(z)|^{2}} ≤ \frac{1}{1 − |z|^{2}} ,

причем равенство в одной точке означает, что f автоморфизм и равенство выполнено повсюду.

Для доказательства сначала рассматривается случай z = 0, f(0) = 0: здесь можно, например, разложить f в стпенной ряд и использовать равенство Парсеваля. Дальше используются автоморфизмы диска g_{z}(u) = \frac{u+z}{1+z̄u}: отображение f заменяется на F = g_{−f(z)} ∘ f ∘ g_{z} (g_{−f(z)} = g_{z}^{−1}); F (0) = 0.

Другая формулировка леммы Шварца: голоморфные отображения “уменьшают” метрику Пуанкаре, т.е. f^{∗}h_{P} ≤ h_{P}; равенство в одной точке означает, что f изометрия.

Псевдорасстояние Кобаяши d_{hyp}(x, y) получается интегрированием псевдометрики Кобаяши. X гиперболично по Кобаяши, если псевдорасстояние Кобаяши является настоящим расстоянием, т.е. d_{hyp}(x, y) ≠ 0 при x ≠ y.

Это определение принадлежит Ройдену [R1]. Несколько ранее Кобаяши предложил другое определение; оно годится не только для многообразий, но и для комплексных пространств.

Определим расстояние d_{hyp} = d_{Δ} на единичном диске как получающееся интегрированием метрики Пуанкаре. Для пары точек x, y на X рассмотрим соединяющую их цепочку дисков f_{i} : Δ → X, 1 ≤ i ≤ N, p_{i}, q_{i} ∈ Δ, f_{1}(p_{1}) = x, f_{i}(q_{i}) = f_{i+1}(p_{i+1}), f_{N}(q_{N}) = y (здесь N, конечно, ни в коем случае не фиксировано и вводится только для удобства записи). Теперь определим

d_{hyp}(x, y) = inf_{f_{i},p_{i},q_{i}} ∑_{1}^{N} d_{Δ}(p_{i}, q_{i}).

X гиперболично по Кобаяши, если d_{hyp}(x, y) - расстояние.

Замечание 4.2: Если существует непостоянное отображение f : ℂ → X, то X не является гиперболичным по Кобаяши. Более того, d_{hyp} нулевое на образе ℂ. В самом деле, рассмотрим отображение

Δ →^{f_{R}} ℂ → X, f_{R}(z) = Rz.

Тогда при R, стремящемся к бесконечности, и p, q ∈ ℂ, d_{Δ}(f_{R}^{−1}p, f_{R}^{−1}q) стремится к нулю, т.е. d_{hyp}(f(p), f(q)) = 0.

Теорема Броди утверждает, что для компактных X верно и обратное, т.е. если X не гиперболично, то на X есть целая кривая f : ℂ → X. Основной ингредиент доказательства - это лемма Броди о репараметризации, которую мы сейчас докажем.

Выберем какую-нибудь эрмитову метрику h на X. Заметим, что если X не гиперболично, то можно построить f : Δ → X с неограниченно большим ||f′(0)||_{h}.

Лемма 4.3 (лемма Броди): Пусть f : Δ → X - голоморфное отображение. Для любого r ∈ (0, 1), существует R ≥ r||f′(0)||_{h} и биголоморфизм ψ : D(0, R) → D(0, r), такой, что:

||(f ∘ ψ)′(0)||_{h} = 1;

||(f ∘ ψ)′(t)||_{h} ≤ \frac{1}{1−|t/R|^{2}} .

(Другими словами, если определить метрику Пуанкаре h_{P} на диске D(0, R) радиуса R так, что |v|_{hyp} = \frac{|v|_{eucl}}{1−|z/R|^{2}} , получится (f ∘ ψ)^{∗}h ≤ h_{P}.)

Доказательство: Рассмотрим выражение (1−|z|^{2})||f′(rz)||_{h} (с точностью до r, это норма производной z ↦ f(rz), рассматриваемой как линейный оператор). Оно определено на \overline{Δ} и равно нулю на границе, так что достигает максимума в точке z_{0} ∈ Δ. Определим ψ как автоморфизм диска, с точностью до гомотетий, посылающий 0 в rz_{0}:

ψ(t) = rg_{z_{0}}(t/R), g_{z}(u) = \frac{z + u}{1 + z̄u}.

Тогда

||(f ∘ ψ)′(0)||_{h} = |ψ′(0)| · ||f′(rz_{0})||_{h} = (1 − |z_{0}|^{2})\frac{r}{R}||f′(rz_{0})||_{h}.

Значит, первое утверждение леммы выполнено для

R = (1 − |z_{0}|^{2})r||f′(rz_{0})||_{h} ≥ r||f′(0)||_{h}

(в силу нашего выбора z_{0}). К тому же, с точностью до константы, (1−|t/R|^{2})||(f ∘ψ)′(t)||_{h} - это норма производной z ↦ f(rz) в точке g_{z_{0}}(t/R). Она максимальна в z_{0}, т.е. при t = 0; это доказывает второе утверждение леммы.

Докажем теперь теорему Броди:

Теорема 4.4: Пусть (X, h) - компактное эрмитово многообразие, не являющееся гиперболическим. Тогда существует непостоянное голоморфное отображение g : ℂ → X. Более того, ||g′(t)||_{h} ≤ 1.

Доказательство: Как мы уже заметили, имеется последовательность отображений f_{m} : Δ → X с неограниченной производной в нуле f′_{m}(0); применяя лемму Броди, получим последовательность g_{m} : D(0, R_{m}) → X, R_{m} ≥ 1/2||f′_{m}(0)||_{h}, ||g′_{m}(0)||_{h} = 1, ||g′_{m}(z)||_{h} ≤ \frac{1}{1−|z/R_{m}|^{2}} . В частности, на любом компакте получаем равномерную оценку для производных g_{m}.

Семейство g_{m} локально равностепенно непрерывно, т.е. для любого ϵ > 0 и компакта K, существует δ > 0, т.ч. из z, z′ ∈ K, |z − z′| < δ следует, что |g_{m}(z)−g_{m}(z′)| ≤ ϵ для всех m. К тому же, поскольку X компактно, для любого z множество {g_{m}(z)} относительно компактно в X. Значит, по теореме Асколи получим подпоследовательность {g_{k}}, сходящуюся к голоморфному отображению g : ℂ → X. При этом имеем также ||g′(t)||_{h} ≤ 1, поскольку нормы Пуанкаре на дисках сходятся к евклидовой норме на ℂ.

(Здесь вместо того, чтобы ссылаться на теорему Асколи, можно рассмотреть плотное счетное подмножество {z_{1}, …, z_{n}, …} в X; выделяя подпоследовательности, сходящиеся в z_{1}, z_{2}, … и применяя диагональный трюк, получим подпоследовательность, которая сходится во всех точках нашего плотного подмножества; потом воспользуемся локальной равностепенной непрерывностью. Теорема Асколи, собственно, ровно так и доказывается.)

Из леммы Броди можно получить большое количество следствий:

Предложение 4.5: Гиперболичность - открытое свойство.

Доказательство: Пусть X → S - семейство многообразий, h - эрмитова метрика на X и s_{k} ∈ S сходятся к пределу s. Предположим, что слои X_{s_{k}} не являются гиперболическими. Тогда существуют отображения g_{k} : ℂ → X_{s_{k}}, ||g′_{k}(0)|| = 1, ||g′_{k}(t)|| ≤ 1. Как в доказательстве 4.4, получаем предел g : ℂ → X_{s} (он не постоянен, поскольку производная в нуле равна единице). Так что X_{s} не является гиперболическим и свойство негиперболичности замкнуто.

Это предложение используется для построения примеров гиперболических многообразий следующим образом: на самом деле почти все наши рассуждения имеют смысл не только для неособых многообразий, но и для произвольных компактных комплексных пространств, вложенных в неособое многообразие. Несложно строятся, скажем, примеры особых гиперповерхностей в ℙ^{3} без целых кривых. Затем говорится, что в силу свойства открытости их малые деформации (уже неособые!) будут гиперболическими. (“Большие” деформации гиперболическими не будут; свойство гиперболичности открыто в аналитической топологии, но не в топологии Зариского).

Пример (Дюваль, Фудзимото): X ⊂ ℙ^{3}, заданная уравнением

P (z_{0}, z_{1}, z_{2})^{2} − Q(z_{2}, z_{3}) = 0,

где P, Q - достаточно общие многочлены степени d и 2d соответственно, имеет изолированные особенности в точках (z_{0} : z_{1} : 0 : 0), P (z_{0}, z_{1}, 0) = 0. Разрешение особенностей отображается на ℙ^{1}: (z_{0} : z_{1} : z_{2} : z_{3}) ↦ (z_{2} : z_{3}). При разложении Штейна получается кривая C с неоднородным уравнением t^{2} = Q(1, z_{3}); слои отображения X̃ → C задаются уравнениями t = P (z_{0}, z_{1}, 1). При d > 3 и база, и слои имеют род по крайней мере 2; значит, X̃ не содержит целых кривых. Отображение из ℂ в X можно поднять на X̃; т.е. X не содержит целых кривых и ее малые деформации гиперболичны. Таким образом, существуют гиперболические гиперповерхности четной степени, начиная с 8. Напомним, что гипотеза Кобаяши утверждает, что общая гиперповерхность степени 5 и выше в ℙ^{3} гиперболична.

Предложение 4.6: Подмногообразие тора гиперболично тогда и только тогда, когда оно не содержит сдвигов подтора.

Доказательство: Рассмотрим тор T с плоской метрикой. Пусть X ⊂ T не является гиперболичным; тогда существует кривая Броди f : ℂ → X с ||df(z)|| ≤ 1 для любого z. Отображение f поднимается на универсальное накрытие:

(f_{1}, … f_{n}) : ℂ → ℂ^{n}, ∑ |f′_{i}|^{2} ≤ 1.

То есть, для любого i , f′_{i} постоянно; т.е. f_{i} аффинно, другими словами, f(ℂ)

- сдвиг однопараметрической подгруппы. А значит, по стандартной лемме, замыкание соответствующего сдвига f(ℂ) - тоже подгруппа, т.е. подтор. Что и требовалось доказать.

Замечание 4.7: В общем случае кривой Броди называют непостоянное голоморфное отображение g : ℂ → X с ограниченной производной. Пусть X содержит целую кривую f : ℂ → X. Образ кривой Броди, получающейся в результате применения леммы о репараметризации, может, вообще говоря, довольно сильно отличаться от f(ℂ): единственное, в чем мы можем быть уверены - это что замыкание образа кривой Броди лежит в замыкании f(ℂ). Поэтому Предложение 4.6 - это более слабое утверждение, чем знаменитая

Гипотеза Блоха: Пусть h^{0}(X, Ω_{X}^{1}) > dim(X). Тогда любая целая кривая на X содержится в собственном подмногообразии.

(На первый взгляд может показаться - как показалось в некоторый момент автору - что отображение Альбанезе сводит это утверждение к предыдущему).

Хорошую иллюстрацию того, насколько геометрия кривых Броди может отличаться от геометрии целых кривых на многообразии, приводит Винкельман в работе [W]: оказывается, можно построить такое раздутие абелева многообразия, что все кривые Броди содержатся в исключительном дивизоре!

Гипотеза Блоха доказана, например, в работе [GG] с помощью расслоений джетов; см. также [D]. К этой технологии мы ещё вернемся в последней части этих записок. Существуют и другие доказательства этого утверждения.

Рассмотрим ещё одно простое следствие леммы Броди. Напомним, что векторное расслоение E на X называется обильным, если обильно линейное расслоение O_{ℙ(E^{∗})}(1). Нетрудно заметить, что обильность E равносильна стягиваемости нулевого сечения E^{∗}.

Предложение 4.8: Многообразие с обильным кокасательным расслоением гиперболично.

Доказательство: Если нет, то пусть g : ℂ → X - кривая Броди. Она поднимается на T X с помощью производной. Поскольку производная ограничена, то умножением на скаляр можно добиться, чтобы образ отображения g′ : ℂ → T X попал в малую окрестность нулевого сечения. Теперь пусть f : T X → Y - стягивание нулевого сечения. Образ малой окрестности нулевого сечения попадет в полидиск V ⊂ X, который гиперболичен. Так что образ g′ должен попасть в нулевое сечение, но этого не может быть, ведь g непостоянно.

5. Гиперболичность и метрики отрицательной кривизны

Очевидно, если многообразие X гиперболическое, то оно не содержит ни рациональных, ни эллиптических кривых. В действительности нетрудно доказать и более сильное утверждение. Напомним, что проективное многообразие X алгебраически гиперболично, если существует положительная константа ϵ, такая, что для любой кривой C ⊂ X, 2g(C) − 2 ≥ ϵdeg(C) (конечно, можно также считать, что X всего лишь кэлерово, и понимать под deg(C) пересечение C с каким-нибудь фиксированным кэлеровым классом). Сейчас мы докажем, что гиперболическое многообразие алгебраически гиперболично. Доказательство - хороший пример “аргументов отрицательной кривизны”.

Напомним, что если h - эрмитова метрика на комплексном линейном расслоении L, то ее кривизна Θ_{h} определяется как

Θ_{h} = −\frac{i}{π} ∂ ¯∂log||s||_{h}

(здесь s - локальное голоморфное сечение L, не обращающееся в нуль. При замене s на другое такое сечение Θ_{h} не изменится, т.к. “добавится” (нулевой) ∂ ¯∂log от модуля обратимой функции).

Непосредственным вычислением получаем, что для метрики Пуанкаре h_{P} на Δ,

Θ_{h_{P}} = −\frac{2}{π} ω_{P} ,

где ω_{P} = i\frac{dz∧dz̄}{(1−|z|^{2})^{2}} - (1,1)-форма, ассоциированная с метрикой Пуанкаре. Другими словами, h_{P} имеет постоянную отрицательную скалярную кривизну −\frac{2}{π}.

Итак, докажем

Предложение 5.1: Гиперболическое многообразие X алгебраически гиперболично.

Доказательство: Пусть f : C → X - отображение из неособой кривой, являющееся вложением в общей точке; поскольку C не может быть ни рациональной, ни эллиптической, то ее универсальное накрытие - это Δ:

Δ →^{ρ} C →^{f} \overline{C} →^{j} X.

(\overline{C} - это образ f). Пусть h - кэлерова метрика на X, и ω - соответствующая (1,1)-форма. Обозначим форму, ассоциированную с гиперболической метрикой на C, также за σ_{P} (как и на Δ).

Поскольку X гиперболичнo, для некоторого δ > 0,

k_{X}(ξ) ≥ δ||ξ||_{h}, ξ ∈ T X

(здесь k_{X} - псевдометрика Кобаяши на X). Пусть σ\overline{C} - ограничение k_{X} на \overline{C}; имеем

Θ_{h_{P}} = −\frac{2}{π} σ_{P} ≤ −\frac{2}{π} f^{∗}σ\overline{C} ≤ −\frac{2}{π} δ^{2}f^{∗}ω

(первое неравенство выполнено, поскольку голоморфные отображения, очевидно, уменьшают расстояния в метрике Кобаяши). Но по формуле Гаусса-Бонне

∫_{C} Θ_{h_{P}} = χ(C) = 2 − 2g(C),

так что, интегрируя, получим

2g(C) − 2 ≥ \frac{2}{π} δ^{2}deg_{ω}C,

что и требовалось доказать.

Теперь мы увидим, как с помощью “аргументов отрицательной кривизны” можно в некоторых случаях доказывать гиперболичность. Сделаем сначала небольшое отступление об эрмитовых метриках с особенностями (их изучал Ж.-П. Демайи).

Пусть L - комплексное линейное расслоение на X. Эрмитова метрика с особенностями h на L задается локально интегрируемым потенциалом ϕ: локально в тривиализации положим

||ξ||_{h} = |ξ|e^{−ϕ(x)}, ξ ∈ T_{x}X.

Условие ϕ ∈ L_{loc}^{1} нужно для того, чтобы можно было определить кривизну

Θ_{h}(L) = \frac{i}{π} ∂ ¯∂ϕ

как (вещественный замкнутый) (1,1)-поток. Особый интерес представляет случай, когда этот поток положителен (или отрицателен). Напомним, что поток T типа (p, p) вещественен, если \overline{T (φ)} = T (\overline{φ}) для φ ∈ A_{c}^{n−p,n−p}, и положителен, если T (η ∧ η̄), домноженное на подходящую степень i, неотрицательно для η ∈ A_{c}^{n−p,0}. Для p = 1 это эквивалентно тому, что в (локальной) записи

T = \frac{i}{2}t_{ij}dz_{i} ∧ dz̄_{j},

эрмитова матрица из распределений (t_{ij}) “положительно определена” - т.е. ∑ t_{ij}λ_{i}λ̄_{j} есть положительное распределение для всех λ.

Положительность потока \frac{i}{π}∂ ¯∂ϕ эквивалентна плюрисубгармоничности функции ϕ. Основной пример плюрисубгармонической функции - логарифм модуля голоморфной функции g. Формула Лелона-Пуанкаре утверждает, что в этом случае получается просто поток интегрирования по дивизору нулей g (подробности см., например, [Sh]).

Вот некоторые важные для нас примеры эрмитовых метрик с особенностями:

1) Прообраз: пусть f : Δ → (X, h). Тогда

f^{∗}h = u(z)|f′(z)|^{2}dz ⊗ dz̄, u > 0, u ∈ C^{∞}.

Имеем

−ϕ = log|f′| + log(u)/2;

если кривизна h была отрицательной, то кривизна f^{∗}h будет как минимум столь же отрицательна.

2) “Фубини-Штуди”: Пусть L - линейное расслоение с сечениями s_{0}, … s_{N}. Определим h локально в тривиализации по формуле

||ξ||_{h}^{2} = \frac{|ξ|^{2}}{∑ |s_{i}(x)|^{2}} .

Тогда ϕ = log(∑ |s_{i}(x)|^{2})/2; \frac{i}{π}∂ ¯∂ϕ положителен. Наша метрика с особенностями h является прообразом метрики Фубини-Штуди на расслоении O_{ℙ^{N}}(1) при отображении X −−→ ℙ^{N}, заданном сечениями s_{0}, … s_{N}.

Ключевое для нас утверждение - это

Лемма 5.2 (лемма Альфорса-Шварца): Пусть h(z) = u(z)dz ⊗ dz̄ - эрмитова метрика с особенностями на Δ, ω_{h} соответствующая (1,1)-форма (точнее, поток!). Предположим, что i∂ ¯∂log(u) ≥ ϵω_{h} (опять же, в смысле потоков). Тогда h ≤ \frac{2}{ϵ}h_{P} (тоже в смысле потоков! хотя, конечно, неравенство будет поточечным в случае гладкой h и поточечного неравенства в условии).

Доказательство: Как в лемме Броди, можно предполагать, что h определена на чуть большем диске. Если h гладкая, рассмотрим функцию a(z), такую, что h = ah_{P}. Она стремится к нулю на границе Δ, значит, достигает максимума в точке z_{0} внутри Δ. Из того, что у a максимум в z_{0}, имеем 0 ≥ i∂ ¯∂log a(z_{0}), и далее:

i∂ ¯∂log a(z_{0}) = i∂ ¯∂log u(z_{0})−i∂ ¯∂log u_{P} (z_{0}) ≥ ϵω_{h}(z_{0})−2ω_{P} (z_{0}) = (ϵa(z_{0})−2)ω_{P} (z_{0}),

что и требовалось доказать (здесь u_{P} и ω_{P} - функция и форма, очевидным образом ассоциированные с метрикой Пуанкаре).

Если h не гладкая, применяется аргумент сглаживания потоков: вместо максимума u/u_{P} рассматриваем максимум exp(ρ_{ϵ} ∗ log(u))/u_{P}, где ρ_{ϵ} - семейство сглаживающих ядер; см. [D].

Сейчас мы обсудим одно важное следствие этой леммы. Пусть L - линейное расслоение на X, m >> 0. Определим

Σ(L) = Bs(L^{⊗m}) ∪ {x|dim(φ_{|L^{⊗m}|}^{−1}φ_{|L^{⊗m}|}(x)) > 0}

(при достаточно больших m это действительно не зависит от m). Другими словами, Σ(L) - объединение базисного множества и строго положительномерных слоев рационального отображения φ_{|L^{⊗m}|}, задаваемого полной линейной системой |L^{⊗m}|. Хорошо известно, что на самом деле φ_{|L^{⊗m}|} является вложением вне Σ(L).

Предложение 5.3: Пусть A - обильное линейное расслоение на X, π : ℙT X → X - проекция, f : ℂ → X - целая кривая, f̃: ℂ → ℙT X - ее подъем на ℙT X. Тогда для всех m > 0

f̃(ℂ) ⊂ Σ(O_{ℙT X}(m) ⊗ π^{∗}A^{−1}).

Прежде чем приводить доказательство, сделаем несколько замечаний:

1)Σ(L) ≠ X означает, что L объемно (а Σ(L) = ∅ - что L обильно); в этом случае Σ(L) - собственное подмногоообразие. Таким образом, наше предложение содержательно если и только если O_{ℙT X}(m) объемно (в этом случае O_{ℙT X}(m) ⊗ π^{∗}A^{−1} тоже объемно: объемность - открытое свойство). Мы видели, что, например, для поверхности общего типа это значит, что c_{1}^{2} > c_{2}.

2) На самом деле с помощью теории Неванлинны доказывается более сильное утверждение, что f̃(ℂ) ⊂ Bs(O_{ℙT X}(m) ⊗ π^{∗}A^{−1}); для приложений это, кажется, все равно.

3) Если бы вместо ℂ у нас была рациональная или эллиптическая кривая, то это утверждение было бы совершенно очевидным. В самом деле, из того, что f̃_{∗} отображает T_{C} в O_{ℙT X}(−1), следует, что deg(O_{ℙT X}(m) ⊗ π^{∗}A^{−1}|_{C}) < 0 при m > 0 и g(C) ≤ 1.

4) Как обильность, так и объемность интерпретируются в терминах метрик положительной кривизны. Обильность равносильна существованию гладкой метрики положительной кривизны: это теорема Кодаиры о вложении. Объемность же L равносильна существованию метрики с особенностями h, такой, что Θ_{h}(L) ≥ ϵω_{h} в смысле потоков (условие положительности в смысле потоков было бы слишком слабым, т.к. положительность в смысле потоков - это, скорее, неотрицательность!)

Доказательство предложения 5.3: Можно предполагать, что расслоение O_{ℙT X}(m) ⊗ π^{∗}A^{1} объемно - ведь иначе утверждение пусто. Предположим, что образ f̃(ℂ) не содержится в Σ(O_{ℙT X}(m)⊗π^{∗}A^{−1}). Построим на ℂ метрику с особенностями, удовлетворяющую лемме Альфорса-Шварца. Поскольку A обильно, на нем можно выбрать метрику положительной кривизны h_{A}; имеем, для достаточно малого ϵ,

−\frac{i}{π} ∂ ¯∂log u_{A} ≥ ϵω_{h_{A}}

(обозначения u, ω - как в лемме). Определим метрику h на L_{m} = O_{ℙT X}(m)⊗π^{∗}A^{1} как прообраз метрики Фубини-Штуди, т.е. локально в тривиализации

||ξ||_{h}^{2} = \frac{|ξ|^{2}}{∑ |σ_{i}(x)|^{2}} ;

это метрика положительной кривизны, так как L_{m} объемно. Значит, на O_{ℙT X}(−1) имеем метрику (строго!) отрицательной кривизны (hπ^{∗}h_{A})^{−1/m}; так как f_{∗} отображает касательное расслоение к ℂ в O_{ℙT X}(−1), получаем метрику строго отрицательной кривизны на ℂ, а именно,

h_{0} = f̃^{∗}((hπ^{∗}h_{A})^{−1/m}) = u(z)dz ⊗ dz̄

(это не ноль, поскольку f̃(ℂ) не попадает в Σ(O_{ℙT X}(m) ⊗ π^{∗}A^{−1})! Заметим, что непопадания f̃(ℂ) в базисное множество L_{m} здесь недостаточно). Имеем

\frac{i}{π} ∂ ¯∂log u = −Θ_{f̃^{∗}(hπ^{∗}h_{A})^{−1/m}} ≥ f^{∗}Θ_{h_{A}^{−1/m}}.

По компактности X и положительности h_{A}, f^{∗}Θ_{h_{A}^{−1/m}} не меньше формы, ассоциированной с c||f′(z)||_{h_{X}}^{2}dz ⊗ dz̄, для произвольной эрмитовой метрики h_{X} и некоторой зависящей от нее константы c, а это, в свою очередь, не меньше c′ω_{h_{0}} для некоторой другой константы c′, поскольку оба выражения квадратично зависят от производной f. Так что, по лемме Альфорса-Шварца, h_{0} ≤ Const · h_{P} в единичном диске. Но этого не может быть: рассматривая f_{R}(z) = f(Rz), получим R^{2}h_{0} ≤ Const · h_{P}, т.е. наша метрика h_{0} может быть определена лишь на диске некоторого ограниченного радиуса, но никак не на всем ℂ. Предложение доказано.

Заметим, что мы передоказали предложение 4.8: действительно, если кокасательное расслоение X обильно, то Σ(L_{m}) - пустое множество для достаточно больших m, то есть, на X не может быть целых кривых.

Следующее обобщение теоремы Богомолова является следствием предложения 5.3 и результатов Макквиллена ([MQ]):

Теорема 5.4 (М. Макквиллен, 1998) Пусть S - поверхность общего типа с c_{1}^{2} > c_{2}. Тогда образ любой целой кривой f : ℂ → S содержится в рациональной или эллиптической кривой на S (напомним, что по теореме Богомолова таких кривых лишь конечное число; другими словами, S “гиперболична вне собственного подмногообразия”.).

Идея доказательства: Неравенство c_{1}^{2} > c_{2} означает, что O_{ℙT X}(1) объемно. То есть, по предыдущему предложению, образ f̃ лежит в дивизоре D ⊂ ℙT X. Пусть D̃ - разрешение особенностей. Если D не доминирует S, то доказывать нечего - образ D в S и будет искомой рациональной или эллиптической кривой. Если D доминирует S, то D̃ общего типа. Кроме того, как мы уже видели, D̃ снабжено тавтологическим слоением, и наша целая кривая - его лист.

Теорема 5.4 теперь следует из другой теоремы Макквиллена:

Теорема 5.5 У слоения на поверхности общего типа нет плотных параболических листов.

Доказать эту теорему трудно, и в наши планы это не входит. Основная идея примерно такова: целой кривой f : ℂ → X можно сопоставить замкнутый положительный поток “интегрирования” по ней. Именно, положим

Φ_{r}(η) = \frac{∫_{0}^{r} \frac{dt}{t} ∫_{D_{t}} f^{∗}(η)}{∫_{0}^{r} \frac{dt}{t} ∫_{D_{t}} f^{∗}(ω)},

где ω - форма, ассоциированная с кэлеровой метрикой. Оказывается, можно выбрать последовательность r_{n} → ∞ так, что предел Φ_{r_{n}} замкнут (“отношение длины к площади стремится к нулю”). Этот предел, априори, зависит от конкретной последовательности (r_{n}), но нам это не важно. Обозначим Φ какойнибудь из таких замкнутых пределов. Важный факт состоит в том, что если Z ⊂ X - не содержащая Im(f) гиперповерхность, то [Φ] · [Z] ≥ 0 (двойное интегрирование используется именно здесь - применяется формула Пуассона-Йенсена). В частности, если Im(f) плотный, то Φ численно эффективен. Если X - поверхность общего типа, то K_{X} объемен. Из этого и из численной эффективности и нетривиальности Φ следует, что K_{X} · [Φ] > 0. Дальше доказывается, что на самом деле K_{X} · [Φ] ≤ 0 - что было бы вполне логично, будь f “честной” рациональной или эллиптической кривой, но в нашем случае это глубоко нетривиальный результат о слоениях.

Отметим, наконец, что в 1990 году Лу и Яу доказали аналогичное 5.4 утверждение с более сильным предположением c_{1}^{2} > 2c_{2}:

Предложение 5.6 Пусть X - минимальная поверхность общего типа с c_{1}^{2} > 2c_{2}. Тогда все голоморфные образы ℂ на X алгебраически вырождены, т.е., содержатся в рациональных или эллиптических кривых.

Их доказательство совсем простое и использует, кроме предложения 5.3, стабильность по Богомолову кокасательного расслоения к поверхности общего типа. А именно: заметив, что образ f содержится в неприводимом дивизоре D ⊂ ℙT X в силу 5.3, Лу и Яу доказывают (используя стабильность и неравенство c_{1}^{2} > 2c_{2}), что O_{ℙT X}(1)|_{D} по-прежнему объемен. Доказательство мы оставим в качестве упражнения.

(Указания: Пусть D ∈ |O_{ℙT X}(k)⊗π^{∗}F^{−1}|. Оцените F K_{X} с помощью стабильности по Богомолову. Выведите отсюда, что L^{2} > 0 (где L = O_{ℙT X}(1)|_{D}). Затем покажите, что L^{−m} ⊗ K_{D} отрицательно пересекается с численно эффективным π^{∗}K_{X}|_{D} и поэтому не может быть эффективен.)

Затем тот же трюк с метриками, что и в доказательстве 5.3, применяется на разрешении особенностей D̃ (вместо ℙT X). В конце концов получается, что образ f должен содержаться в собственном подмногообразии D̃, т.е. в кривой, ч.т.д..

Замечание 5.7: Почти все “очевидные” примеры поверхностей удовлетворяют c_{1}^{2} ≤ 2c_{2}. Тем не менее, можно построить и поверхности с c_{1}^{2} = kc_{2} для всех рациональных 2 < k ≤ 3 (неравенство k ≤ 3 выполнено всегда - это знаменитое неравенство Мияоки-Богомолова): см., например, [S]. Грубо говоря, они получаются заменой базы из очень специального расслоения на кривые (у него c_{1}^{2} = 3c_{2}!) над кривой довольно большого рода. Такие поверхности для нас не особенно интересны: ведь у них большая иррегулярность, и поэтому утверждение следует из много раз доказанной и передоказанной “гипотезы Блоха”. Но существуют и односвязные примеры с k вплоть до 2,7 : они обнаружены Ченом в конце 80-х годов ([Ch]).

6. Расслоения джетов

Эта заключительная часть пректически не содержит полных доказательств. Ее цель - ознакомить читателя с идеями Грина-Гриффитса, Демайи и их последователей о том, как можно получать информацию о целых кривых, используя расслоения джетов.

В предыдущей части мы рассматривали случай, когда расслоение S^{m}Ω_{X}^{1} имеет сечения (и даже достаточно много сечений; но это последнее условие, в принципе, можно ослабить) при больших m. В то же время, для наиболее “очевидных” многообразий - гиперповерхностей - это не так.

Предложение 6.1 Если X_{d} ⊂ ℙ^{n} - гиперповерхность, то H^{0}(X, S^{m}Ω_{X}^{1}) = 0 для любого m > 0.

Доказательство: Имеем точную последовательность Эйлера

0 → Ω_{ℙ^{n}}^{1} → ⊕_{n+1}O_{ℙ^{n}}(−1) → O_{ℙ^{n}} → 0,

и из нее

0 → S^{k}Ω_{ℙ^{n}}^{1} → ⊕_{...}O_{ℙ^{n}}(−k) → ⊕_{...}O_{ℙ^{n}}(1 − k) → 0.

С другой стороны, точно так же из

0 → O_{X}(−d) → Ω_{ℙ^{n}}^{1}|_{X} → Ω_{X}^{1} → 0

получаем

0 → S^{k−1}Ω_{ℙ^{n}}^{1}|_{X} ⊗ O_{X}(−d) → S^{k}Ω_{ℙ^{n}}^{1}|_{X} → S^{k}Ω_{X}^{1} → 0.

Из этих точных последовательностей сразу следует то, что нужно.

Напомним, что в предыдущей части сечения подкруток пучка S^{m}Ω_{X}^{1} использовались для того, чтобы получaть дифференциальные уравнения первого порядка, которым должна удовлетворять целая кривая f : ℂ → X. Грин и Гриффитс обнаружили, что и в отсутствие таких сечений - например, на гиперповерхности X - наша кривая будет удовлетворять алгебраическим дифференциальным уравнениям, порядка два или выше; эти уравнения получаются из сечений пучков “k-джет-дифференциалов” на X. Впоследствии Демайи и Эль Гуль, используя более тонкий вариант конструкции Грина и Гриффитса, доказали гиперболичность общей гиперповерхности степени 21 и выше в ℙ^{3}. Схема доказательства напоминает упомянутый в конце предыдущей части аргумент Лу и Яу, но само доказательство гораздо сложнее технически. Сейчас мы постараемся объяснить, что же примерно там происходит.

Джеты Грина-Гриффитса:

Рассмотрим ростки отображений f : Δ → X:

f(z) = f^{(0)} + f^{(1)}z + … + f^{(k)}z^{k}/k! + …, f^{(0)} = x, f^{(i)} ∈ ℂ^{n}.

Введем отношение эквивалентности на множестве ростков: назовем два ростка эквивалентными, если они совпадают до f^{(k)} включительно. Множество классов эквивалентности обозначим J_{k}(X)_{x}. Пусть J_{k}(X) = ∪_{x∈X}J_{k}(X)_{x}. Имеется естественная проекция J_{k}(X) → X; каждый ее слой J_{k}(X)_{x} естественно изоморфен ℂ^{kn}, но глобально J_{k}(X) не является векторным расслоением на X (функции перехода нелинейны). Имеются также естественные проекции J_{k+1}(X) → J_{k}(X) (“забвение f^{(k+1)}”); это аффинные расслоения (если зафиксировать f^{(i)}, i ≤ k, то f^{(k+1)} ведет себя при замене координат таким же образом, как и касательный вектор). Пусть nc обозначает непостоянные ростки; рассмотрим

P_{k}^{GG}(X) = J_{k}^{nc}(X)/ℂ^{∗},

где ℂ^{∗} действует гомотетиями Δ, то есть

λ(f^{(0)}, f^{(1)}, …, f^{(k)}) = (f^{(0)}, λf^{(1)}, …, λ^{k}f^{(k)}).

P_{k}^{GG}(X) называется расслоением k-джетов Грина-Гриффитса. Очевидно, слои F_{k,n} естественной проекции π_{k}^{GG} : P_{k}^{GG}(X) → X - взвешенные проективные пространства ℙ(1, …, 1, 2 …, 2, …, k, …, k) размерности kn − 1. При k = 1 P_{1}^{GG}(X) = ℙT X.

На слоях F_{k,n} - точнее, на соответствующих аффинных пространствах ℂ^{kn} - можно рассмотреть взвешенно-однородные многочлены степени m, т.е. ϕ такие, что ϕ(λv) = λ^{m}ϕ(v). Такие многочлены с коэффициентами - функциями на X являются сечениями пучков J_{k,m} на X. Например, при k = 1, J_{1,m} = S^{m}Ω_{X}^{1}. При k = 2, сечения J_{2,2} локально записываются как ϕ = ∑ a_{ij}f′_{i}f′_{j} + ∑ b_{i}f′′_{i}. Грин и Гриффитс назвали J_{k,m} пучками k-джет-дифференциалов степени m.

Разумеется, наши многочлены ϕ(v) степени m можно рассматривать и как сечения пучков O_{P_{k}}^{GG}(m) ранга 1 на P_{k}^{GG}(X). Эти пучки не всегда будут обратимыми, поскольку F_{k,n} - взвешенные (а не просто) проективные пространства; но они обратимы, например, если m кратно k!.

На J_{k,m} имеется фильтрация, которая позволяет сосчитать эйлерову характеристику. Она строится так: рассмотрим частичную фильтрацию по степеням f^{(k)}:

J_{k−1,m} = F_{0} ⊂ F_{1} ⊂ … ⊂ F_{[m/k]} = J_{k,m}.

Ее факторы F_{i}/F_{i−1} изоморфны S^{i}Ω_{X}^{1} ⊗ J_{k−1,m−ki}: это следует из того замечания, что f^{(k)} ведет себя как касательный вектор при фиксированных f^{(<k)}. Итерируя процесс, получим в конце концов фильтрацию на J_{k,m} с факторами, изоморфными

S^{i_{1}}Ω_{X}^{1} ⊗ … ⊗ S^{i_{k}}Ω_{X}^{1}, i_{1} + 2i_{2} + … + ki_{k} = m.

Отсюда Грин и Гриффитс вывели, в частности, следующее

Предложение 6.2: Для поверхности X, рассмотрим χ(X, J_{2,m}) как функцию m. Тогда

χ(X, J_{2,m}) = \frac{1}{4^{3}3!}(7c_{1}^{2} − 5c_{2})m^{dim P_{k}^{GG}(X)} + o(m^{dim P_{k}^{GG}(X)}).

Чтобы получить информацию об H^{0}(X, J_{2,m}) для больших m - например, доказать, что O_{P_{2}}^{GG}(m) объемен, если m - большая кратность k! - нужно контролировать H^{2}(X, J_{2,m}). В интересующем нас случае, когда X - общего типа, такой контроль обеспечивается стабильностью по Богомолову. Одно из следствий (или даже часть определения - зависит от выбора точки зрения!) стабильности по Богомолову касательного расслоения к X - это следующее Утверждение 6.3: Если сечение

s ∈ H^{0}(X, S^{i_{1}}T_{X} ⊗ … ⊗ S^{i_{k}}T_{X} ⊗ K_{X}^{(i_{1}+...+i_{k})/2})

обращается в нуль в некоторой точке X, то оно нулевое.

(S^{i_{1}}T_{X} ⊗ … ⊗ S^{i_{k}}T_{X} ⊗ K^{(i_{1}+...+i_{k})/2} - это в точности подкрутка S^{i_{1}}T_{X} ⊗ … ⊗ S^{i_{k}}T_{X} с нулевым детерминантом).

Значит, если q < (i_{1} + … + i_{k})/2, то H^{0}(X, S^{i_{1}}T_{X} ⊗ … ⊗ S^{i_{k}}T_{X} ⊗ K_{X}^{q}) = 0. Дуализируя, получим, что H^{2}(X, S^{i_{1}}Ω_{X}^{1} ⊗ … ⊗ S^{i_{k}}Ω_{X}^{1}) при i_{1} + … + i_{k} > 2, т.е.

H^{2}(X, J_{k,m}) = 0, m > 2k.

То есть, расслоение O_{P_{2}}^{GG}(m) на P_{2}^{GG} действительно будет объемным для достаточно больших m, кратных k!, при условии, что c_{1}^{2} > 5c_{2}/7.

Напомним, что для гиперповерхности степени d в ℙ^{3}

c_{1}^{2} = d(d − 4)^{2}; c_{2} = d(d^{2} − 4d + 6);

значит, последнее утверждение выполняется начиная с d = 16.

Пусть теперь f : ℂ → X - голоморфное отображение. Очевидно, f поднимается на P_{2}^{GG} посредством первой и второй производных: f_{2} : ℂ → P_{2}^{GG}(X). В этой ситуации можно доказать аналог Предложения 5.3: образ f_{2} попадет в “плохое множество” для O_{P_{2}}^{GG}(m) ⊗ (π_{k}^{GG})^{∗}A^{−1}, где A обилен на X (на самом деле он попадет и в базисное множество, но для того, чтобы это доказать, нужна теория Неванлинны). Значит, можно сделать такое

Заключение 6.4: При d ≥ 16, образ f_{2} лежит в собственном подмногообразии P_{2}^{GG}(X); другими словами, кривая f удовлетворяет некоторым алгебраическим дифференциальным уравнениям второго порядка.

К сожалению, мы не можем сказать ничего особенного про наше собственное подмногообразие - оно может быть весьма большим, например, четырехмерным! А нам бы хотелось, как и в предыдущей части, посадить образ f_{2} на алгебраическую поверхность и использовать теорему МакКвиллена. Но джетов Грина-Гриффитса просто “слишком много” для того, чтобы этого добиться. Демайи предложил более экономичную конструкцию “джетов Семпла-Рота”; ее недостаток в том, что описать джеты Семпла-Рота в терминах, удобных для вычисления эйлеровой характеристики, в общем случае значительно труднее, чем описать джеты Грина-Гриффитса. В интересующем нас сейчас случае 2-джетов такой проблемы, впрочем, не возникает.

Джеты Семпла-Рота-Демайи:

Грубо говоря, это фактор J_{k}(X) по всем росткам замен координат на Δ (а не только по гомотетиям). Конечно, такого фактора на самом деле не существует; поэтому берется некоторая открытая часть J_{k}^{reg}, фактор J_{k}^{reg}/𝔾_{k} (где 𝔾_{k} - группа ростков биголоморфных отображений Δ в себя) и компактификация X_{[k]}. На самом деле X_{[k]} можно построить и другим способом - потребовав, чтобы все отображения из ℂ в X поднимались на X_{[k]}. Вот как это делается в [D]:

Рассмотрим пару (X, V), V ⊂ T_{X}. По такой паре построим новую пару (X̃, Ṽ), Ṽ ⊂ TX̃: положим

X̃ = ℙ(V); π : X̃ → X; Ṽ_{x,[v]} = {ξ ∈ T_{X̃,(x,[v])}|π_{∗}ξ ∈ ℂv}.

Очевидно, если образ f : ℂ → X касателен к V, то отображение f поднимается до f̃ : ℂ → X̃ (с помощью производной), и образ f̃ будет касателен к Ṽ.

Положим теперь X_{0} = X; V_{0} = T_{X}; определим (X_{[k]}, V_{[k]}) как (X̃_{[k−1]}, Ṽ_{[k−1]}). Пусть π_{0,k} : X_{[k]} → X, π_{l,k} : X_{[k]} → X_{[l]} - естественные проекции.

Пусть O_{X_{[k]}}(1) - тавтологическое линейное расслоение на X_{[k]}, рассматриваемом как проективное расслоение над X_{[k−1]}. Обозначим E_{k,m} = (π_{0,k})_{∗}O_{X_{[k]}}(1).

Имеет место аналог предложения 5.3:

Предложение 6.5 Пусть f : ℂ → X - целая кривая и f_{[k]} : ℂ → X_{[k]} - ее поднятие на X_{[k]}. Тогда для обильного A на X и любого m > 0, образ f_{[k]} лежит в Σ(O_{X_{[k]}}(m) ⊗ A^{−1}).

Можно показать, что сечения E_{k,m} - это 𝔾_{k}-инвариантные k-джет-дифферен-циалы степени m на X: то есть, X_{[k]} действительно является “фактором” расслоения джетов Грина-Гриффитса по действию 𝔾_{k} (а точнее, ядра отображения первой производной в нуле из 𝔾_{k} в ℂ^{∗}). При k = 1 это, конечно, снова просто S^{m}Ω_{X}^{1}. Для произвольного k описать E_{k,m} непросто, но для k = 2 на E_{2,m} имеется фильтрация с факторами, изоморфными S^{m−3j}Ω_{X}^{1} ⊗ K_{X}^{j} ([D]). Как и раньше, из этого легко выводится следующее:

Предложение 6.6 Пусть X- поверхность общего типа. Расслоение O_{X_{[2]}}(1) объемно при c_{1}^{2} ≥ 9c_{2}/13; если X - гиперповерхность в ℙ^{3}, последнее означает, что степень X не меньше 15.

Из 6.5 и 6.6 получаем, что для любой целой кривой f : ℂ → X, образ f_{[2]} : ℂ → X_{[2]} лежит на собственном подмногообразии D ⊂ X_{[2]}. Многообразие X_{[2]} четырехмерно; для того, чтобы воспользоваться теоремой МакКвиллена, нам нужно показать, что если D трехмерно и доминирует X, то образ f_{[2]} не может быть плотен в D. Демайи и Эль Гуль [DEG] доказывают (используя не только стабильность по Богомолову, но и, например, тот факт, что P ic(X) = ℤ для общей гиперповерхности степени не менее 4 в ℙ^{3}), что O_{X_{[2]}}(1)|_{D} объемен при d ≥ 21. Как уже говорилось в предложении 5.6, из этого выводится, что образ f_{[2]} : ℂ → X_{[2]} лежит в собственном подмногообразии D, т.е. на поверхности; а теперь уже применима теорема Макквиллена - получаем, что образ f : ℂ → X должен содержаться в рациональной или эллиптической кривой на X. Но, как мы выяснили в первой части, таких кривых на общей X не бывает. Таким образом, Демайи и Эль Гуль доказали следующий результат:

Теорема 6.7 ([DEG ]): Общая поверхность степени d в ℙ^{3} гиперболична по Кобаяши, если d ≥ 21.

Список литературы

[B] Ф.А. Богомолов: Семейства кривых на поверхности общего типа, Доклады АН СССР 236 (1977), номер 5, 1041–1044.

[Br] M. Brunella: Birational geometry of foliations. ЛЕЖИТ В СЕТИ:

http://www.impa.br/opencms/pt/downloads/birational.pdf

[Cl] H. Clemens: Curves on generic hypersurfaces, Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. (4) 19 (1986), no. 4, 629–636.

[Ch] Z. Chen, On the geography of surfaces, Math. Ann. 277 (1987), 141-164.

[D] J.-P. Demailly, Algebraic criteria for Kobayashi hyperbolicity and jet differentials, Algebraic geometry Santa Cruz 1995, 285–360, Proc. Sympos. Pure Math., 62, Part 2, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1997. ЛЕЖИТ В СЕТИ:

http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/˜ demailly/manuscripts/hypb.ps.gz

[Deb] O. Debarre, Hyperbolicity of complex varieties. ЛЕЖИТ В СЕТИ:

http://www-irma.u-strasbg.fr/˜ debarre/DebarreCourse.pdf

[DEG] J.-P. Demailly, J. El Goul: Hyperbolicity of generic surfaces of high degree in projective 3-space, Amer. J. Math. 122 (2000), no. 3, 515–546. ЛЕЖИТ В СЕТИ: arXiv.org, math.AG/9804129.

[E] L. Ein: Subvarieties of generic complete intersections, Invent. Math. 94 (1988), no. 1, 163–169.

[GG] M. Green, Ph. Griffiths: Two applications of algebraic geometry to entire holomorphic mappings, The Chern Symposium 1979 (Proc. Internat. Sympos., Berkeley, Calif., 1979), pp. 41–74, Springer, New York-Berlin, 1980

[J] J.-P. Jouanolou: Hypersurfaces solutions d’une équation de Pfaff analytique, Math. Ann. 232 (1978), no. 3, 239–245

[L] S. Lang: Introduction to complex hyperbolic spaces, Springer-Verlag, New York, 1987

[M] Д. Мамфорд, Лекции о кривых на алгебраической поверхности.

[MD] M. Martin-Deschamps: Courbes de genre géométrique borné sur une surface de type général [d’après F. A. Bogomolov]. Séminaire Bourbaki (1977/78), Exp. No. 519, pp. 233–247, Lecture Notes in Math., 710, Springer, Berlin, 1979

[MQ] M. McQuillan: Diophantine approximations and foliations, Publ. Math. IHES 87 (1998), 121–174.

[N] J. Noguchi: A short analytic proof of closedness of logarithmic forms, Kodai Math. J. 18 (1995), 295-299.

[R1] H. Royden: Remarks on the Kobayashi metric. Several complex variables, II (Proc. Internat. Conf., Univ. Maryland, College Park, Md., 1970), pp. 125–137. Lecture Notes in Math., Vol. 185, Springer, Berlin, 1971

[R2] H. Royden: The extension of regular holomorphic maps. Proc. Amer. Math. Soc. 43 (1974), 306–310.

[S] A. J. Sommese: On the density of ratios of Chern numbers of algebraic surfaces, Math. Ann. 268 (1984), 207-222.

[Sh] Б.В. Шабат, Введение в комплексный анализ.

[V] C. Voisin: On a conjecture of Clemens on rational curves on hypersurfaces, J. Differential Geom. 44 (1996), no. 1, 200–213; erratum: J. Differential Geom. 49 (1998), no. 3, 601–611.

[W] J. Winkelmann: A projective manifold where Brody and entire curves behave very differently, arXiv, math.CV/0511142.

[X] G. Xu: Divisors on generic complete intersections in projective space. Trans. Amer. Math. Soc. 348 (1996), no. 7, 2725–2736.