26 сентября 2006 года исполнилось 60 лет доктору физико-математических наук, профессору Федору Алексеевичу Богомолову. Он родился в Москве, в семье известного исследователя космоса (ныне академика РАН) Алексея Федоровича Богомолова.
Закончив механико-математический факультет Московского Государственного Университета в 1970 г., Ф.А. Богомолов был принят в аспирантуру Математического Института АН СССР им. В.А. Стеклова. Его научным руководителем стал С.П. Новиков. В 1974 г., после защиты кандидатской диссертации, он поступил на работу в отдел алгебры МИАН. С тех самых пор профессиональная деятельность Ф.А. Богомолова неразрывно связана с отделом алгебры. Хотя Федор Алексеевич с 1994 г. является профессором Математического Института им. Р. Куранта в Нью-Йоркском Университете, в настоящее время он остается внештатным сотрудником МИАН и, регулярно бывая в Москве, участвует в творческой работе отдела и семинарах. В 2006 году 60-летие Ф.А. Богомолова было отмечено в МИАН международной конференцией.
Свою математическую деятельность Федор Алексеевич начинал как тополог (первая его статья, опубликованная в 1969 г., посвящена действию окружности на гладких нечетномерных сферах). Однако, уже в начале 70х годов он полностью изменил направление исследований и занялся алгебраической геометрией. На этом пути его ожидал блестящий успех. В настоящее время Ф.А. Богомолов -- один из ведущих мировых алгебраических геометров, а его неожиданные, непредсказуемые, в полном смысле слова новаторские работы легли в основу нескольких современных направлений этой дисциплины.
Кандидатская диссертация Ф.А. Богомолова посвящену изучению компактных кэлеровых многообразий с тривиальным каноническим классом. Главная теорема, доказанная здесь -- это так называемая "теорема Богомолова о разложении": с точностью до конечного неразветвленного накрытия, любое компактное кэлеровое многообразие с рационально тривиальным каноническим классом $c_1$ разлагается в произведение тора, простых многообразий Калаби-Яу и простых гиперкэлеровых многообразий. Это -- современная формулировка; сами термины "гиперкэлерово многообразие" и "многообразие Калаби-Яу" появлись значительно позднее, после доказательства гипотезы Калаби, данного Ш.-Т. Яу в 1979 г. Впоследствии оба класса многообразий приобрели большую известность как в алгебраической геометрии, так и в математической физике, где они широко используются в струнной теории.
При этом основы современной структурной теории гиперкэлеровых многообразий были построены также Ф.А. Богомоловым, причем еще в 1978 г., за год до доказательства Яу. Среди прочего, он показал, что вторые когомологии $H^2(X)$ простого гиперкэлерова многообразия $X$ снабжены канонической вещественной квадратичной формой сигнатуры $(3,b_2(X)-3)$ (форма Богомолова-Бовиля-Фуджики). Используя эту форму, Богомолов построил для гиперкэлеровых многообразий теорию периодов и доказал теорему типа Торелли, аналогичную теореме Торелли для поверхностей типа К3, доказанной ранее И.Р. Шафаревичем и И.И. Пятецким-Шапиро. Важным техническим средством здесь явилась теорема Богомолова об отсутствии препятствий к деформации. Впоследствии она была обобщена Г. Тианом и А. Тодоровым на многообразия Калаби-Яу, и известна сейчас как "теорема Богомолова-Тиана-Тодорова".
Другим важным направлением деятельности Ф.А. Богомолова в 70-е годы была теория алгебраических поверхностей. Следует отметить, что в это время школа алгебраической геометрии И.Р. Шафаревича, представленная, например, Ю.И. Маниным, А.Н. Тюриным, А.Н. Паршиным, С.Ю. Аракеловым, и другими, была в изучении поверхностей несоменным мировым лидером. Ф.А. Богомолов включился в работу этой школы, и быстро достиг выдающихся результатов.
Так, в 1976 г. он изучил так называемые поверхности класса $VII_0$ с нулевым вторым числом Бетти -- это некоторые некэлеровы компактные комплексные поверхности, примеры которых были построены М. Инуэ. Совершенно неожиданным образом, изучение таких поверхностей требует привлечение арифметических методов (а именно, рассмотрения автоморфизмов поля комплексных чисел), а сами поверхности, как оказывается, допускают аффинную структуру.
Независимо, Ф.А. Богомолов занялся теорией векторных расслоений на алгебраических многообразиях произвольной размерности и ввел для векторных расслоений новое понятие стабильности; в отличие от обычной стабильности по Мамфорду или по Гизекеру, стабильность по Богомолову не зависит от выбора поляризации, и основывается на рассмотрении подфакторов всех тензорных степеней расслоения. Эта теория дает возможность получить фундаментальное неравенство между числами Черна стабильных векторных расслоений. Подход Богомолова в духе таннакиева формализма значительно опередил свое время -- рассматривать тензорные произведения векторных расслоений в контексте стабильности стало куда проще через 10 лет, после доказательства теоремы Уленбек-Яу о эрмитовых метриках Янга-Миллса. Стабильность по Богомолову и, по выражению М. Рида, "теория инвариантов Богомолова" по-прежнему привлекают внимание ведущих алгебраических геометров (здесь можно упомянуть, например, недавние работы Я. Коллара, где категория стабильных расслоений на многообразии рассматривается как тензорная категория, и получаются результаты о соответствующей алгебраической группе).
В 70х годах, подход Богомолова оказался особенно продуктивен в теории алгебраических поверхностей. Пожалуй, самый известный результат Богомолова, полученный этим методом -- это тот факт, что кокасательное расслоение поверхности общего типа не может быть нестабильно; отсюда выводится знаменитое неравенство Богомолова, гласящее, что для поверхности общего типа имеем $c_1^2 \leq 4c_2$ (а также, как показал Е. Мияока, и более сильное неравенство $c_1^2 \leq 3c_2$).
Эти результаты имеют большое значение не только для алгебраической геометрии над $\mathbb C$, но и для арифметики. Неравенство Богомолова для стабильных расслоений было сформулирована и доказано для арифметических поверхностей в рамках геометрии Аракелова (А. Мориваки). Арифметический аналог неравенства Богомолова для чисел Черна арифметической поверхности является труднейшей проблемой. Оно имеет в качестве следствия целый ряд известных результатов и гипотез теории чисел (эффективная гипотеза Морделла, ограниченность кручения эллиптических кривых, последняя теорема Ферма и др.).
Другой замечательный результат -- это две теоремы Богомолова об ограниченности. Первая гласит, что на поверхности общего типа с $c_1^2 > c_2$ кривые фиксированного рода образуют алгебраическое семейство (т.е. соответствующая схема Гильберта имеет конечное число компонент). Во второй условие на классы Черна поверхности снимается, но рассматриваются только кривые с отрицательным самопересечением (поскольку такие кривые не деформируются, теорема просто утверждает, что их конечное число).
Один частный случай этого утверждения -- рациональные и эллиптические кривые; в этом случае из теоремы Богомолова выводится, что поверхность общего типа гиперболична вне замкнутого алгебраического подмножества. Следует отметить, что вопрос о гиперболичности в разных смыслах компактных комплексных многообразий -- один из самых трудных и интригующих в алгебраической геометрии; и результаты, и методы работ Ф.А. Богомолова до сих пор в этом вопросе очень важны.
Помимо алгебраической геометрии над полем комплексных чисел, довольно рано Федор Алексеевич начал заниматься и арифметическими аспектами алгебраической геометрии.
Так, в конце 70х годов, в серии писем к Ж.-П. Серру, он доказал следующий факт (опубликованный в 1981 году): представление группы Галуа числового поля $K$ в $l$-адическом модуле Тэйта абелевого многообразия $A$ над $K$ обладает следующим замечательным свойством алгебраичности: образ группы Галуа -- открытая подгруппа в группе $l$-адических точек некоторой линейной алгебраической группы. Важным следствием этого утверждения является то, что найдется автоморфизм Галуа, действующий на модуль Тэйта как умножение на $M$ для некоторого натурального числа $M>1$. Отсюда вытекает, в частности, что, если даны кривая над числовым полем рода $\geq 2$, и целое положительное число $N$, то образ кривой в ее якобиане содержит не более, чем конечное число точек кручения, порядок которых делит степень $N$. Этот результат явился важным продвижением на пути к доказательству гипотезы Манина-Мамфорда о конечности числа точек кручения на таких кривых, доказанной впоследствии М. Рейно.
Другое направление исследований Ф.А. Богомолова в алгебраической геометрии, арифметическое по духу, если и не по формальным признакам -- это вопрос о рациональности и унирациональности факторов по действию алгебраических групп. Здесь Ф.А. Богомоловым (в одиночку, а также совместно с П. Кацыло), были достигнуты важные результаты. Так, было показано, что пространство модулей гиперэллитических кривых произвольного рода рационально. Известно, что этот вопрос сводится к изучению фактора некоторого конкретного представления $V$ группы $GL(2)$ по действию группы; обобщая этот результат, Ф.А. Богомолов доказал, что фактор $V/G$ любого представления $V$ односвязной полупростой алгебраической группы $G$, которая не содержит компонент типа $E_8$, стабильно рационален.
Затем Богомолов обратился к случаю конечной группы $G$. Здесь был старый и сложный вопрос, заданный Э. Нетер: верно ли, что фактор векторного пространства над $\mathbb C$ по действию конечной группы рационален? Контрпример был получен Д. Салтманом в 1985 г. Ф.А. Богомолов рассмотрел этот вопрос систематически, и в частности, нашел минимальные контрпримеры, улучшающие результаты Салтмана.
Техническое средство, используемое в этом вопросе -- это так называемая неразветвленная группа Брауера. Именно этот бирациональный инвариант Ф.А. Богомолов последовательно изучил в серии статей в конце 80-х - начале 90-х годов. Так, он показал, что для того, чтобы вычислить неразветвленную группу Брауера фактора $V/G$, достаточно иметь информацию о действии только абелевых подгрупп $G$ на $V$; это дает возможность провести вычисление во многих конкретных случаях. Самый же удивительный результат Богомолова в этой области -- это то, что неразветвленная группа Брауера алгебраического многообразия $X$ над $\mathbb C$ зависит только от группы Галуа общей точки $X$, и даже, более того, только от фактора этой группы Галуа по ее второму коммутанту.
При этом, обобщая этот результат, в начале 90-х годов Ф.А. Богомолов доказал факт еще более удивительный: само поле рациональных функций на алгебраическом многообразии $X$ над алгебраически замкнутым полем характеристики $0$ может быть восстановлено по своей группе Галуа (согласно Богомолову, это было предположено Гротендиком). Процедура восстановления Богомолова была им недавно в подробностях описана в совместной статье с Ю. Чинкелем, и включает в себя тонкое и красивое взаимодействие между абелевыми подгруппами группы Галуа, дивизориальными нормированиями $X$ и многомерной теорией полей классов; полученные ранее результаты о группе Брауера играют здесь ключевую роль.
Другое обощение работ по неразветвленной группе Брауера -- это так называемые стабильные этальные когомологии алгебраических мнгообразий, расмотренные Богомоловым также в конце 80х годов, следуя идее Гротендика. Определение здесь прямолинейно -- грубо говоря, стабильные когомологии $X$ суть прямой предел когомологий все меньших открытых по Зарисскому подмножеств $U \subset X$. Богомолов изучил эти когомологии во многих случаях, таких как фактор $V/G$, и в частности, показал, что для конечной группы $G$ стабильные когомологии $V/G$ не зависят от выбора точного представления $V$, что дает понятие стабильных когомологий конечной группы. Также он показал, что стабильные когомологии группы Галуа любого поля, содержащего алгебраически замкнутое поле характеристики $0$, совпадают с обычными когомологиями этой группы. Было доказано и много других результатов, и Богомоловым, и другими, причем теория стабильных когомологий продолжает развиваться до сих пор; работы Ф.А. Богомолова лежат в основании этой живой и важной области.
Подводя итоги работ по когомологическим свойствам общих точек алгебраических многообразий, Ф.А. Богомолов сформулировал также некоторую функциональную версию известной гипотезы И.Р. Шафаревича о группе Галуа поля $\mathbb Q$: коммутант максимальной про-$l$-факторгруппы группы Галуа поля, содержащего алгебраически замкнутое поле, есть свободная про-$l$-группа. Эта гипотеза дает некоторый подход к известной гипотезе Милнора-Блоха-Като (в который заметный прогресс был позже достигнут В. Воеводским и М. Ростом).
Еще одно важное направление исследований Ф.А. Богомолова в арифметической алгебраической геометрии -- это вопрос о потенциальной плотности рациональных точек многообразия над числовым полем. Эта тема отчасти продолжает его исследования в области точек конечного порядка на абелевых многообразиях, а с другой стороны, связана и с вопросами гиперболичности -- имеется известное эмпирическое, а порой и строгое, соответствие между результатами о рациональных точках на многообразиях и их "функциональными" аналогами -- результатами о рациональных прямых (и в частности, о гиперболичности). Как и в вопросах гиперболичности, ожидается, что рациональные точки не будут потенциально плотны на многообразии общего типа, но будут потенциально плотны на многообразиях размерности Кодаиры $0$, таких, например, как поверхности типа К3. В серии совместных работ с Ю. Чинкелем в 90х годах Ф.А. Богомолов доказал, что рациональные точки потенциально плотны на поверхности Энриквеса над числовым полем, а также на некоторых поверхностях типа К3 (например, на эллиптических К3).
Также Богомолов изучил аналоги этих утверждений над конечным полем; среди прочего, он доказал, что любые две точки К3 поверхности над конечным полем можно соединить рациональными кривыми. Предполагается, что аналогично, рациональные кривые на К3 поверхности над полем $\mathbb C$ всюду плотны в аналитической топологии, однако доказать это на настоящий момент не удается.
В 2000е годы Федор Алексеевич продолжает активную научную работу, как в одиночку, так и в соавторстве с молодыми математиками, для многих из которых он является в полном смысле этого слова учителем. Кроме упомянутого выше Ю. Чинкеля (Геттинген), можно отметить Т. Пантева (Филадельфия), Л. Кацаркова (Вена), Т. Петрова (Ирвайн), и многих других -- и конечно же молодых математиков, аспирантов и студентов Москвы. Общаться с Богомоловым всегда радостно и всегда неожиданно. Федор Алексеевич -- это не только математик с огромным опытом, один из лидеров мировой алгебраической и арифметической геометрии, но и человек ярких, свежих идей и нестандартных подходов. В год его шестидесятилетия все коллеги из отдела алгебры МИАН и других математических центров, все друзья, сотрудники и ученики желают ему сохранять научную молодость и остроту восприятия нашей науки в течение долгих лет.
В.А. Васильев, Ю.Г. Зархин, В.А. Исковских, Д.Б. Каледин, В.С. Куликов, Ю.И. Манин, Д.О. Орлов, А.Н. Паршин, И.Р. Шафаревич