\documentclass[12pt,leqno]{article}

\usepackage{amsmath,amsfonts,amscd,amssymb,theorem}

\addtolength{\topmargin}{-23mm}
\addtolength{\textheight}{60mm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-20mm}
\addtolength{\textwidth}{40mm}

%%%%%  Theorem style with a dot at the end of the header

\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@dotted{\normalfont\itshape
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}}
\endgroup
\makeatother

\theoremstyle{dotted}

\newtheorem{thm}{�������}[section]
\newtheorem{lemma}[thm]{�����}
\newtheorem{prop}[thm]{�����������}
\newtheorem{corr}[thm]{���������}
\newtheorem{exc}{����������}[section]
\newtheorem{sch}[thm]{����}

%%%%%  Same for definitions

\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@upshape{\normalfont
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}}
\endgroup
\makeatother

\theoremstyle{upshape}

\newtheorem{opr}[thm]{�����������}
\newtheorem{rem}[thm]{���������}

%%%%% ������

\makeatletter
\@addtoreset{equation}{section}
\makeatother
\renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}}

\newcommand{\proof}[1][��������������.]{\smallskip\noindent{\em #1}}
\def\endproof{\hfill\ensuremath{\square}\par\medskip}

\renewcommand{\labelenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}}
\renewcommand{\theenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}}

\def\eqref#1{\thetag{\ref{#1}}}
\def\eps{\varepsilon}
\def\phi{\varphi}
\def\wt{\widetilde}

\let\latexref=\ref
\def\ref#1{{\normalfont{\latexref{#1}}}}

\setlength{\unitlength}{1pt}
\newcommand{\idot}{{\:\raisebox{1pt}{\text{\circle*{1.5}}}}}
%
% The dot which looks good as index for homology groups
%
\newcommand{\hdot}{{\:\raisebox{3pt}{\text{\circle*{1.5}}}}}
%
% Same for cohomology
%

%%%%% �����

\newcommand{\C}{{\mathbb C}}
\newcommand{\Z}{{\mathbb Z}}
\newcommand{\R}{{\mathbb R}}
\newcommand{\Q}{{\mathbb Q}}

\newcommand{\A}{{\mathbb A}}

\newcommand{\m}{\mathfrak m}
\newcommand{\aA}{\mathfrak a}
\newcommand{\pp}{\mathfrak p}
\newcommand{\bb}{\mathfrak b}

\newcommand{\Hom}{\operatorname{{\sf Hom}}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{{\sf Sym}}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{{\sf Id}}}
\newcommand{\id}{\operatorname{{\sf id}}}

\newcommand{\hhom}{\operatorname{{\mathcal H}{\it om}}}

\renewcommand{\Im}{\operatorname{{\sf Im}}}
\newcommand{\Ker}{\operatorname{{\sf Ker}}}
\newcommand{\Coker}{\operatorname{{\sf Coker}}}

\newcommand{\Aut}{\operatorname{{\sf Aut}}}

\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Max}{\operatorname{Max}}
\newcommand{\Ass}{\operatorname{Ass}}
\newcommand{\Supp}{\operatorname{Supp}}
\newcommand{\Frac}{\operatorname{Frac}}

\renewcommand{\dim}{\operatorname{{\sf dim}}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{{\sf rk}}}
\newcommand{\ev}{\operatorname{{\sf ev}}}
\renewcommand{\deg}{\operatorname{{\sf deg}}}
\renewcommand{\det}{\operatorname{{\sf det}}}

\newcommand{\disc}{\operatorname{{\sf disc}}}
\newcommand{\Ann}{\operatorname{{\sf Ann}}}
\newcommand{\Res}{\operatorname{{\sf Res}}}
\newcommand{\tr}{\operatorname{{\sf tr}}}
\newcommand{\gr}{\operatorname{{\sf gr}}}
\newcommand{\htt}{\operatorname{{\sf ht}}}
\newcommand{\cchar}{\operatorname{{\sf char}}}

\def\ds{\displaystyle}

\newcommand{\6}{\partial}

%%%%% Pagestyle

\pagestyle{myheadings}

\markboth{�������� � �������������� ��������� -- ������ � ��� ����,
����� 2005}{�������� � �������������� ��������� -- ������ � ���
����, ����� 2005}

\begin{document}

\setcounter{section}{3}
\stepcounter{section}
\section*{������ 4.}

\begin{center}
\begin{minipage}{0.7\linewidth}\small
������ ����������� ������������. ��������. ����� ���������,
���������� ������. ����� ��������. ������������ �
���������. �������� ����� ����� ����������� ������������, ������
���������� � �������.
\end{minipage}
\end{center}

\subsection*{������ ����������� ������������.}

� ������� ��� �� ���������� ������� {\em �����������} ��� ��������
����, � ����� ����� ��������� ����� ������ ���� � �����:
������������, ����������� � ����� �����, �������� ������. ������� ��
������ � ����, ��� ������ ���� ���������� ����� ����� ������� �����
����������� 1.

\begin{opr}
{\em �������������} (����������) ���� $K$ ���������� �����
������������ ����������� $v:K^* \to \Z$, ��� $v(ab)=v(a)+v(b)$ �
$v(a+b) \geq \min(v(a),v(b))$.
\end{opr}

���� $v$ -- ������������ ���� $K$, �� ������������ $O_v \subset K$
����� ��������� $a \in K$, ��� $v(a) \geq 0$, ���� ��������� �������
���������. ������, ������� ����� �������� ����� ����������,
���������� {\em �������� ����������� ������������}. ��������, ���
������ ����������� ������������ $A$ ��� ������� �����������, � ����
$K$ -- ��� ���� ������� $\Frac(A)$ ������ $A$. �������� �����, ���
������������ $v$ ���������� �������� �� $A$ -- ��� ����������� ��
��� $K$ �� ������� $v(ab^{-1}) = v(a) - v(b)$. �� ���� ������ �
����� ������� ����������� $A$ � ������������ $v$, �� �������� ��
�������, ��� {\em ���} �������� $a \in K$ ���� ������� $K$, ���
������� $v(a) \geq 0$, ����� � ������ $A \subset K$. ��� -- �������
�������������� �������, ������� � �������� ������ �����������
������������.

\begin{exc}
����� $A$ -- ������ ����������� ������������. ��������, ���
������������ $\m$ ��������� $a \in A$ � $v(a) \geq 1$ ��� �����,
������ ������������, � $A$ -- ��������� ������ (�������������� ���,
��� ������ $A$ � ������������ ������� $\m$ �������� ����� � ������
�����, ����� ����� $a \in A \setminus \m$ �������).
\end{exc}

\begin{exc}
��������, ��� ����� ������� $a \in A$ � $v(a)=1$ -- ����� �������
���������� {\em ��������������} -- ��������� ������������ ����� $\m
\in A$.
\end{exc}

\begin{exc}
� ������ ����������� ������������ ���� ����������� ���������� ��
������� ��������� (����� ������ �� ��������� ������������ ��������
��-������ ���������� {\em �������������}; ��-��������� ���
���������� ���� ����� ������� �������� unique factorization domain
-- ���������� UDF).
\end{exc}

\begin{prop}\label{dvr}
��������� �������� ���������� ������ $A$ ������������:
\begin{enumerate}
\item $A$ -- ������ ����������� ������������,
\item $A$ -- ��������� ������, ����� ����� � $A$ �������, ������ $A$
�� ����,
\item $A$ -- �������� ��������� ������, �� ����, � ������������
����� $\m \subset A$ -- �������.
\end{enumerate}
\end{prop}

\proof{} \thetag{i}$\Rightarrow$\thetag{ii} ����� $I \subset A$ --
�����, � ����� $n = \min\{ v(a)\mid a \in I\}$. ������� $a \in I$,
��� �������� $v(a)=n$. ����� ��� ������ ������� $b \in I$ �����
$v(ba^{-1}) \geq 0$, � ������ $ba^{-1} \in A$, �.�. $b \in
(a)$. �������������, $I = (a) \subset I$.

\thetag{ii}$\Rightarrow$\thetag{iii} ��������.

�������, ������� \thetag{iii}$\Rightarrow$\thetag{i}. ����� $\m =
(a)$ ��� ������-�� $a$. ���� $b \in \m^n$, �� $b$ �� ����� �
$\m^{n+1}$, �� $b = a^nc$, ������ $c$ �� ����� � $\m$. ��������� $A$
��������, $c$ �������. ����� ������ ������, ��� ���� ��������
$v(v)=n$, �� ��������� ������������, ������� ������
$A$. ������������ �������� ��� ��������, ��� ����� $n$ ����������
��� ������ $b \in A$ -- ����� �������, ��� $\cap_{n \geq 1}\m^n =
0$. �������������, ����� $b \in \cap_{n \geq 1}\m^n$. ����� $ba^{-n}
\in K$ �� ����� ���� ����� � $A$, � $(ba^{-n}) \subset A$ --
������������ ������� �������. � ���� �����������, ��� ������-�� $n$
����� $(ba^{-n}) = (ba^{-n-1})$, ������ $ba^{-n-1} = ba^{-n}c$, $c
\in A$. ��� ����� ��� $c = a^{-1}$ -- ��� ���������� �� �����������
-- ��� $b=0$.
\endproof

\begin{rem}
������, ������� ���� ������ ������������, �� ����� ���� ��� �����
����� ����������� -- ��������� $A \subset K$ ���� $K$ ���� ������
������������ ���� ��� ������ $x \in K$ ��� $x$, ��� $x^{-1}$ (���
���) ����� � $A$. ����� ��������, ��� � ����� �������� $A \subset K$
������ ���������� ��������� ������������� $v$, �� �� ���������� ��
����������� � $\Z$, � � �����-�� ������� ������������� ��������
������ (������� {\em ������������}). ���������� ������ �������������
������ ����� ����� ������������ � ������ ������������� ������� -- �
��� ����� ����� ������ ������������ $A$, ��� ������������ ����� $\m
\subset A$ �������. �� ��������� � ���� �����������~\ref{dvr} ������������
������������ ���� ���������� ������, � �������������� ��������� ���
������ �� �����.
\end{rem}

\begin{exc}
������������ ����� $\m \subset A$ ������ $A$ ������� ����� � ������
�����, ����� $\m/\m^2$ -- ���������� ��������� ������������ ���
����� ������� $k = A/\m$.
\end{exc}

\begin{exc}
������ ������� ����������� ������ $M$ ��� ������� �����������
������������ $A$ ���� ����� ���������� ������ � ������� ����
$A/\m^n$, $n \geq 1$.
\end{exc}

�������, ��� �� ����� ����, �� ��������� ���� ��������������
�����~\ref{dvr} ������� $\m=(a)$ �� ����� -- ������������ ����� �
{\em �����} ��������� ��������� ����� ������ ������������� $\cap
\m^n=0$. �� �� ������� ��� �����, ����� ����� ������� ������
�����������. ������� �����, ��� � ���� ������ \thetag{ii}
�����~\ref{dvr}, � ������ ����������� ������������ ������ ���
������� ������ -- $\m$ � $0$. ������� ��� ���������. � ���������,
������� \thetag{iii} ��� �� ����� ����� ���������� ���: $\dim A =
\dim_k \m/\m^2$. ������������ �� ������, ��� � � �������
������������ ��� ������� �������� �������� ����� ��������� �����.

\subsection*{��������, ���������� ������, ����� ��������.}

�������������, ������ ����������� ���� �������������
���������������� ������������� $1$ -- ���� $\dim A_\pp = 1$, �� ����
$\htt \pp = 1$, �� �������������, ������� ����� $\pp \subset A$ ����
����� ����� ������������� ��������������� ������������� $1$ �
$X=\Spec A$. ����� ��������������� ���������� {\em
����������}. ������ ����������� ������������ �������� ��� ���������,
������� ����� ������ ����� ���������� (������ �� ������
���������-������������, � ��� ����������). ���������������
������������ $v$ ����� ������������ ������� $a \in A$ ������� ��
���� � ����� ����� �������� $Y \subset X = \Spec A$.

����� �� ������� �� �������� ����� $X$ �����, ���� �� ��������,
������ ����� ����������? ���� ������ ��� ���������, �� ��, � ���
����� ������� �� ���������� ���������� -- ��� ���������������
����������� ��� �����������.

\begin{exc}
����� $A$ -- ��������� ��������� ������ ����������� $1$; ����� ���
������ ���������� $a \in A$, ��������� $\Ass(A/(a))$ ������� ������
�� ������������� ������ ������ $A$.
\end{exc}

�� ���� ���������, ����� $a \in A$ �������� {\em ��������} $Y$,
�.�. ����� $a$ ����� � ����� ����� $Y$ ���� ������� �������, ��
����� ��, ���� $X = \A^n$ -- �������� ������������ (�� ��� ������
������� ���� �����), � � ����� ������ ������� �� ���. ������,
������� ������� ����� � ����, �����: $A = k [t^2,t^3] \subset k[t]$
-- ��� ���������, ����������� $t^2$ � $t^3$. ����� $(t^2,t^3)
\subset A$ -- ������������ ����� � ����� ������� $k$, ��
$\dim_k\m/\m^2 = 2$ (� ��� �������������� ����������� ��� �������� �
����������� $A_\m$). ����� ������, ��� $A = k[x,y]/(x^2-y^3)$,
�.�. $X=\Spec A$ -- ������ �� ���������; � ����� $0 \in X$
``������'' ��� ���� ������ (� ������ �������������� �������� --
������� � ��� ���� ���).

��������, ����� ���� �����-�� ������� $f \in A$ �� �������� ����� $X
= \Spec A$. ������������� ��������, ��� ���� ����� ��������� �����
$f$, � ��������� ��� �� ������������ ����������, ����� ��� ���������
-- �������������, ����� ��������������� ������� ������ ������
$A/(f)$ -- �� �� ������� ���� ��� $X = \A^n$ ��� ��� ����������
����� ����������. ��� ��� ������ ��������, � ����� �� ��� ��� ������
$X$? � ����� ������ ����� ���� ���.

������������ ������� �����������, ������, ��� ���� �����
�������������� ������ � ����������������, � ������� �� ������, ���
����� �� ��� ������� ������������� -- ��� �������� �������������
������� ������������, �.�. �������� �������� ����� ����������, �
��������, ��� ���������� ��������� ����� ������� ����� �������������
����.

\begin{opr}
������� $x \in B$ ������� $B$ ��� ������� $A$ ���������� {\em �����}
��� $A$, ���� ����������� �� ���������� $A\langle x \rangle \subset
B$ -- ������� ����������� $A$-������. ������� $B/A$ �����, ���� ���
�� �������� �����.
\end{opr}

\begin{exc}
������� $x$ ����� ����� � ������ �����, ����� $P(x)=0$ ��� ������-��
���������� � �������������� �� $A$ � ������� ������������� $1$.
\end{exc}

\begin{exc}
����� $B$ -- ������� ��� $A$; ����� ��� �������� $B$, ����� ��� $A$,
�������� ����������.
\end{exc}

\begin{exc}
����� $B$ ���� ��� $A$, � $C$ ���� ��� $B$; ����� $C$ ���� ��� $A$.
\end{exc}

\begin{opr}
{\em ����� ����������}, ��� {\em �������������}, ������ $A$ � ������
$B \supset A$ ���������� ��������� ���� ��������� $B$, ����� ���
$A$. ��������� ������ ���������� {\em ������������� � $B$}, ���� ���
����� ������ ������ ���������, � ������ {\em �������������}, ���
{\em ����������}, ���� ��� ������������ � ����� ���� �������.
\end{opr}

\begin{exc}
����� $B$ -- ������� ��� $A$, � $S \subset A$ -- �����������������
�������. ����� ���� $B$ ����� ��� $A$, �� $B[S^{-1}]$ ����� �������
��� $A[S^{-1}$, � ���� $A' \subset B$ -- ����� ��������� $A$ � $B$,
�� $A'[S^{-1}]$ -- ����� ��������� $A[S^{-1}]$ � $B[S^{-1}]$.
\end{exc}

\begin{exc}
��������, ��� ������������� ������ ������������ (�����������
��������� � ��������� ������� ������������� ��� ������-�� $x$, �
�����������, ������� ��� ������ � ������ ����� ��������� ������
������� ����������� $x$).
\end{exc}

������� ������� ��� ����� ��������������� � ��������� �����.

\begin{lemma}
����� $A$ -- �������� ��������� ��������� ������ � ������������
������� $\m \subset A$, � ����� $A$ ������������. ����� ����
���������� ������� ����� $(a) \subset A$, ������� $\m$-��������, ��
$A$ -- ������ ����������� ������������.
\end{lemma}

\proof{} ��, ��� $(a) \subset A$ $\m$-�������� ������, ��� $\m \in
\Ass(A/\m)$, �.�. ��� $\m = \Ann(b,A/(a))$ ��� ������-�� $b \in
A$. ����� ��������, ��� $A$ -- ������ ����������� ������������, ���
���� ����� ������������� -- ����� ������� $c \in \m$, �������
��������� ��� $\m$. �� ����������, ��� �������
$c=ab^{-1}$. �������������, ���������� �������� {\em �������} ��
$c$, �.�. ����������� $c^{-1}:K \to K$, ��� $K$ -- ���� �������
$A$. ����� �� ����������� $b$, ��� ������ $f \in \m$ ������������
$bf$ ������� �� $a$, �.�. $c^{-1}$ ��������� $\m \subset K$ ������
$A \subset K$. ����� ��� $c^{-1}(\m) \subset \m$, ���
$c^{-1}(\m)=A$. �� �� ������� ������ $A$ ��������, � ������ $\m$ --
������� ����������� $A$-������. ������� � ������ ������, �� �������
����������-���� $c^{-1}$ ������������� ������-�� ���������������
�������� $P(c^{-1})=0$ � ��������� ������� ������, � ������ � ����
��������������� $c^{-1} \in A$. ����� $b = ac^{-1} \in (a)$, ���
������������ ������ $b$. ��� �����, ����� ������ ������ --
$c^{-1}(\m)$ ������ ���� ��� $A$. ������� $c \in \m$, ���� ��� ���
������������ ������� �� $K$, ������� ��������� � $1$; � ����� $f \in
\m$ ����� $f = c \cdot fc^{-1} \in (c)$.
\endproof

\begin{prop}
����� $A$ -- �������� ������������� ������� �����������. ����� ���
������ $a \in A$, ����� ������� �������� $\pp \subset A$ ������
$(a)$ -- ����� �������, ����� $\pp \in \Ass(A/(a))$ -- ����� ������
$1$, � ����������� $A_\pp$ ���� ������ �����������
������������. ����� ����,
\begin{equation}\label{ht.1}
A = \cap_{\htt\pp=1}A_\pp.
\end{equation}
\end{prop}

\proof{} ��� ������ �������� �������� $\pp$ ������ $(a) \subset A$,
$A_\pp$ -- ��������� ������, � $(a) \subset A_\pp$ --
$\pp$-��������� �����. �� �����, $A_\pp$ -- ������ �����������
������������ (� � ���������, ����� ����������� $1$). �������, �����
�����-�� $a/b$ ����� � $A_\pp$ ��� ���� ������� $\pp \subset A$
������ $1$. ����� �� �����������, ��� ������ ��� $a/b \in A_\pp$ ���
���� ������� ��������� ������ $(b) \subset A$; ����� ����, ���������
��� ��� $A_\pp$ ���� ������ ������������, ��������� ���������� $(b)$
����� ���
$$
(b) = \cap_i \pp_i^{n_i},
$$
��� $\pp_i$ ������ $1$, � $a$ ����� �� ���� $\pp_i^{n_i}$. 
�������������, $a \in (b)$.
\endproof

�������� ����������� ���� �����.

\begin{prop}
����� $A$ -- �������� ��������� ������, ������ ��� ������ ��������
������ $\pp \subset A$ ������ $1$ ������ $A_\pp$ ���� ������
����������� ������������, � ��������� \eqref{ht.1}. ����� $A$
������������.
\end{prop}

\proof{} ����� $x \in K$ ������������� ��������� $P(x)=0$ �
�������������� �� $A \subset K$ ������� ������������� $1$. ����
��������, ��� $x \in A$. � ���� \eqref{ht.1}, ���������� ��������,
��� $x \in A_\pp$ ��� ���� ������� ������� $\pp \subset A$ ������
$1$. �� ��� ������� �� ����, ��� ������ ������������ ������������, �
�������������, ������������.
\endproof

������� ``��� ��������� ������ � ������������� $1$ ���� ������
����������� ������������'' �������� �������� ������������ �
������������� $1$ (� ������ ���������� $R_1$); ����� �� ���������
����������, ��� �� ������� ������, �� ������, ��� ��� ������ �������
������ ����������� 1 ������ �������. ������������� ����� ������� �
���, ��� ��� ������ ����� ������������ ����� � ������������� $\geq
2$. ������� \eqref{ht.1} �������� ��� ``������� ����� $S_2$'' (��
��������, ������� �� ������ � ��������� ��������); ���
�������������� ����� �����. �������� ���� ������� $K$ ����� ��������
��� ������������ -- ��� �� ����������� -- ������� �� $X = \Spec
A$. ��� ���������� � ����� ����� $X$, �� ������������ �� ����� --
����� ����� ������ � �.�. ����� ���� $x \in A_\pp$ ��� ������ $\pp
\subset A$ ������ $1$, �� ��������������� ������� ���������� ��
���������� � ������������ ������������� $\geq 2$, � �������
\eqref{ht.1} ������: �������, ������������ �� ���������� �
������������ ������������� $\geq 2$, ������������ �����. �
����������� �������, ��������������� ����������� -- � �������� $X$
������� ��� � $\C^n$ -- �������� ��� ����� ��������. ��������������
������ ����� -- ������ ��������� ������������, ������ ������������,
� ����� ���� \eqref{ht.1} ��������� ��� $\A^n$. �� ������������, ���
������� ��������� �� ������ ��� $\A^n$, � � ��� �������� ����������
������ ��o���������, ����� ������ ������.

����� �������������� ��������� ������������ ������� ������ �
����������� ������� (�.�. ��������� ���������� �����): ���� �� �����
��������� ���-�� �� $X$ -- ��������, ������� -- �� ������� ����
��������� �� ``� ������������� 1'', ��� ��� ������ ������, ������
��� ������ ����������� ������������ ����� �������, � ����� ���
����������� ����� �������������, �� ����� ��������. ��������� ���
������ �� ������������ -- ������ ����, ����� ������ �����������, ���
���������� � ������ �����, �� �������������� ������� �������������
1. �����������, �� ���� ��� ������������ �� �������� �����������
�����������.

\subsection*{������������ � ���������.}

�������� ��������� ����: �� ���� � �� ������� ������ ��, �����
�������, �������� ��������� ������� �������� ����, ������ �����
�����������. ����� ����� ���� �����������; ����������� ����� �����
���� �����; ����� ����� ����� ���� ����������. ���� ���� �����-��
���������� �������� ����� $X$, �� ����� ��������������� ��������:
\begin{align*}
&\text{����� } X \Rightarrow\\
&\text{�� �������� } Y=X_{red} \Rightarrow\\
&\text{������������ ���������� } Y_i \Rightarrow\\
&\text{�� ������������ } \wt{Y}_i
\end{align*}
(����� ������� ������ ������������ ����� ������� ����� $X = \Spec
A$, ����� � ���� ������������ � ����������� ���� ������� -- �������
� ������ ��������� $A$ � $\Frac(A)$). ��� �� ������, ���������� ��
������������ ���������� ������ �������� ������ ��� �������
�����������, ������� ������� � �������������� ��������� ������
�����������.

� ���������, ������ ������ ��������� ����� ����������� ���������.

� ������� ����� ������ ��� ����� ������� -- ���� �� �����������
������� ���� ��������: ��� ���� ������ $B$ ����� ��� ���������� $A
\subset B$, �� $B$ ������� ��������� ��� $A$-������ (���������
������ ��������� $A\langle x \rangle$, ����������� ����� ���������,
�� ����������� ������� ��������� ��� $A$-������). �� ��� � �����
������ �������. ����������� �������� �������� � 30� �����, � ���
��-�������� ������ ��������� ����������� � �������������
�������. �����, � 50� �����, ������ �������� ������ �������� ������
� ����������� ����� ���������� (����� ������ ������ �����
����������� �� ������� ���� $3$).

� �������, ������������ ������� �� ������� ���� ��� ��� �����,
������� ���������� � ``������������'' �������������� ��������� --
��� ������������� ������ ��� �����.

������ ��� ���������� ���, �� ������� ������ ���������, �������,
��������, ������� ������������ �������������� ������, �� �
�������������� ���������� ��� ���� �������.

\begin{lemma}\label{norm}
����� $A \subset K$ -- �������� ������������� ������� ����������� �
����� ���� �������, � ����� $L \supset K$ -- �������������
($=$���������������) �������������� ���������� ���� $K$. ����� �����
��������� $B \subset L$ ������ $A$ � $L$ ������� ��� $A$-������.
\end{lemma}

\proof{} ����� ������� -- ������� ��� ������������� $L$ �� �������
���� -- ��� $L$ ��� ���������� ����� ���� $K$ ������� $n$ � �������
����� $G = \{g_i, 1 \leq i \leq n\}$. ������ $G$ �������� ���������
����� �������� �����, �.�. ��������� $B \subset L$. ��������� $L$ --
�������������� ���������� $K$, ��� ����� ��� $K$, � $B \otimes_A K =
L$. ����� ����, ����� ������� ����� ����� $y_i$, $1 \leq i \leq n$,
���������� ������������ $L$ ��� $K$, ��� ��� $y_i$ �� ����� ����
����� � $B \subset L$. ����� ������ $z \in B$ -- �����
�������. ������� ��� ��� $z = \sum c_iy_i$, $c_i \in K$. ������
������, �������� �� �������, ��� ��� ������������ $c_i$ ����� � $A
\subset K$. �� �� �����, ��� ��� ������ $g_j \in G$, $g_j(z) = \sum
c_i g_j(y_i)$ ����� � $B \subset L$. ��� ���� ��� $g_j(y_i)$ ����
����� � $B$. 

������� ������ �� ������� ������� ������� ������� $g_j(y_i)$,
���������, ��� $C_i = c_iD \in B$, ��� $D = \det(g_j(y_i))$ --
����������� ������� $g_j(y_i)$. ���� �����������, ������ ������,
����� � $B$, �� ��� ������� $d = D^2$ �������� �����������
������������ ������ $G$, � ������ $d \in K \cap B = A$. 

�� ��������, ��� ��� ������������ $c_id$ ����������� ��������� $A
\subset K$.  �� ����� ����, ����� ������ ��� $d$ ��� ������������
���������� $L/K$, � � ��������� $d \neq 0$. ������� ����� �����
$d^{-1}$, � $z$ ����� � $A$-��������� $M \subset L$, �����������
$d^{-1}y_i$. ��������� $z \in B$ ���� �����, �� ����� ��� $B \subset
M$, � � ���� �����������, ������� ���������.
\endproof

����� ������� ������, ��� ����� ��������� �������-�����������
������� $A$ ��� ����� $k$ ������� ��������� ��� $A$-������,
���������� ��������� ����� ����.

\begin{prop}[����� ����� � ������������.]
����� $A$ -- ������� ��� ����� $k$, ����������� �������� ������� 
��������� $x_1,\dots,x_n \in A$. ����� ����������
����� ������������� ����������� �������� $y_1,\dots,y_m \in A$, ���
$A$ ����� ��� $k[y_1,\dots,y_m] \subset A$.
\end{prop}

�������������� ����� ����� ����������� �������� -- �����
��������������� $X \subset \A^n$ ����� ��� �������������� ��
��������������, ��� �������� ����� �������. ������������ ��� ������
�� ���� �������������� �������� -- ����� ���������� ����� ��������
�������� (�� ��� ������������ �������� ������ ���� ��� ����������
������� ����). ��� ��������, �� ������� ��� ������ ��� ������������
���� $k$ (�� ��������� ������, ��� ���������� ������ �����������, ��
�������� � ��������� ����� ������ �������������� ����� �����,
������� ���� ������ � �������� ������).

\proof{} �������� �� ����� ���������� $x_1,\dots,x_n \in A$ �������
$A$ ��� $k$. ���� ��� ���������� ������������� ����������, �������
����� �������������� -- ����� $y_i = x_i$. � ��������� ������, ����
�����-�� �������������� ����������� $P(x_1,\dots,x_n)=0$ ������� $d
\geq 1$. ����� $P_d(x_1,\dots,x_n)$ -- ���� ������� ����� $d$ �
�������� $P$. ��������� ���� $k$ ����������, ����� ������� �����
$c_1,\dots,c_{n-1} \in k$, ��� $P_d(c_1,\dots,c_{n-1},1) \neq
0$. ����� ���� ����� $y_i = x_i - c_ix_n$, $1 \leq i \leq n-1$, ��
\begin{align*}
P(x_1,\dots,x_n) &= P(x_1+c_1y_1,\dots,x_{n-1}+c_{n-1}y_{n-1},x_n)\\
&=P_d(c_1,\dots,c_{n-1},1)x_n^d + g_1x_n^{d-1} + \dots + g_{d-1},
\end{align*}
������ ��� $g_i$ ����� � $A_0=k\langle y_1,\dots,y_{n-1}\rangle
\subset A$. ������� $x_n$ ����� ��� $A_0$. ����� � ��� $x_i = y_i +
c_1x_n$ ����� ��� $A_0$, �.�. ���������� �������� ������� ��� $A_0$,
� �������� ������ ����������.
\endproof

\begin{corr}
����� $A$ -- �������-����������� ������� ��� ����� $k$
�������������� $0$. ����� ����� ��������� $A'$ ������� $A$ � �� ����
������� ������� ��� $A$-������.
\end{corr}

\proof{} �� ����� �����, ���� ������� $K$ ������� $A$ ���� ��������
���������� ���� ���� $k(y_1,\dots,y_m)$, ������ $A \subset K$ ����
��� $k[y_1,\dots,y_m] \subset k(y_1,\dots,y_m)$. ��������� $\cchar k
= 0$, ��� ���������� ������������. �� �����~\ref{norm}, �����
��������� $k[y_1,\dots,y_m]$ � $K$ �������-��������� ���
$k[y_1,\dots,y_m]$-������, ������������� ��������. ��������
��������, ��� ��� ����� ��������� �������� $A$ � ��������� � $A'$;
��� ��� ����� �������� ��� $A$-������, � ������ ������� ���������.
\endproof

� ������������� �������������� ��� ���� �����, �� ������� �����
������� �������������� -- ���� ���������������� � ���������������
����������; �� ����� �� ������ �� ����������� �������� �����.

� ���������� ����������� ������, �������� ������� ������������,
����� ������� ������������� ���������� ����� �����������
������������. ����� $A$ -- ������ ����������� ������������ � �����
������� $K$, � ����� $L$ -- ������������� ���������� ���� $K$
������� $n$ (�� �������������� �����, ��������������� ��������
$\Spec K \subset \Spec A$). ����� ���� ������������ ������
���������� ��� �� �������� ����� $\Spec A$ -- � ������, ���� �����
������������ $B \subset L$ ������ $A$ � ���� $L$.

\begin{exc}
������ $B$ ���� ��������� $A$-������ ����� $n$ (�����������
������������� �������-����������� ������� ��� ������� �����������
������������).
\end{exc}

����� �������, ����� ������������ -- � ���, ������ ������,
������������� -- �������� $Y = \Spec B \to X = \Spec A$. ����� ���
�������, ��������� ����� $\m \subset A$ ������������ �����, �
���������� ������ $B_o = B/\m B$. �������������, $Y_o = \Spec B_o$
��� ���� ����������� $Y \to X$ ��� ��������� ������ $Y$. �����
$Y_o$, ������ ������, ������������� (��-�� ���������). �� ��������
$\overline{Y_o}$ -- �������� ��������� �����. �������������, ���
�������� ������� ��������� $\m_i \subset B$ ������ $\m B \subset B$;
��������� $B/\m_i$ -- �������� ���������� ���� $A/\m A$, ��� ����
������ ���� �����, �.�. ��� $\m_i \subset B$ -- ������������ ������.

\begin{exc}
��� ������� $\m_i \subset B$ ����������� $B_{\m_i}$ -- ������
����������� ������������.
\end{exc}

����� ������� �������� ����� ����, ����������� ������, ��� $L/K$ --
���������� ����� � ������� ����� $G$. ����� $G$ ���������
����������� �� ��������� $\{\m_i\}$. ������������ $G_0 \subset G$
������-�� �� $\m_i$ ���������� {\em ���������� ����������}. �����,
$k_i=B/\m_i$ -- ���������� ����� ���� $k=A/\m$ � �����-�� �������
����� $G_0'$; ��������� $G_0$ ��������� �� $k_i$, ����� �����������
$G_0 \to G_0'$, �������, ��� ����� ���������, �����������. ��� ����
$I \subset G_0$ ���������� {\em ���������� �������} ��� {\em
���������� ���������}. �����������, ��� ����� ���������
������������� � ����� �������� � ��������� ����.

\begin{lemma}
����� $\cchar k = 0$. ����� ������ ������� $I$ -- ����������� ������
������-�� ������� $m$.
\end{lemma}

\proof{} �� �����������, ������ $I$ ��������� �� $B_i = B_{\m_i}$,
������ �������� �� ������� $k_i = B_i/\m_i$ ����������. ������� $I$
��������� �� ���������� ��������� ������������ $\m_i/\m_i^2$
$k_i$-��������� ���������������. �������� ����������� $I \to
k_i^*$. ��� ����� -- ��� ��������� ������, ��������� �� ������ ��
�������, � �������������, ����������� ������. �������� ��������, ���
��� ��������� ����������. �������������, ����� �����-�� $g \in I$
��������� ��� ���� ����������� � $0$. ����� ���� $a \in \m_i$ --
��������������, $g(a) = a \mod \m_i^2$. ��������� ����� $n$
����������� ����� �����, ��� $g(a) \neq a \mod \m_i^n$. ����� $g$
��������� �� ��������� ������������ 
$$
\bigoplus_{1 \leq j \leq n}\m_i^j/\m_i^{j+1}
$$
������������� ����������������� ��������. �� �� �� �����������
��������� �������; � ��������� $\cchar k = 0$, �������������
����������������� ������ ��������� ������� �� ������.
\endproof

���� �������������� ������������, �������� ���� ����� ������� --
���� ����������� $I \to k^*$, ���������� ������� ������ ���������,
���������� �� ������� ���� ����������. �����, ������, ��� �������
����� ����������������� ������� ������� �� $p = \cchar p$; �������
���� ��������, ��� ������� ���������� $n$ ������� ������ � $p$, ��
������ ��������� ���.

\begin{exc}[��������������]
����� $v_i \in B_i$ -- ������������, ���������� $B_i$, � ����� $a
\in \m$ -- ��������������. ����� $v_i(a)$ ���������� {\em ��������
���������}. ��������, ��� ��� ���������� �����, ������ ���������
����� ������� ������ �������. ��� �������� ����� ������ ���������
������������ $\disc(B_i/A)$?
\end{exc}

\end{document}
