\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[koi8-r]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\textwidth 15cm
\oddsidemargin 0.5cm
\textheight 22 cm
\def \C{{\mathbb C}}
\def \R{{\mathbb R}}
\def \Z{{\mathbb Z}}
\def \p{{\mathbb P}}
\def \Q{{\mathbb Q}}
\def \N{{\mathbb N}}

\begin{document}
\title{Гиперболичность по Кобаяши: некоторые алгебро-геометрические аспекты}

\author{Екатерина Америк}
\date{}
\maketitle

Это - записки лекций, прочитанных мною в НМУ осенью 2006 года. Понятие
гиперболичности по Кобаяши - вариант понятия ``отрицательной кривизны'',
естественно возникающий в комплексном анализе. Известно, что
для компактных многообразий гиперболичность по Кобаяши эквивалентна отсутствию
целых кривых (т.е. голоморфных образов $\C$; доказательство будет изложено
в части 4). Мы увидим, как доказывать гиперболичность в некоторых простых
и не очень простых случаях. 

Вначале мы изучим чисто алгебраическую 
ситуацию: как доказать отсутствие на проективном многообразии рациональных и эллиптических кривых,
или, скажем, то, что такие кривые содержатся в собственном подмногообразии?
Мы поступим так в том числе и потому, что некоторые основные идеи, 
использующиеся при изучении
гиперболичности - это трансцедентные аналоги соответствующих алгебраических
методов.

Эти записки довольно сильно пересекаются с текстом \cite{Deb}; надеюсь, они
все-таки столь же сильно от него отличаются. Среди других источников
упомянем прежде всего \cite{D} и \cite{L}. 

\

{\bf 1. Подмногообразия общих гиперповерхностей в проективном пространстве}

\

Гиперповерхности степени $d$ в $\p^n$ параметризуются проективным пространством
$\p^{N_d}=\p(H^0(\p^n, {\cal O}_{\p^n}(d)))$ (иногда нам будет удобнее 
параметризовать
не сами гиперповерхности, а задающие их многочлены, и тогда пространством
параметров будет $S^d=H^0(\p^n, {\cal O}_{\p^n}(d))$). Под ``общей 
гиперповерхностью'' мы будем понимать такую гиперповерхность, что 
соответствующая ей точка $\p^{N_d}$ лежит в дополнении к счетному объединению
некоторых (очевидных из ситуации) собственных подмногообразий. Таким
образом, выражение ``для общей гиперповерхности верно А'' означает, что
те гиперповерхности, для которых А может оказаться неверным,
параметризуются 
счетным
объединением собственных замкнутых подмножеств в $\p^{N_d}$.

Первый результат об отсутствии рациональных (и эллиптических) кривых на
общей гиперповерхности принадлежит Клеменсу (1986), \cite{Cl}:

\medskip

{\bf Теорема 1.1} {\it На общей гиперповерхности $X_d$ степени $d$ в $\p^n$, $n\geq 3$,
 нет
рациональных кривых, если $d\geq 2n-1$}. 

\medskip

Тогда же Клеменс предложил такую гипотезу:

\medskip

{\it При $n\geq 4$ это верно и если $d\geq 2n-2$}.

\medskip

(Эта гипотеза была впоследствии доказана Клэр Вуазен, к чему мы ещё вернемся).

Заметим, что при $d= 2n-3$ рациональные кривые на $X_d$, конечно, есть -
например, прямые. В самом деле, рассмотрим многообразие инцидентности
$F\subset Grass(1,n)\times \p^{N_d}$: $F=\{(l,X)|l\subset X\}$. Слой $F_l$
над $l\in Grass(1,n)$ имеет коразмерность $h^0(\p^1,{\cal O}_{\p^1}(d))= d+1$ из точной последовательности
$$0\rightarrow {\cal I}_l(d)\rightarrow {\cal O}_{\p^n}(d)\rightarrow
{\cal O}_{l}(d)\rightarrow 0;$$ 
так что из соображений размерности получаем, что общая гиперповерхность
$X_d\subset\p^n$ содержит прямые тогда и только тогда, когда $d+1\leq 
dim(Grass(1,n))=2n-2$.

Естественно предположить, что при $d= 2n-3$ рациональных кривых на общей $X_d$
имеется лишь счетное число, т.е., имеется лишь конечное число рациональных
кривых заданной степени; но это трудная задача - знаменитая гипотеза Клеменса.
Видимо, из-за нее теорему Клеменса и формулируют как утверждение об
отсутствии рациональных кривых; на самом же деле Клеменс доказал более
общее утверждение:

\medskip

{\bf Теорема 1.1А} {\it Для кривой $C$ на общей $X_d$ имеем} 
$$H^0(\tilde{C}, K_{\tilde{C}}\otimes \sigma^*{\cal O}_{\p^n}(2n-d-1))\neq 0,$$
{\it где $\sigma:\tilde{C}\rightarrow C$ - нормализация.}

\medskip

Почему в такой формулировке результат Клеменса интереснее? Например,
отсюда видно, что при $d\geq 2n$ на общей $X_d$ нет и эллиптических кривых; и
вообще, $deg(K_{\tilde{C}})\geq (2n-d-1)deg(C)$. То есть, при $d\geq 2n$,
для любой кривой $C\in X_d$
$$2g(\tilde{C})-2\geq \epsilon deg(C),$$
где $\epsilon$ - некоторая положительная константа, не зависящая от $C$.
Это свойство $X_d$ называется {\it алгебраической гиперболичностью}. Мы увидим,
что алгебраическая гиперболичность - следствие гиперболичности по Кобаяши.

Гипотеза Кобаяши утверждает, что общая $X_d\subset \p^n$ гиперболична при
$d\geq 2n-1$. Несмотря на то, что результат Клеменса о рациональных кривых 
был улучшен Эйном \cite{E}, Су (Xu) \cite{X} и Вуазен \cite{V}, алгебраическая 
гиперболичность общей
гиперповерхности степени $2n-1$, кажется, пока не доказана даже для $n=3$.

Л. Эйн \cite{E} обобщил теорему Клеменса следующим образом:

\medskip

{\bf Теорема 1.2} {\it Пусть $X$ - общее полное пересечение типа 
$(d_1,\dots, d_k)$ в $\p^n$, $d=\sum d_i$, а $Z\subset X$ - подмногообразие. 
Пусть
$m_0$ - наименьшее число, удовлетворяющее $H^0(\tilde{Z}, K_{\tilde{Z}}\otimes
\sigma^*{\cal O}(m_0))\neq 0$ (здесь $\sigma:\tilde{Z}\to Z$ -
разрешение особенностей $Z$). Тогда 
$m_0\leq 2n-k-d+1-dim(Z)$.}

\medskip

(Таким образом, в случае гиперповерхности имеем $m_0\leq 2n-d-dim(Z)$.)

Для дивизоров имеется также некоторое усиление ``граничного случая'' 
этого результата, принадлежащее Су \cite{X}:

\medskip

{\it В условиях Теоремы 1.2, если $d=n+2$, a $Z$ - дивизор на $X$, то
$p_g(\tilde{Z})\geq n-1$}.

\medskip

В частности, на общей квинтике в $\p^3$ нет эллиптических кривых.

Общий принцип доказательства похожих утверждений был предложен Вуазен \cite{V}.
Для простоты обозначений мы будем рассматривать только случай, когда $X$ -
 гиперповерхность
(хотя аналогичное доказательство теоремы 1.1А проходит и для полных 
пересечений).
 
Прежде, чем обратиться к доказательствам, обсудим, что означают слова 
``подмногообразие общей гиперповерхности'': грубо говоря, 
``общая гиперповерхность $X$ 
содержит $Z$'' значит, что $Z$ деформируется вместе с $X$. Точнее - 
всевозможные подмногообразия $Z$ в $\p^n$ параметризуются схемой Гильберта,
которая состоит из счетного числа неприводимых компонент. Для фиксированного 
$Z_0$ рассмотрим соответствующую компоненту $Hilb(Z_0)$ и подмногообразие 
$I\subset Hilb(Z_0)\times \p^{N_d}$: $I=\{(t,u)|Z_t\subset X_u\}$ (здесь мы 
предполагаем для простоты, что $Z_0$ соответствует достаточно общей точке 
$Hilb(Z_0)$). $Z_0$ ``лежит
на общей гиперповерхности'', если и только если $I$ доминирует $\p^{N_d}$.
(Именно так и возникает дополнение к счетному числу собственных замкнутых
подмножеств в определении ``общности'': мы должны выкинуть образы 
всевозможных $I$, не доминирующих $\p^{N_d}$.)

Обозначим ${\cal X}\subset \p^{N_d}\times \p^n$ универсальную гиперповерхность
степени $d$ (как подмногообразие $\p^{N_d}\times \p^n$, наша ${\cal
  X}$, естественно, имеет бистепень $(1,d)$) .
Если $Z$ лежит на общей гиперповерхности, то, выбирая мультисечение
относительной схемы Гильберта над открытым подмножеством $\p^{N_d}$ и отбрасывая его ветвление,
получим этальный (не сюръективный) морфизм $\tau: U\rightarrow \p^{N_d}$,
такой, что ${\cal X}_U:={\cal X}\times_{\p^{N_d}} U$ содержит ``универсальное
подмногообразие'' ${\cal Z}_U$ (слой ${\cal Z}_U$ над точкой $t\in \p^{N_d}$ -
это $Z_t$, деформация $Z$, содержащаяся в гиперповерхности $X_t$).
Для простоты обозначений мы не будем различать ${\cal X}$ и ${\cal X}_U$ 
(это действительно несущественно для наших приложений); иными словами,
мы будем вести себя так, как если бы наше ``универсальное подмногообразие'' 
было определено уже над открытым подмножеством в $\p^{N_d}$.

Покажем, следуя Вуазен, что теорема 1.1А следует из такого утверждения:

\medskip

{\bf Предложение 1.3} {\it Рассмотрим универсальную гиперповерхность}
$${\cal X}\subset H^0(\p^n, {\cal O}_{\p^n}(d))\times {\p^n},$$ {\it где
$d\geq 2$, $n\geq 3$. Предположим, кроме того, что $H^0(X_t, T_{X_t}(1))=0$.
Тогда для гладкой $X_t$ расслоение $T{\cal X}(1)|_{X_t}$ порождается 
глобальными сечениями}.

\medskip

Здесь и далее $T{\cal X}(1)$ - это $T{\cal X}\otimes p^*{\cal O}_{\p^n}(1)$,
где $p:{\cal X}\to \p^n$ - проекция.

Заметим, что последнее условие $H^0(X_t, T_{X_t}(1))=0$ заведомо выполнено в
интересующем нас случае, когда $X_t$ общего типа (т.е. $d>n+1$). Это следует
из того, что $H^0(X_t, T_{X_t}\otimes K_{X_t})=H^0(X_t, \Omega^{n-2}_{X_t})=0$
по теореме Лефшеца о гиперплоском сечении.

\medskip

{\it Вывод 1.2 из 1.3:}

Пусть ${\cal Z}\subset {\cal X}$ - универсальное подмногообразие, а 
$\sigma:\tilde{{\cal Z}}\rightarrow {\cal Z}$ - какое-нибудь разрешение
особенностей. Предположим, что для некоторого числа $a$ расслоение
$\Omega^{dim({\cal Z})}_{\cal X}|_{X_t}(a)$ порождено глобальными
сечениями. Поскольку отображение ограничения
$$\Omega^{dim({\cal Z})}_{\cal X}|_{X_t}(a)\rightarrow 
\Omega^{dim({\cal Z})}_{\tilde{{\cal Z}}}|_{\tilde{Z}_t}(a)\cong K_{\tilde{Z}_t}(a)$$
сюръективно в общей точке, то $K_{\tilde{Z}_t}(a)$ должно иметь сечения.

Пусть $l=codim(Z,X)$; из предложения 1.3, $\Lambda^lT{\cal X}|_{X_t}(l)$
глобально порождено. Поскольку $K_{\cal X}|_{X_t}=K_{X_t}=
{\cal O}_{X_t}(d-n-1)$, имеем

$$\Lambda^lT{\cal X}|_{X_t}(l)\cong
\Lambda^{dim({\cal Z})}\Omega_{\cal X}|_{X_t}(l-d+n+1),$$
то есть, в качестве $a$ можно взять $l-d+n+1=2n-d-dim(Z)$, что и требовалось
доказать.

\medskip

Предложение 1.3 доказывается достаточно элементарно; доказательство
состоит в подсчете разности размерностей $H^0(T{\cal X}(1)|_{X_t})$ и
$H^0(T{\cal X}(1)|_{X_t}\otimes I_x)$, где $x$ - точка $X_t$, а $I_x$ -
ее пучок идеалов (для глобальной порожденности нeобходимо и достаточно, 
чтобы эта разность
была равна $rg(T{\cal X})=dim(S^d)+n-1$ для любой точки $x$). Вместо того,
чтобы приводить здесь это доказательство (проходящее и для полных
пересечений), мы изложим несколько более естественный аргумент ,
который хорошо работает для гиперповерхностей. 

Рассмотрим т.н. ``вертикальную
компоненту'' $T{\cal X}^{vert}$ расслоения $T{\cal X}$: это просто касательное 
расслоение
вдоль слоев проекции $p :{\cal X}\rightarrow \p^n$, так что 
$$0\rightarrow T{\cal X}^{vert}|_{X_t}\rightarrow T{\cal X}|_{X_t} \rightarrow
T\p^n|_{X_t}\rightarrow 0.$$ Заметим, что можно предполагать, что наше 
``универсальное подмногообразие'' ${\cal Z}\subset {\cal X}$ GL-инвариантно
(по отношению к естественному действию $GL$ на $\p^n\times S^d$: 
$g(x, F)=(gx, F\circ g^{-1})$). Из этого сразу следует, что
$T{\cal Z}$ сюръективно отображается на $T\p^n$, то есть, 
``вертикальная коразмерность'' ${\cal Z}$ в ${\cal X}$ - а именно,
$codim (T{\cal Z}^{vert}, T{\cal X}^{vert})$ - 
равна $codim({\cal Z},{\cal X})$. 

Отсюда легко выводится, что вместо предложения 1.3 нам достаточно
такого:

\medskip

{\bf Предложение 1.3А} {\it $T{\cal X}^{vert}(1)|_{X_t}$ порождается
глобальными сечениями}.

\medskip

Действительно, пусть $l=codim({\cal Z},{\cal X})$; сечения $\Lambda^lT{\cal X}^{vert}(l)|_{X_t}$
можно вычислять на ``вертикальных
компонентах'' касательных плоскостей к ${\cal Z}$ в точках $Z_t$, поскольку коразмерность
этих компонент правильна. Из глобальной порожденности
$\Lambda^lT{\cal X}^{vert}(l)|_{X_t}$
следует, что для гладкой точки $z\in  Z_t$, найдется сечение
$s\in H^0(\Lambda^lT{\cal X}^{vert}(l)|_{X_t})$, ненулевое на $T_z{\cal
  Z}^{vert}$.
Применяя, как и выше, двойственность, а потом ограничение на ${\cal
  Z}$, получим ненулевое сечение должным образом подкрученного
$K_{\tilde{Z}_t}$.

\medskip

{\it Доказательство 1.3А:} Из ${\cal X}\subset \p^n\times S^d$ имеем
$$0 \rightarrow T{\cal X}|_{X_t}\rightarrow T\p^n|_{X_t}\oplus 
(S^d\otimes {\cal O}_{X_t})\rightarrow {\cal O}_{X_t}(d)\rightarrow 0,$$
поскольку ${\cal O}_{X_t}(d)$ - это ограничение на ${X_t}$ нормального
расслоения ${\cal X}$ в $\p^n\times S^d$. Отсюда и из 
$$0\rightarrow T{\cal X}^{vert}|_{X_t}\rightarrow T{\cal X}|_{X_t} \rightarrow
T\p^n|_{X_t}\rightarrow 0$$ имеем, что 
$T{\cal X}^{vert}|_{X_t}\cong M^d_{\p^n}|_{X_t}$, где $M^d_{\p^n}$ - ядро
отображения вычисления глобальных сечений ${\cal O}_{\p^n}(d)$:
$$0\rightarrow M^d_{\p^n} \rightarrow S^d\otimes {\cal O}_{\p^n}\rightarrow 
{\cal O}_{\p^n}(d)\rightarrow 0.$$

Значит, достаточно доказать, что $M^d_{\p^n}(1)$ порождается
глобальными сечениями.А это следует, например, из его 0-регулярности
в смысле Кастельнуово-Мамфорда (которая, в свою очередь, очевидна из
точной последовательности, определяющей $M^d_{\p^n}$). Напомним
(см., например, \cite{M}), что пучок $F$ на $\p^n$ {\it $m$-регулярен по
Кастельнуово-Мамфорду}, если для всех $i>0$ выполнено условие
$H^i(\p^n, F(m-i))=0$; индукцией по $n$ доказывается, что если $F$ 
$m$-регулярен, то $F(l)$ порождается
глобальными сечениями при $l\geq m$. Итак, предложение 1.3А, а с ним и
теорема Эйна, доказано.

\medskip

{\bf Замечания (некоторые из них очень длинные!):}

\medskip

1) Оценка Эйна для $m_0$ не оптимальна; хотелось бы, конечно, улучшить ее на 1.
В случае, когда ${\cal Z}$ - дивизор, это очень трудно, если и возможно:
так, из улучшенного варианта, полагая $n=4$ и $d=5$, мы получили бы, что
на общей квинтике в $\p^5$ не существует дивизора, покрытого рациональными
кривыми - а это и есть гипотеза Клеменса о конечности числа рациональных
кривых заданной степени на такой квинтике.

2) Клэр Вуазен попыталась ``уменьшить $m_0$ на 1'' в случае 
$codim({\cal Z})\geq 2$, рассматривая расслоение 
$\Lambda^2T{\cal X}(1)|_{X_t}$. Это бы полностью удалось, если бы было
верно, что $H^0(\Lambda^2T{\cal X}(1)|_{X_t})$ не имеет базисных точек на множестве
GL-инвариантных подпространств коразмерности 2 в $T{\cal X}|_{X_t}$  - на
этот раз
мы получили бы сечение подкрученного канонического класса из сечений
$$\Lambda^{codim(Z, X)}T{\cal X}(codim(Z,X)-1)|_{X_t},$$ т.е. подкрутка 
оказалась бы на единицу меньше. К сожалению, утверждение неверно: в ${\cal X}$
есть довольно много (GL-инвариантных) подмногообразий ${\cal Z}$, таких, что
ограничение сечений ``должным образом'' подкрученных дифференциальных форм
с ${\cal X}$ на ${\cal Z}$ - нулевое.

Такие подмногообразия легко строятся для небольших $d$. Вот самый элементарный

\medskip

{\it Пример 1}: пусть $k$ - натуральное число, а $d=2n-2-k$. Рассмотрим 
$P_t\subset X_t$ - подмногообразие, заметаемое прямыми. Подсчет размерностей
(как после формулировки теоремы 1.1)
показывает, что $dim(P_t)=k$. Рассмотрим универсальное 
${\cal P}\subset {\cal X}$. Если бы $\Lambda^2T{\cal X}(1)|_{X_t}$ порождалось
глобальными сечениями, то же было бы верно и для 
$$\Lambda^{n-1-k}T{\cal X}(n-2-k)|_{X_t}\cong 
\Lambda^{dim({\cal P})}\Omega_{\cal X}(1)|_{X_t},$$
то есть, у расслоения $K_{\tilde{P_t}}(1)$ были бы сечения, а это невозможно,
так как $P_t$ заметается прямыми.

\medskip

Вот ``лучший'' пример из \cite{V} (лучший он потому, что эту конструкцию
можно обобщить на произвольные $d$, см. \cite{V}):

\medskip

{\it Пример 2}: Рассмотрим $Q_t\subset X_t$ - подмножество точек $x$, таких,
что для некоторой прямой $l$ имеем $X_t\cap l=dx$. Это семейство рационально
эквивалентных $0$-циклов на $X_t$. Аналогичный подсчет размерностей показывает
$dim(Q_t)=2n-d-1$. Пусть ${\cal Q}\subset {\cal X}$ 
универсальное подмногообразие и $d=2n-1-k$. Тогда 
$$\Lambda^{n-1-k}T{\cal X}(n-2-k)\cong 
\Lambda^{dim({\cal P})}\Omega_{\cal X}.$$
Теперь сошлемся на одно полезное при работе с алгебраическими циклами 
утверждение
(по-видимому, впервые появившееся в работах Блоха):

\medskip

{\bf Предложение 1.4} {\it Пусть $W$ - гладкое неприводимое семейство 0-циклов 
на ${\cal X}$, а $Y\subset X\times W$ - 
его график
(``универсальный цикл''). Предположим, что все циклы из $W$ рационально 
эквивалентны циклам с носителем на подмногообразии $X_0$ размерности $m_0$.
Тогда цикл $Y$ рационально эквивалентен сумме $Y'+Y''$, где $Y'$ -
$dim(W)$-цикл на $X_0\times W$, а $Y''$ -
$dim(W)$-цикл на $X\times W'$, где $W'$ - собственное подмногообразие $W$.
 
В частности,  отображение
$$[Y]^*:H^0(X, \Omega_X^m)\rightarrow H^0(W, \Omega_W^m)$$
нулевое для $m>m_0$.}

\medskip

``Наше'' $m_0$ равно размерности пространства параметров $dim(S^d)$, а 
 $W$ является разрешением особенностей ${\cal Q}$.

Вуазен доказала, что при $d=2n-2$ это - ``единственная неприятность'',
и проверила, что геометрический род $Q_t$ положителен. Таким образом,
гипотеза Клеменса об отсутствии рациональных кривых на гиперповерхности
степени $2n-2$ в $\p^n$, $n\geq 4$, верна. К сожалению, для больших $d$
базисное множество $H^0(\Lambda^2T{\cal X}(1)|_{X_t})$ довольно велико;
так что улучшить на 1 оценку в теореме 1.2 (при $n\geq 4$)
вышеописанным способом не удается.

3) При $d=2n$ имеем, что для любого $Z$ на общей $X$, $H^0(\tilde{Z}, 
K_{\tilde{Z}}\otimes \sigma^*{\cal O}_Z(-1))\neq 0$ (где 
$\sigma:\tilde{Z}\rightarrow Z$ - разрешение особенностей). Из этого сразу
следует, что все подмногообразия $X$ - общего типа. В самом деле, расслоение
$L=\sigma^*{\cal O}_Z(1)$ {\it объемно} как бирациональный прообраз обильного,
т.е. $h^0(\tilde{Z}, L^{\otimes m})$ растет как $m^{dim(\tilde{Z})}$;
очевидно, что сумма эффективного и объемного дивизоров объемна, т.е.
$K_{\tilde{Z}}$ объемен, что и означает, что $Z$ общего типа. Одна из 
гипотез Ленга утверждает, что из этого должна следовать
гиперболичность по Кобаяши.

\

{\bf 2. Теорема Богомолова о конечности числа рациональных и 
эллиптических кривых на поверхности общего типа с} $c_1^2>c_2$

\

Цель этой лекции - доказать следующий факт:

\medskip

{\bf Теорема 2.1 (Богомолов)} {\it Пусть $X$ поверхность общего типа, причем
$c_1^2(X)>c_2(X)$. Тогда для любого $g$, 
семейство кривых геометрического рода $g$ на $X$ ограничено.}

\medskip

Другими словами, такие кривые параметризуются конечным числом
неприводимых алгебраических
многообразий. 

В частности, на $X$ лишь конечное число рациональных или эллиптических 
кривых: действительно, поскольку $X$ общего типа, она не может
заметаться ни рациональными, ни эллиптическими кривыми, так что все такие
кривые на $X$ изолированы; значит, по теореме 2.1 их конечное число.

Условие, что $X$ общего типа, существенно. Действительно, на $\p^2$ есть 
особые рациональные кривые произвольно большой степени
(поскольку вообще любая кривая проектируется на $\p^2$ с некоторым числом
двойных точек); Мори и Мукаи показали, что то же верно для достаточно общей
К3-поверхности, например, общей квартики в $\p^3$. 

Теорема 2.1 - это первая часть основного утверждения работы \cite{B}.
Вторая часть - это утверждение об ограниченности семейства кривых на 
{\it произвольной} поверхности общего типа, инварианты которых как вложенных
кривых удовлетворяют некоторым неравенствам. Например, эта вторая часть
утверждает, что число кривых с отрицательным квадратом на поверхности
общего типа конечно.

Последнее тоже неверно для произвольной поверхности. Классический пример -
это раздутие $\p^2$ в девяти точках, являющихся базисным множеством
достаточно общего пучка
кубик. Каждая исключительная прямая будет сечением получившегося расслоения
на эллиптические кривые. Приняв одно такое сечение за ``нулевое'', 
получим бесконечное множество $(-1)$-кривых, послойно применяя групповую 
операцию к оставшимся восьми.

Здесь мы подробно изложим доказательство теоремы 2.1 (следуя, в основном, 
\cite{MD}) и укажем, как 
доказывается утверждение о кривых с отрицательным квадратом.

Вот основная идея доказательства 2.1: неравенство $c_1^2(X)>c_2(X)$
означает, что тавтологическое расслоение ${\cal O}_{\p TX}(1)$ на 
проективизации касательного расслоения к $X$ - объемно. $\p TX$ отображается
в проективное пространство линейной системой сечений ${\cal O}_{\p TX}(m)$
для достаточно большого $m$, и затем отдельно изучается семейство
кривых рода $g$, не лежащих в множестве неопределенности, и кривые, в нем
лежащие. 

Поскольку понятие объемности будет важно и далее, то прежде, чем начать
доказывать теорему 2.1, мы сделаем небольшое отступление на эту тему. Оно
совершенно элементарно; но, на мой взгляд, все это важно хорошо понимать.

\

{\it Небольшое отступление об объемных дивизорах}

\

Пусть $X$ - неприводимое проективное многообразие размерности $n$,  $D$ - 
$\Q$-дивизор Картье на $X$, а $L$ - соответствующее линейное расслоение
${\cal O}_X(D)$. 
Рассмотрим множество 
$$N(X,D)=\{m\in \N|h^0(X, L^{\otimes m})\neq 0\}.$$
Ясно, что все элементы  этого множества - кратности некоторого числа $e(L)$,
их наибольшего общего делителя; и, наоборот, все достаточно большие кратности
$e(L)$ попадут в $N(X,D)$.

\medskip

{\it Определение:} Дивизор $D$ называется объемным, если для некоторого
положительного $C$ и всех $m>>0$, $m\in N(X,D)$, верно, что
$h^0(X, L^{\otimes m})\geq Cm^n$.

\medskip

{\bf Утверждение 2.2:} {\it Следующие условия эквивалентны:

1) $D$ объемен;

2) при $m>>0$, $m\in N(X,D)$, верно, что $mD\sim A+E$, где $A$ обилен, а 
$E$ эффективен; более того, $A$ можно выбирать произвольно;

3) при $m>>0$, $m\in N(X,D)$, рациональное отображение
$$\phi_{|mD|}: X\dasharrow \p(H^0(X,  L^{\otimes m})^*)$$
бирационально на свой образ.}

\medskip

{\it Доказательство:} 1)$\Rightarrow$2): пусть $A$ очень обилен на $X$, 
тогда имеем точную
последовательность
$$0\rightarrow {\cal O}(mD-A)\rightarrow {\cal O}(mD)\rightarrow 
{\cal O}(mD)|_A\rightarrow 0.$$ Размерность пространства 
$H^0(A, {\cal O}(mD)|_A)$ не может расти быстрее, чем $C'm^{n-1}$ для 
некоторого положительного $C'$, так что при больших $m$ из $N(X,D)$
дивизор $mD-A$ эффективен.

2)$\Rightarrow$3): то, что сечения $A+E$ разделяют общие точки и касательные
векторы в них, 
непосредственно следует из того, что это делают сечения $A$.

3)$\Rightarrow$1): очевидно, поскольку $mD$ - собственный прообраз расслоения
гиперплоскости при отображении $\phi_{|mD|}$, и, значит, имеет
сечений не меньше, чем расслоение гиперплоскости(в точках неопределенности $\phi_{|mD|}$
используем теорему Хартогса).

\medskip

В частности, свойство быть объемным открыто, и конус классов 
объемных дивизоров в $H^{1,1}(X)$ - это внутренность конуса эффективных
классов.

\

{\it Доказательство теоремы Богомолова 2.1:}

Рассмотрим $\p TX$ - проективизацию касательного расслоения к $X$, т.е.
многообразие прямых (а не гиперплоскостей!) в $TX$. Пусть $C$ - гладкая
неприводимая проективная кривая, а $f:C\rightarrow X$ - непостоянное
отображение. Тогда определен подъем $f$ на $\p TX$: 
$$\tilde{f}:C\rightarrow \p TX;\ \ \tilde{f}(c)=(f(c),[f'(c)])$$
(конечно, это выражение имеет смысл только там, где $f'(c)$ не обращается
в нуль, но любое рациональное отображение проективной кривой продолжается
до регулярного).

По построению, касательное расслоение $T_C$ отображается в обратный образ
универсального подрасслоения на $\p TX$:
$$T_C\rightarrow \tilde{f}^*{\cal O}_{\p TX}(-1).\ \ \ (\ast)$$
Коядро этого отображения сосредоточено на множестве критических точек $f$.

Следующее предложение является ключевым в доказательстве:

\medskip

{\bf Предложение 2.3:} {\it В условиях теоремы 2.1, расслоение 
${\cal O}_{\p TX}(1)$ объемно.}

\medskip

{\it Доказательство:} По формуле Римана-Роха,
для дивизора $D$ на трехмерном многообразии $M$ имеем
$$\chi(M,{\cal O}(mD))=m^3D^3/6 + O(m^2).$$
Значит, достаточно показать, во-первых, что $\xi^3>0$, где $\xi$ - 
класс ${\cal O}_{\p TX}(1)$, а во-вторых, что вторые когомологии ${\cal O}_{\p TX}(m)$ 
растут не быстрее,
чем пространство глобальных сечений.

Первое утверждение - это следствие нашего неравенства на классы Чженя 
поверхности $X$. Действительно, если $E$ - векторное расслоение ранга $r$ на 
многообразии $M$, 
то на $Y=\p_M(E)$ имеем $$\sum_{i=0}^{i=r}\xi^ip^*c_i(E)=0,$$
где $\xi=[{\cal O}_{\p_M(E)}(1)]$, а $p$ - проекция. Значит,
$$\xi(\xi^2+p^*c_1(X)\xi+p^*c_2(X))=\xi^3-p^*c_1^2(X)\xi+p^*c_2(X)\xi=0,$$
то есть, $\xi^3=c_1^2-c_2>0$, что и требовалось.

Для доказательства второго утверждения заметим, что 
$p_*{\cal O}_{\p TX}(m)=S^m\Omega_X^1$, а высших прямых образов нет;
то есть, $$h^2(\p TX, {\cal O}_{\p TX}(m))=h^2(X, S^m\Omega_X^1)=
h^0(X, S^mTX\otimes K_X);$$
поскольку $TX\cong \Omega_X^1\otimes K_X^{-1},$ то
$$h^0(X, S^mTX\otimes K_X)=h^0(S^m\Omega_X^1\otimes K_X^{\otimes {1-m}}).$$
Поскольку $K_X^{\otimes {m-1}}$ имеет сечения при больших $m$, то это не
превосходит $$h^0(X, S^m\Omega_X^1)=h^0(\p TX, {\cal O}_{\p TX}(m)),$$ а значит, 
$h^0(\p TX, {\cal O}_{\p TX}(m))$ действительно растет как $m^3$, ч.т.д..

\medskip

{\bf Замечание 2.4:} Кроме неравенства на классы Чженя, мы использовали
только то, что $K_X^{\otimes m}$ имеет сечения при больших $m$ (а не то, что
$K_X$ объемно, т.е. $X$ общего типа). Но из классификации поверхностей 
следует, что любая поверхность с $c_1^2-c_2>0$ и эффективным 
$K_X^{\otimes m}$ -
общего типа.

\medskip

Продолжим доказательство теоремы 2.1. Итак, имеем бирациональное на свой
образ отображение $G:\p TX\dasharrow \p^M$, заданное сечениями 
${\cal O}_{\p TX}(m)$ при некотором достаточно большом $m$. Пусть 
$Z\subset \p TX$ - такое собственное замкнутое подмножество, что 
$G$ - изоморфизм вне $Z$. Мы разберем отдельно два случая: сначала мы
докажем, что неприводимые кривые рода $g$, подъем которых на $\p TX$
не лежит в $Z$, образуют 
ограниченное семейство,
а потом - что то же верно и для кривых рода $g$ с подъемом в $Z$. Точнее, 
последнее
утверждение - очевидное следствие результата Жуанолу, который интересен
сам по себе и который мы разберем в следующей части.

Итак, пусть $C$ - гладкая кривая рода $g$, а $f:C\rightarrow X$ - такое 
отображение, что образ $\tilde{f}:C\rightarrow \p TX$ не лежит в $Z$
(при этом, как и раньше, $f$ предполагается бирациональным на свой образ) .
Тогда $G\tilde{f}$ отображает $C$ в $\p^M$, причем если образы $C$ и $C'$ в
$X$ различны, то же верно и для их образов в $\p^M$. Достаточно ограничить
степень $G\tilde{f}(C)$ в $\p^M$ (это легко следует из того хорошо известного 
факта, что семейство кривых
степени не выше данной в проективном пространстве ограничено).

Но мы уже видели, что $T_C$ естественно отображается в 
$f^*{\cal O}_{\p TX}(-1)$; значит, степень 
$T_C$ не больше степени $f^*{\cal O}_{\p TX}(-1)$. Соответственно,
$$deg(G\tilde{f}(C))\leq deg(f^*{\cal O}_{\p TX}(m))
\leq m\cdot deg(\Omega_C^1)=m(2g-2),$$
что и требовалось показать.

\medskip

{\bf Замечание 2.5:} Таким образом, подъем всех рациональных или эллиптических
кривых с $X$ на $TX$ обязательно попадет в множество $Z$: в самом
деле,
для таких кривых $m(2g-2)\leq 0$.

\medskip

Осталось разобрать случай кривых, лежащих в $Z$. 

$Z$ является объединением конечного числа неприводимых компонент $Z_i$.
Те из них, образ которых при проекции на $X$ - кривая $C_i$, мы можем не
рассматривать: действительно, на  $X$ имеем лишь конечное число
кривых, подъем которых попадает в эти $Z_i$, а именно, сами кривые $C_i$.
Так что достаточно рассмотреть случай, когда $Z$ - неприводимая поверхность,
доминирующая $X$. 

В этом случае пусть $\alpha:\tilde{Z}\rightarrow Z$ -  разрешение
 особенностей.
Тогда $\tilde{Z}$ 
снабжено 
естественным слоением. Его можно представлять себе, например, так: локально
в окрестности достаточно общей точки $z\in Z$, $Z$ есть сечение проекции $p$;
оно индуцирует некоторое (тавтологическое) распределение прямых на $X$, 
которое (все ещё локально!) поднимается на $Z$. Формально мы можем
определить слоение как обратимый подпучок 
$L\subset\Omega^1_{\tilde{Z}}$; поскольку на ${\p TX}$ имеем точную 
последовательность
$$0\rightarrow M\rightarrow p^*\Omega_X^1\rightarrow {\cal O}_{\p TX}(1)\rightarrow 0,$$
то в качестве $L$ можно взять $\alpha^*M|_Z$: действительно, композиция
$\alpha^*M|_Z\rightarrow \alpha^*p^*\Omega_X^1\rightarrow \Omega_{\tilde{Z}}^1$
ненулевая, поскольку по условию $p$ изоморфно отображает $Z$ на $X$ в общей
точке $Z$. Из обеих конструкций очевидно, что подъем $f(C)$ на ${\p TX}$
будет интегральной кривой нашего слоения, если, конечно, $f(C)$ попадет
на $Z$.  

Для того, чтобы закончить доказательство, достаточно сослаться
на следующее утверждение:

\medskip

{\bf Теорема Жуанолу:} (\cite{J}) {\it Пусть $X$ - гладкое проективное многообразие,
а ${\cal F}$ - слоение на $X$, такое, что коразмерность его листов равна 1 
(таким образом, ${\cal F}$
задается некоторой мероморфной дифференциальной формой $\omega$). Тогда либо
число алгебраических интегральных гиперповерхностей ${\cal F}$ конечно, либо ${\cal F}$
имеет мероморфный первый интеграл (здесь {\it первый интеграл} - это 
рациональная функция $f$ с $\omega\wedge df=0$; таким образом, интегральные
гиперповерхности являются компонентами слоев отображения 
$f: X\dasharrow\p^1$).}

\medskip

Из теоремы Жуанолу, либо наших кривых лишь  конечное число, либо они 
параметризуются некоторой алгебраической кривой; так что теорема 2.1 доказана.

Теорему Жуанолу мы разберем отдельно; а в заключение этой части расскажем,
очень приблизительно, как Богомолов получил конечность числа кривых (данного
геометрического рода) с отрицательным квадратом 
(другими словами, ограниченность их семейства -
ведь такие кривые не деформируются!) на поверхности общего типа с
произвольными классами Чженя. В этом случае ${\cal O}_{\p TX}(1)$ не
обязательно объемно на ${\p TX}$; но, оказывается, можно подобрать
конечное число линейных расслоений $F_i$ на $X$, таких, что:

1) ${\cal O}_{\p TX}(m_i)\otimes p^*F_i$ объемны для некоторых $m_i$;

2) для $C$ с отрицательным квадратом найдется $i$ такое, что
   $F_iC\leq 0$,

\noindent а значит, степень $G_i(C)$ в одном из конечного числа
бирациональных отображений $G_i$, соответствующих подкруткам на
$F_i$,
окажется ограниченной. Отсюда легко следует утверждение теоремы. 
 

Для проверки объемности используется, с одной стороны,
теорема Римана-Роха, а с другой - для того, чтобы контролировать
$H^2$ - стабильность по Богомолову кокасательного расслоения
на поверхности общего типа. В дальнейшем мы еще увидим примеры
таких рассуждений.

\

{\bf 3. Теорема Жуанолу}

\

Итак, цель этой части - изложить доказательство следующей
теоремы  (мы будем работать 
только с поверхностями, поскольку в конце этой части мы попытаемся, следуя
\cite{Br},
связать теорему Жуанолу с классической теоремой Кастельнуово - де Франкиса,
но приводимое ниже доказательство Жуанолу проходит и для
произвольной размерности):

\medskip

{\bf Теорема 3.1:} (\cite{J}) {\it Пусть $X$ - гладкая проективная 
поверхность,
а ${\cal F}$ - слоение на $X$
(заданное некоторой мероморфной дифференциальной 1-формой $\omega$). Тогда либо
число алгебраических интегральных кривых ${\cal F}$ конечно, либо ${\cal F}$
имеет мероморфный первый интеграл (здесь {\it первый интеграл} - это 
рациональная функция $f$ с $\omega\wedge df=0$; таким образом, интегральные
кривые являются компонентами слоев отображения 
$f: X\dasharrow\p^1$).}

\medskip

Напомним сначала некоторые основные определения и факты.

Алгебраическое слоение на поверхности $X$ - это обратимый
подпучок ${\cal F}$ в касательном расслоении $TX$. В случае произвольной
размерности ${\cal F}$, конечно, может быть любого ранга и предполагается
{\it инволютивным}, т.е. замкнутым относительно операции коммутирования
векторных полей; нам этого предполагать не нужно, поскольку подпучок
ранга 1 инволютивен автоматически. 

Мы будем предполагать ${\cal F}$ {\it насыщенным}, т.е. таким, что
фактор $TX/{\cal F}$ не имеет кручения. Это предположение на самом деле не 
вносит никаких существенных ограничений: действительно, любой 
подпучок $L$ пучка $A$ обладает насыщением - т.е. существует единственный 
насыщенный подпучок $L^{s}\subset A$, совпадающий с $L$ в общей точке. Очевидно,
это просто ядро сквозного отображения 
$A\rightarrow A/L \rightarrow (A/L)/(A/L)^{tors}$. Другими словами,
с помощью насышения мы избавляемся от ``ненастоящих особенностей'' нашего
слоения - особенностей в коразмерности 1.
 
Итак, имеем точную последовательность
$$0\rightarrow {\cal F}\rightarrow TX \rightarrow N_{\cal F}\otimes 
{\cal I}_{sing({\cal F})}\rightarrow 0.$$

Здесь ${\cal I}_{sing({\cal F})}$ - пучок идеалов нульмерной подсхемы
(особенностей ${\cal F}$), а $N_{\cal F}$ - линейное расслоение,
которое мы будем называть {\it нормальным расслоением} слоения ${\cal F}$.

Двойственная точная последовательность - это

$$0\rightarrow N_{\cal F}^*\rightarrow \Omega_X^1\rightarrow 
{\cal F}^*\otimes {\cal I}_{sing({\cal F})}\rightarrow 0.$$

То есть, наше слоение можно задать мероморфной формой $\omega_{\cal F}$, 
сечением $\Omega_X^1\otimes  N_{\cal F}$; а $N_{\cal F}^*$ - линейное 
расслоение, соответствующее ее дивизору.

{\it Интегральная кривая} ${\cal F}$ - это образ отображения 
$i:C\rightarrow X$ (где $C$ - комплексная кривая) такого, что 
$i^* \omega_{\cal F}=0$, или, что то же самое, 
$Im(TC\rightarrow i^*TX)\subset i^*{\cal F}$.

Важный момент в доказательстве теоремы Жуанолу - вырождение спектральной
последовательности Ходжа - де Рама
$$E_1^{pq}=H^q(X,\Omega^p_X)\Rightarrow H^{p+q}(X, \C)$$
в члене $E_1$, выполняющееся для компактных кэлеровых многообразий.
Из него, в частности, следует замкнутость голоморфных форм.
Замкнутость голоморфных 1-форм на поверхности, впрочем, 
доказывается совсем элементарно: в самом деле, если $\omega$ - такая
форма, то легко проверить, что $d\omega\wedge \overline{d\omega}$ - точная
форма: 
$$d\omega\wedge \overline{d\omega}=d(d\omega\wedge\overline{\omega}).$$
Значит, $\int _X d\omega\wedge \overline{d\omega} = 0$ по формуле Стокса;
то есть, $d\omega = 0$ - иначе $d\omega\wedge \overline{d\omega}$ была
бы формой объема, с положительным интегралом.

Нам потребуется еще одно свойство дифференциальных форм на поверхности,
следующее из вырождения спектральной
последовательности Ходжа - де Рама (см. (2) ниже).

\medskip

{\it Доказательство теоремы 3.1:}
Введем следующие обозначения:

$Div(X)$ - группа дивизоров на $X$;

$Div^0(X)$ - подгруппа дивизоров с нулевым классом Чженя (в $H^2(X, \R)$);

$M$ -  подгруппа $Div(X)$, порожденная алгебраическими интегральными 
кривыми;

$M^0=M\cap Div^0(X)$.

Очевидно, достаточно показать, что в отсутствие первого интеграла пространство
$M^0\otimes \C$ будет конечномерным - из этого сразу следует конечномерность
$M\otimes \C$: $dim(M\otimes \C)\leq dim(M^0\otimes \C)+h^{1,1}(X).$
Мы построим линейное отображение $M^0\otimes \C$ в конечномерное пространство,
и докажем, что если первого интеграла нет, то ядро этого отображения
конечномерно (и даже имеет размерность $\leq 1$).

{\it Шаг 1:} Сначала определим отображение
$$\psi: Div^0(X)\otimes\C\rightarrow 
H^0(X, \Omega^1_X\otimes {\cal M}_X^*)/H^0(X, \Omega^1_X)$$
(здесь ${\cal M}_X^*$ - обратимые мероморфные функции, т.е. наши дивизоры
отображаются в мероморфные формы по модулю голоморфных) следующим образом:
пусть $D\in Div^0(X)$ локально задается функциями $f_{\alpha}$ на элементах
покрытия $U_{\alpha}$. Тогда $g_{\alpha\beta}=f_{\alpha}/f_{\beta}$
- это 1-коцикл
на $X$ со значениями в ${\cal O}_X^*$ (он соответствует ассоциированному
с $D$ линейному расслоению). Напомним, что (первый) класс Чженя - это
отображение 
$$c_1=dlog: H^1(X,{\cal O}_X^*)\rightarrow H^1(X, \Omega^1_X).$$
Поскольку $c_1([D])=0$, $dlog(g_{\alpha\beta})$ - кограница, т.е.
$$dlog(f_{\alpha})-dlog(f_{\beta})=\omega_{\alpha}-\omega_{\beta},$$
где $\omega_{\alpha}\in \Omega^1(U_{\alpha}),
\ \omega_{\beta}\in \Omega^1(U_{\beta})$. Значит, 

(1) $dlog(f_{\alpha})-\omega_{\alpha}$ склеиваются в глобальную мероморфную
форму $\psi(D)$, определенную с точностью до прибавления глобальной 
голоморфной 1-формы (поскольку $\omega_{\alpha}$ тоже определены с точностью
до такой формы).

К тому же

(2) Поскольку на $U_{\alpha}\cap U_{\beta}$ выполнено $d\omega_{\alpha}=d\omega_{\beta}$,определена глобальная голоморфная 2-форма $d\omega$. На самом деле эта 
глобальная форма даже равна нулю! Это следует из вырождения спектральной
последовательности Ходжа - де Рама. Действительно, поскольку $c_1([D])=0$,
элемент, соответствующий $[D]$ в  $H^1(X,{\cal O}_X^*)$, является
образом элемента из $H^1(X,{\cal O}_X)$ (рассмотреть экспоненциальную
точную последовательность). А значит, процесс получения $d\omega$ из 
$g_{\alpha\beta}$ можно интерпретировать как построение дифференциала $d_2$
из спектральной последовательности:

$$Ker(H^1(X,{\cal O}_X)\stackrel{d}{\rightarrow} H^1(X, \Omega^1_X))=E_2^{0,1}
\stackrel{d_2}{\rightarrow} E_2^{2,0}\subset H^0(X,\Omega^2_X).$$

Как мы знаем, этот дифференциал нулевой.

(Это рассуждение явно выглядит излишне заумным, но я не смогла
придумать проще! Если это сделает кто-то из читателей - сообщите.)

Так что замкнута и наша мероморфная форма $\psi(D)$ (вернее, любой 
представитель класса $\psi(D)$ по модулю голоморфных форм). Это потребуется 
нам немного позже.

{\it Шаг 2:} Проверим, что отображение $\psi$ инъективно. Пусть
неприводимые
эффективные $C_i$ таковы, что
$\psi(\sum_{i=1}^ka_iC_i)=0$, $a_1\neq 0$. Если $C_i$ локально задаются
$f_{i,\alpha}$ на $U_{\alpha}$, то форма
$\sum_ia_i\frac{df_{i,\alpha}}{f_{i,\alpha}}$ должна
быть голоморфна на $U_{\alpha}$. Но она не может быть голоморфной, если
$U_{\alpha}$ - малая окрестность неособой точки $x\in C_1$, такой, что
другие $C_i$ не содержат $x$: иначе получилось бы, что 
$\frac{df_{1,\alpha}}{f_{1,\alpha}}$ голоморфна.

{\it Шаг 3:} Теперь определим отображение 
$$\psi_{\cal F}:M^0\otimes \C \rightarrow 
H^0(X,\omega_X\otimes N_{\cal F})/\omega_{\cal F}\wedge
H^0(X,\Omega^1_X)$$
(где $\omega_X$ - канонический класс $X$)
по формуле
$$\psi_{\cal F}(D)= \omega_{\cal F}\wedge \psi(D):$$ 
локально с точностью до внешнего произведения $\omega_{\cal F}$ и
голоморфной 
формы,
$$\omega_{\cal F}\wedge \psi(D)|_{U_{\alpha}}=\omega_{\cal F}
\wedge(dlog(f_{\alpha})-\omega_{\alpha})=
-\omega_{\cal F}\wedge\omega_{\alpha},$$
поскольку $f_{\alpha}$ задает интегральную кривую нашего слоения ${\cal F}$;
причем это действительно сечение $\omega_X\otimes N_{\cal F}$,
так как $\omega_{\cal F}$ - сечение $\Omega^1_X\otimes N_{\cal F}$.

Докажем, наконец, что если у ${\cal F}$ нет мероморфного первого интеграла,
то $dim\ Ker(\psi_{\cal F})\leq 1$. Пусть $a\in Ker(\psi_{\cal F})$, а
$v_a$ - представитель $\psi(a)$ в пространстве мероморфных 1-форм.
Тогда $dv_a=0$ и $\omega_{\cal F}\wedge v_a = \omega_{\cal F}\wedge w_a,$
где $w_a$ голоморфна; то есть,
$$v_a-w_a=\phi_a\omega_{\cal F},$$
где $\phi_a$ - мероморфная функция. При этом
$$0=d(\phi_a\omega_{\cal F})=d\phi_a\wedge\omega_{\cal F}
+\phi_ad\omega_{\cal F}\ \ \ \ \ (1).$$
Если $b$ - другой элемент $Ker(\psi_{\cal F})$, то, повторив все вышесказанное
для $b$ и $v_b$ - представителя $\psi(b)$, получим мероморфную функцию
$\phi_b$, такую, что
$$0=d(\phi_b\omega_{\cal F})=d\phi_b\wedge\omega_{\cal F}
+\phi_bd\omega_{\cal F} \ \ \ \ \ (2).$$
Значит
$$d\frac{\phi_a}{\phi_b}\wedge\omega_{\cal F}=
\frac{\phi_ad\phi_b-\phi_bd\phi_a}{\phi_b^2}\wedge\omega_{\cal
  F}=0,$$
так как числитель этого выражения есть $\phi_a\cdot (2)- \phi_b\cdot (1)$.
Поэтому $\frac{\phi_a}{\phi_b}$ - константа $\lambda$: иначе это был бы первый интеграл
для ${\cal F}$. Отсюда легко получаем, что $\psi(a)=\lambda \psi(b)$, т.е.
$a=\lambda b$, т.к. $\psi$ инъективно. 

Теорема доказана.

\medskip

В работе \cite{Br} предлагается другая схема доказательства теоремы Жуанолу:
оказывается, ее можно рассматривать как аналог классической леммы
Кастель- нуово-де Франкиса для логарифмических дифференциальных форм.
Напомним, что лемма Кастельнуово-де Франкиса состоит в следующем:

\medskip

{\bf Лемма 3.2} {\it Пусть $X$- гладкая проективная поверхность и $L\subset \Omega^1_X$ -
(насыщенный) подпучок ранга 1, такой, что $h^0(X,L)\geq 2$ (другими словами,
на $X$ имеются две глобально независимые голоморфные 1-формы $\omega_1$ и 
 $\omega_2$, такие, что $\omega_1\wedge \omega_2=0$). Тогда существует 
голоморфное отображение  $X$ на кривую $C$, такое, что $\omega_i$ - прообразы
некоторых голоморфных 1-форм на $C$.}

\medskip

{\it Идея доказательства:} Рассматривается мероморфная функция $f$, такая,
что $\omega_1=f\omega_2$; она определяет мероморфное отображение
$f:X\dasharrow \p^1$. Затем проверяется, что разложение Штейна $f$ 
дает искомое голоморфное отображение $g:X\rightarrow C$. Действительно,
заменив отображение $f$ на разрешение его неопределенности, получим, что 
над открытым множеством $\omega_i$ являются прообразами 1-форм
$\theta_i$
на $C$:
это видно из равенств
$$0=d\omega_1=d(f\omega_2)=df\wedge \omega_2.$$
Дальше легко проверяется, что $\theta_i$ продолжаются до глобальных $s_i$, и
$\omega_i=g^*s_i$; автоматически имеем, что род $C$ не меньше двойки, а из 
этого уже следует, что множество неопределенности $f$ с самого начала
было пусто.

\medskip

Таким образом, ключевое место в доказательстве - это замкнутость
голоморфных 1-форм (как мы видели, в случае поверхностей доказать ее очень
просто).

Вернемся теперь к теореме Жуанолу. Пусть $C_1,\dots C_N$ - интегральные кривые
для ${\cal F}$ и $C=\cup C_i$. 
Рассмотрим $\Omega^1_X(log\ C)$, пучок дифференциальных форм с логарифмическими
особенностями вдоль $C$. Заметим, что
наша ситуация несколько отличается от той, что изучается ``обычно'', поскольку 
мы не предполагаем, что $C$ - дивизор с нормальными пересечениями. 
Но многие стандартные утверждения о логарифмических формах верны и
в нашей более общей ситуации. В частности, имеем точную последовательность
$$0\rightarrow \Omega^1_X\rightarrow \Omega^1_X(log\ C) 
\stackrel{Res}{\rightarrow} {\cal O}_{\tilde{C}}\rightarrow 0,$$ 
где $\tilde{C}$ - нормализация $C$. Поэтому
$$h^0(X, \Omega^1_X(log\ C))\geq N +h^{1,0}(X)-h^{1,1}(X).$$
Предположим, что $N$ можно выбрать очень большим - например,
б\'ольшим, чем $h^{1,1}(X)-h^{1,0}(X)+h^0(X, {\cal F}^*)+2$; так, конечно,
будет, если число неприводимых алгебраических интегральных кривых ${\cal F}$
бесконечно. Имеется естественное отображение ``свертки'' (или ``вычисления
вдоль слоев'') $$\Omega^1_X(log\ C)\rightarrow {\cal F}^*;$$
таким образом, неравенство 
$$h^0(\Omega^1_X(log\ C))\geq h^0(X, {\cal F}^*)+2$$ означает, что существуют
две глобально независимые логарифмические формы, обращающиеся в нуль на
листах ${\cal F}$. 

Теперь, как и в лемме Кастельнуово-де Франкиса, из замкнутости логарифмических
форм следует, что их отношение является первым интегралом ${\cal F}$.

Оказывается, наконец, что замкнутость логарифмических
форм на поверхности (без условия нормальности пересечений на границе) нетрудно
доказать (\cite{Br} ссылается на \cite{N}). 

\

{\bf 4. Гиперболичность по Кобаяши: основные понятия}

\

Вначале приведем два определения гиперболичности по Кобаяши. Они эквивалентны,
но доказывать это мы здесь не будем, сославшись, например, на
\cite{L}
(доказательство, как и определение гиперболичности через финслеровы
метрики, впервые появилось в \cite{R1}).

Пусть $E$ - комплексное векторное расслоение на $X$. 
{\it Финслеровой метрикой} или
{\it функцией длины} на $E$ называется непрерывное отображение 
$N:E\to\R_{\geq 0}$, такое, что $N({\lambda v})=|\lambda|N(v), \lambda\in \C$,
и $N$ обращается в нуль только на нулевом сечении $E$.
{\it Финслерова псевдометрика}, она же {\it функция псевдодлины} -
это полунепрерывное сверху отображение 
$N:E\to\R_{\geq 0}$, такое, что $N({\lambda v})=|\lambda|N(v), \lambda\in \C$.

Обозначим $\Delta$ единичный диск в $\C$. На касательном расслоении ко гладкому комплексному многообразию $X$
введем такую финслерову псевдометрику: для $v\in T_{X,x}$ положим
$$k_X(v)=inf\{\lambda >0|\exists f:\Delta\to X, f(0)=x, f'(0)=x/\lambda\}.$$ 
(ее полунепрерывность сверху неочевидна! Но мы здесь, опять же,
не будем этого доказывать, снова сославшись на \cite{L} или же на
\cite{R1}
и \cite{R2} - в последней работе доказывается ключевая лемма о
продолжении голоморфных отображений).

Если $X=\Delta$, то это - метрика Пуанкаре
$$|v|_{hyp}=\frac{|v|_{eucl}}{1-|x|^2},\ v\in T_{x,\Delta},$$
(или же $h_P(z)=\frac{dz\otimes d\bar{z}}{(1-|z|^2)^2}$.) Это видно
из классической леммы Шварца:

\medskip

{\bf Лемма 4.1} {\it Пусть $f:\Delta \to \Delta$ - голоморфное отображение
диска в себя. Тогда 
$$\frac{|f'(z)|}{1-|f(z)|^2}\leq \frac{1}{1-|z|^2},$$
причем равенство в одной точке означает, что $f$ автоморфизм и равенство
выполнено повсюду.}

\medskip

Для доказательства сначала рассматривается случай $z=0, f(0)=0$: здесь
можно, например, разложить $f$ в стпенной ряд и использовать равенство
Парсеваля. Дальше используются автоморфизмы диска 
$g_z(u)=\frac{u+z}{1+\bar{z}u}$: отображение $f$ заменяется на 
$F=g_{-f(z)}\circ f\circ g_z$ ($g_{-f(z)}=g_z^{-1}$); $F(0)=0$. 

\medskip

Другая формулировка леммы Шварца: голоморфные отображения ``уменьшают''
метрику Пуанкаре, т.е. $f^*h_P\leq h_P$; равенство в одной точке означает,
что $f$ изометрия.

\medskip

{\it Псевдорасстояние Кобаяши} $d_{hyp}(x,y)$ получается интегрированием 
псевдометрики
Кобаяши. $X$ {\it гиперболично по Кобаяши}, если псевдорасстояние Кобаяши
является настоящим расстоянием, т.е. $d_{hyp}(x,y)\neq 0$ при $x\neq y$.

\medskip

Это определение принадлежит Ройдену \cite{R1}. Несколько ранее Кобаяши
предложил другое определение; оно годится не только для
многообразий, но и для комплексных пространств.

Определим расстояние $d_{hyp}=d_{\Delta}$ на единичном диске как получающееся 
интегрированием метрики Пуанкаре. Для пары точек $x,y$ на $X$ рассмотрим
соединяющую их цепочку дисков $f_i:\Delta\to X$, $1\leq i\leq N$, 
$p_i, q_i\in \Delta$, 
$f_1(p_1)=x$, $f_i(q_i)=f_{i+1}(p_{i+1})$, $f_N(q_N)=y$ (здесь $N$, конечно,
ни в коем случае не фиксировано и вводится только для удобства записи). 
Теперь определим 
$$d_{hyp}(x,y)=inf_{f_i, p_i,q_i}\sum_1^N d_{\Delta}(p_i, q_i).$$
$X$ {\it гиперболично по Кобаяши}, если $d_{hyp}(x,y)$ - расстояние.

\medskip

{\bf Замечание 4.2:} Если существует непостоянное отображение $f: \C\to X$,
то $X$ не является гиперболичным по Кобаяши. Более того, $d_{hyp}$ нулевое
на образе $\C$. В самом деле, рассмотрим отображение
$$\Delta\stackrel{f_R}{\rightarrow}\C\rightarrow X,\ f_R(z)=Rz.$$
Тогда при $R$, стремящемся к бесконечности, и $p,q\in \C$, 
$d_{\Delta}(f_R^{-1}p, f_R^{-1}q)$ стремится к нулю, т.е. 
$d_{hyp}(f(p),f(q))=0$.

\medskip

Теорема Броди утверждает, что для компактных $X$ верно и обратное, т.е. 
если $X$ не гиперболично, то на $X$ есть целая кривая $f: \C\to X$.
Основной ингредиент доказательства - это лемма Броди о репараметризации,
которую мы сейчас докажем. 

Выберем какую-нибудь эрмитову метрику $h$ на $X$. Заметим, что если
$X$ не гиперболично, то можно построить $f:\Delta\to X$ с неограниченно
большим $||f'(0)||_h$.  

\medskip

{\bf Лемма 4.3 (лемма Броди):} {\it Пусть $f:\Delta\to X$ - голоморфное
отображение. Для любого $r\in (0,1)$, существует $R\geq r||f'(0)||_h$ и 
биголоморфизм $\psi: D(0,R)\to D(0,r)$, такой, что:

$||(f\circ \psi)'(0)||_h=1;$

$||(f\circ \psi)'(t)||_h\leq \frac{1}{1-|t/R|^2}$.}

\medskip

(Другими словами, если определить метрику Пуанкаре $h_P$ на диске $D(0,R)$
радиуса $R$ так, что $|v|_{hyp}=\frac{|v|_{eucl}}{1-|z/R|^2}$, получится
$(f\circ \psi)^*h \leq h_P$.)

\medskip

{\it Доказательство:} Рассмотрим выражение $(1-|z|^2)||f'(rz)||_h$
(с точностью до $r$, это норма производной $z\mapsto f(rz)$, 
рассматриваемой как линейный оператор). Оно определено на $\overline{\Delta}$
и равно нулю на границе, так что достигает максимума в точке $z_0\in \Delta$.
Определим $\psi$ как автоморфизм диска, с точностью до гомотетий, посылающий
$0$ в $rz_0$:
$$\psi(t)=rg_{z_0}(t/R),\ g_z(u)=\frac{z+u}{1+\bar{z}u}.$$
Тогда 
$$||(f\circ \psi)'(0)||_h=|\psi'(0)|\cdot ||f'(rz_0)||_h=
(1-|z_0|^2)\frac{r}{R}||f'(rz_0)||_h.$$
Значит, первое утверждение леммы выполнено для 
$$R=(1-|z_0|^2)r||f'(rz_0)||_h\geq r||f'(0)||_h$$
(в силу нашего выбора $z_0$). К тому же, с точностью до константы,

\noindent $(1-|t/R|^2)||(f\circ \psi)'(t)||_h$ - это норма производной  $z\mapsto f(rz)$
в точке $g_{z_0}(t/R)$. Она максимальна в $z_0$, т.е. при $t=0$; это 
доказывает второе утверждение леммы.

\medskip

Докажем теперь теорему Броди:

\medskip

{\bf Теорема 4.4:} {\it Пусть $(X, h)$ - компактное эрмитово многообразие,
не являющееся гиперболическим. Тогда существует непостоянное голоморфное
отображение $g:\C\to X$. Более того, $||g'(t)||_h\leq 1$.}

\medskip

{\it Доказательство:} Как мы уже заметили, имеется последовательность
отображений $f_m:\Delta\to X$ с неограниченной производной в 
нуле $f_m'(0)$; применяя лемму Броди, получим последовательность 
$g_m:D(0, R_m)\to X$, $R_m\geq 1/2||f_m'(0)||_h$, $||g_m'(0)||_h=1$,
$||g_m'(z)||_h\leq \frac{1}{1-|z/R_m|^2}$.
В частности, на любом компакте получаем равномерную оценку для производных
$g_m$.

Семейство $g_m$ локально равностепенно непрерывно, т.е. для любого $\epsilon>0$
и компакта $K$, существует $\delta>0$, т.ч. из $z, z'\in K$, $|z-z'|<\delta$
следует, что $|g_m(z)-g_m(z')|\leq \epsilon$ для всех $m$. К тому же,
поскольку  $X$ компактно, для любого $z$ множество $\{g_m(z)\}$ относительно
компактно в  $X$. Значит, по теореме Асколи получим подпоследовательность
$\{g_{k}\}$, сходящуюся к голоморфному отображению $g:\C\to X$. При этом
имеем также $||g'(t)||_h\leq 1$, поскольку нормы Пуанкаре на дисках
сходятся к евклидовой норме на $\C$.

(Здесь вместо того, чтобы ссылаться на теорему Асколи, можно рассмотреть
плотное счетное подмножество $\{z_1, \dots ,z_n, \dots\}$ в $X$;
выделяя подпоследовательности, сходящиеся в $z_1, z_2, \dots $ и применяя 
диагональный трюк, получим подпоследовательность, которая сходится во
всех точках нашего плотного подмножества; потом воспользуемся локальной
равностепенной непрерывностью. Теорема Асколи, собственно, ровно так и
доказывается.)

Из леммы Броди можно получить большое количество следствий:

\medskip

{\bf Предложение 4.5:} {\it Гиперболичность - открытое свойство.}

\medskip

{\it Доказательство:} Пусть ${\cal X}\to S$ - семейство многообразий,
$h$ - эрмитова метрика на ${\cal X}$
и $s_k\in S$ сходятся к пределу $s$. Предположим, что слои $X_{s_k}$ не
являются гиперболическими. Тогда существуют отображения $g_k:\C\to X_{s_k}$,
$||g_k'(0)||=1$, $||g_k'(t)||\leq 1$. Как в доказательстве 4.4, получаем
предел $g:\C\to X_s$ (он не постоянен, поскольку производная в нуле
равна единице). Так что $X_s$ не является гиперболическим и свойство
негиперболичности замкнуто.

\medskip

Это предложение используется для построения примеров гиперболических
многообразий следующим образом: на самом деле почти все наши рассуждения
имеют смысл не только для неособых многообразий, но и для произвольных 
компактных комплексных пространств, вложенных в неособое многообразие.
Несложно строятся, скажем, примеры особых гиперповерхностей в $\p^3$ без целых
кривых. Затем говорится, что в силу свойства открытости их малые деформации
(уже неособые!) будут гиперболическими. (``Большие'' деформации 
гиперболическими не будут; свойство гиперболичности открыто в аналитической
топологии, но не в топологии Зариского).

\medskip

{\bf Пример (Дюваль, Фудзимото):} $X\subset \p^3$, заданная уравнением
$$P(z_0, z_1, z_2)^2 - Q(z_2, z_3)=0,$$
где $P, Q$ - достаточно общие многочлены степени $d$ и $2d$ соответственно,
имеет изолированные особенности в точках $(z_0:z_1:0:0)$, $P(z_0, z_1, 0)=0$.
Разрешение особенностей отображается на $\p^1$: $(z_0:z_1:z_2: z_3)\mapsto
(z_2: z_3)$. При разложении Штейна получается кривая $C$ с неоднородным
уравнением $t^2=Q(1,z_3)$; слои отображения $\tilde{X}\to C$ задаются
уравнениями $t=P(z_0, z_1, 1)$. При $d>3$ и база, и слои имеют род по крайней
мере 2; значит, $\tilde{X}$ не содержит целых кривых. Отображение
из $\C$ в $X$ можно поднять на $\tilde{X}$; т.е. $X$ не содержит целых
кривых и ее малые деформации гиперболичны. Таким образом, существуют 
гиперболические гиперповерхности четной степени, начиная с 8. Напомним,
что гипотеза Кобаяши утверждает, что общая гиперповерхность степени 5 и выше
в $\p^3$ гиперболична.

\medskip

{\bf Предложение 4.6:} {\it Подмногообразие тора
гиперболично тогда
и только тогда, когда оно не содержит сдвигов подтора.}

\medskip

{\it Доказательство:}
 Рассмотрим тор $T$ с плоской метрикой. 
Пусть $X\subset T$  не является гиперболичным;
тогда существует кривая Броди $f:\C\to X$ с  
$||df(z)||\leq 1$ для любого $z$. Отображение $f$ поднимается на
универсальное накрытие:
$$(f_1, \dots f_n):\C\to \C^n,\ \sum|f_i'|^2\leq 1.$$
То есть, для любого $i$ , $f_i'$ постоянно; т.е. $f_i$ аффинно, другими
словами, $f(\C)$ - сдвиг однопараметрической подгруппы.
А значит, по стандартной лемме, замыкание соответствующего сдвига $f(\C)$ - тоже подгруппа, 
т.е. подтор. Что и требовалось доказать.

\medskip

{\bf Замечание 4.7:} В общем случае {\it кривой Броди} называют
непостоянное
голоморфное отображение $g:\C\to X$ с ограниченной производной. 
Пусть $X$ содержит целую кривую $f:\C\to X$. Образ кривой
Броди, получающейся в результате применения леммы о репараметризации, может, 
вообще говоря, довольно 
сильно отличаться от $f(\C)$: единственное, в чем мы можем быть уверены -
это что замыкание образа кривой Броди лежит в замыкании $f(\C)$. Поэтому
Предложение 4.6 - это более слабое утверждение, чем знаменитая

\medskip

{\bf Гипотеза Блоха:} {\it Пусть $h^0(X, \Omega^1_X)>dim(X)$. 
Тогда любая целая кривая на $X$ содержится
в собственном подмногообразии.}

\medskip

(На первый взгляд может показаться - как показалось в некоторый момент 
автору - что отображение 
Альбанезе сводит это утверждение к предыдущему).

Хорошую иллюстрацию того, насколько геометрия кривых Броди может отличаться
от геометрии целых кривых на многообразии, приводит Винкельман в работе
\cite{W}: оказывается, можно построить такое раздутие абелева многообразия,
что все кривые Броди содержатся в исключительном дивизоре!

Гипотеза Блоха доказана, например, в работе \cite{GG} с помощью 
расслоений джетов; см. также \cite{D}. К этой технологии мы ещё
вернемся 
в последней части этих 
записок. Существуют и другие доказательства этого утверждения.


\medskip


Рассмотрим ещё одно простое следствие леммы Броди.
Напомним, что векторное расслоение $E$ на $X$ называется обильным,
если обильно линейное расслоение ${\cal O}_{\p(E^*)}(1)$. Нетрудно заметить,
что обильность $E$ равносильна стягиваемости нулевого сечения $E^*$.

\medskip

{\bf Предложение 4.8:} {\it Многообразие с обильным кокасательным расслоением
гиперболично.}

\medskip

{\it Доказательство:} Если нет, то пусть $g:\C\to X$ - кривая Броди. Она
поднимается на $TX$  с помощью производной. Поскольку производная ограничена,
то умножением на скаляр можно добиться, чтобы образ отображения
$g':\C\to TX$ попал в малую окрестность нулевого сечения. Теперь
пусть $f: TX\to Y$ - стягивание нулевого сечения. Образ малой окрестности 
нулевого сечения попадет в полидиск $V\subset X$, который гиперболичен.
Так что образ $g'$ должен попасть в нулевое сечение, но этого не может быть,
ведь $g$ непостоянно.

\

{\bf 5. Гиперболичность и метрики отрицательной кривизны}

\

Очевидно, если многообразие $X$ гиперболическое, то оно не содержит 
ни рациональных, ни эллиптических кривых. В действительности нетрудно доказать
и более сильное утверждение. Напомним, что проективное многообразие
$X$ {\it алгебраически гиперболично}, если существует положительная 
константа $\epsilon$, такая, что для любой кривой $C\subset X$, 
$2g(C)-2\geq \epsilon deg(C)$ (конечно, можно также считать, что $X$ всего лишь
кэлерово, и понимать под $deg(C)$ пересечение $C$ с каким-нибудь фиксированным
кэлеровым классом). Сейчас мы докажем, что гиперболическое многообразие 
алгебраически гиперболично. Доказательство - хороший пример ``аргументов
отрицательной кривизны''.

Напомним, что если $h$ - эрмитова метрика на комплексном линейном расслоении
$L$, то ее кривизна $\Theta_h$ определяется как 
$$\Theta_h=-\frac{i}{\pi}\partial\bar{\partial}log||s||_h$$
(здесь $s$ - локальное голоморфное сечение $L$, не обращающееся в нуль.
При замене $s$ на другое такое сечение $\Theta_h$ не изменится, т.к. 
``добавится'' (нулевой)
$\partial\bar{\partial}log$ от модуля обратимой функции).

Непосредственным вычислением получаем, что для метрики Пуанкаре $h_P$ 
на $\Delta$,
$$\Theta_{h_P}=-\frac{2}{\pi}\omega_P,$$
где $\omega_P=i\frac{dz\wedge d\bar{z}}{(1-|z|^2)^2}$ - (1,1)-форма, 
ассоциированная с метрикой Пуанкаре. Другими словами, $h_P$ имеет постоянную
отрицательную скалярную кривизну $-\frac{2}{\pi}$.

Итак, докажем 

\medskip

{\bf Предложение 5.1:} {\it Гиперболическое многообразие $X$
алгебраически гиперболично.}

\medskip

{\it Доказательство:} Пусть $f:C\to X$ - отображение из неособой кривой,
являющееся вложением в общей точке; поскольку $C$ не может быть ни
рациональной, ни эллиптической, то ее универсальное накрытие - это $\Delta$:
$$ \Delta \stackrel{\rho}{\to} C \stackrel{f}{\to} \overline{C}
\stackrel{j}{\to}X.$$
($\overline{C}$ - это образ $f$).
Пусть $h$ - кэлерова метрика на $X$, и $\omega$ - соответствующая (1,1)-форма.
Обозначим форму, ассоциированную с гиперболической метрикой на $C$, также за
$\sigma_P$ (как и на $\Delta$).

Поскольку $X$ гиперболичнo, для некоторого $\delta >0$, 
$$k_X(\xi)\geq \delta ||\xi||_h,\ \xi\in TX$$
(здесь $k_X$ - псевдометрика Кобаяши на $X$). Пусть $\sigma_{\overline{C}}$ -
ограничение $k_X$ на $\overline{C}$; имеем
$$\Theta_{h_P}=-\frac{2}{\pi}\sigma_P\leq -\frac{2}{\pi} 
f^*\sigma_{\overline{C}}\leq
-\frac{2}{\pi}\delta^2f^*\omega$$
(первое неравенство выполнено, поскольку голоморфные отображения, очевидно,
уменьшают расстояния в метрике Кобаяши). Но по формуле Гаусса-Бонне
$$\int_C \Theta_{h_P}=\chi(C)=2-2g(C),$$
так что, интегрируя, получим
$$2g(C)-2\geq \frac{2}{\pi}\delta^2 deg_{\omega}C,$$
что и требовалось доказать.

\

Теперь мы увидим, как с помощью ``аргументов отрицательной кривизны''
можно в некоторых случаях доказывать гиперболичность. Сделаем сначала
небольшое отступление об {\it эрмитовых метриках с особенностями} (их изучал 
Ж.-П. Демайи).

Пусть $L$ - комплексное линейное расслоение на $X$. {\it Эрмитова метрика
с особенностями} $h$ на $L$ задается локально интегрируемым потенциалом $\phi$:
локально в тривиализации положим 
$$||\xi||_h=|\xi|e^{-\phi(x)},\ \xi\in T_xX.$$ 
Условие $\phi\in L^1_{loc}$ нужно для того, чтобы можно было определить
кривизну
$$\Theta_h(L)=\frac{i}{\pi}\partial\bar{\partial}\phi$$
как (вещественный замкнутый) (1,1)-поток. Особый интерес представляет
случай, когда этот поток положителен (или отрицателен). Напомним, что
поток $T$ типа $(p,p)$ вещественен, если $\overline{T({\varphi})}=
T(\overline{\varphi})$ для $\varphi\in A^{n-p,n-p}_c$, и положителен,
если $T(\eta\wedge\bar{\eta})$, домноженное на подходящую степень $i$,
неотрицательно для $\eta\in A^{n-p,0}_c$. Для $p=1$ это эквивалентно тому,
что в (локальной) записи
$$T=\frac{i}{2}t_{ij}dz_i\wedge d\bar{z}_j,$$
эрмитова матрица из распределений 
$(t_{ij})$ ``положительно определена'' - т.е.
$\sum t_{ij}\lambda_i\bar{\lambda}_j$ есть положительное распределение для всех 
$\lambda$. 

Положительность потока $\frac{i}{\pi}\partial\bar{\partial}\phi$ эквивалентна 
{\it плюрисубгармоничности} функции $\phi$. Основной пример 
плюрисубгармонической функции - логарифм модуля голоморфной функции $g$.
Формула Лелона-Пуанкаре утверждает, что в этом случае получается просто
поток интегрирования по дивизору нулей $g$ (подробности см., например,
\cite{Sh}).

Вот некоторые важные для нас примеры эрмитовых метрик с особенностями:

\smallskip

1) Прообраз: пусть $f:\Delta\to (X,h)$. Тогда 
$$f^*h=u(z)|f'(z)|^2dz\otimes d\bar{z},\ u>0,\ u\in C^{\infty}.$$
Имеем $$-\phi=log|f'|+log(u)/2;$$ 
если кривизна $h$ была отрицательной, то кривизна $f^*h$ будет как минимум
столь же отрицательна.

2) ``Фубини-Штуди'': Пусть $L$ - линейное расслоение с сечениями
$s_0,\dots s_N$. Определим $h$ локально в тривиализации по формуле
$$||\xi||^2_h=\frac{|\xi|^2}{\sum |s_i(x)|^2}.$$
Тогда $\phi=log(\sum |s_i(x)|^2)/2$; $\frac{i}{\pi}\partial\bar{\partial}\phi$
положителен. Наша метрика с особенностями $h$ является прообразом
метрики Фубини-Штуди на расслоении ${\cal O}_{\p^N}(1)$ при отображении
$X\dasharrow \p^N$, заданном сечениями $s_0,\dots s_N$.

Ключевое для нас утверждение - это 

\medskip

{\bf Лемма 5.2 (лемма Альфорса-Шварца):} {\it Пусть 
$h(z)=u(z)dz\otimes d\bar{z}$ - эрмитова метрика с особенностями на $\Delta$,
$\omega_h$ соответствующая (1,1)-форма (точнее, поток!). Предположим,
что $i\partial\bar{\partial}log(u)\geq \epsilon \omega_h$ (опять же, в смысле
потоков). Тогда $h\leq \frac{2}{\epsilon} h_P$ (тоже в смысле потоков!
хотя, конечно, неравенство будет поточечным в случае гладкой $h$ и поточечного
неравенства в условии)}.

\medskip

{\it Доказательство:} Как в лемме Броди, можно предполагать, что $h$ 
определена на чуть большем
диске. Если $h$ гладкая, рассмотрим функцию $a(z)$, такую, что $h=ah_P$.
Она стремится к нулю на границе  $\Delta$, значит, достигает максимума
в точке $z_0$ внутри $\Delta$. Из того, что у $a$ максимум в $z_0$, имеем
$0\geq i\partial\bar{\partial}log\ a(z_0)$, и далее:

$$i\partial\bar{\partial}log\ a(z_0)=i\partial\bar{\partial}log\ u(z_0)-
i\partial\bar{\partial}log\ u_P(z_0)\geq \epsilon \omega_h(z_0)-2\omega_P(z_0)=
(\epsilon a(z_0)-2)\omega_P(z_0),$$

что и требовалось доказать (здесь $u_P$ и $\omega_P$ - функция и форма, 
очевидным образом ассоциированные с метрикой Пуанкаре).

Если $h$ не гладкая, применяется аргумент сглаживания потоков: вместо
максимума $u/u_P$ рассматриваем максимум $exp(\rho_{\epsilon}\ast log(u))/u_P$,
где $\rho_{\epsilon}$ - семейство сглаживающих ядер; см. \cite{D}.

\

 

Сейчас мы обсудим одно важное следствие этой леммы. Пусть 
$L$ - линейное расслоение на $X$, $m>>0$. Определим
$$\Sigma(L)=Bs(L^{\otimes m})\cup\{x|dim(\varphi_{|L^{\otimes m}|}^{-1}
\varphi_{|L^{\otimes m}|}(x))>0\}$$
(при достаточно больших $m$ это действительно не зависит от $m$). Другими
словами, $\Sigma(L)$ - объединение базисного множества и строго 
положительномерных слоев рационального отображения $\varphi_{|L^{\otimes m}|}$,
задаваемого полной линейной системой $|L^{\otimes m}|$. Хорошо
известно, что на самом деле $\varphi_{|L^{\otimes m}|}$ является 
вложением вне $\Sigma(L)$.

\medskip

{\bf Предложение 5.3:} {\it Пусть $A$ - обильное линейное расслоение на $X$,
$\pi: \p TX \to X$ - проекция, $f:\C\to X$ - целая кривая, 
$\tilde{f}:\C\to \p TX$ - ее подъем на $\p TX$. Тогда для всех $m>0$}
$$\tilde{f}(\C)\subset \Sigma({\cal O}_{\p TX}(m)\otimes \pi^*A^{-1}).$$

\medskip

Прежде чем приводить доказательство, сделаем несколько замечаний:

\medskip

1)$\Sigma(L)\neq X$ означает, что $L$ объемно (а $\Sigma(L)=\emptyset$ -
что $L$ обильно); в этом случае $\Sigma(L)$ - собственное 
подмногоообразие. Таким образом, наше предложение содержательно если и только
если ${\cal O}_{\p TX}(m)$ объемно (в этом случае 
${\cal O}_{\p TX}(m)\otimes \pi^*A^{-1}$ тоже объемно: объемность - открытое
свойство). Мы видели, что, например, для поверхности общего типа это
значит, что $c_1^2>c_2$.

\smallskip

2) На самом деле с помощью теории Неванлинны доказывается более сильное
утверждение, что 
$\tilde{f}(\C)\subset Bs({\cal O}_{\p TX}(m)\otimes \pi^*A^{-1})$; для
приложений это, кажется, все равно.

\smallskip

3) Если бы вместо $\C$ у нас была рациональная или эллиптическая кривая,
то это утверждение было бы совершенно очевидным. В самом деле, из того,
что $\tilde{f}_*$ отображает $T_C$ в ${\cal O}_{\p TX}(-1)$, следует, что
$deg({\cal O}_{\p TX}(m)\otimes \pi^*A^{-1}|_C)<0$ при $m>0$ и $g(C)\leq 1$.

\smallskip

4) Как обильность, так и объемность интерпретируются в терминах метрик 
положительной кривизны. Обильность равносильна существованию гладкой метрики
положительной кривизны: это теорема Кодаиры о вложении. Объемность же $L$
равносильна существованию метрики с особенностями $h$, такой, что 
$\Theta_h(L)\geq \epsilon\omega_h$ в смысле потоков (условие положительности
в смысле потоков было бы слишком слабым, т.к. положительность в смысле
потоков - это, скорее, неотрицательность!)  

\medskip

{\it Доказательство предложения 5.3:} Можно предполагать, что расслоение
${\cal O}_{\p TX}(m)\otimes \pi^*A^{\-1}$ объемно - ведь иначе утверждение 
пусто. Предположим, что образ $\tilde{f}(\C)$ не содержится в
$\Sigma({\cal O}_{\p TX}(m)\otimes \pi^*A^{-1})$.
Построим на $\C$ метрику с особенностями, удовлетворяющую лемме
Альфорса-Шварца. Поскольку $A$ обильно, на нем можно выбрать метрику
положительной кривизны $h_A$; имеем, для достаточно малого $\epsilon$,
$$-\frac{i}{\pi} \partial\bar{\partial}log\ u_A\geq \epsilon\omega_{h_A}$$
(обозначения $u$, $\omega$ - как в лемме). Определим метрику $h$ на 
$L_m={\cal O}_{\p TX}(m)\otimes \pi^*A^{\-1}$ как прообраз метрики
Фубини-Штуди, т.е. локально в тривиализации
$$||\xi||^2_h=\frac{|\xi|^2}{\sum|\sigma_i(x)|^2};$$
это метрика положительной кривизны, так как $L_m$ объемно. Значит, на
${\cal O}_{\p TX}(-1)$ имеем метрику (строго!) отрицательной кривизны 
$(h\pi^*h_A)^{-1/m}$; так как $f_*$ отображает касательное расслоение к
$\C$ в ${\cal O}_{\p TX}(-1)$, получаем метрику строго отрицательной
кривизны на $\C$, а именно, 
$$h_0=\tilde{f}^*((h\pi^*h_A)^{-1/m})=u(z)dz\otimes 
d\bar{z}$$ (это не ноль, поскольку $\tilde{f}(\C)$ не попадает в
$\Sigma({\cal O}_{\p TX}(m)\otimes \pi^*A^{-1})$! Заметим, что непопадания
$\tilde{f}(\C)$ в базисное множество $L_m$ здесь недостаточно). Имеем

$$\frac{i}{\pi}\partial\bar{\partial}log\ u=
-\Theta_{\tilde{f}^*(h\pi^*h_A)^{-1/m}}\geq f^*\Theta_{h_A^{-1/m}}.$$ По компактности $X$ и положительности $h_A$, 
$f^*\Theta_{h_A^{-1/m}}$ не меньше формы, ассоциированной с 
$c||f'(z)||^2_{h_X}dz\otimes d\bar{z}$, для произвольной эрмитовой
метрики $h_X$ и некоторой зависящей от нее константы $c$, а это, в свою 
очередь, не меньше $c'\omega_{h_0}$ для некоторой другой константы $c'$,
поскольку оба выражения квадратично зависят от производной $f$.
Так что, по лемме Альфорса-Шварца, $h_0\leq Const\cdot h_P$ в единичном
диске. Но этого не может быть: рассматривая $f_R(z)=f(Rz)$, получим
$R^2h_0\leq Const\cdot h_P$, т.е. наша метрика $h_0$ может быть определена
лишь на диске некоторого ограниченного радиуса, но никак не на всем $\C$.
Предложение доказано.

\

Заметим, что мы передоказали предложение 4.8: действительно, если
кокасательное расслоение $X$ обильно, то $\Sigma(L_m)$ - пустое множество для
достаточно больших $m$,
то есть, на  $X$ не может быть целых кривых.

\

Следующее обобщение теоремы Богомолова является следствием предложения
5.3 и результатов Макквиллена (\cite{MQ}):

\medskip

{\bf Теорема 5.4 (М. Макквиллен, 1998)} {\it Пусть $S$ - поверхность общего 
типа с $c_1^2>c_2$.
Тогда образ любой целой кривой $f:\C\to S$ содержится в рациональной или
эллиптической кривой на $S$ (напомним, что по теореме Богомолова таких
кривых лишь конечное число; другими словами, $S$ ``гиперболична вне
собственного подмногообразия''.)}.

\medskip

{\it Идея доказательства:} Неравенство $c_1^2>c_2$ означает, что
${\cal O}_{\p TX}(1)$ объемно. То есть, по предыдущему предложению, 
образ $\tilde{f}$
лежит в дивизоре $D\subset \p TX$. Пусть $\tilde{D}$ - разрешение особенностей.
Если $D$ не доминирует $S$, то доказывать нечего - образ $D$ в $S$ и будет
искомой рациональной или
эллиптической кривой. Если $D$ доминирует $S$, то $\tilde{D}$ общего типа.
Кроме того, как мы уже видели,  $\tilde{D}$ снабжено тавтологическим 
слоением, и наша целая кривая - его лист.

Теорема 5.4 теперь следует из другой теоремы Макквиллена:

\medskip

{\bf Теорема 5.5} {\it У слоения на поверхности общего типа нет плотных
параболических листов}.

\medskip

Доказать эту теорему трудно, и в наши планы это не входит. Основная идея
примерно такова: целой кривой $f:\C\to X$ можно сопоставить 
замкнутый положительный поток ``интегрирования'' по ней. Именно, положим
$$\Phi_r(\eta)=\frac{\int_0^r\frac{dt}{t}\int_{D_t}f^*(\eta)}
{\int_0^r\frac{dt}{t}\int_{D_t}f^*(\omega)}, $$ где $\omega$ - форма,
ассоциированная с кэлеровой метрикой. Оказывается, можно выбрать
последовательность $r_n\to\infty$ так, что предел $\Phi_{r_n}$ замкнут
(``отношение длины к площади стремится к нулю''). Этот предел, априори, зависит
от конкретной последовательности $(r_n)$, но нам это не важно. Обозначим $\Phi$
какой-нибудь из таких замкнутых пределов. Важный факт состоит в том, что если $Z\subset X$ -
не содержащая $Im(f)$ гиперповерхность, то $[\Phi]\cdot [Z]\geq 0$
(двойное интегрирование используется именно здесь - применяется формула
Пуассона-Йенсена). В частности, если $Im(f)$ плотный, то $\Phi$ численно
эффективен. Если $X$ - поверхность общего типа, то $K_X$ объемен. Из
этого и из численной эффективности и нетривиальности $\Phi$ следует, что  
$K_X\cdot [\Phi] > 0$. Дальше доказывается, что на самом деле
$K_X\cdot [\Phi]\leq 0$ - что было бы вполне логично, будь $f$ ``честной''
рациональной или эллиптической кривой, но в нашем случае
это глубоко нетривиальный результат о слоениях.
 

\medskip

Отметим, наконец, что в 1990 году Лу и Яу доказали аналогичное 5.4
утверждение с более сильным предположением $c_1^2>2c_2$:

\medskip

{\bf Предложение 5.6} {\it Пусть $X$ - минимальная поверхность общего типа с
$c_1^2>2c_2$. Тогда все голоморфные образы $\C$ на $X$ алгебраически вырождены,
т.е., содержатся в рациональных или эллиптических кривых.}

\medskip

Их доказательство
совсем простое и использует, кроме предложения 5.3, стабильность по 
Богомолову кокасательного расслоения к поверхности общего типа. 
А именно: заметив, что образ $f$ содержится в неприводимом дивизоре
$D\subset \p TX$ в силу 5.3, Лу и Яу доказывают (используя
стабильность и неравенство $c_1^2>2c_2$),
что ${\cal O}_{\p TX}(1)|_D$ по-прежнему объемен. Доказательство
мы оставим в качестве упражнения. 

(Указания: Пусть $D\in |{\cal O}_{\p TX}(k)\otimes
 \pi^*F^{-1}|$. Оцените $FK_X$ с помощью стабильности по Богомолову.
Выведите отсюда, что $L^2>0$ (где $L={\cal O}_{\p TX}(1)|_D$).
Затем покажите, что $L^{-m}\otimes K_D$ отрицательно пересекается
с численно эффективным $\pi^*K_X|_D$ и поэтому не может быть эффективен.)

Затем тот же трюк
с метриками, что и в доказательстве 5.3, применяется на разрешении
особенностей $\tilde{D}$ (вместо $\p TX$). В конце концов получается, 
что образ $f$ должен
содержаться в собственном подмногообразии $\tilde{D}$, т.е. в кривой, ч.т.д..

\

{\bf Замечание 5.7}: Почти все ``очевидные'' примеры поверхностей 
удовлетворяют $c_1^2\leq 2c_2$. Тем не менее, можно построить и поверхности
с $c_1^2=kc_2$ для всех рациональных $2<k\leq 3$ (неравенство $k\leq 3$ выполнено
всегда - это знаменитое неравенство Мияоки-Богомолова): см., например,
\cite{S}. Грубо говоря, они получаются заменой базы из очень специального 
расслоения на кривые (у него $c_1^2=3c_2$!) над
кривой довольно большого рода. Такие поверхности для нас не особенно интересны:
ведь у них большая иррегулярность, и поэтому утверждение следует из
много раз доказанной и передоказанной ``гипотезы Блоха''. Но существуют
и односвязные примеры с $k$ вплоть до 2,7 : они обнаружены Ченом
в конце 80-х годов (\cite{Ch}). 



\

{\bf 6. Расслоения джетов}

\

Эта заключительная часть пректически не содержит полных
доказательств. Ее цель - ознакомить
читателя с идеями Грина-Гриффитса, Демайи и их последователей о том,
как можно получать информацию о целых кривых, используя расслоения 
джетов.

В предыдущей части мы рассматривали случай, когда расслоение $S^m\Omega^1_X$
имеет сечения (и даже достаточно много сечений; но это последнее условие, 
в принципе, можно ослабить) при больших $m$. В то же время, для наиболее
``очевидных'' многообразий - гиперповерхностей - это не так.

\medskip

{\bf Предложение 6.1} {\it Если $X_d\subset \p^n$ - гиперповерхность, то
$H^0(X, S^m\Omega^1_X)=0$ для любого $m>0$.}

\medskip

{\it Доказательство:} Имеем точную последовательность Эйлера
$$0\rightarrow \Omega^1_{\p^n}\rightarrow \oplus_{n+1}{\cal O}_{\p^n}(-1)\rightarrow {\cal O}_{\p^n}\rightarrow 0,$$ и из нее
$$0\rightarrow S^k\Omega^1_{\p^n}\rightarrow 
\oplus_{\dots}{\cal O}_{\p^n}(-k)\rightarrow \oplus_{\dots}{\cal O}_{\p^n}(1-k)
\rightarrow 0.$$ С другой стороны, точно так же из
$$0\to {\cal O}_X(-d)\to \Omega^1_{\p^n}|_X\to \Omega^1_X\to 0$$
получаем $$0\to S^{k-1}\Omega^1_{\p^n}|_X\otimes {\cal O}_X(-d) \to
 S^k\Omega^1_{\p^n}|_X\to S^k\Omega^1_X\to 0.$$
Из этих точных последовательностей сразу следует то, что нужно.

\medskip
 
Напомним, что в предыдущей части сечения подкруток пучка
$S^m\Omega^1_X$ использовались для того, чтобы получaть дифференциальные
уравнения первого порядка, которым должна удовлетворять целая кривая
$f:\C\to X$. Грин и Гриффитс обнаружили, что и в отсутствие таких сечений -
например, на гиперповерхности $X$ -
наша кривая будет удовлетворять алгебраическим дифференциальным уравнениям,
порядка два или выше; эти уравнения получаются из сечений пучков
``$k$-джет-дифференциалов'' на $X$. Впоследствии Демайи и Эль Гуль,
используя более тонкий вариант конструкции Грина и Гриффитса, доказали
гиперболичность общей гиперповерхности степени 21 и выше в $\p^3$. 
Схема доказательства напоминает упомянутый в конце предыдущей части
аргумент Лу и Яу, но само доказательство гораздо сложнее технически.
Сейчас мы постараемся объяснить, что же примерно там происходит.

\medskip

{\it Джеты Грина-Гриффитса:}

\medskip

Рассмотрим ростки отображений $f:\Delta\to X$:
$$f(z)=f^{(0)}+f^{(1)}z+\dots+f^{(k)}z^k/k!+\dots,\ f^{(0)}=x,
\ f^{(i)}\in \C^n.$$
Введем отношение эквивалентности на множестве ростков: назовем два ростка
эквивалентными, если они совпадают до $f^{(k)}$ включительно. Множество
классов эквивалентности обозначим $J_k(X)_x$. Пусть 
$J_k(X)=\cup_{x\in X}J_k(X)_x$. Имеется естественная проекция $J_k(X)\to X$;
каждый ее слой $J_k(X)_x$ естественно изоморфен $\C^{kn}$, но 
глобально $J_k(X)$ не является векторным расслоением на $X$ (функции
перехода нелинейны). Имеются также естественные проекции
$J_{k+1}(X)\to J_k(X)$ (``забвение $f^{(k+1)}$''); это аффинные расслоения
(если зафиксировать $f^{(i)}, i\leq k$, то $f^{(k+1)}$ ведет себя при замене
координат таким же образом, как и  касательный вектор). Пусть $nc$ обозначает
непостоянные ростки; рассмотрим
$$P_k^{GG}(X)=J_k^{nc}(X)/\C^*,$$
где $\C^*$ действует гомотетиями $\Delta$, то есть
$$\lambda(f^{(0)}, f^{(1)}, \dots, f^{(k)})=(f^{(0)}, \lambda f^{(1)}, \dots,
\lambda^kf^{(k)}).$$

$P_k^{GG}(X)$ называется {\it расслоением $k$-джетов Грина-Гриффитса}. 
Очевидно,
слои $F_{k,n}$ естественной проекции $\pi_k^{GG}: P_k^{GG}(X)\to X$ -
взвешенные проективные пространства 
$\p (1,\dots,1,2\dots,2, \dots, k,\dots, k)$ размерности $kn-1$. При $k=1$
$P_1^{GG}(X)=\p TX$.

На слоях $F_{k,n}$ - точнее, на соответствующих аффинных пространствах 
$\C^{kn}$ - 
можно рассмотреть взвешенно-однородные многочлены 
степени $m$, т.е. $\phi$ такие, что $\phi(\lambda v)=\lambda^m\phi(v)$.
Такие многочлены с коэффициентами - функциями на  $X$ являются сечениями
пучков $J_{k,m}$ на  $X$. Например, при $k=1$, $J_{1,m}=S^m\Omega^1_X$.
При $k=2$, сечения $J_{2,2}$ локально записываются как $\phi = 
\sum a_{ij}f'_if'_j+\sum b_if_i''$. Грин и Гриффитс назвали $J_{k,m}$
{\it пучками $k$-джет-дифференциалов степени $m$}.

Разумеется, наши многочлены $\phi(v)$ степени $m$ можно рассматривать и 
как сечения
пучков ${\cal O}_{P_k}^{GG}(m)$ ранга 1 на $P_k^{GG}(X)$. Эти пучки не всегда будут обратимыми,
поскольку  $F_{k,n}$ - взвешенные (а не просто) проективные пространства;
но они обратимы, например, если $m$ кратно $k!$.

На $J_{k,m}$ имеется фильтрация, которая позволяет сосчитать эйлерову
характеристику. Она строится так: рассмотрим частичную фильтрацию по степеням 
$f^{(k)}$:

$$J_{k-1,m}=F_0\subset F_1\subset \dots \subset F_{[m/k]}=J_{k,m}.$$

Ее факторы $F_i/F_{i-1}$ изоморфны $S^i\Omega_X^1\otimes J_{k-1,m-ki}$:
это следует из того замечания, что $f^{(k)}$ ведет себя как касательный
вектор при фиксированных $f^{(<k)}$. Итерируя процесс, получим
в конце концов фильтрацию на $J_{k,m}$ с факторами, изоморфными
$$S^{i_1}\Omega_X^1\otimes\dots \otimes S^{i_k}\Omega_X^1, \ i_1+2i_2+\dots
+ki_k=m.$$

Отсюда Грин и Гриффитс вывели, в частности, следующее

\medskip

{\bf Предложение 6.2:} {\it Для поверхности $X$, рассмотрим $\chi(X, J_{2,m})$
как функцию $m$. Тогда} 
$$\chi(X, J_{2,m})=\frac{1}{4^33!}(7c_1^2-5c_2)m^{dim\ P_k^{GG}(X)}+
o(m^{dim\ P_k^{GG}(X)}).$$

\medskip

Чтобы получить информацию об $H^0(X,J_{2,m})$ для больших $m$ - например,
доказать, что ${\cal O}_{P_2}^{GG}(m)$ объемен, если $m$ - большая кратность $k!$ -
нужно контролировать $H^2(X,J_{2,m})$. В интересующем нас случае, 
когда $X$ - общего типа, такой контроль обеспечивается стабильностью
по Богомолову. Одно из следствий (или даже часть определения - зависит
от выбора точки зрения!) стабильности по Богомолову касательного расслоения
к $X$ - это следующее 

\medskip

{\bf Утверждение 6.3:} {\it Если сечение
$$s\in H^0(X, S^{i_1}T_X\otimes\dots\otimes S^{i_k}T_X\otimes 
K_X^{(i_1+\dots + i_k)/2})$$ обращается в нуль в некоторой точке $X$, то оно
нулевое.}

\medskip

($S^{i_1}T_X\otimes\dots\otimes S^{i_k}T_X\otimes K^{(i_1+\dots + i_k)/2}$ -
это в точности подкрутка $S^{i_1}T_X\otimes\dots\otimes S^{i_k}T_X$ с нулевым
детерминантом).

Значит, если $q<(i_1+\dots + i_k)/2$, то
$H^0(X, S^{i_1}T_X\otimes\dots\otimes S^{i_k}T_X\otimes 
K_X^q)=0$. Дуализируя, получим, что $H^2(X,S^{i_1}\Omega^1_X\otimes\dots\otimes
S^{i_k}\Omega^1_X)$ при $i_1+\dots + i_k>2$, т.е.

$$H^2(X, J_{k,m})=0, \ m>2k.$$

То есть, расслоение ${\cal O}_{P_2}^{GG}(m)$ на $P_2^{GG}$ действительно будет 
объемным для достаточно больших $m$, кратных $k!$, при условии, что
$c_1^2>5c_2/7$.

Напомним, что для гиперповерхности степени $d$ в $\p^3$ 
$$c_1^2=d(d-4)^2; \ c_2=d(d^2-4d+6);$$
значит, последнее утверждение выполняется начиная с $d=16$.

Пусть теперь $f:\C\to X$ - голоморфное отображение. Очевидно, $f$ поднимается
на $P_2^{GG}$ посредством первой и второй производных: 
$f_2:\C\to P_2^{GG}(X)$. 
В этой ситуации можно доказать аналог Предложения 5.3: образ $f_2$ 
попадет в ``плохое множество'' для 
${\cal O}_{P_2}^{GG}(m)\otimes (\pi^{GG}_k)^*A^{-1}$, где $A$ обилен на $X$
(на самом деле он попадет и в базисное множество, но для того, чтобы
это доказать, нужна теория Неванлинны). Значит, можно сделать такое

\medskip

{\bf Заключение 6.4:} {\it При $d\geq 16$, образ $f_2$ лежит в собственном 
подмногообразии
$P_2^{GG}(X)$; другими словами, кривая $f$ удовлетворяет некоторым 
алгебраическим дифференциальным уравнениям второго порядка.}

\medskip

К сожалению, мы не можем сказать ничего особенного про
наше собственное подмногообразие - оно может быть весьма большим, например,
четырехмерным! А нам бы хотелось, как и в предыдущей части, посадить
образ $f_2$ на алгебраическую поверхность и использовать теорему МакКвиллена.
Но джетов Грина-Гриффитса просто ``слишком много'' для того, чтобы этого
добиться. Демайи предложил более экономичную конструкцию ``джетов
Семпла-Рота''; ее недостаток в том, что описать джеты Семпла-Рота в терминах,
удобных для вычисления эйлеровой характеристики, в общем случае
значительно труднее, чем описать джеты Грина-Гриффитса. В интересующем
нас сейчас случае 2-джетов
такой проблемы, впрочем, не возникает.

\

{\it Джеты Семпла-Рота-Демайи:}



\

Грубо говоря, это фактор $J_k(X)$ по всем росткам замен координат на $\Delta$
(а не только по гомотетиям). Конечно, такого фактора на самом деле не
существует; поэтому берется некоторая открытая часть $J^{reg}_k$, фактор
$J^{reg}_k/{\mathbb G}_k$ (где ${\mathbb G}_k$ - группа ростков биголоморфных
отображений $\Delta$ в себя) и компактификация $X_{[k]}$. На самом деле
$X_{[k]}$ можно построить и другим способом - потребовав, чтобы все 
отображения из $\C$ в $X$ поднимались на $X_{[k]}$. Вот как это делается
в \cite{D}:

Рассмотрим пару $(X,V)$, $V\subset T_X$. По такой паре построим новую пару
$(\tilde{X}, \tilde{V})$, $\tilde{V}\subset T_{\tilde{X}}$: положим

$$\tilde{X}=\p(V);\ \pi:\tilde{X}\to X;\ \tilde{V}_{x,[v]}=
\{\xi\in T_{\tilde{X}, (x,[v])}|\pi_*\xi\in\C v\}.$$

Очевидно, если образ $f:\C\to X$ касателен к $V$, то отображение $f$
поднимается до $\tilde{f}:\C\to\tilde{X}$ (с помощью производной), 
и образ $\tilde{f}$ будет касателен
к $\tilde{V}$.

Положим теперь $X_0=X;\ V_0=T_X$; определим $(X_{[k]}, V_{[k]})$ как
$(\tilde{X}_{[k-1]}, \tilde{V}_{[k-1]})$. Пусть $\pi_{0,k}:X_{[k]}\to X$,
$\pi_{l,k}:X_{[k]}\to X_{[l]}$ - естественные проекции. 

Пусть ${\cal O}_{X_{[k]}}(1)$ - тавтологическое линейное расслоение
на $X_{[k]}$, рассматриваемом как проективное расслоение над $X_{[k-1]}$.
Обозначим $E_{k,m}=(\pi_{0,k})_* {\cal O}_{X_{[k]}}(1)$.

Имеет место аналог предложения 5.3:

\medskip

{\bf Предложение 6.5} {\it Пусть $f:\C\to X$ - целая кривая и $f_{[k]}:\C\to
X_{[k]}$ - ее поднятие на $X_{[k]}$. Тогда для обильного $A$ на $X$ и любого
$m>0$,
образ $f_{[k]}$ лежит в $\Sigma({\cal O}_{X_{[k]}}(m)\otimes A^{-1})$.}

\medskip

Можно показать, что сечения $E_{k,m}$ - это ${\mathbb G}_k$-инвариантные
k-джет-дифферен- циалы степени $m$ на $X$: то есть, $X_{[k]}$ действительно
является ``фактором'' расслоения джетов Грина-Гриффитса по действию 
${\mathbb G}_k$ (а точнее, ядра отображения первой производной в нуле из
${\mathbb G}_k$ в $\C^*$). При $k=1$ это, конечно, снова 
просто $S^m\Omega^1_X$. Для произвольного $k$ описать $E_{k,m}$ непросто,
но для $k=2$ на $E_{2,m}$  имеется фильтрация с факторами, изоморфными
$S^{m-3j}\Omega^1_X\otimes K_X^j$ (\cite{D}). Как и раньше, из этого
легко выводится следующее:

\medskip

{\bf Предложение 6.6}  {\it Пусть $X$- поверхность общего типа.
Расслоение ${\cal O}_{X_{[2]}}(1)$ объемно при $c_1^2\geq 9c_2/13$;
если $X$ - гиперповерхность в $\p^3$, последнее означает, что степень $X$
не меньше 15.}

\medskip

Из 6.5 и 6.6 получаем, что для любой целой кривой $f:\C\to X$,
образ $f_{[2]}:\C\to X_{[2]}$ лежит на собственном подмногообразии 
$D\subset X_{[2]}$. Многообразие $X_{[2]}$ четырехмерно; для того, чтобы
воспользоваться теоремой МакКвиллена, нам нужно показать, что 
если $D$ трехмерно и доминирует $X$, то образ $f_{[2]}$ не может быть 
плотен в $D$. Демайи и Эль Гуль \cite{DEG} доказывают (используя не
только стабильность по Богомолову, но и, например, тот факт, что $Pic(X)=\Z$
для общей гиперповерхности степени не менее 4 в $\p^3$), что 
${\cal O}_{X_{[2]}}(1)|_D$ объемен при $d\geq 21$. Как уже
говорилось
в предложении 5.6, из этого выводится, что образ $f_{[2]}:\C\to
X_{[2]}$
лежит в собственном подмногообразии $D$, т.е. на поверхности; а теперь
уже
применима теорема Макквиллена - получаем, что образ  $f:\C\to X$
должен
содержаться в рациональной или эллиптической кривой на $X$. Но, как
мы
выяснили в первой части, таких кривых на общей $X$ не бывает.
Таким образом, Демайи и Эль Гуль доказали следующий результат:

\medskip

{\bf Теорема 6.7 (\cite{DEG}):} {\it Общая поверхность степени $d$ в $\p^3$ гиперболична
по Кобаяши, если $d\geq 21$.}








 
 



\begin{thebibliography}{}

\bibitem[B]{B} Ф.А. Богомолов: Семейства кривых на поверхности
  общего типа,  Доклады АН СССР  236  (1977), номер 5, 1041--1044. 

\bibitem[Br]{Br} M. Brunella: Birational geometry of
  foliations. ЛЕЖИТ В СЕТИ:

http://www.impa.br/opencms/pt/downloads/birational.pdf

\bibitem[Cl]{Cl} H. Clemens: Curves on generic hypersurfaces,  Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. (4)  19  (1986),  no. 4, 629--636.

\bibitem[Ch]{Ch} Z. Chen, On the geography of surfaces, Math. Ann. 277
(1987), 141-164. 

\bibitem[D]{D} J.-P. Demailly, Algebraic criteria for Kobayashi
  hyperbolicity
and jet differentials,  Algebraic geometry Santa Cruz 1995,  285--360,
Proc. Sympos. Pure Math., 62, Part 2, Amer. Math. Soc., Providence,
  RI, 1997.
ЛЕЖИТ В СЕТИ: 

http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/\~{}demailly/manuscripts/hypb.ps.gz 

\bibitem[Deb]{Deb} O. Debarre, Hyperbolicity of complex varieties.
ЛЕЖИТ В СЕТИ:

 http://www-irma.u-strasbg.fr/\~{}debarre/DebarreCourse.pdf

\bibitem[DEG]{DEG} J.-P. Demailly, J. El Goul: Hyperbolicity of
  generic surfaces of high degree in projective 3-space,
  Amer. J. Math.  122  (2000),  no. 3, 
515--546. ЛЕЖИТ В СЕТИ: arXiv.org, math.AG/9804129.

\bibitem[E]{E} L. Ein: Subvarieties of generic complete
 intersections,  Invent. Math.  94  (1988),  no. 1, 163--169.

\bibitem[GG]{GG} M. Green, Ph. Griffiths: Two applications of algebraic geometry to entire holomorphic mappings,  The Chern Symposium 1979 (Proc. Internat. Sympos., Berkeley, Calif., 1979),  pp. 41--74, Springer, New York-Berlin, 1980

\bibitem[J]{J} J.-P. Jouanolou: Hypersurfaces solutions d'une \'equation de Pfaff analytique, Math. Ann.  232  (1978), no. 3, 239--245

\bibitem[L]{L} S. Lang: Introduction to complex hyperbolic spaces, 
Springer-Verlag, New York, 1987

\bibitem[M]{M} Д. Мамфорд, Лекции о кривых на алгебраической поверхности.

\bibitem[MD]{MD} M. Martin-Deschamps: Courbes de genre
  g\'eom\'etrique born\'e 
sur une surface de type g\'en\'eral [d'apr\`es
  F. A. Bogomolov]. S\'eminaire Bourbaki (1977/78),  Exp. No. 519, pp. 233--247,
Lecture Notes in Math., 710, Springer, Berlin, 1979

\bibitem[MQ]{MQ} M. McQuillan: Diophantine approximations and
  foliations, Publ. Math. IHES  87 (1998), 121--174. 

\bibitem[N]{N} J. Noguchi: A short analytic proof of closedness of
  logarithmic
forms, Kodai Math. J. 18 (1995), 295-299.

\bibitem[R1]{R1} H. Royden: Remarks on the Kobayashi metric.  Several complex variables, II (Proc. Internat. Conf., Univ. Maryland, College Park, Md., 1970),  pp. 125--137. Lecture Notes in Math., Vol. 185, Springer, Berlin, 1971

\bibitem[R2]{R2} H. Royden: The extension of regular holomorphic maps.
Proc. Amer. Math. Soc. 43 (1974), 306--310. 

\bibitem[S]{S} A. J. Sommese: On the density of ratios of Chern numbers
of algebraic surfaces, Math. Ann. 268 (1984), 207-222.

\bibitem[Sh]{Sh} Б.В. Шабат, Введение в комплексный анализ.

\bibitem[V]{V} C. Voisin: On a conjecture of Clemens on rational
  curves on 
hypersurfaces,  J. Differential Geom.  44  (1996),  no. 1, 200--213;
  erratum: J. Differential Geom.  49  (1998),  no. 3, 601--611.
 

\bibitem[W]{W} J. Winkelmann: A projective manifold where Brody and
  entire 
curves behave very differently, arXiv, math.CV/0511142.

\bibitem[X]{X} G. Xu: Divisors on generic complete intersections in 
projective space.  Trans. Amer. Math. Soc.  348  (1996),  no. 7, 2725--2736.



\end{thebibliography}{}

\end{document}
