\documentclass[12pt,leqno]{article}

\usepackage{amsmath,amsfonts,amscd,amssymb,theorem}

\addtolength{\topmargin}{-23mm}
\addtolength{\textheight}{60mm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-20mm}
\addtolength{\textwidth}{40mm}

%%%%%  Theorem style with a dot at the end of the header

\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@dotted{\normalfont\itshape
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}}
\endgroup
\makeatother

\theoremstyle{dotted}

\newtheorem{thm}{�������}[section]
\newtheorem{lemma}[thm]{�����}
\newtheorem{prop}[thm]{�����������}
\newtheorem{corr}[thm]{���������}
\newtheorem{exc}{����������}[section]
\newtheorem{sch}[thm]{����}

%%%%%  Same for definitions

\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@upshape{\normalfont
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}}
\endgroup
\makeatother

\theoremstyle{upshape}

\newtheorem{opr}[thm]{�����������}
\newtheorem{rem}[thm]{���������}

%%%%% ������

\makeatletter
\@addtoreset{equation}{section}
\makeatother
\renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}}

\newcommand{\proof}[1][��������������.]{\smallskip\noindent{\em #1}}
\def\endproof{\hfill\ensuremath{\square}\par\medskip}

\renewcommand{\labelenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}}
\renewcommand{\theenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}}

\def\eqref#1{\thetag{\ref{#1}}}
\def\eps{\varepsilon}
\def\phi{\varphi}
\def\wt{\widetilde}

\let\latexref=\ref
\def\ref#1{{\normalfont{\latexref{#1}}}}

\setlength{\unitlength}{1pt}
\newcommand{\idot}{{\:\raisebox{1pt}{\text{\circle*{1.5}}}}}
%
% The dot which looks good as index for homology groups
%
\newcommand{\hdot}{{\:\raisebox{3pt}{\text{\circle*{1.5}}}}}
%
% Same for cohomology
%

%%%%% �����

\newcommand{\C}{{\mathbb C}}
\newcommand{\Z}{{\mathbb Z}}
\newcommand{\R}{{\mathbb R}}
\newcommand{\Q}{{\mathbb Q}}

\newcommand{\A}{{\mathbb A}}

\newcommand{\m}{\mathfrak m}
\newcommand{\aA}{\mathfrak a}
\newcommand{\pp}{\mathfrak p}
\newcommand{\bb}{\mathfrak b}

\newcommand{\Hom}{\operatorname{{\sf Hom}}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{{\sf Sym}}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{{\sf Id}}}
\newcommand{\id}{\operatorname{{\sf id}}}

\newcommand{\hhom}{\operatorname{{\mathcal H}{\it om}}}

\renewcommand{\Im}{\operatorname{{\sf Im}}}
\newcommand{\Ker}{\operatorname{{\sf Ker}}}
\newcommand{\Coker}{\operatorname{{\sf Coker}}}

\newcommand{\Aut}{\operatorname{{\sf Aut}}}

\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Max}{\operatorname{Max}}
\newcommand{\Ass}{\operatorname{Ass}}
\newcommand{\Supp}{\operatorname{Supp}}

\renewcommand{\dim}{\operatorname{{\sf dim}}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{{\sf rk}}}
\newcommand{\ev}{\operatorname{{\sf ev}}}
\renewcommand{\deg}{\operatorname{{\sf deg}}}
\renewcommand{\det}{\operatorname{{\sf det}}}

\newcommand{\disc}{\operatorname{{\sf disc}}}
\newcommand{\Ann}{\operatorname{{\sf Ann}}}
\newcommand{\Res}{\operatorname{{\sf Res}}}
\newcommand{\tr}{\operatorname{{\sf tr}}}
\newcommand{\gr}{\operatorname{{\sf gr}}}
\newcommand{\htt}{\operatorname{{\sf ht}}}
\newcommand{\cchar}{\operatorname{{\sf char}}}

\def\ds{\displaystyle}

\newcommand{\6}{\partial}

%%%%% Pagestyle

\pagestyle{myheadings}

\markboth{�������� � �������������� ��������� -- ������ � ��� ����,
����� 2005}{�������� � �������������� ��������� -- ������ � ���
����, ����� 2005}

\begin{document}

\setcounter{section}{2}
\stepcounter{section}
\section*{������ 3.}

\begin{center}
\begin{minipage}{0.7\linewidth}\small
����������� � ������������ �����, ������� �����������. ��������
������ � ������. ������� ��������� � ������. ����������� �� ������
(�����������). ��������������� ������, ��������� ����������. �������
������ (�����������). ��������� � ������������.
\end{minipage}
\end{center}

����� ���������� �������� �������� �������������� ���������, ���
����� ������ ��������� ����������� �� ���������������
������. ��-������, ��� �������� �������� ��������� �������.

\begin{opr}
�������� ����� $X=\Spec A$ ���������� {\em �����������}, ���� �
������ $A$ ��� ������������� ���������. �������� ����� ����������
{\em ������������}, ���� $X$ ����������� ��� ��������������
������������ (� ���������� ����������).
\end{opr}

\begin{exc}
��������, ��� ��������� ������������� ��������� ������ $A$ -- �����
(���� ����� ���������� {\em �������������} ������). ��������, ���
���� $J \subset A$ -- �����������, �� $\Spec A/J$ -- �����������
�����.
\end{exc}

����� $\Spec A/J$ ������ -- ����� ����� ��-������, ���� ��-���������
-- ���������� {\em ���������} ����� $X = \Spec A$ � ������������
$X_{red}$. ���� �������, ��� ``�����������'' ��-��������� �����
``reduced'' (� ``������������'' -- ``irreducible'').

\begin{lemma}
����������� $J \subset A$ ������ $A$ ����� ����������� ���� ���
������� �������.
\end{lemma}

\proof{} �� �����������, ����� ������������� �������� ����� � �����
������� ������. ��������, ����� ��� ������� $a \in A$. �����������
$A[a^{-1}]$ ����� ���� ����� � ������ �����, ����� $a$ ������������
(������� ``$1 \sim 0$ � $A[a^{-1}]$ �������������� ������������
$a^n=0$). ���� ��� �� ���, �� $A[a^{-1}]$ �������� �������������
������������ ����� $\m \subset A[a^{-1}]$; ����������� $\m \cap A$
����� -- ������������� ������� ����� � $A$, �� ���������� $a$.
\endproof

\begin{rem}
��� ``������������'' �����, by abuse of notation, ����������
��������� $\m \subset A[a^{-1}]$ ��� ������������ ����������� $A \to
A[a^{-1}]$. �� ������ � ������ ����� �������� ��� ``����������� $I
\cap A \subset A$, ���� � ���� �������� ������ $I \subset B$ �
�����-�� ������ $B$ ��� �������� ����������� $A \to B$.
\end{rem}

\begin{corr}
����� $X = \Spec A$ ����������� � ������������ ����� � ������ �����,
����� � ������ $A$ ��� ��������� ����.
\end{corr}

\proof{} ���� � ������ ��� ��������� ����, �� ��� ��� ����� ���
������������, � ����� ����, $\{0\} \subset A$ -- �������
�����. ����� ������ -- � �� ��� ��� ��������� �� ������ 1 -- ���
$\Spec A$ ���� ��������� �����. ����� �����, � ������ �����������.

� �������� �������, ����� $X$ ����������� � ���������, � ����� ����
$a,b \in A$ � $ab=0$. ����� $\Spec A = V((a) \cup V((b))$. ���������
$X$ �����������, $V((a))=V((b))=\Spec A$, �.�. ����� ������� �����
$\pp \subset A$ �������� $a$ (� $b$). ������� ��� ������������.
\endproof

\begin{opr}
������ ��� ��������� ���� ���������� {\em �������� �����������}, ���
{\em ����� �������} (��-��������� domain), � ��� ������ -- {\em
����� ������}.
\end{opr}

�����������-�������������, ����������� �������� � $\A^n$ ���
�������� ``��� ������� �����'', � ������������ -- ��� ��������,
��������� �� ����� ����������. ��� �� ������, ���������� ��
���������� ����� � ������� ������������ ��������
��������. ������������� �������, ��� ����� ����������� �������� �
$\A^n$ �����, �����, ��������� � ����������� ������������ ���������,
������ ��������� �� �����. �� ��� ���� ����������; ����� ����, ����
������ $\A^n$ ����� ����� �������� ����� $X$, �� ���
*�������* -- ����� �������� �� ������ �����-�� �������� �������
����������. ��� ���������� ��������, ���������� ������� ���������.

\begin{opr}
������ $M$ ��� ������� $A$ ���������� {\em ���������}, ���� �����
������������ ������� ���������� $M_0 \subset M_1 \subset \dots
\subset M$ ��������������� �� �������� ����, $M_n=M_{n+1}$ ��� ����
$n$ ������� ��������� ��������� $N$. ������ $A$ ���������� {\em
���������}, ���� ��� �������� ��� ������ ��� ����� (����� �������,
����� ������� ������� $\aA_0 \subset \aA_1 \subset \dots \subset A$
��������������� �� �������� ����).
\end{opr}

\begin{exc}
����� ��������� � ������������ �������� ������ ����
�������. ��������, ���� $M' \subset M$ � $M/M'$ ��������, �� $M$
�������.
\end{exc}

\begin{exc}
�������-����������� ������ $M$ ��� ��������� ������� $A$ �������,
������� ������ $M$ ��� ��������� ������� $A$ ������� ��������. � ���
��� ������� �����������.
\end{exc}

\begin{exc}
���� ������ $A$ ��������, �� ����� ��� ������������ $A/\aA$
��������. ����� ����, ����� ����������� $A[S^{-1}]$ ���� ��������
(�������� �������, ��� ����� ����� $\aA \subset A[S^{-1}]$ ����� ���
$(\aA \cap A)[S^{-1}]$).
\end{exc}

\begin{exc}
������ $A$ �������� ����� � ������ �����, ����� ����� ����� $I
\subset A$ ������� ��������.
\end{exc}

�������� �����������, ������� ���������� ������������� �������
�����������, ��� ����������� ����������� ������ ���������
$k[x_1,\dots,x_n]$. ��� ��������� ��������� ��������� �� ����������
���������������� �����.

\begin{thm}[������� ��������� � ������.]
���� $A$ -- �������� ������, �� ������ ��������� $A[x]$ ����
��������.
\end{thm}

������ ��� ���������� ���, ��������� ������� ��� �������. � �����
19�� ���� ���� ������ ����� ``������ �����������'' -- ����
������������� ������� ��������� $k[x_1,\dots,x_n]$, ����� �����-��
������ $G$ -- ������, �������� -- ������� ���-�� ��������� ��
��������� ������������ � ������� $x_1,\dots,x_n$, � ��������
�������� ��� ``������������ ����������'' -- � �����������
������������, �������� ��������� $k[x_1,\dots,x_n]^G$ -- �����
��������� �������� ������� �����. ����� ��������� ������� ������
���� -- ��� ��� ��� �������������� ����������, �.�. ����������
�������������� ������ $S_n$, �������������� $x_1,\dots,x_n$,
���������� ��� �������� �� $n$ ���� ������������ ��������������
���������, �� ������ � ������ ������� �� $1$ �� $n$. �������� �����
���� ���� ���������� ���� ������, �� � ��������� ������ ����� �����
������� �� -- ��������, ��� �������� ����� ������������ ���������
���������� ��� ����� ������ (������ ���� ��� �� ���������). ���
��-�������� ���� �� ������ � ���������� ``�������������
�������������'', ���������� ���������������� (���� ������� ���
������, �������� ��������, ���� ������������ ���������� ���
���������������). �������� ������ � ����������� ��������� -- ��� ���
����� ����� � ������ ��������� ������� ��������. �����, ���
�������������� ����������� �������, ��������� ����������� �
���������, � ������� ��� � ����� ���� �����.

\proof{} ��� ������ ������ $I \subset A[x]$, $I^{(n)} = (I \cap
x^nA[x]) \mod x^{n+1}$ -- ����� � $A$, ������ $I^{(n)} \subset
I^{(n+1)}$. ��������� $A$ ��������, ������� ������� $I^{(n)}$
��������������� �� �����-�� �������� ���� $N$. ��������� 
$$
I^{(\infty)} = I^{(N)} = \bigcup I^{(n)}.
$$
����� ����, ���� $I_0 \subset I_1$, �� $I^{(\infty)}_0 \subset
I^{(\infty)}_1$. ������� ���� ���� ������������ ������� ������� $I_0
\subset I_1 \subset \dots \subset A[x]$, �� ������� $I_k^{(\infty)}$
���������������. ��������� �������� ����� ���������, ����� �������,
��� $I_k^{(\infty)} = I_0^{(\infty)} = I_0^{(N)}$. ����� ��
�����������, ��� ������ $k \geq 0$ � $n \geq N$
$$
I_0 \cap x^nA[x] \subset I_k \cap x^nA[x],
$$
������ �� ������ $x^{n+1}$, $I_0 \cap x^nA[x] \subset I_k \cap
x^nA[x] \subset I_0^{(\infty)}$, � ����� ����� � ���� ���������
����� ������. ����� ����, ��� ��� ����� �������. �� ��������, $I_0
\cap x^NA[x] = I_k \cap x^NA[x]$. ������� ��� ����, ����� ��������,
��� ������� $I_k$ ���������������, ���������� ��������, ���
��������������� ������� $I_k/(I_k \cap x^NA[x]) \subset
A[x]/x^N$. �� $A[x]/x^N$ -- �������-����������� $A$-������.
\endproof

\begin{exc}
����� $A$ -- �������� ������; ��������, ��� ������ ���������� �����
$A[[x]]$ ���� ��������.
\end{exc}

����� �������, ����������� ����������� ��� �������� � �������������,
������� ����������� ��������, ������������, � ���� �������
���������� �����. ����������� ��� ������� �������������� ���������
������� ������������� ����������� (���� � �� ������ ��� -- ������,
�������� � ��������� �����, ���������� ������������� � ����������
������).

\begin{exc}
����� $B \subset A$ -- ��������� �������� ������ $A$. ����� ��, ���
$B$ ��������? (�����������, ��������, $A = k[x,y]$).
\end{exc}

�������, ��� ��� �������� ������ $A$, $\Spec A$ ������� �� ���������
����� ������������ ���������.

\begin{lemma}
���� $A$ -- �������� ������, �� $X=\Spec A$ ���� �����������
��������� ����� ������������ ��������� ����������� $X_i \subset X$
(���������� {\em ������������� ������������} $X$).
\end{lemma}

\proof{} �.�. ������ $A$ ��������, �� ����� ���������
������������������ $Z_0 \supset Z_1 \supset \dots \subset X$
���������������� �� �������� ���� (�������, ��� $X$ {\em ��������
�������������� ������������}). ���������� ������������ ���������
����������� � $X$, ������� {\em ������} ����������� ��� �����������
��������� ����� ������������ ��������� �����������. ����� � ����
�����������, ��� ������������, ������ ����������� �� ���������,
������������� ������� ����� �����. �������, ���� ����� ���������
������ ����, �� ���� � ����������� ����� ������������ $Z \subset
X$. ��� �� ������� ���������, $Z = Z_1 \cup Z_2$, � ��� ��� ���
����������, $Z_1$ � $Z_2$ ��� ����������� � ��������
�����������. ������������.
\endproof

���� �������, ��� ����������� ���� ������ -- ��� �������� ���������
����� ����� ��������� �������� ������ {\em �����������} (� ��
������� ���� ��������� ������ ����� ������������). ��� ������
������. ����������� ���������.

\begin{opr}
{\em ������������} (�����������) �������� ������ $A$ ����������
������������ ����� ������� $\pp_1 \subset \pp_2 \subset \dots
\subset \pp_n$ ��������� ������� ��������� ������� ������� �
$A$. {\em �������} �������� ������ $\pp \subset A$ ����������
������������ ����� ����� �������, ������ ������� � $\pp$.
\end{opr}

����� �������, ������ ������������ �������� ������ ����� $0$ --
����� ������ �������� ������������ ����������� $\Spec A$. ������
������ $n$ �������� ���������������� ������������� $n$, �
����������� ������ ���������� �������� �� ��������� �������������
��������� ����������: ���� ���� ������������ ��������� ��������
������, �� ��� ����������� ������ ���� ������ ������. �����������
������ ������������ $\dim A$, � ������ ������ ������������ $\htt
\pp$. ���������, ����� ������, ��� $\htt\pp = \dim A_{\pp}$. �
���������, ��� {\em ���}, ��� ����� ������ -- � ��, ��� �����������
�������, � ��, ��� �������� $\dim \A^n = n$, ���� ����������, ������
��������� ������. �� ���� �������� ����� ��������� �����; ��
����������� ����������� ������� ��������� ��� ������.

\begin{exc}
��������, ��� $\dim Z$ � $\dim k[x]$, $k$ -- ����, ��� ����� $1$.
\end{exc}

\medskip

������ ������ �������� ������. ��������� ����������� ����� ���� ��
������ ����������� 2.8: ������ ������� ����������� ������ ��� ���������
������� ����������� � ������ ����� �����������. �������������,
������ ``����������� �� ������ �������''. ������ ��������� � �����
������ ��� -- ������ ��������� $k[x]$ ������� ������� (��������,
����� ����������� 1). �� ���-����� �������������� ���������� ��
������ ��������� �����.

\begin{opr}
{\em �����������} �������� $m \in M$ $A$-������ $M$ ���������� �����
$\Ann(m) \subset A$ ����� ��������� $a \in A$, ��� $am=0$. {\em
����������� $\Ann M$} ����� ������ $M$ ���������� �����������
$\cap_m \Ann(m) \subset A$. {\em ���������} $\Supp M \subset \Spec
A$ ���������� ��������� ������������, ������������ ������� $\Ann M$.
\end{opr}

��������� $\Ann M$ -- �����, �������� $\Supp M$ ����� �����
��������� ������� ���������, �� ��� �������������. ����� ��������
������� �����.

\begin{opr}
������� ����� $\pp \subset A$ ���������� {\em ���������������
�������} ��� $M$ ���� $\pp = \Ann(m,M)$ ��� ������-�� $m \in
M$. ��������� ��������������� ������� ������� ������������
$\Ass(M)$.
\end{opr}

���� $A$ -- �������� ������, �� ��������� ������� ���� $\Ann(m,M)$,
$m \in M$ ��������� ������� ������������� ������� ����� �����, �
������ ����� ������������ ��������.

\begin{exc}
����� ������������ ������� ��������� ������� $\Ann(m,M)$, $m \in M$
-- ������� �����. ����� $\pp \subset A$ ������ ����� � ������ �����,
����� $\Ann(a,A/\pp) = \pp$ ��� ������ $a \in A/\pp$, $a \neq 0$.
\end{exc}

����� �������, ��������� $\Ass(M)$ ��� ������ $M$ ��� ���������
������� �� ������� ���� �������. �� ����� ����, ���������
��������������� ������ ����� �� ��������.

\begin{lemma}
����������� (�� ���������) �������� ��������� $\Ass(M)$ ��������� �
������ ������� ������������ ��������� �������� $\Supp(M)$.
\end{lemma}

\proof{} ������� $A$ �� $A/\Ann(M)$, ����� �������, ��� $\Ann(M)=0$
� $\Supp M = \Spec A$. ����� ������������ ���������� $\Spec A$
�������� ����������� ������� ������� $A$, � ����� ���������������
������� ����� �������� ���� �� ���� �����������. ����� �������,
���������� ��������, ��� ����� ����������� �����
���������������. �������������, ����� $\pp \subset A$ -- �����������
������� �����. �����, ��������� $\Ann(M)=0$, ����������� $M_\pp$ ��
���������� � ����, �.�. ���� ����� $m \in M$, ��� $\Ann(m,M) \subset
\pp$. ������������ ��� ����� $m$, ������������ $\Ann(m,M)$ ��
���������, � ���� ������������ $\Ann(m,M)$, ���������, ��� ����
������� ����� $\pp' = \Ann(m',M) \subset \pp$. ��������� $\pp$ --
����������� ������� �����, ����� $\pp = \pp'$.
\endproof

\begin{opr}
������������� ��������������� ������ $\pp \in \Ass(M)$ ����������
{\em ����������}.
\end{opr}

����� �������, ��������� $\Ass(M)$ ��� ����� ������ ���������, ���
�������� -- ��� �������� � ��������� ������ (������, ``���������''
����� ��������� � ��������������� ������ $\Supp(M)$).

������� ������, ��� � ��������� �������� ��������� $\Ass(M)$
�������.

\begin{lemma}\label{filtr}
����� $M$ -- �������-����������� ������ ��� ��������� �������
$A$. ����� �� $M$ ���������� �������� ���������� $F_iM$, ���
�������������� �������������� ������� $\gr_i^FM$ ������� ����� ���
$A/\pp_i$, $\pp_i$ �������.
\end{lemma}

\proof{} �������� ������� ������������. ����������� (������������)
�� ������ $M$ ���������� ����� ���������� $F_iM$, ������ $F_iM
\subset F_{i+1}M$. �������������� �������������� ������� ����������
-- ��� ������ $\gr_i^FM=F_{i+1}M/F_iM$. ��� ������������ ����������
�����, ������ � ��� ��������� �����������, � ��� ������
``�������-��������������'' �������� -- �� ���� ���������.

�������������� �� ���������� ������������ ���������. ����� �����
$\pp_0 \in \Ass(M)$, ��� ��� $\pp_0 = \Ann(m,M)$, � �������� $F_0M =
A \cdot m \subset M$. ����� ������, ��� $F_0M \cong A/\pp_0$. �����
�������� $M$ �� $M/F_0M$. ���������� ������� � ���� �����������.
\endproof

\begin{exc}\label{extt}
����� $M' \subset M$ -- ��� ������. ��������, ��� $\Ass(M) \subset
\Ass(M') \cup \Ass(M/M')$. �������� ������ � �� �����~\ref{filtr},
��� ��������� $\Ass(M)$ ��� �������-������������ ������ $M$ ���
��������� ������� $A$ �������.
\end{exc}

������� ������, ��� ������ $\pp_0$, ������������ �
�����~\ref{filtr}, ��� ��� ��� ��������������� ������� ������
$M$. ������ ��� �� ��� -- ��, ������ ������, ����������
������. ���������� �� ��� ������ �� �����, �� �������� ���������
�����������. ���� ������ $M$ ��� �������� ����������� $A$ ��������
�����������, �� $\Ann(M)=0$ (������?). ����� $\Ass(M)$ ������� ��
�������� ������. ��, ��� �� ������ �������, ���� �� ������ ��������
���������� $F_iM$ � $\gr_i^F = A$, �� �� ��� �� �����������, � ��
������ �������� �����������. ��, ��� ����������, ������� � ���������
����������.

\begin{exc}
� �������� ���������~\ref{extt}, ��������� ������, ����� �����������
�������� $\Ass(M')$ � $\Ass(M/M')$ ������ ������, ��� $\Ass(M)$ 
(��������, ��������, $A = \Z$, $M=\Z$).
\end{exc}

���� ���� ����� ������� ������� ��� �������� � $\gr_\idot^FM$ ��
����������, � ��� ��� ����� ���� �� ���������� � ������ �����, �
������ ����������. �����-�� ������� � ���������� ���� �����
��������, �� ��� �������� ������, � ����������� �����. ������
������� ����� �����.

\begin{opr}
����� $\pp \subset A$ -- ������� �����. �������, ��� ��������� $M'
\subset M$ -- � ���������, ����� $\aA \subset A$ -- {\em ���������,
���������� $\pp$}, ���� $\Ass(M/M') = \{\pp\}$.
\end{opr}

\begin{exc}
����� $A$ -- �������� ��������� ������ � ������������ ������� $\m
\subset A$. ��������, ��� ����� $\aA \subset A$ ��������� ����� �
������ �����, ����� $\m^n \subset \aA$ ��� ������-�� $n \geq 1$.
\end{exc}

�������� ``������� � ��������� ����������'' �������� ���.

\begin{prop}
����� $M$ -- �������-����������� ������ ��� ��������� ������� $A$, a
$\pp_1,\dots,\pp_n$ -- ��� ��������������� � ��� ������. �����
���������� ��������
$$
M \hookrightarrow \bigoplus_{1 \leq i \leq n} M/N_i,
$$
��� $N_i \subset M$ -- ��������� ���������, ���������� $\pp_i$,
������ �� ���� �� ��������� � ������ ����� ������ ���������.
\end{prop}

\proof{} ����� ��������, ��� ��������� $N \subset M$ ������������,
���� ��� ������ ����������� ��� ����������� $N = N_1 \cap N_2$
����������� ���������� $N_1,N_2 \subset M$. ������������ ���������,
��������, �������� (���� � ������� $M/N$ ��� ������ ���������������
������ $\pp_1$, $\pp_2$, �� � ��� ���� �� ������� ���� ��� ������
����������� ��������� $(A/\pp_1),(A/\pp_2) \subset M/N$. �.�. $M$
�������, $0 \subset M$ ����� ����������� ��� �������� �����������
$N_1 \cap \dots \cap N_m$ ������������ ����������� ���������� $N_i
\subset M$, ������ ���, ��� �� ���� �� ��� ������ ���������. �����
$M \subset \bigoplus (M/N_i)$, ������� $\Ass(M) \subset \cup_i
Ass(M/N_i)$, � �������� ��������, ��� ��� ��������� -- ������� �����
$\pp_i$, ��������������� � ������ �� $M/N_i$, ������������ ����� � �
$M$. �������������, ����������� ���������, �����, ��� ����������
��������� $i=1$. ��������� � ���������� $N_1 \cap \dots \cap N_m =
0$ ������ ������ ���������, ����������� 
$$
\phi:M \to \bigoplus_{i \geq 2} M/N_i
$$
��� �� ��������. ��� ���� $\Ker\phi$ ����� ������������ � $M/N_1$, �
���� ���� $\Ass(\Ker\phi) \subset \Ass(M/N_1) = \{\pp_1\}$, $\pp_1$
������������ � $\Ker\phi$, � �������������, � � $M \supset
\Ker\phi$.
\endproof

������ ���� ������� �������� ��������������� ����������� ��� ������,
������� � ���� ������� ���������� �� ������ ����� -- �������
�������� ������ $a \in A$ �� ��������������� ������ $(a) \subset A$,
���� �������� ������������ � ������������ ������ ��������������
����� ���������� �� ������� ���������. ��������� ����� -- ���
��������� ������ ���� $(p^n) \subset \Z$, $p$ ������� (������
���������� ������ �� -- ��-��������� ��������� ����� primary, �
������� -- prime). �� �� �������� ��� ��� ������������ ��������, �
�������, ����� ��������� ������ � ��� ���.

���������, ��� �������� �� ������� ���������� ��� ������ -- ��� ���
������� {\em �������� ������}. ����� $M$ -- ������ ��� ������� $A$,
� ����� ��� �������� $A$ -- ������� �����������. ���� $M$ ��������
�����������, �� $\Ann(M)=0$, � $\Ass(M)$ ������� ������ �� ��������
������ $0 \subset A$. ������ �� ��������, ���� � ����� ��� $k[x]$ � 
������ ������� �����, � ����� ������ �� � ���� ������ ������� --
���� �������� ����� ����� �������� $M$ � ������� ����������� (���
���������� {\em ������ ��� ��������}) � ��������-������������
��������. ����� ������� ������� ����������������
��������-����������� ������, ��������� ������ ��������������
�������. ������� ����������� �����.

\begin{opr}
������ $M$ ��� ������� $A$ ���������� {\em �������}, ���� ��� �����
������ ������������������
$$
\begin{CD}
N_1 @>>> N_2 @>>> N_3
\end{CD}
$$
������������������
$$
\begin{CD}
N_1 \otimes M @>>> N_2 \otimes M @>>> N_3 \otimes M
\end{CD}
$$
���� �����.
\end{opr}

��������, ��� (��������� 2.11) ����� ``������������������ �����''
��������, ��� ����� ������ ����������� ����� ���� �������. �� ����
�� ���������� �������, ��� ��� ����� ����������������� ������� $S$,
$A[S^{-1}]$ -- ������� $A$-������. �������� ����� ��������, ���
��������-����������� ������ ���� �������. A priori ���������, ������
��������� ��� �������� ��������, � ����� ��������� ����� ������
������������������ � ������������ ��� ���������� ��������������
�����. �����������, ������, ��� �������� �������� ����� ����������
�������������� -- ������� ������ ��������������� ���������, �������
��������� ������ ���� ����������. � ���������, �������� �����
�������� ��������, ��� ��� ��� ���� ������ �������. � � ������
�������, ����� ��������, ��������, ��� ����� �������-�����������
������� ������ �������� ���������. � ���������, ��� ��� �����������
���������, �� ������ ����� ����, ��� ��������� ��������� ���������
�����. �� ��� �������, �� ����� ��������� �����. ���� ���, �������
��������� ����������� ���������, ����� � ���� ��� ��� ��������
�������, � ������� ������������ ``���������'' �������-������������
������ ��� ������ �������� ��� ��������� �������������.

\medskip

��������� ������ � ������������� ���������. ��������, ��� {\em
������������ ���������} ������� $n$ �������� ����� $Y = \Spec A$ ��
�������� ����� ����� $X/Y$, $X = \Spec B$, ��� $B$ -- ��������
����������� $A$-������ ����� $n$. �������� ���������� {\em
���������������}, ���� $X \times_Y X$ ����������� � ���������
����������� $X \times_Y X = X \coprod X'$ ��������� � �����-�� �����
$X'$. �������������� �������� ���������� {\em ��������� �����}, ����
$X \times_Y X$ ����������� � ������, � ����������� $n$ ���� ����
$X_i$, ������� ��� ��������� $X$. �������� �����, ��� ��, ���
��������, �������� �������� �� $Y$, �.�. ������������, ��� $A$ --
��������� ������ � ������������ ������� $\m \subset A$ (�
��������������, $B=A^n$ ��� $A$-������).

������� �� ������� ��������� �������� ����������������� (� ������
�������� ���������). ��� ����� ������ ��������������� ���������
�������� ��������. ����� $M \cong A^n$ -- ��������� ������ ��� �������
$A$. ����� ��������, ��� ���������� ����� $Q: M \otimes_A M \to A$
{\em �����������}, ���� ��������������� ����������� $M \to M^*$
�������� (����� $M^*$ -- ������������ ������, �.�. ��������� ����
$A$-�������� ����������� $M \to A$; ����� ������, ��� ���
$A$-������, � ��� $M \cong A^n$, �� $M^*$ ���� ��������� �����
$n$). ������� ���������� $M \cong A^n$, �.�. ����� � $M$, ����� $Q$
����� �������� ��������; ����� $\det Q \in A$ -- ����������� ����
������� -- ���� ����� ����������� ����������� $M \to M^*$, � ������
����� $Q$ ����������� ����� � ������ �����, ����� $\det Q$ �������.

����� ��������, ��� $\det Q$ ������� �� ������ ������ � $M$, ��� ���
�� {\em �� ��������� ����������}. ������ ������� � ������� ������
�������� ��������, ����������� ������ �������. ������� {\em �����
$(\det Q) \subset A$} ��� ��������� ���������� (� ������������
��������, ��� ���� ����� ������������� ����������� $\det_A(M)
\otimes \det_A(M) \to A$, ����������� �� �����������
$\det(Q):\det_�(M) \to \det_A(M^*) = \det_A(M)^*$; $\det_AM$ ������
������� ������� ������� ���������� ������ $M$). ����� �����������
����� � ������ �����, ����� $(\det Q) = A$.

\begin{exc}
����� $M$ -- ��������� $A$-������, ���������� �������������
���������� ������ $Q$, � ����� $\phi:M \to M_1$ -- ������������
����������� �� ��������� $A$-������ $M_1$. ����� ����������
������������� ���������� $M = \Ker\phi \oplus M'$ �� ��������� �
$Q$, � $\phi$ ������������� $M'$ � $M_1$.
\end{exc}

���������� ������ ������������� �������� $X = \Spec B \to Y = \Spec
A$. �� ����� ��������������, $B = A^n$ -- ��������� $A$-������. ��
��� ����� ����������� ������ ���������� ����� $Q$, �������
$$
Q(b_1,b_2) = \tr(b_1b_2)
$$
(����� $b_1b_2$ -- ������, ��������� �� ���� -- ���������� ���
����������� ���������� $A$-������ $B$, � $\tr$ -- ��� ��� ����).
��� ����� �������� �������� ��������� �������������� ���������:
\begin{equation}\label{inv}
Q(b_1b_2,b_3)=Q(b_1,b_2b_3).
\end{equation}
����������� ���� ����� $Q$ -- ������, ��������������� ����� � $A$ --
���������� {\em ��������������} �������� $X/Y$ � ������������
$\disc(B/A) \subset A$.

\begin{lemma}
�������� $X/Y$ ������������� ����� � ������ �����, ����� �����
$\tr(b_1b_2)$ �����������, �.�. $\disc(B/A)=A$.
\end{lemma}

\proof{} ���� �������� ����� $B/A$ �����������, �� �������� ����� $(B
\otimes_A B)/B$ ���� ����������� (�� ������������ ������������
�����). ������� ����� ������������� ���������� $B \otimes_A B = B
\oplus \Ker\phi$, ��� $\phi:B \otimes_A B \to B$ -- �����������
��������� (�������������, �������� ���������). �� \eqref{inv}
���������� �������, ��� ��� ���������� � ����� ���������,
�.�. �������� $X/Y$ �������������.

����� ������ ��������� �������������. ���������� ��� ��� ������
�������� ����� $\wt{X} \to Y$ -- ����� �������, ������� �����
�������� ����� $\wt{X}/Y$, ��� $\wt{X} \times_Y X$ ���� ���������
����������� $n$ ����� $\wt{X}$ (������ ��� ����� �������, ��
��������� � ������� ���). ����� ������������ $X/Y$ ������������
����� ��, ��� ������������ $\wt{X} \times_Y X$ ��� $\wt{X}$, � ��
�������, ��������� �������� ����� $n$ ����� $\wt{X}$ ��������������,
��������, ��������� ��������.
\endproof

�������� ``������������'' ������� �� �������� ������
$B=A[x]/(P(x))$, ��� $P(x)$ -- ��������� ������� $n$ � ���������
������� ������. ����� � ��� ���� ������� ����� $1,x,\dots,x^{n-1}$ �
$B$, � $\disc B/A$ ����� �������� ��� ������� ������ $A$; ������
�������, ��� �� �������� ����� ������������� �������� ��
������������� �������� $P(x)$. ��� ��� ������� �� ����������� (����
������, ������ ��������� ��� ��� ������������� ���������� $x^2+px+q$
����������, � ��������� �� �����, $p^2-4q$). ������� ������, ���
���� $P(x)$ �������� �� �������� ���������, $P(x) =
(x-\alpha_1)\cdots(x-\alpha_n)$, �� ����� �������� ������������ �
������ ������������ ������ � ��������, ��� -- � ��������� ��
���������� �������� ������ $A$ -- �����
$$
\disc P(x) = \disc B/A = \prod_{i \neq j}(\alpha_i - \alpha_j).
$$
�.�. -- ��� � ������ ���� �� �������������� ����������� --
������������ ����� ���� ����� � ������ �����, ����� � $P(x)$ ����
������� �����. ������� �����, ��� ������� ������� ������ �����
��������� �� ������� -- ������� ������ $P(x)$ ��� ����� ������
$P(x)$ � ����������� $P'(x)$, ������� ����� ����� ����������
$\Res(P(x),P'(x))$. �����������, ��� ��������� �� �� ����� -- �
��������� �� ������ ����� $\disc P(x) = \Res(P(x),P'(x))$. ��� �����
���������� ���� ������, ���� � ������� ��������� ����� -- ������ ���
� ��������, ����� $A$ ����, ����� �������� ��� �� ����� ����������,
��� $P(x)$ ����������� �� �������� ���������, � �������� �������:
��� ����� $f(x) = (x-\alpha_1)\cdots(x-\alpha_n)$, $g(x) =
(x-\beta_1)\cdots(x-\beta_m)$ �����
$$
\Res(f(x),g(x)) = \prod_{i,j} (\alpha_i - \beta_j) = \pm\prod_i
g(\alpha_i),
$$
� ������
$$
\Res(P(x),P'(x)) = \pm\prod_i P'(\alpha_i) = \pm\prod_i \prod_{j \neq i}
(\alpha_i-\alpha_j) = \disc P(x).
$$
��� ��� ��� ���� �� �����������. ������� �� ������� ��� ����: (1) �
����� ��� ��������� ���������� ����������� $P'(x)$, ��� �� �
���������� ������, ���������� ��� �� ����, � (2) ���� $A$ ����
�������������� $0$, � $P(x)$ -- ������������ ��������� (��� ��� $B$
���� ����), �� ����������� $P'(x)$ ����� ������� �������, ���
$P(x)$, � ������ $P(x)$ � $P'(x)$ ������ ���� �������
������. ������� ������������� $\Res(P(x),P'(x)) \neq 0$, � $B/A$
������������� (� ����� ��� ���� ����������� �������
``������������''). �� � �������������� $p$ ���� ���� �� ��������, �
���� ���������� ��������������� ������� -- ����������� $P'(x)$ �����
���� �������������� ����� ����! � ������, ���� $P(x) = x^p$ -- ���,
����� ����, $P(x) = Q(x^p)$ ��� ������-�� �������� $Q(x)$ -- ��
$P'(x)$ ��� �������, ��� ������������ �������� ������� �� $p$, �
������ ���������� � ����.

\begin{exc}
����� $k = (\Z/p\Z)(t)$ -- ���� ������������ $(\Z/p\Z)$-�������
������� �� ����� ����������, � ����� $k' = k[x]/(x^p-t)$ --
$p$-������� �������� $k$. ��������, ��� $k'$ ����, � ��������� $k'
\otimes_k k'$ (� ���������, ��������, ������� ����� � $\Spec (k'
\otimes_k k')$). ���� ����� �������� ����� $\tr(b_1b_2)$ �� $k'/k$?
\end{exc}

�������� ������ ����� �������������� ������ ���������. � ������,
������� $A = k[t]$, ������ ����� �������, ��� $\cchar k$ �� �����
����� $n$, � ������� $B = A[x]/(x^n-t)$. ����� �������, �� ��������
� $A$ ������ $n$-� ������� �� $t$.

\begin{exc}
��������, ��� $\Spec B \otimes_A B$ ��� ����������� $n$ ������,
������ �� ������� ��������� $\Spec B$.
\end{exc}

����� �������, $B/A$ �����������, �� ��� �� ����� ����� ���� �
�������� ��� �������� ����� -- $\Spec B \otimes_A B$ ����������� �
����������� $n$ ����� $\Spec B$! ������ ��� �������� �����
����������� ���� ���������, � $n$ ����� $\Spec B$ ���� ������������
���������; � ����� ��� ������������, � ��� ������ ������������
����������. ��� �� �����, ��� ��� ����� ������� ����������� $g_i:B
\to B$.

\begin{exc}
� ����������� �������, ���������, ��� ����������� $g_i$ ��������
������ $\Z/n\Z$, � ��� $B = A[\Z/n\Z]$ ��� $A$-������ � ���������
$\Z/n\Z$.
\end{exc}

�� �����, �� ������� ���� ��������� ����� ������ ����� ����� �
��� ������������� ��������. �����������, ��� (1) ����� ��������
�����, � (2) ������������� ������ � ������������ ������� ����� --
��������, ���� ������� � ������ $k[[t]]$ ���������� ����� �� $t$ �
�������� ��������� �������� ������� �� ������ $B$, �� ��� {\em
������} ����� ����� ��� $A[x]/(x^n-t)$. �� ��� �� ������� �
��������� ���.

\end{document}
