\documentclass[12pt,leqno]{article}

\usepackage{amsmath,amsfonts,amscd,amssymb,theorem}

\addtolength{\topmargin}{-23mm}
\addtolength{\textheight}{60mm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-20mm}
\addtolength{\textwidth}{40mm}

%%%%%  Theorem style with a dot at the end of the header

\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@dotted{\normalfont\itshape
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}}
\endgroup
\makeatother

\theoremstyle{dotted}

\newtheorem{thm}{Теорема}[section]
\newtheorem{lemma}[thm]{Лемма}
\newtheorem{prop}[thm]{Предложение}
\newtheorem{corr}[thm]{Следствие}
\newtheorem{exc}{Упражнение}[section]
\newtheorem{sch}[thm]{Факт}

%%%%%  Same for definitions

\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@upshape{\normalfont
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}}
\endgroup
\makeatother

\theoremstyle{upshape}

\newtheorem{opr}[thm]{Определение}
\newtheorem{rem}[thm]{Замечание}

%%%%% Разное

\makeatletter
\@addtoreset{equation}{section}
\makeatother
\renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}}

\newcommand{\proof}[1][Доказательство.]{\smallskip\noindent{\em #1}}
\def\endproof{\hfill\ensuremath{\square}\par\medskip}

\renewcommand{\labelenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}}
\renewcommand{\theenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}}

\def\eqref#1{\thetag{\ref{#1}}}
\def\eps{\varepsilon}
\def\phi{\varphi}
\def\wt{\widetilde}
\def\wh{\widehat}

\let\latexref=\ref
\def\ref#1{{\normalfont{\latexref{#1}}}}

\setlength{\unitlength}{1pt}
\newcommand{\idot}{{\:\raisebox{1pt}{\text{\circle*{1.5}}}}}
%
% The dot which looks good as index for homology groups
%
\newcommand{\hdot}{{\:\raisebox{3pt}{\text{\circle*{1.5}}}}}
%
% Same for cohomology
%

%%%%% Буквы

\newcommand{\C}{{\mathbb C}}
\newcommand{\Z}{{\mathbb Z}}
\newcommand{\R}{{\mathbb R}}
\newcommand{\Q}{{\mathbb Q}}

\newcommand{\A}{{\mathbb A}}

\newcommand{\m}{\mathfrak m}
\newcommand{\aA}{\mathfrak a}
\newcommand{\pp}{\mathfrak p}
\newcommand{\qq}{\mathfrak q}
\newcommand{\bb}{\mathfrak b}

\newcommand{\Hom}{\operatorname{{\sf Hom}}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{{\sf Sym}}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{{\sf Id}}}
\newcommand{\id}{\operatorname{{\sf id}}}

\newcommand{\hhom}{\operatorname{{\mathcal H}{\it om}}}

\renewcommand{\Im}{\operatorname{{\sf Im}}}
\newcommand{\Ker}{\operatorname{{\sf Ker}}}
\newcommand{\Coker}{\operatorname{{\sf Coker}}}

\newcommand{\Aut}{\operatorname{{\sf Aut}}}

\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Max}{\operatorname{Max}}
\newcommand{\Ass}{\operatorname{Ass}}
\newcommand{\Supp}{\operatorname{Supp}}
\newcommand{\Frac}{\operatorname{Frac}}

\renewcommand{\dim}{\operatorname{{\sf dim}}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{{\sf rk}}}
\newcommand{\ev}{\operatorname{{\sf ev}}}
\renewcommand{\deg}{\operatorname{{\sf deg}}}
\renewcommand{\det}{\operatorname{{\sf det}}}

\newcommand{\disc}{\operatorname{{\sf disc}}}
\newcommand{\Ann}{\operatorname{{\sf Ann}}}
\newcommand{\Res}{\operatorname{{\sf Res}}}
\newcommand{\tr}{\operatorname{{\sf tr}}}
\newcommand{\gr}{\operatorname{{\sf gr}}}
\newcommand{\htt}{\operatorname{{\sf ht}}}
\newcommand{\cchar}{\operatorname{{\sf char}}}

\def\ds{\displaystyle}

\newcommand{\6}{\partial}

%%%%% Pagestyle

\pagestyle{myheadings}

\markboth{Введение в алгебраическую геометрию -- лекции в НОЦ МИАН,
осень 2005}{Введение в алгебраическую геометрию -- лекции в НОЦ
МИАН, осень 2005}

\begin{document}

\setcounter{section}{4}
\stepcounter{section}
\section*{Лекция 5.}

\begin{center}
\begin{minipage}{0.7\linewidth}\small
Градуированные модули; ряд Пуанкаре, полином Гильберта. Фильтрации и
лемма Артина-Риса. Теория размерности. Пополнения. Лемма Гензеля и
структура разветвленных накрытий над полным кольцом дискретного
нормирования.
\end{minipage}
\end{center}

\subsection*{Градуированные модули; ряд Пуанкаре, полином Гильберта}

Сегодня мы построим теорию размерности локальных колец (в частности,
докажем, что круллевская размерность любого нетерова локального
кольца конечна). Для этого нам понадобится некоторый способ измерять
величину конечно-порожденного модуля над нетеровым локальным
кольцом.

Начнем со следующего. Говорят, что абелева группа $V$ {\em градуирована}
каким-то множеством $I$, если задано разложение
$$
V^\hdot = \bigoplus_{i \in I}V^i.
$$
Элементы подруппы $V^i \subset V$ в такой ситуации называются {\em
однородными степени $i$}. В наших сегодняшних рассуждениях,
множество $I$ всегда будет множеством неотрицательных целых чисел.
Пусть $A^\hdot$ -- градуированное кольцо: это значит, что $A^\hdot$
градуировано как аддитивная группа, причем $A^m \cdot A^n \subset
A^{n+m}$. Предложим также, что $A^0$ нетерово, и что $A^\hdot$
порождено как $A^0$-алгебра какими-то $d$ элементами из $A^1 \subset
A^\hdot$. По теореме Гильберта о базисе, все кольцо $A^\hdot$ тоже
нетерово.

\begin{exc}
Более общо, докажите, что градуированное неотрицательными целыми
числами кольцо $A^\hdot$ нетерово тогда и только тогда, когда $A^0$
нетерово, а $A^\hdot$ конечно порождено как $A^0$-алгебра.
\end{exc}

Пусть $M^\hdot$ -- некоторый градуированный модуль над $A^\hdot$
(т.е. $M$ градуировано как группа, и $M^l \cdot A^n \subset
M^{l+n}$), и пусть $M^\hdot$ конечно порожден. Заметим, что, заменив
каждую образующую $M^\hdot$ на все ее однородные компоненты, можно
считать, что $M^\hdot$ порожден конечным числом {\em однородных}
элементов.

Наконец, предположим, что дана {\em аддитивная функция} $l$ на
классе всех конечно порожденных $A^0$-модулей -- а именно, каждому
такому модулю $M$ сопоставлено число $l(M)$, причем если $M' \subset
M$, то $l(M) = l(M') + l(M/M')$. {\em Рядом Пуанкаре} модуля $M$ по
отношению к функции $l$ называется выражение
$$
P(M,t) = \sum_{n \geq 0}l(M^n)t^n.
$$

\begin{lemma}\label{poi}
Ряд Пуанкаре $P(M,t)$ равен $P(M,t)=p(M,t)/(1-t)^d$, где $d$ --
число образующих $A^0$-алгебры $A^\hdot$ (напомним, что по
предположению $A^\hdot$ порождено однородными элементами степени
$1$), а $p(M,t)$ -- какой-то многочлен.
\end{lemma}

\proof{} Индукция по $d$. Возьмем образующую $x \in A^1$, рассмотрим
отображение $x:M^\hdot \to M^{\hdot+1}$, и обозначим через $N^\hdot$ и
$K^\hdot$ его ядро и коядро. Тогда в силу аддитивности, для любого
$p \geq 0$ имеем
$$
l(M^{p+1})-l(M^p)=l(K^{p+1})-l(N^p),
$$
откуда $(1-t)P(M,t)=P(K,t)+tP(N,t)$. Но и $K$, и $N$ есть на самом
деле модули над алгеброй $A^\hdot/xA^\hdot$, которая порождена $d-1$
образующими.
\endproof

\begin{exc}
Пусть $A^\hdot=k[x_1,\dots,x_d]$ -- алгебра полиномов,
градуированная по степени полинома, а $l$ -- размерность над
$A^0=k$. Чему равно $P(A,t)$?
\end{exc}

\begin{exc}\label{hilb}
Пусть $P(t)=p(t)/(1-t)^d$, где $p(t)$ -- многочлен. Разложим
$P(t)=\sum_np(n)t^n$. Докажите, что существует такой многочлен
$\chi(t)$ степени не больше $d$, что $p(n)=\chi(n)$ при всех
достаточно больших $n$.
\end{exc}

По Лемме~\ref{poi} ряд Пуанкаре $P(M,t)$ удовлетворяет условию этого
Упражнения; поэтому по каждому конечно порожденному модулю $M$ можно
построить канонический многочлен $\chi(M,n)$. Этот многочлен
называется {\em полиномом Гильберта} модуля $M$.

\subsection*{Стабильные фильтрации и Лемма Артина-Риса}

На практике, нам будут нужны не градуированные, а фильтрованные
модули. А именно, мы будет работать в следующей ситуации. Пусть $\aA
\subset A$ -- идеал в кольце $A$, и пусть $M$ -- некоторый
$A$-модуль. Тогда $\aA$-фильтрацией на $M$ мы будем называть такой
набор подмодулей $M_n \subset M$, $M_{n+1} \subset M_n$, что $\aA
M_n \subset M_{n+1}$. Будем говорить, что $\aA$-фильтрация $M_\idot
\subset M$ {\em стабильная}, если для всех $n$ начиная с какого-то
$n_0$ имеем $M_n = \aA^{n-n_0}M_{n_0}$. Тривиальный пример
$\aA$-фильтрации -- это $M_n = \aA^n M$ (и эта фильтрация, очевидно,
стабильна).

\begin{exc}
Докажите, что любые две стабильные $\aA$-фильтрации
$M_\idot,M'_\idot \subset M$ соизмеримы с том смысле, что для
какого-то $n_0$ имеем $M_n \subset M'_{n+n_0}$ и $M'_n \subset
M'_{n+n_0}$ (указание: заметьте, что можно положить $M'_n = \aA^n
M$).
\end{exc}

\noindent
Главный факт про стабильные фильтрации такой.

\begin{prop}[Лемма Артина-Риса]
Пусть $A$ -- нетерово кольцо, $\aA \subset A$ -- идеал, а $M$ --
нетеров $A$-модуль, снабженный стабильной $\aA$-фильтрацией
$M_\idot$. Тогда для любого подмодуля $N \subset M$ фильтрация $N_n
= M_n \cap N$ -- стабильная $\aA$-фильтрация на $N$.
\end{prop}

\proof{} Это утверждение было независимо доказано Артином (E. Artin)
и Рисом (D. Rees). Существуют разные способы излагать по сути одно и
то же доказательство, из которых наиболее поучителен, пожалуй, вот
какой. Рассмотрим градуированную алгебру $\wt{A}^\hdot = \bigoplus_n
\aA^n$ (она называется иногда алгеброй Риса). Имеем $A^0=A$, и
$A$-алгебра $\wt{A}^\hdot$ очевидно порождена компонентой $A^1 =
\aA$ (причем, поскольку $A$ нетерово, достаточно взять конечное
число образующих). Для любого $A$-модуля $M$, снабженного
$\aA$-фильтрацией $M_\idot$, сумма $\wt{M}^\hdot = \bigoplus M_n$
есть градуированный $\wt{A}^\hdot$-модуль.

\begin{exc}
Пусть $A$-модуль $M$ нетеров. Тогда фильтрация $M_\idot$ стабильна
тогда и только тогда, когда $\wt{A}^\hdot$-модуль $\wt{M}^\hdot$
конечно порожден.
\end{exc}

\noindent
Теперь утверждение очевидно: $\wt{A}^\hdot$-модуль $\wt{N}^\hdot$,
отвечающий фильтрации $N_n = M_n \cap N \subset N$, есть подмодуль
нетерова $\wt{A}^\hdot$-модуля $\wt{M}^\hdot$.
\endproof

\begin{corr}
Пусть $\m \subset A$ -- максимальный идеал локального нетерова
кольца $A$. Тогда $\cap_n \m^n = 0$.
\end{corr}

\proof{} Обозначим $I = \cap_n \m^n$. Тогда в силу нетеровости $I$
конечно порожден, и по Лемме Артина-Риса, примененной к $I \subset
A$, имеем $I = I \cap \m^n = \m^{n-n_0}(\m^{n_0} \cap I) =
\m^{n-n_0}I$ для какого-то $n_0$, откуда $I = \m I$. Следовательно,
по Лемме Накаямы $I=0$.
\endproof

\subsection*{Теория размерности}

Будем теперь строить теорию размерности локальных колец.  Прежде
всего опишем некоторую аддитивную функцию на модулях.  Это на самом
деле часть совершенно общей теории, в которой даже комутативность
кольца не важна.

Итак, пусть дано (не обязательно коммутативное) кольцо $B$. Тогда
левый $B$-модуль называется {\em неприводимым}, если у него нет
нетривиальных собственных подмодулей. Говорят, что $B$-модуль $M$
имеет {\em конечную длину}, если существует такая убывающая
фильтрация $M_n \subset M$, что $M_n/M_{n+1}$ -- неприводимый
$B$-модуль (такая фильтрация называется {\em насыщенной}), и $M_n =
0$ при достаточно больших $n$. Очевидно, что если $M' \subset M$ --
подмодуль, причем и $M'$, и $M/M'$ имеют конечную длину, то $M$ тоже
имеет конечную длину.

\begin{opr}
Пусть $M$ -- $B$-модуль конечной длины, Тогда {\em длиной} $l(M)$
называется минимальное возможное число ненулевых присоединенных
градуированных факторов $M_n/M_{n+1}$ в насыщенной фильтрации
$M_\idot \subset M$.
\end{opr}

\begin{lemma}
В любой насыщенной фильтрации $M_\idot$ имеется ровно $l(M)$ штук
нетривиальных присоединенных градуированных факторов $M_n/M_{n+1}$.
\end{lemma}

\proof{} Индукция по $l(M)$. Если $l(M)=1$, то $M$ неприводим, и
утверждение следует из определения неприводимого модуля. Иначе,
имеем неприводимый подмодуль $M' \subset M$ с $l(М/M')=l(M)-1$.
Тогда все члены насыщенной фильтрации $M_n$ начиная с некоторого
момента $k$ не содержат $M'$, а до этого момента -- содержат; и для
всех $n \neq k$ присоединенные градуирoванные факторы фильтрации
$M_n/(M_n \cap M')$ на $M/M'$ те же, что на $M$ -- а кроме того,
$M'$ нетривиально отображается в $M_k/M_{k+1}$. Поэтому
$M_k/M_{k+1}=M'$, $M_k/(M_k \cap M') = M_{k+1}/(M_{k+1} \cap M)$, и
соответствующий просоединенный градуированный фактор в фильтрации на
$M/M'$ равен нулю.
\endproof

\begin{exc}
Докажите, что длина $l(M)$ -- аддитивная функция, т.е. что $l(M) =
l(M') + l(M/M')$ для любого подмодуля $M' \subset M$.
\end{exc}

Пусть теперь $A$ -- нетерово локальное кольцо с максимальным идеалом
$\m \subset A$. Тогда ниоткуда не следует, и неверно, что любой
конечно порожденный $A$-модуль имеет конечную длину. Верно, однако,
следующее.

\begin{exc}
Докажите, что $A$-модуль $A/\m^n$ имеет конечную длину для любого
$n$. Выведите отсюда, что любой конечно порожденный $A/\m^n$-модуль
$M$ имеет конечную длину.
\end{exc}

\begin{rem}
Если разобраться, то причина, по которой это упражнение работает,
такая -- в кольце $A/\m^n$ верно условие обрыва {\em убывающих}
цепочек идеалов: любая цепоча вложенных идеалов $\aA_0 \supset \aA_1
\supset \cdots$ стабилизируеся на конечном шаге. Такие кольца
называются {\em артиновыми}. Про них можно доказать, что они
автоматически нетеровы, и развить некоторую теорию -- в частности,
доказать, что любой конечно-порожденный модуль над артиновым кольцом
имеет конечную длину. Терминологию эту полезно знать, но сама теория
не особенно интересная, и мы пропускаем ее для экономии места.
\end{rem}

Пусть теперь дан $\m$-примарный идеал $\qq \subset A$ и какой-то
конечно порожденный $A$-модуль $M$. Пусть дана какая-то
$\qq$-стабильная фильтрация $M_\idot \subset M$.

\begin{lemma}\label{char.poly}
Для любого $n$, $A$-модуль $M/M_n$ имеет конечную длину. Кроме того,
существует такой полином $\chi(t)=\chi(M_\idot,t)$, называемый {\em
характеристическим полиномом}, что $l(M/M_n)=\chi(n)$ при достаточно
больших $n$, причем степень и старший член $\chi(n)$ не зависят от
выбора стабильной $\qq$-фильтрации $M_\idot$.
\end{lemma}

\proof{} Для любого $n$ имеем $\qq^n M \subset M_n$, т.е. $\qq^n$
аннулирует $M/M_n$; поскольку $\qq$ $\m$-примарен, он содержит
какую-то степень $\m^m$, а потому $\m^{nm}$ аннулирует
$M/M_n$. Следовательно, этот модуль конечной длины. Далее, поскольку
фильтрация стабильна, $\wt{M}^\hdot = \bigoplus_n M_n$ -- нетеров
модуль над $\wt{A}^\hdot = \bigoplus_n \qq^n$. Алгебра
$$
\wt{A}^\hdot/\qq\wt{A} = \bigoplus_n \qq^n/\qq^{n+1}
$$
очевидно удовлетворяет условиям Леммы~\ref{poi}, а потому для
градуриванного модуля $\wt{M}^\hdot/\qq\wt{M}^\hdot$ существует
полином Гильберта $\chi'(M,t)$ (по отношению к аддитивной функции
длины). Поскольку $l(M/M_n) = \sum_{0 \leq j < n} l(M_j/M_{j+1})$,
функция $\chi(n) = \chi'(n-1) + \chi'(n-2) + \dots + \chi'(0)$ --
тоже полином от $n$ (степени на единицу большей, чем степень
$\chi'$). Наконец, чтобы проверить, что степень и старший член не
зависят от выбора фильтрации, достаточно воспользоваться тем, что
любые две стабильные фильтрации соизмеримы.
\endproof

На самом деле, верно и большее.

\begin{exc}
Пусть $\qq \subset A$ -- $\m$-примарный идеал. Воспользовавшись тем,
что $\m^n \subset \qq \subset \m$ для какого-то $n$, докажите, что
для любого нетерова модуля $M$ имеем $\deg \chi(M_\idot) = \deg
\chi(M'_\idot)$, где $M_n=\m^nM$ и $M'_n=\qq^nM$.
\end{exc}

\begin{opr}
Через $d(M)$ мы будем обозначать степень характеристического
полинома $\chi(M,\m)$ модуля $M$ минус $1$. Через $\delta(A)$ мы
будем обозначать минимальное количество эелементов
$a_1,\dots,a_{\delta(A)} \in \m$, которые порождают $\m$-примарный
идеал $\qq \subset A$, или $0$, если $0 \subset A$ уже
$\m$-примарен.
\end{opr}

\begin{exc}
Выведите из Леммы~\ref{poi} и Упражнения~\ref{hilb}, что $\delta(A)
\geq d(A)$.
\end{exc}

Напомним, что через $\dim A$ обозначается круллевская размерность
кольца $A$. Дальнейший наш план -- доказать, что $d(A) \geq \dim A
\geq \delta(A)$, откуда следует, что $\dim A$ конечно (и что $\dim A
= d(A) = \delta(A)$). Это делается в три шага; первый шаг такой.

\begin{lemma}
Пусть $x \in A$ -- не делитель нуля для модуля $M$ (т.е. $xm \neq 0$
для любого $m \in M$. Тогда $d(M/xM) \leq d(M)-1$.
\end{lemma}

\proof{} Обозначим через $N = xM \subset M$ образ умножения на
$x$. Пскольку $x$ -- не делитель нуля, $N$ изоморфно $M$ как
абстрактный модуль, и утверждение почти очевидно: для любого $n$ мы
имеем точную последовательность
$$
\begin{CD}
0 @>>> N/N_n @>>> M/M_n @>>> K/K_n @>>> 0,
\end{CD}
$$
где $K = M/xM$, $M_n=\m^nM$, $K_n=\m^nK$ и $N_n = \m^nM \cap N$, а
потому $\chi(K_\idot,n)=\chi(M_\idot,n)-\chi(N_\idot,n)$, и, раз по
Лемме~\ref{char.poly} степени и старшие члены $\chi(M_\idot)$ и
$\chi(N_\idot)$ равны, степень $\chi(K_\idot)$ должна быть строго
меньше. Единственное, что надо отметить -- это почему фильтрация
$N_\idot$ стабильная. Это следует из Леммы Артина-Риса.
\endproof

\begin{lemma}
Имеем $d(A) \geq \dim A$.
\end{lemma}

\proof{} Индукция по $d(A)$ (про которое мы уже знаем, что оно
конечно). Если $d(A) = 0$, то длина $A/\m^nA$ постоянна начиная с
некоторого $n$, а потому $\m^n=0$, все элементы $\m$ нильпотентны,
$\m$ лежит в нильрадикале $A$, и следовательно, никаких других
простых идеалов в $A$ нет, т.е. $\dim A = 0$. Пусть теперь $\pp_0
\subset \pp_1 \subset \cdots \subset \pp_d$ -- цепочка вложенных
попарно различных простых идеалов. Положим $A' = A/\pp_0$. Тогда
поскольку $\pp_0 \subset \m$, $\m A'$ есть максимальный идеал $A'$,
т.е. $A'/\m^n$ всегда есть фактор $A/\m^n$, и $d(A') \leq d(A)$. С
другой стороны, $A'$ есть область целостности. Возьмем любое $x \in
\pp_1$; тогда по доказанному $d(A'/(x))=d(A')-1$. По индукции, $d
\leq \dim (A'/(x)) + 2 \leq d(A') + 1$; поскольку цепочка идеалов
была произвольная, $\dim A \leq d(A)$.
\endproof

\begin{lemma}
Имеем $\dim A \geq \delta(A)$.
\end{lemma}

\proof{} Пусть $\dim A = d$; надо построить такие $a_1,\dots,a_d
\subset A$, что идеал 
$$
(a_1,\dots,a_d) \subset A
$$
$\m$-примарен. Построим сначала такие $a_1,\dots,a_d \subset A$, что
любой простой идеал $\pp \subset A$, содержащий $a_1,\dots,a_i$,
имеет высоту не меньше $i$. Будем делать это по индукции. Пусть
$a_1,\dots,a_{i-1}$ уже построены (или, если $i=0$, ничего не
построено). Рассмотрим все минимальные простые идеалы $\pp_i$,
которые ассоциированы с $(a_1,\dots,a_{i-1})$ и имеют высоту ровно
$i-1$ (если таких нет, тем лучше). Тогда поскольку высота $\m$ равна
$d$, то $\m$ не равен ни одному из $\pp_i$.

\begin{exc}
Докажите, что если идеал $\aA \subset A$ содержится в конечном
объединении $\cup_{1 \leq i \leq n} \pp_i$ простых идеалов $\pp_i
\subset A$, то $\aA \subset \pp_i$ для какого-то $i$. Указание: по
индукции, выберите сначала для любого $i$ такое $x_i \in \aA$, что
$x_i \not\in \pp_j$ для $j \neq i$, а потом рассмотрите
$$
y = \sum_i x_1 \dots x_{i-1}x_{i+1} \dots x_n.
$$
\end{exc}

Поскольку ассоциированных простых идеалов в силу нетеровости
конечное число, заключаем, что можно выбрать такое $a_i \in \m$, что
$a_i$ не лежит ни в одном из $\pp_i$. Тогда утверждается, что
последовательность $a_1,\dots,a_i$ годится. Действительно, пусть
$\qq \subset A$ -- какой-то простой идеал, содержащий
$a_1,\dots,a_i$; тогда он содержит минимальный простой идеал $\pp$,
ассоциированный с $(a_1,\dots,a_{i-1})$, и либо $\htt\pp=i-1$ -- но
тогда по построению $a_i \not\in\pp$, а потому $\qq \neq \pp$ и
$\htt\qq \geq \htt\pp+1 = i$ -- либо $\htt\pp \geq i$, и тогда тем
более $\htt\qq \geq i$.

Итак, имеем такую последовательность $a_1,\dots,a_d$, что любой
простой идеал, содержащий $a_1,\dots,a_i$, имеет высоту не меньше
$i$. В частности, любой простой идеал $\pp \subset A$, содержащий
$(a_1,\dots,a_d)$, имеет высоту $\geq d$. Но поскольку $\m \subset
A$ -- максимальный, а кольцо локально, то $\pp \subset \m$, а раз
$\htt\pp \geq d = \htt\m$, то $\pp = \m$. Поэтому, как и
требовалось, $(a_1,\dots,a_d)$ -- $\m$-примарный идеал.
\endproof

Итак, мы доказали, что для любого локального кольца $A$ имеем
$d(A)=\delta(A)=\dim A$, и в частности, $\dim A$ конечна (теорема о
размерности).

\subsection*{Пополнение}

Надо сказать, что изначально теорема о размерности была доказана
Круллем без применения градуированных модулей, полиномов Гильберта и
Леммы Артина-Риса. А Лемму Артина-Риса придумали для другого
применения, которое мы сейчас и опишем.

Пусть дано кольцо $A$, идеал $\aA \subset A$ и $A$-модуль
$M$. Изучая модуль с точки зрения размерности, мы рассматривали
систему фактормодулей $M/\aA^n M$, $n \geq 1$. Оказывается, что эти
фактормодули полезно рассматривать и для многих других применений, и
удобно объединить всю систему в один объект.

\begin{opr}
{\em Пополнением} $\wh{M}$ модуля $M$ по $\aA$-адической топологии
называется проективный предел
$$
\lim_{\gets} M/\aA^n M
$$
-- иными словами, множество таких последовательностей $\{m_n\}$, $m_n
\in M/\aA^n M$, что $m_{n+1} = m_n \mod \aA^n M$.
\end{opr}

Пополнение самого кольца обозначается $\wh{A}$ (предполагается, что
из контекста ясно, какой именно берется идеал $\aA$). Это очевидно
тоже кольцо; $\wh{M}$, очевидно, модуль над кольцом
$\wh{A}$. Заметим сразу, что в определении пополнения необязательно
брать именно фильтрацию $\aA^n M \subset M$.

\begin{lemma}
Пусть даны две убывающие фильтрации $M_n,M'_n \subset M$ на абелевой
группе $M$, и пусть $M_n \subset M_n'$, так что имеем естественные
отображения $M/M_n \to M/M'_n$. Пусть, кроме того, фильтрации
соизмеримы. Тогда естественное отображение
$$
\phi:\lim_{\gets} M/M_n \to \lim_{\gets} M/M'_n
$$
-- изоморфизм.
\end{lemma}

\proof{} Поскольку фильтрации соизмеримы, мы можем зафиксировать
такое $n_0$, что $M'_{n+n_0} \subset M_n$. Тогда легко видеть, что
обратное отображение $\phi^{-1}$ должно переводить
последовательность $\{m'_n\}$ в последовательность $\{m_n\}$,
заданную формулой $m_n = m'_{n+n_0} \mod M_n$.
\endproof

Тем самым, пополнение зависит не от конкретной фильтации, а от
класса соизмеримых фильтраций. Такой класс фильтраций задает на $M$
топологию, причем {\em линейную} -- у $0 \in M$ есть базис
окрестностей, состоящий из абелевых подгрупп. Это объясняет, почему
используется термин ``пополнение''. В частности, если кольцо $A$
нетерово, а $M$ -- нетеров $A$-модуль, у нас есть выделенный класс
фильтраций на $M$ -- стабильные $\aA$-фильтрации. Соответствующая
топология называется {\em $\aA$-адической}. Но на практике, у нас и
так слишком много нестандартных топологий на разных объектах,
поэтому проще все-таки думать про класс соизмеримых фильтраций (тем
более, что естественным образом появляется именно он).

\begin{exc}
Пусть кольцо $A$ нетерово; докажите, что его пополнение $\wh{A}$
относительно любого идеала $\wh{a}$ тоже нетерово. Указание:
докажите сначала, что кольцо формальных рядов над нетеровым кольцом
нетерово.
\end{exc}

Вот главный технический факт про пополнения.

\begin{lemma}
Пусть дана короткая точная последовательность
$$
\begin{CD}
0 @>>> M' @>>> M @>>> M'' @>>> 0
\end{CD}
$$
нетеровых модулей над нетеровым кольцом $A$. Тогда
последовательность их пополнений по $\aA$-адической топологии
$$
\begin{CD}
0 @>>> \wh{M}' @>>> \wh{M} @>>> \wh{M}'' @>>> 0
\end{CD}
$$
точна для любого идеала $\aA \subset A$.
\end{lemma}

\proof{} По Лемме Артина-Риса, можно выбрать такие стабильные
$\aA$-фильтрации на всех трех модулях, что для любого $n$
последовательность
$$
\begin{CD}
0 @>>> M'/M'_n @>>> M/M_n @>>> M''/M_n'' @>>> 0
\end{CD}
$$
точна. Поэтому достаточно следующего:

\begin{exc}
Докажите, что что обратный предел точных последовательностей
абелевых групп по системе сюръективных отображений точен.
\end{exc}

\begin{rem}
Предположение сюръективности здесь можно ослабить, но нельзя
отбросить совсем: в общей случае, обратный предел системы точных
последовательностей точен лишь слева. Мы все это систематически
изучим в следующем семестре.
\end{rem}

Геометрическая причина, по которой приходится использовать
пополнения, в следующем. Поскольку топология Зарисского слишком слабая, мы
не можем, как много раз уже отмечали, работать ``в маленькой
окрестности точки''. Один из способов бороться с этим -- это
работать ``в еще меньшей окрестности'', а именно, инфинитеземально:
чтобы получать информацию о функциях, мы разлагаем их в ряд Тэйлора
и последовательно изучаем коэффициенты ряда. При этом никаких
разумных условий сходимости на ряды мы наложить не можем, и
приходится использовать формальные ряды. Но то, что функции у нас
алгебраические, отчасти и облегчает жизнь. Например, верно
следующее.

\begin{lemma}
Пусть $A$ -- нетерово локальное кольцо с максимальным идеалом
$\m$. Тогда его $\m$-адическое пополнение $\wh{A}$ тоже локально, с
максимальным идеалом $\wh{\m}=\m\wh{A}$, поля вычетов $A/\m$ и
$\wh{A}/\wh{\m}$ изомофрны, а естественное отображение $A \to
\wh{A}$ инъективно.
\end{lemma}

\proof{} Элементы пополнения $\wh{A}$ можно записывать как
формальные ряды $a_0 + a_1 + \dots$, где $a_i \in \m^i \subset
A$. Если такой ряд не лежит в $\m\wh{A}$, то $a_0$ не лежит в $\m$,
а потому обратимо. Домножая на обратный приводим ряд к виду $1 +
a_1' + \dots$, а такой ряд, очевидно, обратим в кольце формальных
рядов. Поэтому $\wh{A}$ локально с идеалом $\wh{\m}=\m\wh{A}$. То,
что поля вычетов одинаковые, очевидно. Наконец, то, что отображение
$A \to \wh{A}$ инъективно, равносильно тому, что $\cap \m^n = 0$,
что, как мы знаем, верно для нетерова локального кольца.
\endproof

Заметим, что для $C^\infty$-функций в анализе последнее утверждение
совершенно неверно: есть много гладких функций, у которых все
коэффициенты ряда Тэйлора в выбранной точке равны нулю. Но все такие
функции неалгебраические.

Плата за использование пополнения это то, что оно {\em очень
большое} -- например, даже если $A$ конечно-порожденная алгебра над
полем $k$, в частности, счетномерна, пополнение $\wh{A}$ 
имеет размерность континуум. Но зато,
с пополнением можно работать по индукции, шаг за шагов поднимаясь по
последовательным факторам $A/\m^nA$. Чтобы проиллюстрировать
полезность пополнения и способ работы с ним, докажем следующее
частно применяемое утверждение.

\begin{lemma}[Лемма Гензеля]
Пусть $A$ -- полное локальное кольцо с максимальным идеалом $\m
\subset A$ (т.е. $A = \wh{A}$) и полем вычетов $k = A/\m$, и пусть
дан полином $P(x) \in A[x]$ над $A$ со старшим коэффициентом
$1$. Пусть его редукция $\overline{P}(x) \in k[x]$ по модулю $\m$
разлагается в произведение $\overline{P}(x)= а\overline{P}_1(x)
\overline{P}_2(x)$ двух взаимно простых полиномов. Тогда существуют
такие полиномы $P_1(x),P_2(x) \in A[x]$, что $P_i(x) =
\overline{P}_i(x) \mod \m$.
\end{lemma}

\proof{} По индукции. Пусть уже построены $P_i(x) \in A/\m^l[x]$,
$i=1,2$ для какого-то $l \geq 1$. Продолжим их как угодно до
полиномов $P'_i(x) \in A/\m^{l+1}[x]$ и обозначим
$$
P'(x) = P'_1(x)P'_2(x).
$$
По предположению индукции, все коэффициенты $P'(x)$ лежат в
$\m^l/\m^{l+1}$. Поскольку $\overline{P}_1(x)$ и $\overline{P}_2(x)$
взаимно просты, существуют такие $q_1(x),q_2(x) \in k[x]$, что
$q_2(x)\overline{P}_1(x) + q_1(x)\overline{P}_2(x) = 1$. Тогда,
заменяя $P'_i(x)$ на $P'_i(x)-P'(x)q_i(x)$, добиваемся того, что
$P'(x)=0$.
\endproof

Гензель, который ввел пополнения (в алгебраической теории чисел),
как раз имел в виду эту Лемму, а особенно ее следствие, которое мы
докажем только в геометрической ситуации.

\begin{lemma}
Пусть $A$ -- кольцо дискретного нормирования с максимальным идеалом
$\m \subset A$. Предположим, что поле вычетов $A/\m$ --
алгебраически замкнутое поле характеристики $0$. Пусть $B$ --
нормализация $A$ в каком-то расширении Галуа $L$ поля частных
$K=\Frac(A)$ с группой Галуа $G$, и пусть $\wh{B}$ -- пополнение $B$
относительно идеала $\m B$. Тогда имеется разложение
$$
\Spec \wh{B} = \coprod_i \Spec \wh{B}_i,
$$
где все $\wh{B}_i$ -- полные кольца дискретного нормирования,
переставляемые группой $G$. Более того, стабилизатор любого из $B_i$
-- группа инерции $I \cong \Z/m\Z \subset G$, и
$\wh{B}_i=\wh{A}[x]/(x^m-a)$, где $a \in \m$ -- униформизующая, а
$\wh{A}$ -- пополнение кольца $A$.
\end{lemma}

Таким образом, если есть разветвленное накрытие конечно-порожденной
алгебры над конечным полем, то, переходя к нормализации,
ограничиваясь точками коразмерности $1$, и беря пополнение, мы
получаем полное описание ветвления: все распадается в несвязное
объединение эталонных циклических разветвленных накрытий
$A[x]/(x^m-a)$.

\proof{} По индукции, достаточно рассмотреь случай $B = A[x]/P(x)$,
где $P(x)$ -- какой-то полином. Как мы уже доказали на прошлой
лекции, редукция слоя $\Spec B$ над замкнутой точкой $o = \Spec k
\in \Spec A$ -- это накрытие Галуа с группой Галуа $G/I$. Поскольку
$k$ алгебраически замкнуто, это накрытие есть несвязное объединение
копий поля $k$, т.е. полином $P(x)$ разлагается по модулю $\m$ на
взаимно-простые линейные множители. По Лемме Гензеля (и индукции по
числу множителей), это разложение поднимается в пополнение $\wh{B}$
и задает разложение в сумму $\wh{B}_i$. Все $\wh{B}_i$, очевидно,
полные кольца дискретного нормирования. Наконец, возьмем
какую-нибудь униформизующую $b \in \wh{B}_i$. Тогда $b^m$
инвариантно относительно группы инерции $I$, а потому $b^m \in \m
\subset \wh{A}$. Легко видеть, что это униформизующая: поскольку
$\wh{B}_i$ -- свободный $\wh{A}$-модуль ранга $m$, фактор $B/b^mB$
должен иметь длину, равную $m$ на длину $\wh{A}/b^m\wh{A}$, а
следовательно, $\wh{A}/b^m\wh{A}$ это модуль длины $1$. Поэтому
$a^{-1}b^m$ задается формальным рядом с ненулевым старшим членом, а
из такого ряда очевидной индукцией можно извлечь корень степени $m$.
\endproof

\end{document}
