\documentclass[12pt,leqno]{article}

\usepackage{amsmath,amsfonts,amscd,amssymb,theorem}

\addtolength{\topmargin}{-23mm}
\addtolength{\textheight}{60mm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-20mm}
\addtolength{\textwidth}{40mm}

%%%%%  Theorem style with a dot at the end of the header

\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@dotted{\normalfont\itshape
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}}
\endgroup
\makeatother

\theoremstyle{dotted}

\newtheorem{thm}{�������}[section]
\newtheorem{lemma}[thm]{�����}
\newtheorem{prop}[thm]{�����������}
\newtheorem{corr}[thm]{���������}
\newtheorem{exc}{����������}[section]
\newtheorem{sch}[thm]{����}

%%%%%  Same for definitions

\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@upshape{\normalfont
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}}
\endgroup
\makeatother

\theoremstyle{upshape}

\newtheorem{opr}[thm]{�����������}
\newtheorem{rem}[thm]{���������}

%%%%% ������

\makeatletter
\@addtoreset{equation}{section}
\makeatother
\renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}}

\newcommand{\proof}[1][��������������.]{\smallskip\noindent{\em #1}}
\def\endproof{\hfill\ensuremath{\square}\par\medskip}

\renewcommand{\labelenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}}
\renewcommand{\theenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}}

\def\eqref#1{\thetag{\ref{#1}}}
\def\eps{\varepsilon}
\def\phi{\varphi}

\let\latexref=\ref
\def\ref#1{{\normalfont{\latexref{#1}}}}

%%%%% �����

\newcommand{\C}{{\mathbb C}}
\newcommand{\Z}{{\mathbb Z}}
\newcommand{\R}{{\mathbb R}}
\newcommand{\Q}{{\mathbb Q}}

\newcommand{\A}{{\mathbb A}}

\newcommand{\m}{\mathfrak m}
\newcommand{\aA}{\mathfrak a}
\newcommand{\pp}{\mathfrak p}

\newcommand{\Hom}{\operatorname{{\sf Hom}}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{{\sf Sym}}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{{\sf Id}}}
\newcommand{\id}{\operatorname{{\sf id}}}

\newcommand{\hhom}{\operatorname{{\mathcal H}{\it om}}}

\renewcommand{\Im}{\operatorname{{\sf Im}}}
\newcommand{\Ker}{\operatorname{{\sf Ker}}}
\newcommand{\Coker}{\operatorname{{\sf Coker}}}

\newcommand{\Aut}{\operatorname{{\sf Aut}}}

\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Max}{\operatorname{Max}}

\renewcommand{\dim}{\operatorname{{\sf dim}}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{{\sf rk}}}
\renewcommand{\deg}{\operatorname{{\sf deg}}}
\renewcommand{\det}{\operatorname{{\sf det}}}

\def\ds{\displaystyle}

\newcommand{\6}{\partial}

%%%%% Pagestyle

\pagestyle{myheadings}

\markboth{�������� � �������������� ��������� -- ������ � ��� ����,
����� 2005}{�������� � �������������� ��������� -- ������ � ���
����, ����� 2005}

\begin{document}

\stepcounter{section}
\section*{������ 1.}

\begin{center}
\begin{minipage}{0.7\linewidth}\small
������� ��������� ��������������� ������������. �������
�������/���������: ������������ � ������� �������, ������� ���������
� �����, ��������� ����������. ������� ����������� � ����������.
\end{minipage}
\end{center}

��������, ��� {\em �������� �������������� ������������} $n$-�������
��������� ������������ $\A^n$ ��� ����� $k$ -- ��� ������������ $V
\subset \A^n$ ����� ����� ������-�� ��������� ������ ��������������
������� $f_1,\dots,f_m \in k[x_1,\dots,x_n]$ �� $\A^n$. ��������
�������������� ��������� ��� ������� ������ �������� ��������������
���������, �� ������������ ��������� ��� �����������
��������. ��-������, ���� � �� �� �� ���� ����� ������ ���������
����� ���� ������ ������� �������� ���������. ��-������, ����������
�������� $V \to \A^n$ �� ����� �����������: �� ������ �� ��������,
��� ������ ������������ ������ ����������� ������ ����� ������������
������� ������������, ��� ��� �� ���� �� ����� ���� � ��� �� ������
(����� ��������� ������ -- ��� ������ ������������ �������������� �
$\A^n$, ������� � ����� ����� ������ ���� �� ��� ����, ��� ��������
������������ ������� �����������).

��� ������� ������ ��������, ������ ������� ������.

\begin{opr}
{\em �������} $\aA \subset A$ (��������������) ������ $A$ ����������
������������ � $A$, ��������� ������������ ��������/��������� �
��������� �� �������� $A$: ���� $f \in \aA$, $a \in A$, �� $fa \in
\aA$. ��� ������ ������ $f_1,\dots,f_m \in A$, {\em �����,
����������� $f_1,\dots,f_m$} ��� ��������� �������� ����������
$a_1f_1 + \dots + a_mf_m$; �� ������������ $(f_1,\dots,f_m) \subset
A$. ����� $\aA$ {\em �����������}, ���� $\aA \neq A$.
\end{opr}

\begin{exc}
���������, ��� $(f_1,\dots,f_m) \subset A$ -- �������������
�����. ��������� ������ ������, ������������ ����� ������� ��������
����� ���������.
\end{exc}

���� �������������� ������������ $V \subset \A^n$ ������ ����������
$f_1,\dots,f_m \in k[x_1,\dots,x_n]$, �� ����, ��� ����� ��������
���������� ���� ��������� ���� ���������� � $0$ �� $V$ -- �������
$V$ ���� ��������� ����� ����� ������ $\aA = (f_1,\dots,f_n) \in A$ �
�� ������� �� ������ ���������� $f_1,\dots,f_m$. ��� �� � �����
���������� �������������� ������������.

\begin{opr}
{\em �������������� ������������} $V=V(\aA) \subset \A^n$,
��������������� ������ $\aA \subset k[x_1,\dots,x_n]$, ��� ���������
����� ����� ���� ��������� $a \in \aA$.
\end{opr}

������ �� ����� ������ ������ �������� -- ���������� ������� ������
�������������� ��������� �����������, ��� ����� � ����������
��������� $V \subset \A^n$. ���� ���, ���� $V(\aA)$ ��� ������
���������, ��� �����-���� �������������� ���������. ��� ����� �
�������� �������������� ���������? {\em ��������������}, ��� {\em
��������������} �������� �� $V(\aA) \subset \A^n$ �����������
�������� ����� �������, ������� ���������� ������������
�������������� ������� $f \in k[x_1,\dots,x_n]$ �� $A^n$ �� ����
������������ $V(\aA)$. �� �����������, ������� $f \in \aA$
�������������� �� $V(\aA)$ �����; �������������� ����, ������ �����
�����������.

\begin{opr}
{\em ������� (��������������) �������} �� �������������� ���������
$V(\aA)$ ���������� ������������ $A = k[x_1,\dots,x_n]/\aA$.
\end{opr}

����, ��� ������ ������� -- ��� ���������� ��������� ���������������
���������: ��� ����� �������� ����������� �������������� ���������
�� ��������� $V(\aA)$, �� ������ ����� ������������ �� ��� ������ $A
= k[x_1,\dots,x_n]/\aA$. �����������, ������, ��� ����� {\em �
����������}, � ����� ����, ������ $A$ ��� �� ����� ���� ���������
������: � ���������, ��������� $V(\aA)$ ����������������� �� ������
$A$. ��� ��� ��� ��������.

\begin{opr}
����� $\m \subset A$ ���������� {\em ������������}, ���� ���
������������ ������� � ��������� ���� ����������� ������� $A$,
������������� �� ��������� -- ����� �������, ���� �����-��
����������� ����� $\m' \subset A$ �������� $\m$, �� $\m = \m'$.
\end{opr}

\begin{exc}\label{field}
����� $\m \subset A$ ������������ ����� � ������ �����, ����� $A/\m$
-- ����.
\end{exc}

\begin{opr}
���� $A/\m$ ���������� {\em ����� �������} ������������� ������
$\m$.
\end{opr}

��������, ��� �� ����� ����� �� ������ ��������, ���� � ��������
������������� ��������� $X$ ����� ������������ ������������������
$x_1 \leq x_2 \leq \dots$ ���������� ������ �����-�� ��������� $x
\in X$, $x_i \leq x$, �� � $X$ ���� ���� �� ���� ������������
�������. ��� ������ ������ $\aA \in A$ ��������� ����������� �������
� $A$, ���������� $\aA$, ��������� ������� ������������� �������
����� ����� -- ����������� ������������������ ��������� �����������
������� ��� �����. ������� ����� ����� $\aA \subset A$ ���������� �
������������ ������ $\m \subset A$.

\begin{exc}
������ ����������� ������������������ ��������� ����������� �������
-- {\em �����������} �����?
\end{exc}

\begin{opr}
{\em ������������ ��������} $\Max(A)$ ������ $A$ ����������
��������� ��� ������������ �������.
\end{opr}

\begin{exc}\label{pt}
���� $\aA \subset k[x_1,\dots,x_n]$ -- ������������ �����, �� $V(\aA)
\subset \A^n$ ���� ������� �� ����� �����, ���� �����.
\end{exc}

\begin{prop}\label{nuli}
����� $A$ -- ������������� ������, �������������� ��� 
$$
A = k[x_1,\dots,x_n]/\aA,
$$
������������ ������� ��������� �� $n$
���������� ��� ����� $k$ �� ������ $\aA \subset
k[x_1,\dots,x_n]$. ��������� ����� $\Max_k(A) \subset \Max(A)$
������������, ��������� �� ������������ ������� � ����� �������
$k$. ����� ���������� ������������ �������������� $\Max_k(A) \cong
V(\aA)$.
\end{prop}

\proof{} ��� ����� ����� $x \in \A^n$, ��������� ���������,
������������ � ���� � $x$, �������� ���� ����������� ����� $\m_x
\subset k[x_1,\dots,x_n]$, ������ $k[x_1,\dots,x_n]/\m_x$ ���������
���� $k$, ��� ��� ���� ����� ������������ � ����� � $\Max_k(A)$. ���
���� $x \in V(\aA)$ ����� � ������ �����, ����� $\aA \subset
\m_x$. ����� ������, � ���� �������, ������������ �������
������������ $k[x_1,\dots,x_n]/\aA$. ����� �������, ��������
������������ ``����� $V(\aA)$'' $\Rightarrow$ ``������ ��
$\Max_k(k[x_1,\dots,x_n])$, ���������� $\aA$ $\Leftrightarrow$
``������ �� $Max_k(A)$''. ���� ��������, ��� ��� ������������
��������� -- ����� ������������ ����� $k[x_1,\dots,x_n]$ � �����
������� $k$ ���������� �� ����� $\A^n$. ����� �������, �� �����
��������, ��� ���� � ���������~\ref{pt} $\aA \in \Max_k(A)$, ��
$V(\aA)$ �� ����� ���� ����� -- ��� ������ ������� �� ����� �����.  �
����� ����, ����� $\m \in \Max_k(k[x_1,\dots,x_n])$ �� �����������
���� ���� ����������� $\phi:k[x_1,\dots,x_n] \to k \cong
k[x_1,\dots,x_n]/\m$, � ����� ������, ��� $\m = \m_x$, ��� $x \in
\A^n$ ����� ���������� $\phi(x_1),\dots,\phi(x_n)$.
\endproof

��� �����, ��������� $V(\aA)$ ��������� ����������������� �� 
���������������� ������
������� $A = k[x_1,\dots,x_n]/\aA$. ������� ��� ����, ��� $A$
�������� {\em ������ ������} ����������, ��� ���������������
�������������� ��������� $V(\aA) \subset \A^n$. � ������, ����������
�������� ����� $\aA=(x^2) \subset k[x]$. ����� $V(\aA)$ ������� ��
����� ����� $0 \in \A^1$, �� $A=k[x]/x^2$ ��� �� ���� $k$ -- � ���
���� ��� ������� $x$; ���� $x^2=0$ � $A$, ���� $x$ ���� ��
�����. �����������, ������ $\aA$ ������������� ����� $0$, ``������ �
���������� $2$''. �� ������ ��������, ������ ������ ���������
������; � ��� ������ ������� $A$ ������ ��� ��������� �������������.

������� � ����� ���������� ����� ������, ������ ������� ������
������� ����������� ������� ��� ����� $k$ ��������� ��������, � ���
�������� �������������� ������������� ��� ����� $k$ �������� ������
��� ������� �������.

\medskip

�����������, ��� ������ �������� ����������� �����������
�������������� ��������� (�. �����, �. ��������) ��� �
������. ������ ��� �� ������ ��������: ���� ����������� �� ������
�������� � $\A^n$ �� ����������� ��������� -- ����� �������� ���
������ ����� ���������� ������� -- �������� ����������� �� ���������
���� $k$. ��� ���� �� ������, ���� �� ������������ ``�����
���������'' ���� $k$, ������� ������������ �� � ����� ������ -- ��
������ ���� �������� ���; � ����� ������ ������������ ������ $\Z$,
�� ��� �� ����, � ��� � ����� ����� �������, �, ��� �� ������ �
����������, � ����� ������ �������������� ��������� $\Z$ �����
����������� ����. ����� �������, ����������� ��������������
������������ -- ���� ����� -- ���������� ��� ������ ����� ����; �
���� �������� � ����, ������� ������ $\Z$, �� ����� ����������
�����-�� ����������.

����� ����, ���� ���� ������������� ������ ���� �������������� $0$,
������� ��� �������� $\Q$, ����� ������� ������������� ���� � �� ��
������������ -- �������� �������� ������������ -- ��� �������
������. ���� ����� ���� ����� � �����������, ������� �� ������ ����
� ������� ���������� ���������.

��� ���� � ������ XX ���� ���� ��������, ��� ���� ������� ���� $k$
������������� ��������, �� ��� ���� ����������������� �� ������
$A$. � ������, ����� ����� ��������� ������������� ���������
�. ���������.

\begin{thm}[������� ��������� � �����, �������������� ������]
����� ���������� $K$ ���� $k$ ��������� ��� $k$-������� �������� ������
��������� $x_1,\dots,x_n \in K$. ����� $K$ ����������� ��� $k$.
\end{thm}

\proof{} ��������, ��� ���� ���� $k' \supset k$ -- ���������� ����
$k$, ����������� ����� ��������� $\alpha \in k'$, �� �������� ���
��������: ��� $\alpha$ ������������� ������-�� ��������������� ���������
$P(\alpha)=0$, $P \in k[x]$ -- ����� �������, ��� $\alpha$
����������� �� $k$ -- ��� ������ ����������� ���, � ����� �������,
��� $\alpha$ ������������� ��� $k$. � ������ ������ ����� �������
������� $P(x)$ ���������� ��������� �������, ������ $d$, � �����
$k'=k[x]/P(x)$ ���� $d$-������ ��������� ������������ ��� $k$ �
������� $1,\alpha,\dots,\alpha^{d-1}$. �� ������ ������, $k'$
��������� ���� ������������ ������� $k(x)$ �� ����� ���������� ���
$k$.

������� ��� ������������� ������� ���������� $x_1,\dots,x_n \in K$,
�������� ����, ����� $x_i$, $i \leq r$ ���� ������������� ���
$k(x_1,\dots,x_{i-1})$, ��� ��� $K$ �������� �������
$K_0=k(x_1,\dots,x_r)$, � ��� $r < i \leq n$ ������� $x_i$
����������� ��� $K_{i-r}=K\langle x_{r+1},\dots,x_{i-1}\rangle
\subset K$, ������ ������� $d_i$. ����� �������, ���������� �����
�������� $P_i \in K_0[x_{r+1},\dots,x_{i-1}]$ ������� $d_i$ ��
��������� ����������, ��� $P_i(x_{r+1},\dots,x_i)=0$. ���� ���������
�������� �����, � �� ������������ -- ������������ ������� ��
$x_1,\dots,x_r$. ������� ���� ����� $g \in k[x_1,\dots,x_r]$, ���
$gP_i \in k[x_1,\dots,x_{i-1}]$. ����� �������, ���� �� ����������
��������� $B = k\langle x_1,\dots,x_r,g^{-1}\rangle \subset K_0$, ��
��� $P_i$ ��� �������� � �������������� �� $B$.

\begin{exc}
���� $K$, ������������� ��� ������ ��� $B \subset K$ -- ���
��������� ������ ����� $d_r \dots d_n$ � ������� 
$$
\prod_{r < i \leq n} x_i^{e_i}, \qquad 0 \leq e_i < d_i.
$$
\end{exc}

� ���� ����� ���������, ���� $B$ �������� ����������� ����� $I
\subset B$, �� $IK \subset K$ -- ���� ����������� �����, ���� ��
����� ����, �.�. $K$ ����. ������� $B$ ���� ����. ������ ���������
$B \subset K_0=k(x_1,\dots,x_r)$, � ��� ���������� $x_1,\dots,x_r$
����� � $B$, �� $B=K_0=k(x_1,\dots,x_r$. ����� �������, �����
������������ ������� �� $x_1,\dots,x_r$ ����� �������� ��� �������
�� $x_1,\dots,x_r$ � ��� ����� ���������� $g^{-1}$. ���� $r \geq
1$, ��� ���������� -- ������ ���������� ������� $f \in
k[x_1,\dots,x_r]$, ������� ������� ����� � $g$, � ������� $f^{-1}$
����������� � ����� ���� ������.
\endproof

\begin{corr}
���� ������� $A$ ������� ��������� ��� ������������� ��������� �����
$k$, �� $\Max_k(A)=\Max(A)$.\endproof
\end{corr}

\begin{corr}[������� ��������� � �����.]
����� $\aA \subset k[x_1,\dots,x_n]$ -- ����� � ������� ��������� ���
������������� ��������� ����� $k$. ����� ���� $V(\aA)$ �����, �� $\aA
= k[x_1,\dots,x_n]$.
\end{corr}

\proof{} ����� $\aA$ ���������� � �����-�� ������������ ������ $\m
\subset k[x_1,\dots,x_n]$. ��������� $k$ ������������� ��������, $\m
\in \Max_k(k[x_1,\dots,x_n])$, � �� �����������~\ref{nuli}, $V(\aA)
\supset V(\m)$ �������� �����.
\endproof

\begin{rem}
����� ����� �������, ������� ��������� � ����� ����������, ��� �����
�� ������ ������� ����������� ������ ��� ������������� ����� $k$
����� ����� -- ��� ���� ������������ ������� $k(x)$ �� �������
���������.
\end{rem}

\medskip

����� �� �������� �. ���������� ���� ��������� �������: ��� ����,
����� ������ ���� ������������, � �������� ������� ��������
�������������� ��������� ���� ��������� {\em �����} ������ -- ����
�����, ������� ���������� �� �������� ������������� (��������,
������ $\Z$).

\begin{opr}\label{aff.sch}
{\em �������� ������} ���������� ������������� ������ $�$.
\end{opr}

����� �������, �������� �������������� ��������� �� ��������
������������ ������������� �������, �.�. ������ �������������
�����. �� ���������� ����������� ��� ������, ��������� ��������,
���������� �� �������������� ��������. � ������ 50� ����� ��� �����
������ ���� ���������� �����; �� �� �������� ��� ����� � ������, �
��������� ������ ������������ -- ���� � ������ �����, ������� ������
�������������� ��� �������������� ��������� ��� $\Z$ ��� ����
�������������� ��������� ������ $\Z$.

�������, ��������� �����������~\ref{aff.sch} � ���������� ��� -- ���
������� ������������. ��������� ���������� {\em �����}, �������
�������� �������������� ���������. ����� ����������� �� ������,
���������� ���������, � ��������������� ������������� ������� --
������� ����, ��� ����������� ������������ ����������� �� ��������
����. �� ��� ��� ����� ������� ����� ��������� ������; �� ���������
������� ������� ��������� �������, ������� ���� ����������
�������������: ������ ��� ���������, ���� ������� ���� ��������
�����. ������� ���� ��� �� ����� ���������� ������ ��������
�������������� ����������, ���, ��� �� �� �����, �������������
��������. ������ �������������� ��������� ������ ������, ���� ����
-- ���������� �������, ����������� ���������� �������������� �������
�� �������������� ����, � ��������.

������� ������ ������� �� ��� ����� � ������������� ������� --
�����������, ��� �������� ����� ���� ������������� ������.

� ������������ � ����������� ���������� ����������, ��� ������ ��
���������� �����-�� �������������� �������, ���� ����������
����������� ����� ����. ��������� �� ������ �������� ������ $A$ ���
�������, ������ � ���������� ������, �� ��������������� ��������
�����, ����������� ���� ��� ������ ����������� �����, �� �����������
� ������ �������: ����������� �� �����, �������� ������� $B$, �
�����, �������� ������� $A$, ��� �� �� �����, ��� ����������� ��
������ $A$ � ������ $B$.

��� ���������� ����� �����, ���������� ������ $A$, ���� ��
����������� �������� ��������� $\Max(A)$, �� ����� ���� �������� --
��� ��������� ����� ����� ���� ��� ������������. � ������, ���� $\aA
\in B$ -- �����, � $f:A \to B$ -- ����������� �����, �� $f^{-1}(\aA)
\subset A$ ������� ���� �����; �� ���� $\aA \in B$ -- ������������
�����, �� $f^{-1}(\aA)$ �� ������ ���� ������������! ��������, �����
$A = k[x]$ -- ������ ��������� ��� ����� $k$, � $B = k(x)$ -- ������
������������ �������. ����� $0 \in k(x)$ -- ������������ ����� �
$B$, �� ����� �� � $A$. ��� ������ � ����, ��������� ���������
��������������� ����� �������.

\begin{opr}
����������� ����� $\aA \in A$ ���������� {\em �������}, ���� $A/\aA$
�� �������� ��������� ���� -- ����� �������, ���� $ab \in \aA$, ��
��� $a$, ��� $b$ ���� ����� � $\aA$.
\end{opr}

\begin{opr}
��������� ������� ������� ������ $A$ ���������� ��� {\em ��������} �
������������ $\Spec(A)$.
\end{opr}

\begin{exc}
���� $f:A \to B$ -- ����������� �����, � $\pp subset B$ -- �������
�����, �� $f^{-1}(\pp) \subset A$ -- ���� ������� �����.
\end{exc}

����� �������, ������� ����������� ����� $f:A \to B$ ��������
����������� �������� $\Spec(B) \to \Spec(A)$. ��������� $\Spec(A)$
���������� ��� ��������� ����� �������������� �������� �����. �� �
���� ����� by abuse of notation ���������� $\Spec(A)$.

\medskip

���� �� ���������� �������� �������������� ���������� ��� $\C$,
�.�. ������������� �������� ������������ $\A^n_{\C}$, �� ����������
��������, ��� ��� ��� ����� ���� �����-�� ������� ��������, �����-��
���������. ������ ����� ��������, ��� ��� ��� ���� ���������� ��
��������������: � �������������� ���������, �������� ������� �������
������������ ��������� �� ��������� $\Max(\C[x_1,\dots,x_n])$ {\em
���}. ������������ ������ �������������� �������, �� �� �����
�������, ��� ��� ����� ������. ���, ��� �� ����� �������, ��� ���
��� ����� � ����� �������������� ������������. ��� �� �����,
������������� ��� ��������� �������������� ����������� ��������, �
��� ����� ����� ����������, ����� � �� �� ����������, �������
����������� ��������������� ������������.

\begin{opr}
{\em ��������� ����������} �� ��������� $\Spec(A)$ �������� ���:
��������� ������������ $V(\aA) \subset \Spec(A)$ �������������
������� $\aA \in A$ � ������� �� ���� ������� ������� $\pp \in \Spec
A$, ���������� $\aA$.
\end{opr}

\begin{exc}
���������, ��� ��� ������������� ������ ���������. ��� �����
���������, ��� $V(\aA_1) \cap V(\aA_2) = V(\aA_1+\aA_2)$ � ��� $V(\aA_1)
\cup V(\aA_2) = V(\aA_1 \cap \aA_2)$.
\end{exc}

���������� ��� ���: ��������� ���������� ��� ��������� � �����
���������� ������, � � ������� ��������� ��� ����� ����� ������
���������. � ���������, ����������� ��������� �������������� ������
��� ��������� ���������� �������. ���, ��� �������������, � ���� ��
������������� �������� $T_1$: �� ��� ����� ��������. ��� ����������,
�� �� �����: ��������, ��������� ���������� �������� ��������
``���������'' ����� �� $\Max(A) \subset \Spec(A)$ �� ���, ������� ��
�������� � ������ �� ���������� ��������.

\begin{exc}
����� $x \in \Spec(A)$ �������� ����� � ������ �����, ����� $x \in
Max(A)$.
\end{exc}

\begin{exc}
������� �������������� ������������ $\Spec\Z$ � $\Spec k[x]$, $k$ --
������������� ��������� ���� � $\R$.
\end{exc}

\begin{opr}
��������� ������������ $V \subset X$ ��������������� ������������
$X$ ���������� {\em ������������} ���� ��� ������ ����������� � ����
����������� ���� �������� ����������� ��������� ����������� $X_1,X_2
\subset X$.
\end{opr}

\begin{exc}
����� �������������� ������������ $X$ �����������. ������� ���
������������ ��������� ������������ $X$.
\end{exc}

\begin{exc}
����� $\aA \subset A$ -- ������� �����. ��������, ��� $V(\aA) \subset
\Spec (A)$ �����������, � ��������� � ���������� ����� $\aA \in
\Spec(A)$. 
\end{exc}

\begin{opr}
� ����� ��������, �������, ��� $\aA$ ���� {\em ����� �����}
������������� ������������ $V(\aA) \subset \Spec(A)$.
\end{opr}

������������ �� ������, ��� ��� ��������� �������� �������������
���������� �� $A$ �������� ���� ����� -- ����� ������������
��������� ������������ � $\Spec(A)$ ���� ��������� ����� ``�����
�����'' $\aA \in \Spec(A)$. ����� �������, ��� �������� �� $\Max(A)$
� $\Spec(A)$ �� ��������� �� ����� ``�����'' ����� ��� �������
������������� ��������������� ������������.

\medskip

��� � � ������ $A = k[x_1,\dots,x_n]$, ������ ������ $\aA_1,\aA_2
\subset A$ ����� �������� ���� � �� �� ������������ $V(\aA_1)=V(\aA_2)
\subset \Spec(A)$ -- ������������ $A/\aA$ ������ ������ ����������,
��� ������������ $V(\aA)$. ������� ������ ��������� �����������.

\begin{opr}
����������� ���� $\Spec B \to \Spec A$ ���������� {\em ���������
���������}, ���� ��������������� ����������� ����� $A \to B$
�����������, �.�. $B$ ������������� � ������������� $A/\aA$ ��
������-�� ������ $\aA \in A$. � ����� �������� �������, ��� $\Spec B$
-- {\em ��������� ��������} ����� $\Spec A$, {\em �������� �������}
$\aA \subset A$ (� ����� $\Spec(B) \subset \Spec(A)$).
\end{opr}

����� ����� �����������, ��� ��������������� �� ������ ������������
$V(\aA) \subset \Spec(A)$, � ������ �������� $\Spec(A/\aA) \subset
\Spec(A)$, ������ �������, ��� ��������� ����� ������ $\aA$
��������������� ``�� ������� ����������''.

�������, ��� ������ $\aA_1,\aA_2 \subset A$ {\em ������� ������}, ����
$\aA_1 + \aA_2 = A$. �������������, ��� ������, ��� ������������
$V(\aA_1),V(\aA_2) \subset A$ �� ������������. {\em ���������
������������} ���� $\Spec(A)$ � $\Spec(B)$ ���������� �����
$$
\Spec(A) \coprod \Spec(B) = \Spec (A \oplus B).
$$
�������� �� ������, ��� ��� ���� ���������� �����, � �������� ���
��������� �������������� ����, ��� ����������� ���������� �������
���������������� ����������� ��������� �� ������������ ����������
�����������. ��� ������������� ���.

\begin{exc}[��������� ������� �� ��������.]
����� $\aA_1,\dots,\aA_m \subset A$ -- ������� ������� �������
������. ����� $A/(\aA_1 \cap \dots \cap \dots \aA_m) \cong (A/\aA_1)
\oplus \dots \oplus (A/\aA_m)$.
\end{exc}

� ��������� ������ �� ��������� ����������� ������� �������
�������������� ������� �� �������������� ���� (� � ���������,
������, ���� � ������� �������� {\em ��������} �� ����������
������������). ���� ���, �������� ���� -- ��� ��������� �������
�������.

\bigskip

\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
������� & ���������\\
\hline
������������� ������ $�$ & �������� ����� $\Spec(A)$\\
\hline
����������� $A \to B$ & ����������� ���� $\Spec(B) \to \Spec(A)$ \\
\hline
����� $\aA \subset A$ & ��������� ������������ $V(\aA)
\subset \Spec(A)$\\
\hline
����� ������� $\aA_1 + \aA_1$ & ����������� $V(\aA_1) \cap V(\aA_2)$ \\
\hline 
����������� ������� $\aA_1 \cap \aA_2$ & ����������� $V(\aA_1) \cup
V(\aA_2)$ \\
\hline
������������ $A/\aA$ & ��������� �������� $\Spec(A/\aA) \subset
\Spec(A)$\\
\hline
������������ ����������� $A \to B$ & ��������� �������� $\Spec(B)
\to \Spec(A)$ \\
\hline
������� ����� $\pp \subset A$ & 
\parbox[c]{0.4\linewidth}{����� $\pp \in \Spec(A)$, ����� ���
$V(\pp) = \overline{\{\pp\}}$; ����� ����� $V(\pp)$}\\
\hline
������������ ����� $\m \subset A$ & ��������� ����� $\m \in
\Spec(A)$\\
\hline
\end{tabular}

\bigskip

� ������, ����� �� ���� ��� ������, ��������� ��������� ���
��������� � ����-������ ����������� -- � ������, � �������
����. ���� ������� ���� �� �� �������, ��������� ��� ����� �����
����������� ������������, � � ��� ���� ���� ������ ��������. �� ��
���������� � ����������� �����������, � �������, ������ ����������
����������.

{\em ���������� ������} ��� ������������� ��������� ����� $k$ �����
�������� ������ $\Spec(A)$ ����� $k$-������� $A$, ��� $A$
������������ ��� ��������� ������������ ��� $k$. ����������� $\dim_k
A$ ����� �������� {\em ������} ���������� ����� $\Spec(A)$. ���� $A
= k \oplus \dots \oplus k$, �� $\Spec(A)$ -- ��������� �����������
$m$ ����� $\Spec(k)$, � ����� $\Spec(A)$ -- ��� ��� ��� �����
$m$. ���� $B = k[x]$ � $\Spec A = \Spec (k[x]/(P(x)))$ -- ��������
����� �������� $P(x)$, �� ����� $\Spec A$ -- ����� ����� ��������

���������� �������� ��������� $\A^2=\Spec k[x,y]$ ��� $k$. �����
������ ��� �������� $P(x,y)$, $Q(x,y)$ �������� $n$ � $m$. ���������
����� $A = k[x,y]/(P(x,y))$, $B = k[x,y]/(Q(x,y))$ ������������ ��
�������, ����������� $P(x,y)$ � $Q(x,y)$. ����� ��������, ���
��������� �������� $\Spec A,\Spec B \subset \A^2$ {\em �� �����
����� ���������}, ���� �� ����������� $\Spec A \cap \Spec B = \Spec
k[x,y]/(P(x,y),Q(x,y)) \subset \A^2$ -- ����������
��������. ��������� 
$$
C = k[x,y]/(P(x,y)Q(x,y))
$$
(���������-������������, $\Spec C$ ��� ����������� $\Spec B \subset
\A^2$ � $\Spec A \subset \A^2$.

\begin{lemma}
�������� ���������� ���� $x \mapsto x + \alpha y$, $y \mapsto y$
����� �������� ����, ��� ������� $A$, $B$ � $C$ -- ��������� ������
��� ������� $k[x]$ ������ $n$, $m$, $n+m$.
\end{lemma}

\proof{} ����� $A$ ���� ��������� �������, ���������� �������� ����,
����� ����������� ��� $y^n$ � $P(x,y)$ ��� ��������� -- ����� $A$
��� ������ � ������� $1,y,y^2,\dots,y^{n-1}$. ����������, ����������
�������� ����, ����� ������������ ��� ������� ������� $y$ � $Q(x,y)$
� $P(x,y)Q(x,y)$ ���� ����������. ��� ��� ������������ --
������������� �������� �� $\alpha$, �.�. ``������'' ��������
$\alpha$ -- �������� �����. ��������� ������������� ��������� ����
����������, ���������� ������� $\alpha$.
\endproof

���������� ������ ����������� $\phi:A \oplus B \to C$, �������� ���
$\phi(\langle a,b \rangle) = Q(x,y)a + P(x,y)b$. ����� ������, ���
����� ����� ����������� -- ����� $(P(x,y),Q(x,y)) \subset C$;
������� ��� ������ -- ��� ��� $k[x,y]/(P(x,y),Q(x,y))$, ������
������� �� ����������� $\Spec A \cap \Spec B$, ������� �� �����
�������. � ������ �������, $A \oplus B$ � $C$ -- ��������� ������
��� $k[x]$ ����� $n+m$, �.�. $\phi$ -- ������� �������
$(n+m)\times(n+m)$ �� ��������� ������ $k[x]$.

\begin{exc}\label{matrica}
����� ������� ��� ������� $k[x]$ ����� �������������
���������������� �� ������� � �������� �������� � �������������
����.
\end{exc}

�������� ������ ������� ����, ������� �� ����� ��������, �����.

\begin{thm}
����� ���������� ����� $\Spec A \cap \Spec B$ ����� ������� ��������
$\det\phi \in k[x]$.
\end{thm}

\proof{} ����� ����, �� �������, ��� ���� ���� ������� $\phi$
������� $l \times l$ ��� ������� $k[x]$, ������ ������ �����������
$\phi:k[x]^{\oplus l} \to k[x]^{\oplus l}$ ������������ ��� $k$, ��
����������� ����� ������ ����� ������� �������� $\det\phi$.

�������������, ��������� ������������ �������������� �������� � ��
������ ������������, ����� ��������������� �����������~\ref{matrica}
� �������� $\phi$ � ������������� ����, � ������-�� ����������
$\phi_1,\dots\phi_l$ �� ���������. ����� $\Coker \phi = \Coker
\phi_1 \oplus \dots \oplus \Coker\phi_l$, � $\det\phi = \phi_1 \cdot
\dots \cdot \phi_l$.
\endproof

���� ��������� ���� ������������ $\det\phi$, ��������� ����������.

\end{document}
