\documentclass[12pt,leqno]{article}

\usepackage{amsmath,amsfonts,amscd,amssymb,theorem}

\addtolength{\topmargin}{-23mm}
\addtolength{\textheight}{60mm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-20mm}
\addtolength{\textwidth}{40mm}

%%%%%  Theorem style with a dot at the end of the header

\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@dotted{\normalfont\itshape
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}}
\endgroup
\makeatother

\theoremstyle{dotted}

\newtheorem{thm}{�������}[section]
\newtheorem{lemma}[thm]{�����}
\newtheorem{prop}[thm]{�����������}
\newtheorem{corr}[thm]{���������}
\newtheorem{exc}{����������}[section]
\newtheorem{sch}[thm]{����}

%%%%%  Same for definitions

\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@upshape{\normalfont
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}}
\endgroup
\makeatother

\theoremstyle{upshape}

\newtheorem{opr}[thm]{�����������}
\newtheorem{rem}[thm]{���������}

%%%%% ������

\makeatletter
\@addtoreset{equation}{section}
\makeatother
\renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}}

\newcommand{\proof}[1][��������������.]{\smallskip\noindent{\em #1}}
\def\endproof{\hfill\ensuremath{\square}\par\medskip}

\renewcommand{\labelenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}}
\renewcommand{\theenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}}

\def\eqref#1{\thetag{\ref{#1}}}
\def\eps{\varepsilon}
\def\phi{\varphi}
\def\wt{\widetilde}

\let\latexref=\ref
\def\ref#1{{\normalfont{\latexref{#1}}}}

%%%%% �����

\newcommand{\C}{{\mathbb C}}
\newcommand{\Z}{{\mathbb Z}}
\newcommand{\R}{{\mathbb R}}
\newcommand{\Q}{{\mathbb Q}}

\newcommand{\A}{{\mathbb A}}

\newcommand{\m}{\mathfrak m}
\newcommand{\aA}{\mathfrak a}
\newcommand{\pp}{\mathfrak p}
\newcommand{\bb}{\mathfrak b}

\newcommand{\Hom}{\operatorname{{\sf Hom}}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{{\sf Sym}}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{{\sf Id}}}
\newcommand{\id}{\operatorname{{\sf id}}}

\newcommand{\hhom}{\operatorname{{\mathcal H}{\it om}}}

\renewcommand{\Im}{\operatorname{{\sf Im}}}
\newcommand{\Ker}{\operatorname{{\sf Ker}}}
\newcommand{\Coker}{\operatorname{{\sf Coker}}}

\newcommand{\Aut}{\operatorname{{\sf Aut}}}

\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Max}{\operatorname{Max}}

\renewcommand{\dim}{\operatorname{{\sf dim}}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{{\sf rk}}}
\newcommand{\ev}{\operatorname{{\sf ev}}}
\renewcommand{\deg}{\operatorname{{\sf deg}}}
\renewcommand{\det}{\operatorname{{\sf det}}}

\def\ds{\displaystyle}

\newcommand{\6}{\partial}

%%%%% Pagestyle

\pagestyle{myheadings}

\markboth{�������� � �������������� ��������� -- ������ � ��� ����,
����� 2005}{�������� � �������������� ��������� -- ������ � ���
����, ����� 2005}

\begin{document}

\setcounter{section}{1}
\stepcounter{section}
\section*{������ 2.}

\begin{center}
\begin{minipage}{0.7\linewidth}\small
�������� �� ���������� ���������, �����������, ���������
������. ������ � �������� ��� ����. ���������
������������. ��������������� ��������, ������ �����.
\end{minipage}
\end{center}

�� ������� ������ �� ��������� ������� ���������������
������������. �������� ������� ������� ����. ����� ��������������
������ � ���������� ����� ����������� ����� ���������. ��-������,
����� ������ ��� ���� ��� ��� ���������, ��������� �����. ��-������,
����� ������������� ����� �������� �� ��� �������. ������� �����
���������� � �����������, ��� ��� ��� �������� ������. �� �������
$f$ � ����� $x$ ����� ��������� ����� -- ��������� �������� $f(x)$
������� � �����. ��� ���� �������� ���������� �������� �����������.
����� �������, ��� ������ ��������� �����, � ������� -- ��� ��, ���
������������ ����� �����; � �����, ��������, �������, ��� ������
������ �������, � ����� -- ��� ��, ��� ������������ �������
�����. ����� �������, ����� $x$ ������ ����������� ����������
$\ev_x$ �� ������ ������� � �����.

����� �� ���� ������������ �������� �������, ��� ������ ��������. ��
������� ������ �� ��������, ��� � �������������� ��������� ���������
����� -- ������������ ������ ����, � �� ���������� ����
�������������� ��������� (��������, ������, ��� � �����
��������������� ��������� ������������ ������� ����� ����
���������). ������� ��� ������������ �� ������� ���� ��������
������������ � �������� ���������� ������� ����� ������
�������. ����������� ��� ����, ��� ������� ����� ������ -- �� �����
������������� ������ $A$ ����� �������� ��� �� �������������� ������
� ����������� ���, ��������� �������������� ��������. ����� �����
����� ������� -- ��� ����� ����������� �� ������ $A$ � �����. �����
����� ���������� ��� �������� ����, ������, ����� ������ ����������
������������, ����� ������ ���� ����� �� ��������, � �������������
���.

\begin{opr}
{\em ������} ������ $A$ �� ���������� � ���� $K$ ����������
����������� $A \to K$.
\end{opr}

�� ����� ����, ����������� �������� ���� ��� �������� ���
�����������, � �� ���������, ����� $K$ ���� ����� -- �.�. ���
������� ���� �������� �������� ������ �������������� ������. �� ���
���� ����� ����� ������ �� �����������. ��������, ���� �����������
$A \to K$ ��� ��� ���� ����� ������ ������, � ������ ����, ���
������� ���� �����������, �� ����� ������� ��� ���� $\pp \subset A$
-- ������� ����� ������ $A$. ��������� ���� ������� ������� $A$
���������� {\em �������� $A$} � ������������ $\Spec A$.

�� ������� ������ �� ������� ��������� $\Spec A$ � ������� �������,
� ����� ����� �� ��� ��������� ���������, ���������� ����������
����������. � ������, ��������� �� ���������� ������������ � $\Spec
(A)$ -- ��� ��������� $V(\aA) \subset \Spec(A)$ ���� �������
�������, ���������� ������ ����� $\aA \subset A$. ���������
����������, ��������, ������ ������������ ������� �������� -- ���
������������� � �.�. ���, ����� ��������� � ��� ����, ������� �
�������� �����.

\begin{lemma}
���� $\aA \subset A$ -- ��������� ����� � ������ $A$ ��� ���������
����, �� ��������� ����������� $V(\aA) \subset \Spec A$ ����� ��
������.
\end{lemma}

\proof{} �� �����������, ���� ��������, ��� ��� ������ ���������
��������� $U \subset \Spec A$ ����������� ����� �������� ��������
$U_1 \subset U$, ��� $U_1 \cap V(\aA) = \emptyset$. �������������,
��� $U$ �������, ���������� $\Spec A \setminus U$ ����� ���
$V(\aA_1)$, � ��� $U$ �������, $\aA_1 \subset A$ -- ���������
�����. �����, ��������� � $A$ ��� ��������� ����, $\aA \cap \aA_1
\subset A$ -- ���� ��������� �����, � ������ $\Spec A \setminus
V(\aA \cap \aA_1)$ � ���� ������� �������. ��� ��� � ����� ����� �
�������� $U_1$.
\endproof

������� ������, ����� ������������ � ���� ��������� �������.

����� ���� ������ $A$ � ������� $f \in A$. ����� ����� ``���������
�������� $f$'' -- � ������, ����������� ������������ ������
����������� $A[x]$ �� ������, ������������ $fx-1 \in A[x]$. ���
������������ ������������ $A[f^{-1}]$ � ���������� {\em
������������} ������ $A$ �� �������� �������� $f \in A$. � �����
����, �������� $A[f^{-1}]$ ��� ������ ��������������� ����������
��������� $a \cdot f^{-n}$, ��� $a \in A$, � $n$ -- ���������������
����� �����, �� ���������� ��������� ���������������: $af^{m_1}
\cdot f^{-(n+m_1)} \sim af^{m_2} \cdot f^{-(n+m_2)}$. �������� ��
���� ��������� �������� ���:
$$
a \cdot f^{-n} + b \cdot f^{-m} = (af^m+bf^n) \cdot f^{-(n+m)}
\qquad
(a \cdot f^{-n})(b \cdot f^{-m}) = ab \cdot f^{-(n+m)}.
$$

\begin{exc}
���������, ��� ��� ������� ���������� � ���������� ���������������.
\end{exc}

\begin{exc}
������� ������ $A[f^{-1}]$ � ��������� ������� �������: (1) $f \in
A$ �������, (2) $f \in A$ ������������� ($f^n = 0$ ��� ����������
�������� $n$).
\end{exc}

����� ����� $\aA \subset A$ ��������� ������� ���� �����
$\aA[f^{-1}] \subset A[f^{-1}]$; ��������, ����� ����� $\aA \subset
A[f^{-1}]$ ���� ����� $\phi^{-1}(\aA) \subset A$ -- �������� $\aA$
��� ������������ ����������� $\phi:A \to A[f^{-1}]$.

\begin{exc}
���������, ��� ����� $\aA[f^{-1}] \subset A[f^{-1}]$ �����������
����� � ������ �����, ����� $\aA \subset A$ ����������� � ��
�������� ������� ������� $f^n$. ��������� �����, ��� ��� ������
������ $\bb \subset A[f^{-1}]$ ����� $\bb = \phi^{-1}(\bb)[f^{-1}]$.
\end{exc}

�������, ��� ���� ����� $\aA \subset A$ �������, �� �� �����������,
���� �� �������� $f^n$, �� �� �������� � ���� $f$. ������� ��������
������ ��� ��������: ��� ������� ����� $\pp \subset A$ �������� $f$,
��� $\pp[f^{-1}] \subset A[f^{-1}]$ -- ����������� �����. �����
������, ��� �� ����� � �������, ������ $\pp =
\phi^{-1}(\pp[f^{-1}])$. ����� �������, ����� �������������
�������������� $\Spec A[f^{-1}] \cong \Spec A \setminus V((f))$ --
������ $A[f^{-1}]$ ������������ � ����������� � ��������� $V((f))
\subset \Spec(A)$ ����� �������� $a \in A$.

\begin{exc}
���������, ��� ��� �������������� -- ������������ ����� �������� 
$\Spec A[f^{-1}]$ � �������� ������������� $\Spec A \setminus V((f))
\subset \Spec A$ � �������������� ����������.
\end{exc}

����, ���������� � ���������� ������������ $V((f)) \subset \Spec A$
-- ������ ����������� $A[f^{-1}]$.

\begin{lemma}
�������� ������������ ���� $\Spec A[f^{-1}] \subset \Spec A$
�������� ���� ��������� ���������� �� $\Spec A$.
\end{lemma}

\proof{} ������� ������������ �������� $U \subset \Spec A$,
���������� � ���������� $V(\aA) \subset \Spec A$, ��������� �����
������ $\aA \subset A$. �� �����������, ���� ��������, ��� $U$ ����
����������� �������� ���� $\Spec A[f^{-1}]$. ����� �������, ����� $x
\in U$ ����� �����; ���� ����� ����� $f \in A$, ��� $x \in \Spec
A[f^{-1}] \subset U$. ��������� $x \in U$, ��������������� �������
����� $\pp \subset A$ �� �������� $\aA \subset A$. ������� $f \in
\aA$, �� ������� � $\pp$. ����� $\Spec A[f^{-1}] \subset U$, � ���
$f$ �� ����� � $\pp$, $x \in \Spec A[f^{-1}]$.
\endproof

����������� ����������� ������� ��������. {\em �����������������
��������} $S \subset A$ ����� �������� ����� ������������, ���������
������������ ��������� (��������, ��� ������� ������-�� �������� $f
\in A$).

\begin{opr}
{\em ������������} $A[S^{-1}]$ ������ $A$ �� �����������������
������� $S$ ���������� ��������� ������� ��������������� ����������
��������� ���� $a \cdot s^{-1}$, $a \in A$, $s \in S$, �� ���������
��������������� $as_1 \cdot (s_1s)^{-1} \sim as_2 \cdot
(s_2s)^{-1}$. �������� � $A[S^{-1}]$ �������� �����������
$$
a_1 \cdot s_1^{-1} + a_2 \cdot s_2^{-1} = (a_1s_2+a_2s_1) \cdot
(s_1s_2)^{-1} \qquad
(a_1 \cdot s_1^{-1})(a_2 \cdot s_2^{-1}) = a_1a_2 \cdot
(s_1s_2)^{-1}.
$$
\end{opr}

\begin{exc}
��������, ��� ������������ ����������� $\Spec A[S^{-1}] \to \Spec A$
����������, � �������� �������������� �� ���� �����.
\end{exc}

���� ����������������� ������� $S \subset A$ ������� ��������� --
�.�. ��� $s \in S$ �������������� ��� ������������ ����������
��������� ������ ���������� $s_1,\dots,s_n \in S$ -- �� $\Spec
A[S^{-1}] \subset \Spec A$ �������. � ����� ������ ��� �� ��� --
$\Spec A[S^{-1}]$ ���� ����������� �������� ��������, ��, ��������,
������������ �� �����. ������������� ������ ����� �����: ����� $A$
{\em ������� �����������}, �.�. ������ ��� ��������� ����. ����� $S
= A \setminus \{0\}$, ��������� ���� ��������� ��������� $A$,
�������� ����������������� �������, � ����� ������, ��� $A[S^{-1}]$
���� ����. ��� ���� ���������� {\em ����� �������} ������ $A$.

\begin{exc}
���� ����� ���� ������� ����� $\Z$, $k[x]$?
\end{exc}

��� ���� ���� $K$ -- ���� ������� $A$, �� $\Spec K \subset \Spec A$
-- ��� ���� �����, � ������, ����� ����� $\Spec A$ (����������
�������� ������ $\{0\} \subset A$).

����� ����, ����� $x \in \Spec A$ -- �����, ���������� ��������
������ $\pp \subset A$. ����� $S_x= A \setminus \pp$ --
����������������� �������.

\begin{opr}
����������� $A[S_x^{-1}]$ ���������� {\em ��������� �������} �����
$\Spec A$ � ����� $x \in A$ � ������������ $A_\pp$.
\end{opr}

\begin{exc}
���������, ��� $\pp A_\pp \subset A_\pp$ -- ������������ �����, �
��� ������ ������������ ������� � ������ $A_\pp$ ���.
\end{exc}

\begin{exc}
������� ��������� ������ $\Z_{(p)}$, $p$ -- ������� �����.
\end{exc}

�������������, $\Spec A_\pp \subset \Spec A$ -- ��� ����������� ����
�������� ����������� � $\Spec A$, ������� �������� ����� $x$. �����
������� � ��������, ��� � ���� ������������ ��������� ����������,
��� ������ �� ������ ����� $x$! ����������� ��� ��������, ������
���������.

\begin{opr}
������ $A$ ���������� {\em ���������}, ���� � ��� ���� ������������
������������ ����� $\m \subset A$; ���� ������� $A/\m$ ����������
����� ������� ���������� ������ $A$.
\end{opr}

\begin{exc}
��������, ��� � ��������� ������ $A$ ����� ������� $a \in A$, ��
������� � ������������ ������ $\m \subset A$, �������.
\end{exc}

������ ���������� ������, ����� �������, �������� ������ ����
��������� ����� (�, ������ ������, �������� ����� �����������). ���
��������� ����������� � ``��������� ����������� �����'', �������
����� �������� ��������������� ����������. ����������, ��� �����
������ �����������. � ���������, ���������� ��������� �����������
����� �������� -- ������, � �����-�� ������ �������� -- ������������
������ ���� ��� ����������, ����� ��� � ����� � ��������
������������; � ��������� ����� ������ ����� �����, � �� �����
������, ��� ��� ������ ���� ��� ����� ������� ������������. �� ���
�� �����, ������������� ��������� ������ ����� ����� �������.

\medskip

������ �� ������, ���� �� �������������� ����� �������� ������������
������������; �� ������ ��� ������� ���, ��� ����������� ���������
��������� ����� � ������� ��� �������. ��������, ��� ������� $M$ ���
������� $A$ ���������� ������ $M$, ���������� ��������������
��������� ��������� �� �������� $A$: ��� ����� $m \in M$, $a \in A$
������ ������������ $am \in M$, ������ ��������� �������
��������������� � ����������������. ���� $A$ ����, �� ������ ��� $A$
��� �� �� �����, ��� ��������� ������������; � ����� ������, ���
������� �������� �������� ������� -- ������ ������, ����, ������,
������ ����� -- ���� ����� �����, � ��� �� ������������. ���� $A$
��� �������� ������ ��� �����. ������ ����� $A^{\oplus n}$ ������-��
���������� ����� $A$ -- ��������, ������������ -- ���������� {\em
��������� $A$-�������}. 

����� ������ ��� ����� �������� (����� ��������� ������������ �����
�����). ������ ��� ������������� ������ ��� �� ���. ������ ���������
�������, ������ ������� ��� ������ $\aA \subset A$ (����� �������,
��������� $A$) � ������� �� ��� $A/\aA$ (������������ $A$). ������,
��� ������ �� ����� ���� ���� ��������.

\begin{exc}
������ ���������� {\em ������� ������� �������}, ���� ����� �����
$\aA \subset A$ �������� ����� ��������� $a \in A$. ��������, ���
$k[x]$ � $\Z$ -- ������ ������� �������, � ��� ����� ��������� �����
$\aA \subset A$, ������������� ��� $A$-������, ��������� $A$.
\end{exc}

�� � ����� ������ ��� �� ���. ��������, � ��������� ������ ��
�������, ��� ��� ������ ����������� ���������� $f(x,y)$,
������������ $k[x,y]/(f(x,y))$ �� ���� ������ ������� ������� (���
������, ��-��������, �����).

��� �� �����, � �������� ����� ������ ������ �� ����, ��� ������ �
��������. ��������, �� ����� ������������: ���� ��� ������ $M$ ���
������� $A$ � ����������������� ������� $S \subset A$, ��
����������� $M[S^{-1}]$ ������������ ��� ��������� �������
��������������� ���������� ��������� $m \cdot s^{-1}$, $m \in M$, $s
\in S$, ������ ��������� ��������������� � �������� �� $M[S^{-1}]$
�������� ����� ���� �� ���������, ��� ��� ����� (���������, ��� ���
������ ����������). ���� $S = A \setminus \pp$ ��� �������� ������
$\pp \subset A$, �� ����������� $M[S^{-1}]$ ������������ �����
$M_\pp$.

\begin{exc}
������������������
$$
\begin{CD}
M_1 @>{\phi_1}>> M_2 @>{\phi_2}>> M_3
\end{CD}
$$
������� � ����������� ���������� {\em ������}, ���� $\Ker\phi_2 =
\Im\phi_1$ (� ���������, $\phi_2 \circ \phi_1=0$). ��������, ���
���� ���� ������ ������������������ $A$-������� � �����������������
������� $S \subset A$, �� ������������������ �����������
$$
\begin{CD}
M_1[S^{-1}] @>{\phi_1}>> M_2[S^{-1}] @>{\phi_2}>> M_3[S^{-1}]
\end{CD}
$$
���� �����. �������� �����, ��� $(M_1 \oplus M_2)[S^{-1}] \cong
M_1[S^{-1}] \oplus M_2[S^{-1}]$.
\end{exc}

����� �������� �����-�� ������������� � ���, ����� ������� ������
������ ������, ������ ������ ��� ������� $k[x]$ ��������� �� �����
����������.

\begin{opr}
������ $M$ ��� ������� $A$ ���������� {\em ������� �����������},
���� ���������� ������������ ����������� $A^{\oplus n} \to M$, $n$
������������� ����� ����� (����� �������, ����� ������� �����
�������� $m_1,\dots,m_n \in M$, ��� ����� $m \in M$ ���� ��������
���������� $m_1,\dots,m_n$ � �������������� �� $A$). �������
����������� ������ $M$ ���������� {\em ������� ������������}, ����
����� ��� ������� ��������� $A^{\oplus n} \to M$, ��� �� ���� ����
������� ���������.
\end{opr}

\begin{prop}
����� ������� ������������ ������ $M$ ��� ������� $k[x]$ ���������
�� ����� ���������� ��� ����� $k$ ���� ������ ����� ������� ����
$k[x]/(P(x))$, $P(x) \in k[x]$.
\end{prop}

������ ����� ��� $k[x]/(P(x))$ ����� � ������ �����, ����� ��
�������� ����� ��������; ����� ������ ����������
�����������. ������� ��� ����������� ��� ����������� ���: �������
������������ ������ ��� $k[x]$ ���� ����� �����������.

\proof{} �� �����������, $M$ ���� ������ ����������� $\phi:A^{\oplus
m} \to A^{\oplus n}$. ������� ��� ����������� �������� ������� $m
\times n$ � ������������ ���������� 1.13. ����� ������, ���
������������ �������������� �� ������ ������; ������� �� �����
������������, ��� $\phi$ -- ������������ �������, � � ����� ������
����������� ��������.
\endproof

\begin{exc}
��������, ��� ��� ����������� �������� �������������� ���
������� (����������� $k[x,x^{-1}]$ ��� ������ ���
$k[x]$, �, �������� � ���� �����������, ��������� � ���������
������������� �� ����� ������� $k(x)$).
\end{exc}

\begin{corr}[��������� ���������� �����]
����� ����������� $A:V \to V$ �������������� ���������� ������������
��� ������������� ��������� ����� $k$ ����� ��������� ����������
�����.
\end{corr}

\proof{} ���������� $V$ ��� $k[x]$-������ -- � ������, �������� $x$
����������� � ������� ������������ $A$. ����� ����� ������, ��� $V$
������� ����������� (��������, $V$ ���� ������ ����������� $k[x]^n
\to k[x]^n$, ��������� �������� $x\Id - A$, ��� $n$ -- �����������
������������ $V$). ������� $V$ ���� ����� ����������� �������, �
���������� ��������, ��� ����������� ������ $k[x]/(P(x))$ �����
��������� ���������� �����. � ��� �������� -- ���������� ���������
�� ��������� ������� $P(x)$.
\endproof

����� ������, ������ ������� ��������� ������� ������� �������� {\em
��������}: ��� ������� �������� ������� ������� ��������� ���������,
�.�. ������ ��� ����������� ��������.

��������� ����������� ������������ ����������� ������, �, ���� ���
������ �������, ����������� ���������� �����.

\begin{lemma}[����� �������]
����� $M$ -- ������� ����������� ������ ��� ��������� ������� $A$, �
����� $\m \subset A$ -- ������������ �����. ����� ���� $\m M = M$,
�� $M=0$.
\end{lemma}

\proof{} ������� ���������� $m_1,\dots,m_n \in M$. ��������� $M = \m
M$, ����� $m_i = \sum m_ja_{ij}$ ��� �����-�� $a_{ij} \in \m$,
�.�. $\sum m_ja'_{ij} = 0$, ������ $a'_{ij}=\delta_{ij} - a_{ij} =
\delta_{ij} \mod \m$. �������� �� $a'_{ij}$ ���������� ������� $A$
������� $n \times n$, � ���������� �������������� �����������
$A:M^{\oplus n} \to M^{\oplus n}$. ����� $A(\langle
0,\dots,m_i,\dots,0\rangle)=0$. ���� $B$ -- ������� �� �������
������� ������� $A$, �� $BA$ -- ������������ �������, ������ ��
��������� ����� $\det A$. ����� ��� ����� $BA(\langle
0,\dots,m_i,\dots,0\rangle)=0$, �.�. $\det Am_i=0$, � ������, $\det
A$ ��������� ����� �� $M$. �� $\det A = 1 \mod \m$, � ����� ����,
�������.
\endproof

\begin{corr}
���� �������� $m_1,\dots,m_n \in M$ ������� ������������ ������ $M$
��� ��������� ������� $A$ ��������� ��������� ������������ $M/\m M$,
�� ��� ��������� � ��� $M$.
\end{corr}

\proof{} ����� $M' \subset M$ -- ���������, �����������
$m_1,\dots,m_n$; ����� ������, ��� ������������ $M''=M/M'$
������������� $\m M'' = M''$.
\endproof

������ ������ ��� ���� �������� �������� �������, ������� �����
����� ����� ��� �������, � ������ ����� -- ��������� ������������.

\begin{opr}
{\em ��������� �������������} ������� $M_1$, $M_2$ ��� ������� $A$
���������� ������, ����������� ����������� ����������� ���� $m_1
\otimes m_2$, $m_1 \in M_1$, $m_2 \in M_2$, � �������������
$$
am_1 \otimes m_2 = a(m_1 \otimes m_2) \qquad (m_1+m_1') \otimes m_2
= m_1 \otimes m_1 + m_1' \otimes m_2,
$$
���� �� �� ����������� �� ������� �����������. ���������
������������ ������������ $M_1 \otimes_A M_2$, ��� -- �����, �����
��� ����� ���������� -- ������ $M_1 \otimes M_2$.
\end{opr}

��� ����������� �������� ���������, ��� ���� ������ ��������; �
���������, ���� ������ ��������� ����������.

\begin{exc}
��������� ��������� ������������ $M_1 \otimes_A M_2$ � ���������
���������:
\begin{enumerate}
\item $M_1=A^{\otimes n}$, $M_2=A^{\otimes m}$,
\item $M_1=A^{\otimes n}$, $M_2$ �����,
\item $A=\Z$, $M_1 = \Z/2\Z$, $M_2 = \Z/n\Z$,
\item $A=\Z$, $M_1 = \Q$, $M_2 = \Z/n\Z$,
\item $A$ �����, $M_1=A/\aA_1$, $M_2=A/\aA_2$, $\aA_1$ � $\aA_2$
������� ������.
\end{enumerate}
\end{exc}

\begin{exc}
��������, ��� ��� ������ ������ $M$ ��� ������� $A$ � �����
����������������� ������� $S \subset A$ ������� ����������
$M[S^{-1}] \cong M \otimes_A A[S^{-1}]$.
\end{exc}

��� ����������� ��������� ����������. ����� ���� ������ $A$, $B$ �
����������� $A \to B$. ����� $B$ -- � ����� ����, ����� $B$-������
-- ������������ ������� ����� ������������� ��� ������ ���
$A$. ��������, ���� ��� $A$-������ $M$, �� ��������� ������������ $M
\otimes_A B$ ������������ ������� ���� ������ ��� $B$: $B$ ���������
����������� �� ������ ���������.

\begin{exc}
��������� $A^{\oplus n} \otimes_A B$.
\end{exc}

\begin{exc}
��������, ��� ��� ������ $A$-������ $M$ � $B$-������ $N$ �������
������������ ���������� �����
\begin{equation}\label{adj}
\Hom_A(A,B) \cong \Hom_B(M \otimes_A B,N).
\end{equation}
\end{exc}

�������, ��� \eqref{adj} ����� ������������ ��� {\em �����������}
���������� ������������ (�� ����� ���� ����������, ��� ���������
������������ ����������).

���� �� ��� ���� ������ $A$ � {\em ���} ������ $B_1$, $B_2$ �
������������� $A \to B_1$, $A \to B_2$, �� ��������� ������������
$B_1 \otimes_A B_2$ ����� ������������ ��������� {\em ������}:
��������� ������������ $b_1 \otimes b_2 \in B_1 \otimes_A B_2$ �����
����������� ��������. ��� ���� �� ���� ����� ������������
����������� $A \to B_1 \otimes_A B_2$.

�������������, � ����� �������� �������, ��� $\Spec B_1$ � $\Spec
B_2$ ��� {\em ����� ��� $\Spec A$} -- ���� � ����, ��� ������
����������� $\Spec B_1 \to \Spec A$, $\Spec B_2 \to \Spec A$.

\begin{opr}
����� $\Spec (B_1 \otimes_A B_2)$ ���������� {\em �����������
�������������} $\Spec B_1$ � $\Spec B_2$ ��� $\Spec A$ �
������������ $\Spec B_1 \times_{\Spec_A} \Spec B_2$.
\end{opr}

\begin{opr}
���� ����� ����������� ������������ $\Spec \C \times_{\Spec \R}
\Spec \C$?
\end{opr}

�������������, ����������� ������������� $X_1 \times_Y X_2$ ��������
$X_1$, $X_2$ ��� ���������� $Y$ -- �.�. �������� $X_1$, $X_2$,
���������� ������������� $\pi_1:X_1 \to Y$, $\pi_2:X_2 \to Y$ --
���������� ������������ � $X_1 \times X_2$, ��������� �� ��� �����
$\langle x_1,x_2 \rangle$, $x_1 \in X$, $x_2 \in X_2$ �����, ���
$\pi_1(x_1) = \pi_2(x_2)$. �������������, ��� ������������� �
������� ���������� ������������. ��� ���� ��-�� ����, ��� �
�������������� ��������� ��� ���������� ����������� ``�����'' --
������������ �����, � ������� ����� ������ ������������ �����������,
��� $\Spec \Z$, ������� ������ ����� �� ����� -- �������
������������ ������������ ������, ��� ������ ������������. ��� �����
����� ��������� (���� ���������������): � �������������� ���������
���� ��� ����������� ������������� ������������, �.�. ���������� ��
�� ��� ������ ����� $X$, � ��� ����� $X$ ��� ``�������'' ������
$Y$. � ������, ����� $Y = \Spec k$ -- ������ ����, ����� ��� $Y$
���������� ��� �������� ������� ��� $k$.

�������, ��� ���� ������� ������������ ��������� ����������
�������������� ��������, ��� ����� ����������� � ����� -- ������
����������� -- ������������ ����, ��� ����� ��������� �����. ���
������� ����������, win some, lose some.

\begin{exc}
��������, ��� $\A_k^n \times_k \A_k^m = \A^{n+m}_k$ (����� $\A^l_k =
\Spec k[x_1,\dots,x_l]$ -- $l$-������ �������� ������������ ���
����� $k$.
\end{exc}

\begin{exc}
��������� ������ ����� ���� $\Spec A_1$, $\Spec A_2$ ��� ����� $k$,
��� 
$$
\Spec (A_1 \otimes_k A_2) \neq (\Spec A_1) \times (\Spec A_1)
$$
(����� ������������ ������ ���������� ��� ������������ ���������
�����).
\end{exc}

\medskip

��������� ������ ��������� �������� ����������� ������� ��� ����,
����� ������� ���������� �������������� ������ -- ������������� (�
���������������) ��������.

\begin{opr}
�������, ��� ������ $M$ ��� ������� $A$ {\em �������� ���������
����� $n$}, ���� ��� ������ �������� ������ $\pp \subset A$, $M_\pp
\cong A_\pp^{\oplus n}$.
\end{opr}

�� ����� �������� ������� ���� $X = \Spec B \to Y = \Spec A$ {\em
$n$-������� ������������� ���������}, ��� {\em �������������
��������� ������� $n$}, ���� $B$ -- �������� ��������� $A$-������
����� $n$. ����������� ������ ����� �������� ���������.

\begin{exc}
����� $B = A[x]/(P(x))$, ��� $P(x)$ -- �����-�� ������� �
�������������� �� $A$ � ��������� ������� �������������. ��������,
��� $\Spec B \to \Spec A$ -- ������������� ��������, ������ ���
�������?
\end{exc}

�� ������� ������ ������ ��������, ���������������, � ����� (��� ��
�� ���� ������) ������ ���������.

� ���������, ����������� $f:X \to Y$ ������������ ��������������
����������� ���������� $n$-������� ���������, ���� � ������ ����� $y
\in Y$ ���� ����� ����������� $U \subset Y$, ��� $f^{-1}(U)$ --
��������� ����������� $n$ ����� $U$. ������������, � ������ �����
$n$ ����������, � ������ ����� $x \in X$ ����� ����� �����������
$U_x \subset X$, ��� $f:U_x \to f(U_x)$ -- ������������. �
�������������� ��������� ������������ ������� ����, �� ���
����������� ����� ����������� ���, ��� ��� ����� �����
�������������� �����. � ������, ���������� ������������ $X \times
X$, � ��������� ��� ����������� $U_x$ � ���� ����������� $U \subset
X \times X$ ��������� $X \subset X \times X$. ����� �� �������, ���
$f$ �������-���������� �� $U_x$, ������������ ���: $U \cap X
\times_Y X$ ���� ���� ���������. ����� �������, ��������� $X \subset
X \times_Y X$ ������� � �������������� ���������. ��������� $X$
�����������, ��� ��� � ��������, � ������ �������� �����������
��������� $X \times_Y X$.

\begin{opr}
������� ���� $X \to Y$ ���������� {\em ���������������} ����
��������� $X \subset X \times_Y X$ -- ���������� ��������� $X
\times_Y X$ (����� �������, ���������� ���������� $X \times_Y X
\cong X \coprod X'$, ��� $X'$ -- �����-�� �����.
\end{opr}

������ ������� ������� ���������������� �������� �������� ���������.

\begin{opr}
������� ���� $X \to Y$ ���������� (���������������) {\em ���������
�����} ���� ��� $n$-������� ��������������� ��������, � ����� ����,
������������ $X \times_Y X$ ����������� � ��������� ����������� $n$
����,
$$
X \times_Y X = \coprod_{1 \leq i \leq n} X_i,
$$
������ $X_1$ ��� ���������, � ��� ������� $i$ �������� $X_i \to X$
�� ������ ����������� -- ����������.
\end{opr}

��� ����� ��� ������. ����� ��������� �������� $X' \subset X
\times_Y X$, ��� ������� �������� $X' \to X$ -- ����������, ����
������ ������-�� ����������� $g:X \to X$ (�������������� � ���������
$X \to Y$). ��� �����, ���� $X \to Y$ -- �������� �����, ����� $n$
����������� $g_i:X \to X$. ����� ���������, ��� ������ ����������
���� ����������� ��������, � ��������� ��� $X_i$ -- ����������
���������, ����������� $g_i$ �������� �������� ������ $G$ �������
$n$. ��� ������ $G$ ���������� {\em ������� �����} �������� $X \to
Y$. ����� ������, ��� ��������� ����� $Y$ ��������������� �
���������� $G$-����� �� ��������� ����� $X$; � �� ������ ������
������� $Y$ ���� ������ $X$ �� �������� $G$. 

��� ��������, ����� ������ �������� �������� -- �����������, ��� $A$
-- ��������� ������ � ������������ ������� $\m \subset A$ (� �����,
�� ������ �������������, $B = A^{\oplus n}$ ��� $A$-������). ��� ���
���������� ��� �������� ����� � ������� �������.

\begin{lemma}
����� $A$ -- ��������� ������, � ����� $X = \Spec B \to Y = \Spec A$
-- �������� ����� � ������� ����� $G$. ����� $A \subset B$ ���������
� ���������� $A^G \subset A$ $G$-������������ ���������. ����� ����,
$B$ ��������� $A[G]$ ��� $A$-������ � ��������� $G$ ($A[G]$ ���
������ ����� $|G|$ ����� $A$, �� ������� $G$ ���������
��������������).
\end{lemma}

\proof{} ��������, ��� $A \subset B^G$; ���� ��������, ��� ���
����������. �� ����������� $G$, ����� $B = (B \otimes_A B)^G$, ���
$G$ ��������� �� ������ �����������. �� ��������� $B = A^{\oplus n}$
��� $A$-������, $B \otimes_A B = A^{\oplus n} \otimes_A B =
B^{\oplus n}$, � $(B \otimes_A B)^G = (B^{\oplus n})^G =
(B^G)^{\oplus n}$. ������� $B = A^{\oplus n} = (B^G)^{\oplus n}$, �
����� ����, $A = B^G$. �����, �� ����������� $B[G] \cong B \otimes_A
B$, ��� $G$ ��������� �� ������ �����������, � ��� �����������
����������� � ��������� $G$ �� ������� �����������. �������� �
$G$-�����������, �������� ���������� $A[G] \cong B$.
\endproof

����� ������ ���� ������ ��������������� $n$-������� �������� $X \to
Y$. �����������, ��� ��� ����� ��������� ������� � ������� ��������
�����. � ������, ��-������, ����� ��������� ����������.

\begin{lemma}
����� ���� ������������������ ���� � ������������� �������� $\wt{X}
\to X \to Y$, ������ $\wt{X} \to Y$ -- ��������������� ��������
����� � ������� $G$, � $\wt{X} \to X$ �����������. ����� $\wt{X} \to
X$ -- �������� ����� � ������� $H \subset G$.
\end{lemma}

\proof{} ����������� ������������ $\wt{X} \times_X \wt{X}$ ��� ��
����������� ��������� �������� � $\wt{X} \times_Y \wt{X}$; �������
��� ����������� ��������� �� ������� ��������� $\wt{X} \times_Y
\wt{X}$.
\endproof

��� �����, ��� ������ �������� ����� $\wt{X}/Y$ ``�������������''
�������� $X/Y$ ���������� ����������� � $G$.

�����, ���������� $n$-������� ������������ $X^n_Y = X \times_Y X
\times_Y \dots \times_Y X$. ����� �� �������� ��� ����������� �
��������� ����������� ������ ���������� (��������� ��� ��������,
�������� ��������� ���� ``���������� 1-�, 13-� � 42-� �����''). �
���������, ������� �������-��������� �������� $\wt{X} \subset X^n_Y$
������� ���� ���������� {\em �� ����} ���������� -- ��� ����������
������� �� �����.

\begin{exc}
��������, ��� $\wt{X} \to Y$ -- $n!$-������� ������������� ��������,
� $\wt{X} \to X$ -- $(n-1)!$-������� �������������
��������. ��������: ������� ����������� ������, ����� $A$ -- ����;
����� ��������, ��� ������ �������� ��������� � ����� ������,
����������� ����� �������.
\end{exc}

������� ������, ��� �������������� ������ $S_n$ ��������� ��
$\wt{X}$, ��� �������� ���������� � ��������� �� $Y$, � � $S_n$ ���
��� $n!$ ���������, �.�. ��� ����������� ������������ �����
��������; ����� �������, $\wt{X} \to Y$ -- �������� ����� � �������
$G = S_n$. ����������, $H = S_{n-1} \subset G$ ������������ �����
�������� $\wt{X} \to X$, � ��� ��� ����� ���� �������� ����� �
������� $H$.

� ������������ ������ ����� ������������� ������ ����� �������� $X
\to Y$, ��� ���� $X$ ������; ������� ���� $\wt{X}$ �� �������, �
���� �������� ��� �� ��� ���������� ��������� $\wt{X}_0$ (����� --
��� ��� ����������, ������ ��� �� ������������ ��������������
������). ������ ����� $G$ ����� ����� ���������� � $S_n$,
����������� $\wt{X}_0$, � $H = S_{n-1} \cap G \subset S_n$. ���
��������� ��������� ��� ������. ����� �������, ����� ���������������
�������� $X = \Spec B \to Y = \Spec A$ ������� ���������� ������ $A$
�������� ���: ������� �������� ����� $\wt{X} = \Spec \wt{B} \to Y$ �
������� ����� $G$, ��������� $H \subset G$, � $X = \wt{X}/H$ --
�.�. $B = \wt{B}^H$, � $\wt{X} \to X$ -- �������� ����� � �������
$H$.

�� ��������� ������ �� �������, ��� �� ��������� ���������� ��������
����������, ��� �������� ���������, � �����, � ���������, ��������
$\Spec A[x]/(P(x)) \to \Spec A$ �������������.

\end{document}
