\documentclass[12pt,leqno]{article}

\usepackage{amsmath,amsfonts,amscd,amssymb,theorem}

\addtolength{\topmargin}{-23mm}
\addtolength{\textheight}{60mm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-20mm}
\addtolength{\textwidth}{40mm}

%%%%%  Theorem style with a dot at the end of the header

\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@dotted{\normalfont\itshape
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}}
\endgroup
\makeatother

\theoremstyle{dotted}

\newtheorem{thm}{Теорема}[section]
\newtheorem{lemma}[thm]{Лемма}
\newtheorem{prop}[thm]{Предложение}
\newtheorem{corr}[thm]{Следствие}
\newtheorem{exc}{Упражнение}[section]
\newtheorem{sch}[thm]{Факт}

%%%%%  Same for definitions

\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@upshape{\normalfont
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}}
\endgroup
\makeatother

\theoremstyle{upshape}

\newtheorem{opr}[thm]{Определение}
\newtheorem{rem}[thm]{Замечание}

%%%%% Разное

\makeatletter
\@addtoreset{equation}{section}
\makeatother
\renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}}

\newcommand{\proof}[1][Доказательство.]{\smallskip\noindent{\em #1}}
\def\endproof{\hfill\ensuremath{\square}\par\medskip}

\renewcommand{\labelenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}}
\renewcommand{\theenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}}

\def\eqref#1{\thetag{\ref{#1}}}
\def\eps{\varepsilon}
\def\phi{\varphi}
\def\wt{\widetilde}
\def\wh{\widehat}

\let\latexref=\ref
\def\ref#1{{\normalfont{\latexref{#1}}}}

\setlength{\unitlength}{1pt}
\newcommand{\idot}{{\:\raisebox{1pt}{\text{\circle*{1.5}}}}}
%
% The dot which looks good as index for homology groups
%
\newcommand{\hdot}{{\:\raisebox{3pt}{\text{\circle*{1.5}}}}}
%
% Same for cohomology
%

%%%%% Буквы

\newcommand{\C}{{\mathbb C}}
\newcommand{\Z}{{\mathbb Z}}
\newcommand{\R}{{\mathbb R}}
\newcommand{\Q}{{\mathbb Q}}

\newcommand{\A}{{\mathbb A}}

\newcommand{\m}{\mathfrak m}
\newcommand{\aA}{\mathfrak a}
\newcommand{\pp}{\mathfrak p}
\newcommand{\qq}{\mathfrak q}
\newcommand{\bb}{\mathfrak b}

\newcommand{\Hom}{\operatorname{{\sf Hom}}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{{\sf Sym}}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{{\sf Id}}}
\newcommand{\id}{\operatorname{{\sf id}}}

\newcommand{\hhom}{\operatorname{{\mathcal H}{\it om}}}

\renewcommand{\Im}{\operatorname{{\sf Im}}}
\newcommand{\Ker}{\operatorname{{\sf Ker}}}
\newcommand{\Coker}{\operatorname{{\sf Coker}}}

\newcommand{\Aut}{\operatorname{{\sf Aut}}}
\newcommand{\Der}{\operatorname{{\sf Der}}}

\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Max}{\operatorname{Max}}
\newcommand{\Ass}{\operatorname{Ass}}
\newcommand{\Supp}{\operatorname{Supp}}
\newcommand{\Frac}{\operatorname{Frac}}

\renewcommand{\dim}{\operatorname{{\sf dim}}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{{\sf rk}}}
\newcommand{\ev}{\operatorname{{\sf ev}}}
\renewcommand{\deg}{\operatorname{{\sf deg}}}
\renewcommand{\det}{\operatorname{{\sf det}}}

\newcommand{\disc}{\operatorname{{\sf disc}}}
\newcommand{\Ann}{\operatorname{{\sf Ann}}}
\newcommand{\Res}{\operatorname{{\sf Res}}}
\newcommand{\tr}{\operatorname{{\sf tr}}}
\newcommand{\gr}{\operatorname{{\sf gr}}}
\newcommand{\htt}{\operatorname{{\sf ht}}}
\newcommand{\cchar}{\operatorname{{\sf char}}}

\def\ds{\displaystyle}

\newcommand{\6}{\partial}

%%%%% Pagestyle

\pagestyle{myheadings}

\markboth{Введение в алгебраическую геометрию -- лекции в НОЦ МИАН,
осень 2005}{Введение в алгебраическую геометрию -- лекции в НОЦ
МИАН, осень 2005}

\begin{document}

\setcounter{section}{5}
\stepcounter{section}
\section*{Лекция 6.}

\begin{center}
\begin{minipage}{0.7\linewidth}\small
Регулярные кольца. Дифференцирования и касательные векторы. Модуль 
кэлеровых дифференциалов. Регулярность и дифференциалы. Ветвление,
дифференциалы и дифферента. Теорема Коэна о поле представителей.
\end{minipage}
\end{center}

\subsection*{Регулярные кольца.}

В прошлый раз мы построили теорию размерности локальных колец -- в
частности, доказали, что локальное нетерово кольцо $A$ конечномерно,
и что минимальное число элементов максимального идеала $\m \subset
A$, которые порождают $\m$-примарный идеал $\qq \subset \m$, равно
размерности $\dim A$. В частности, сам максимальный идеал $\m$
нельзя породить меньше, чем $\dim A$ элементами. Из Леммы Накаямы
немедленно следует, что элементы $a_1,\dots,a_d \in \m$ порождают
$\m$ тогда и только тогда, когда их образы в $\m/\m^2$ порождают
$\m/\m^2$ -- как $A$-модуль, или, поскольку $\m$ действует на нем
тривиально, как $A/\m$-модуль. Тем самым,
$$
\dim_k \m/\m^2 \geq \dim A,
$$
где $k$ -- поле вычетов $k=A/\m$.

\begin{opr}
Нетерово локальное кольцо называется {\em регулярным}, если имеет
место равенство: $\dim_k \m/\m^2 = \dim A$.
\end{opr}

Первый вопрос, который вызывает это определение, такой: насколько
свойство регулярности действительно локально? Точнее, пусть $A$ --
регулярное локальное кольцо, и пусть $\pp \subset A$ -- простой
идеал, отличный от максимального; верно ли, что локализация
$A_{\pp}$ -- тоже регулярное локальное кольцо? Средствами обычной
коммутативной алгебры этот вопрос не решается, и довольно долго это
была трудная открытая проблема. Потом, в 50х годах, Серр придумал
гомологическую характеризацию регулярности, из которой в две строчки
следует, что регулярность действительно локальное свойство. Мы этим
займемся в следующем семестре; пока что просто дадим формулировку
без доказательства.

\begin{sch}[Серр]
Пусть $\pp \subset A$ -- простой идеал в регулярном
локальном кольце; тогда локализация $A_\pp$ -- тоже регулярное
локальное кольцо.
\end{sch}

В частности, свойство реглуярности можно непротиворечивым образом
распространить на любые, не обязательно локальные кольца: нетерово
кольцо $A$ называется регулярным, если для любого простого идеала
$\pp \subset A$, локализация $A_\pp$ -- регулярное локальное кольцо.
Геометрически, регулярные кольца соответствуют неособым
алгебраическим многообразиям.

\begin{opr}
Точка $x \in X$ нетеровой аффинной схемы $X = \Spec A$ называется
{\em неособой}, если локализация $A_\pp$ в соответствующем простом
идеале -- регулярное локальная кольцо. Схема называется {\em
регулярной}, или {\em неособой}, если все ее точки неособые.
\end{opr}

Алгебраически, регулярные кольца очень похожи на кольца
многочленов. В частности, верно следующее.

\begin{lemma}\label{reg}
Пусть $A$ -- нетерово локальное кольцо с максимальным идеалом $\m
\subset A$. Тогда следующие условия эквивалентны:
\begin{enumerate}
\item $A$ регулярно,
\item пополнение $\wh{A}$ по $\m$-адической топологии регулярно,
\item присоединенный градуированный фактор $\gr_{\m}A=\bigoplus_{n
\geq 0}\m^n/\m^{n+1}$ по $\m$-адической топологии -- кольцо
многочленов над $k=A/\m$ от $d$ образующих, градуированное степенью
многочлена.
\end{enumerate}
\end{lemma}

\proof{} По определению, $\gr_\m A = \gr_\m \wh{A}$; поэтому
достаточно доказать, что
\thetag{i}$\Leftrightarrow$\thetag{iii}. При этом $\gr_\m A$ по
определению порождено своей первой градуирочной компонентой, так что
если мы положим $d=\dim_k \m/\m^2$, выберем базис $x_1,\dots,x_d$ в
этом векторном пространстве и рассмотрим естественное отображение
$\phi:k[x_1,\dots,x_d] \to \gr_\m A$, то $\phi$ сюръективно, и
\thetag{iii} верно тогда и только тогда, когда $\phi$ -- изоморфизм.

Поскольку $\phi$ сюръективно, полином Гильберта $\chi(\gr_\m A)$ не
больше полинома Гильберта кольца мнoгочленов:
$$
\chi(\gr_\m A)(n) \leq \chi(k[x_1,\dots,x_d])(n) = \binom{n+d}{n}.
$$
Более того, если $\phi$ переводит в $0$ какой-то многочлен $P \in
k[x_1,\dots,x_d]$ степени $l$, то он переводит в $0$ и весь главный
идеал $(P)$, а потому
$$
\chi(\gr_\m A)(n) \leq \binom{n+d}{n} - \binom{n+d-l}{n-l},
$$
и легко видеть, что правая часть -- многочлен от $n$ степени
$d-1$. Тем самым, $\deg\chi(\gr_\m A) \leq d$, и равенство
достигается только если $\phi$ биективно. Чтобы завершить
доказательство, достаточно вспомнить, что по теории размерности
$\deg\chi(\gr_\m A) = d(A) = \dim A$.
\endproof

\begin{exc}
Выведите из Леммы~\ref{reg}, что регулярное локальное кольцо не
имеет делителей нуля.
\end{exc}

Верно также и следующее свойство.

\begin{sch}
Регулярное кольцо факториально (а следовательно, и нормально).
\end{sch}

К сожалению, доказательство тоже требует гомологической техники, а
потому откладывается.

Несмотря на все эти свойства, произвольное регулярное локальное
кольцо все же, вообще говоря, довольно далеко от и кольца
многочленов, и от его локализаций. Ситуация становится лучше, если
перейти к пополнению. Пусть дано регулярное локальное кольцо $A$ с
полем вычетов $k$; подполе $K \subset A$ будем называть {\em полем
коэффициентов}, если естественная проекция $A \to k$ индуцирует
изоморфизм $K \cong k$.

\begin{lemma}
Пусть $A$ -- полное регулярное локальное кольцо, которое содержит
поле коэффициентов $k \subset A$. Тогда $A$ изоморфно кольцу
степенных рядов $k[[x_1,\dots,x_d]]$ от $d = \dim A$ переменных.
\end{lemma}

\proof{} Выберем какие-нибудь элементы $x_1,\dots,x_d \in \m$,
порождающие максимальный идеал $\m \subset A$, и рассмотрим
соответствующее отображение $k[x_1,\dots,x_d] \to A$. В силу
полноты, его можно продолжить до отображения
$\phi:k[[x_1,\dots,x_d]] \to A$. Сравнивая полиномы Гильберта как в
доказательстве Леммы~\ref{reg}, немедленно видим, что $\phi$ есть
изоморфизм.
\endproof

Например, пусть $A$ -- конечно-порожденная алгебра над алгебраически
замкнутым полем $k$ (геометрическая ситуация). Тогда с одной
стороны, $A$ содержит $k$, а с другой стороны, для любого
максимального идеала $\m \subset A$ поле вычетов $A/\m$ есть, по
теореме Гильберта о базисе, конечное расширение $k$, а
следовательно, совпадает с $k$. Поэтому пополнение $\wh{A}$ по
$\m$-адической топологии автоматически содержит поле
коэффициентов. Поэтому если $A$ -- регулярная конечно-порожденная
алгебра над алгебраически замкнутым полем $k$, то ее пополнение
$\wh{A}$ в любом максимальном идеале $\m \subset A$ есть кольцо
формальных степенных рядов от $\dim A$ переменных. Геометрически,
это значит, что неособое алгебраическое многообразие {\em в
формальной окрестности любой своей замкнутой точки} изоморфно
аффинному пространству.

На самом деле, И.С. Коэн доказал, что любое полное кольцо, которое
содержит какое-то поле, содержит также и поле коэффициентов. В конце
этой лекции, мы докажем это для полей характеристики $0$.

\subsection*{Касательные векторы и дифференцирования.}

Пусть $A$ -- нетерово кольцо, и пусть $\m \subset A$ -- максимальный
идеал, отвечающий некоторой замкнутой точке $x \in \Spec A$. Тогда
$\m/\m^2$, конечномерное векторное пространство над $k = A/\m$,
интересно и само по себе, вне связи с регулярностью $A$.

\begin{opr}
Векторное пространство $(\m/\m^2)$ над $k$, двойственное к
$\m/\m^2$, называется {\em касательным пространством по Зарисскому}
аффинной схемы $X = \Spec A$ в точке $x \in X$.
\end{opr}

Геометрический смысл этого определения такой. Напомним, что
касательное пространство $T_mM$ какого-то $C^\infty$-многообразия
$M$ в точке $m$ обычно определяют, рассматривая все гладкие
отображения $\phi:\R \to M$ из прямой $\R$ в $M$, переводящие $0 \in
\R$ в $m \in M$, и отождествляя те из них, которые имеют в $0$
одинаковую производную (в локальных координатах). Класс
эквивалентности таких $\phi$ понимается как касательный вектор к $M$
в $m \in M$. В алгебраической геометрии, за счет нильпотентов, мы
можем избавиться от необходимости что-то дополнительно
отождествлять. А именно, пусть $A$ -- конечно-порожденная алгебра
над алгебраически замкнутым полем $k$. Вместо того, чтобы
рассматривать прямую $\A^1_k = \Spec k[t]$, рассмотрим спектр {\em
алгебры дуальных чисел} $k\langle\eps\rangle =
k[\eps]/\eps^2$. Тогда {\em касательным вектором} к $X = \Spec A$
называется отображение $k$-схем $\phi:\Spec k\langle\eps\rangle \to
\Spec A$. На алгебраическом языке, $\phi$ это отображение $k$-алгебр
$A \to k\langle\eps\rangle$. Иными словами, имеем отображение
$\phi_0:A \to k$, т.е. точку $x \in X$, а также дополнительное
данное: подъем $\phi_0$ до отображения $\phi$ (которое и задает
касательный вектор в точке $x \in X$).

\begin{lemma}
Пусть $A$ -- конечно-порожденная алгебра над алгебраически замкнутым
полем $k$, и пусть $\m \subset A$ -- максимальный идеал, отвечающий
точке $x \in X = \Spec A$. Тогда множество $T_xX$ касательных
векторов к $X$ в точке $x$ естественно изоморфно касательному
пространству по Зарисскому $(\m/\m^2)^*$.
\end{lemma}

\proof{} Это почти тавтология. По определению, $T_xX$ это множество
всех отображений $k$-алгебр $\phi:A \to k\langle\eps\rangle$,
которые $\m \subset A$ переводят в $\eps\cdot k \subset
k\langle\eps\rangle$. По мультипликативности, каждое такое $\phi$
должно переводить $\m^2 \subset A$ в $\eps^2 \cdot k
\langle\eps\rangle \subset k \langle\eps\rangle$, а это пространство
по определению равно нулю; поэтому $\phi$ можно с тем же успехом
считать отображением $A/\m^2 \to k\langle\eps\rangle$. В частности,
каждое такое $\phi$ индуцирует $k$-линейное отображение $\m/\m^2 \to
k = \eps \cdot k \subset k\langle\eps\rangle$, т.е. элемент
касательного пространства по Зарисскому $(\m/\m^2)^*$. Таким
образом, имеем естественное отображение $T_xX \to (\m/\m^2)^*$.

Чтобы доказать, что это отображение биективно, используем то, что
$A$ по условию есть $k$-алгебра. Тогда имеем вложение $k = k \cdot 1
\subset A$, и получаем каноническое расщепление $A/\m^2 = k \oplus
\m/\m^2$ в прямую сумму $k$-векторных пространств. Теперь легко
видеть, что если дано $k$-линейное отображение $\eta:\m/\m^2 \to k$,
то отвечающее ему $\phi \in T_xX$ должно иметь вид $\phi(a \oplus b)
= a + \eps\eta(b)$.
\endproof

Векторным полем на $C^\infty$-многообразии $M$ называется набор
касательных векторов $\xi \in T_mM$, по одному для каждой точки $m
\in M$, которые гладко зависят от точки. Кроме того, векторные поля
можно определять алгебраически.

\begin{opr}
{\em Дифференцированием} коммутативного кольца $A$ со значениями в
произвольном $A$-модуле $M$ называется отображение $D:A \to M$, которое
удовлетворяет {\em правилу Лейбница}:
$$
D(ab)=aD(b)+bD(a),
$$
где $a$ и $b$ -- любые элементы кольца $A$.
\end{opr}

\begin{exc}\label{lin.der}
Пусть $B \subset A$ -- подкольцо. Докажите, что дифференцирование
$D:A \to M$ $B$-линейно тогда и только тогда, когда $D(b)=0$ для
любого $b \in B \subset A$.
\end{exc}

Тогда известно, что, при некоторых технических условиях на
многообразие $M$, векторные поля на $M$ взаимно-однозначно
соответствуют дифференцированиям кольца гладких функций
$C^\infty(M)$.

В алгебраической геометрии, естественный аналог ``гладкой
зависимости от точки'' такой: вместо того, чтобы рассматривать набор
отображений $\phi_x:A \to k\langle\eps\rangle$, по одному для каждой
точки $x \in X = \Spec A$, мы объединяем правые части в алгебру
дуальных чисел $A\langle\eps\rangle = A \otimes_k
k\langle\eps\rangle$, и рассматриваем одно общее отображение $\phi:A
\to A\langle\eps\rangle$, причем такое, что композиция
\begin{equation}\label{sec}
A \overset{\phi}{\longrightarrow} A \langle\eps\rangle
\longrightarrow A
\end{equation}
есть тождественное отображение. Иными словами, $\phi$ есть сечение
естественной проекции $X \times_k \Spec k\langle\eps\rangle \to X$.
В каждой замкнутой точке $x$ такое $\phi$ задает отображение
$\phi_x:A \to A\langle\eps\rangle \to (A/\m_x)\langle\eps\rangle$, и
в силу условия \eqref{sec}, $\phi_x$ есть касательный вектор,
приложенный именно в точке $x$. Алгебраическое определение через
дифференцирования при этом получается автоматически.

\begin{exc}\label{sq.0}
Пусть $B = A\langle\eps\rangle$. Докажите, что сечения естественной
проекции $B \to B/\eps B = A$ находятся во взаимно-однозначном
соответствии с дифференцированиями $D:A \to A$. Более общо, пусть $B
= A \oplus M$ -- прямая сумма $A$ и какого-то $A$-модуля $M$, причем
умножение на $B$ задается формулой
$$
(a_1 \oplus m_1)(a_2 \oplus m_2) = (a_1a_2) \oplus (a_1m_2 +
a_2m_2)
$$
(это называется {\em расщепленное расширение с квадратом ноль}, {\em
split square-zero extension}). Установите взаимно-однозначное
соответствие между сечениями проекции $B \to A = A/M$ и
дифференцированиями $D:A \to M$.
\end{exc}

\begin{exc}
Пусть $A$ -- локальное кольцо с максимальным идеалом $\m \subset A$
и полем вычетов $k=A/\m$. Пусть к тому $A$ -- алгебра над
$k$. Докажите, что касательное пространство по Зарисскому
$(\m/\m^2)^*$ изоморфно пространству $\Der_k(A,k)$ $k$-линейных
дифференцирований из $A$ в $A$-модуль $k = A/\m$.
\end{exc}

\begin{exc}
Обобщение предыдущего упражнения. Пусть $I \subset B$ -- такой идеал
в кольце $B$, что $I^2=0$ (такое называется {\em идеал с квадратом
ноль}). Пусть дано также кольцо $A$, гомоморфизм $f:A \to B$ и
какое-то отображение $D:A \to I$. Докажите, что $D$
дифференцирование тогда и только тогда, когда $f+D$ -- гомоморфизм.
\end{exc}

Это упражнение показывает, откуда на практике берутся
дифференцирования. Пусть даны кольца $A$, $B$, и два гомоморфизма
$f_1,f_2:A \to B$, и пусть мы знаем, что $f_1=f_2 \mod I$ для
какого-то идеала $I \subset B$. Тогда следующий естественный шаг в
сравнении $f_1$ и $f_2$ -- это рассмотреть их по модулю $I^2$. Тогда
мы видим, что разница $f_1-f_2$ будет дифференцированием из $A$ в
$I/I^2$. Неформально, можно скзать, что дифференцирование это
``приближение первого порядка'' к разности двух гомоморфизмов.

\subsection*{Модуль дифференциалов}

Для любого кольца $A$, $A$-модуля $M$, элемента $a \in A$ и
дифференцирования $D:A \to M$, отображение $aD$, $(aD)(b) = aD(b)$,
тоже удовлетворяет правилу Лейбница; сумма двух дифференцирований
тоже, очевидно, дифференцирование. Поэтому множество $\Der(A,M)$ --
в частности, множество $\Der(A,A)$ -- имеет естественную структуру
$A$-модуля. Если дано подкольцо $B \subset A$, то эта структура
модуля, очевидно, совместима с $B$-линейностью, так что $B$-линейные
дифференцирования образуют подмодуль $\Der_B(A,M) \subset
\Der(A,M)$.

\begin{exc}
Пусть $A=k[x_1,\dots,x_d]$, $k$ -- произвольное поле. Вычислите
$A$-модуль $\Der_k(A,A)$.
\end{exc}

К сожалению, модуль $\Der(A,A)$ не обладает хорошими функториальными
свойствами по отношению к морфизмам колец. Например, если дан
гомоморфизм $A \to B$, то нельзя определить никакого естественного
отображения между $\Der(A,B)$ и $\Der(B,B)$. А если $\m \subset A$
-- максимальный идеал, то, вообще говоря, нет никакой связи между
$\Der(A,A)$ и касательным пространством $\Der(A,A/\m)$. И нет
никакого объекта, который объединял бы в себе касательные
пространства в разных точках.

Собственно, в этом нет ничего удивительного, т.к. и в обычной
$C^\infty$-геометрии векторные поля не обладают функториальными
свойствами -- функториальными свойствами обладает двойственный
объект, дифференциальные формы.

В алгебраической ситуации, абстрактное определение дифференциальных
$1$-форм дается с помощью универсального свойства.

\begin{lemma}
Пусть дано кольцо $A$ и подкольцо $B \subset A$. Тогда существует
единственная пара $\langle d,\Omega(A/B)\rangle$ из $A$-модуля
$\Omega(A/B)$ и $B$-линейного дифференцирования $d:A \to
\Omega(B/A)$, обладающая следующим универсальным свойством:
\begin{itemize}
\item для любого $A$-модуля $M$ и $B$-линейного дифференцирования
$D:A \to M$, существует единственное $A$-линейное отображение
$\phi_D:\Omega(A/B) \to M$, для которого $\phi_D \circ d = D$.
\end{itemize}
\end{lemma}

\proof{} Это верно по вполне тавтологическим причинам: если
определить $\Omega(A/B)$ как фактор свободного $A$-модуля,
порожденного символами $da$, по одному для каждого $a \in A$, по
подмодулю, натянутому на $d(ab)-ad(b)-bd(a)$, $a,b \in A$, и $d(b)$,
$b \in B \subset A$, то очевидно, что $\Omega(A/B)$ с
тавтологической операцией $d:A \to \Omega(A/B)$ обладает требуемым
универсальным свойством. Единственность, как это всегда бывает в
подобных случаях, следует из универсальности -- если наша
универсальная задача имеет два решения $\langle
d,\Omega(A/B)\rangle$ и $\langle d',\Omega'(A/B)\rangle$, то просто
по универсальному свойству получаем взаимно-обратные отображения
$\phi_d:\Omega'(A/B) \to \Omega(A/B)$ и $\phi_{d'}:\Omega(A/B) \to
\Omega'(A/B)$.

Однако такой подход не дает никакой информации о стуктуре
$\Omega(A/B)$. Поэтому куда полезнее построить этот модуль,
использовав Упражнение~\ref{sq.0}. Рассмотрим произведение $A
\otimes_B A$, и пусть $I \subset A \otimes_B A$ -- ядро отображения
умножения $A \otimes_B A \to A$ (геометрически, $I$ это идеал,
задающий диагональ). Определим отображение $d:A \to I$ формулой
$d(a) = a \otimes 1 - a \otimes a$. Рассмотрим фактор $I/I^2$. Это
естественным образом $A$-модуль, и легко проверить, что $d:A \to I
\to I/I^2$ -- дифференцирование. Мы утверждаем, что $I/I^2$ можно
взять в качестве $\Omega(A/B)$.

Действительно, пусть дан $A$-модуль $M$ и $B$-линейное
дифференцирование $D:A \to M$. Тогда по Упражнению~\ref{sq.0} мы
можем построить $A' = A \oplus M$, и получить гомоморфизм колец $f:A
\to A'$, $f(a) = a \oplus D(a)$. У нас также есть очевидный
гомоморфизм $f_0:A \to A'$, $f_0(a) = a \oplus 0$. Их произведение
-- гомоморфизм $A \otimes A \to A'$. Поскольку $D$ было $B$-линейно,
$f \otimes f_0$ на самом деле есть гомоморфизм $f \otimes f_0:A
\otimes_B A \to A'$. При этом он переводит $I \subset A \otimes_B A$
в $M \subset A'$, обращается в ноль на $I^2$, и индуцирует
$A$-линейный гомоморфизм $f \otimes f_0:I/I^2 \to M$. Осталось
заметить, что 
$$
(f \otimes f_0)(d(a)) = (f \otimes f_0)(a \otimes 1 - 1 \otimes a) =
f(a) - f_0(a) = D(a),
$$
что и требовалось по определению.
\endproof

\begin{opr}
Модуль $\Omega(A/B)$ называется {\em модулем кэлеровых
дифференциалов} кольца $A$ над кольцом $B$.
\end{opr}

\begin{exc}
Выведите из этой Леммы, что если $B$ нетерово, а $A$ --
ко\-неч\-но\--по\-ро\-ж\-ден\-ная $B$-алгебра, то $\Omega(A/B)$ --
конечно-порожденный $A$-модуль.
\end{exc}

Пусть теперь $f:A \to B$ -- гомоморфизм алгебр над каким-то третьим
кольцом $C$. Тогда любое дифференцирование $D:A \to M$ -- в
частности, универсальное дифференцирование $d:A \to \Omega(A/C)$ --
ограничивается до дифференцирования $D:B \to M$, которое
пропускается через универсальное дифференцирование $B/C$: имеем
$B$-линейное отображение $\phi_D:\Omega(B/C) \to M$. Поскольку $M$
здесь $A$-модуль, это отображение на самом деле дополняется до
$A$-линейного отображения $\Omega_B \otimes_B A \to M$. В частности,
если $M = \Omega(A/C)$, получаем отображение $f^*:\Omega(B/C)
\otimes_B A \to \Omega(A/C)$, которе называется {\em дифференциалом}
отображения $f$.

На практике, для вычисления $\Omega(A/B)$ используют две связанные с
ним точные последовательности.

\begin{prop}
\begin{enumerate}
\item Пусть $A$ -- алгебра над $B$, а $B$, в свою очередь, алгебра
над $C$. Тогда существует короткая точная последовательность
$A$-модулей 
\begin{equation}\label{1.seq}
\begin{CD}
\Omega(B/C) \otimes_B A @>>> \Omega(A/C) @>>> \Omega(A/B) @>>> 0,
\end{CD}
\end{equation}
где отображение слева -- дифференциал естественного отображения $B
\to A$.
\item Пусть $A$ -- алгебра над $C$, $I \subset A$ -- идеал в алгебре
$A$, а $B = A/I$. Тогда существует короткая точная
последовательность $B$-модулей
\begin{equation}\label{2.seq}
\begin{CD}
I/I^2 @>>> \Omega(A/C) \otimes_A B @>>> \Omega(B/C) @>>> 0,
\end{CD}
\end{equation}
где отображение слева -- ограничение на $I$ универсального
дифференцирования $d:A \to \Omega(A/C)$.
\end{enumerate}
\end{prop}

Геометрически, если $X = \Spec A$ и $Y = \Spec B$, то первый пункт
описывает отображение $X \to Y$ -- причем в приложениях оно обычно
сюръективное -- а второй пункт описывает замкнутую подсхему $Y
\subset X$.

\proof{} Чтобы доказать, что \eqref{1.seq} точна, достаточно
доказать, что для любого $A$-модуля $M$ точна последовательность
$$
\begin{CD}
0 @>>> \Hom_A(\Omega(A/B),M) @>>> \Hom_A(\Omega(A/C),M) @>>>
\Hom_B(\Omega(B/C),M),
\end{CD}
$$
которая по определению равна
$$
\begin{CD}
0 @>>> \Der_B(A,M) @>>> \Der_C(A,M) @>>> \Der(B,M).
\end{CD}
$$
Это очевидно: точность слева просто дана, т.к. и $\Der_B(A,M)$, и
$\Der_C(A,M)$ -- подмодули в $\Der(A,M)$, а точность в среднем члене
значит, что $C$-линейное дифференцирование $B$-линейно тогда и
только тогда, когда оно индуцирует тривиальное дифференцирование из
$B$ в $M$ (это упражнение~\ref{lin.der}).

Аналогично, точность \eqref{2.seq} эквивалентна точности
$$
\begin{CD}
0 @>>> \Der_C(B,M) @>>> \Der_C(A,M) @>>> \Hom_B(I/I^2,M);
\end{CD}
$$
здесь точность в среднем члене эквивалентна тому, что $C$-линейное
дифференцирование $D:A \to M$ пропускается через $B = A/I$ тогда и
только тогда, когда оно обращается в ноль на $I$.
\endproof

\begin{rem}
С общегомологической точки зрения, это Предложение выглядит
некрасиво: во-первых, хочется обе точные последовательности
рассмотреть как частные случаи какой-то одной, более
фундаментальной, а во-вторых, хочется понять, насколько
последовательности не точны слева. Все это действительно можно
сделать с помощью теории так называемого {\em кокасательного
комплекса} -- обобщения модуля дифференциалов. Но это по понятным
причинам откладывается на следующий семестр.
\end{rem}

\begin{exc}\label{diff}
Пусть $k$ -- поле; вычислите $\Omega(A/k)$, где $A$ равно
\begin{enumerate}
\item $k[x]$,
\item $k[x_1,\dots,x_d]$,
\item $k[x]/(x^n)$, $n \geq 2$ (рассмотрите случаи $\cchar k = 0$ и
$\cchar k > 0$.
\end{enumerate}
\end{exc}

\begin{exc}
Пусть $S \subset A$ -- мультипликативная система в кольце
$A$. Докажите, что $\Omega(A[S^{-1}]/A) = 0$.
\end{exc}

\subsection*{Модуль дифференциалов и ветвление}

Покажем теперь, как модуль дифференциалов помогает описывать
ветвление (а также вычислим модуль дифференциалов в некоторых
простых, но нетривиальных случаях). Общая теорема здесь такая.

\begin{prop}
Пусть дан морфизм $f:A \to B$, и пусть $A$ нетерово, а $B$ --
конечно-порoжденная $A$-алгебра. Тогда $f$ неразветвлен тогда и
только тогда, когда $\Omega(B/A)=0$.
\end{prop}

\proof{} Напомним, что $f$ по определению неразветвлен тогда и
только тогда, когда $B_1=B \otimes_A B$ разлагается в прямую сумму
$B \oplus B'$, где $B' = I$ -- ядро диагонального отображения $B
\otimes_A B \to B$. В такой ситуации, очевидно, $I^2=I$, а потому
действительно $\Omega(B/A)=I/I^2=0$. Наоборот, пусть
$\Omega(B/A)=0$; тогда $I=I^2$, и, по (слегка обобщенной) Лемме
Накаямы, существует такой элемент $b \in B_1$, что $b = 1 \mod I$ и
$bI=0$. В чстности, $b(1-b)=0$, откуда $b^2 = b$, $(1-b)^2=a-b$, и
$B_1 = bB_1 \oplus (1-b)B_1$, причем $(1-b)B_1=I=B'$, а $bB_1 \cong
B$.
\endproof

\begin{corr}
Пусть $B = A[x]/(P(x))$. Тогда $B/A$ неразветвлено тогда и только
тогда, когда $P(x)$ взаимно-просто с производной $P'(x)$.
\end{corr}

\proof{} Применяя последовательность \eqref{2.seq}, получаем точную
последовательность
$$
\begin{CD}
B @>>> B = \Omega(A[x]/A) \otimes_A B @>>> \Omega(B/A) @>>> 0,
\end{CD}
$$
причем левое отображение -- умножение на $P'(x) \in B$. Правая часть
равна нулю тогда и только тогда, когда это отображение сюръективно,
т.е. $1 = P'(x)\mod P(x)$.
\endproof

Мы это утверждение уже видели -- хотя и не вполне доказали -- когда
вычисляли дискриминант. Теперь мы его и доказали.  Заметим, что, 
поскольку $B=A[x]/(P(x))$, $\Omega(B/A)$ есть фактор свободного модуля 
ранга $1$, т.е. $\Omega(B/A) = B/I$ для какого-то идеала $I$. Этот идеал
называется {\em дифферентой}. В теории чисел дифференту обычно
вводят тогда же, когда и дискриминант, и говорят, что и то, и другое
измеряет ветвление (причем дифферента измеряет его более точно). С
общей точки зрения, это отчасти правда, но надо понимать, что
дифферента как идеал существует только из-за того, что $B$ порождено
над $A$ одним элементом. Более правильный объект -- это модуль
$\Omega(B/A)$.

\subsection*{Дифференциалы и регулярность}

Пусть теперь дана конечно-порожденная целостная алгебра $A$ над
полем $k$ характеристки $0$. Главное, по-видимому, применение модуля
дифференциалов в алгебраической геометрии такое.

\begin{lemma}
Замкнутая точка $x \in X = \Spec A$ неособая тогда и только тогда,
когда локализация $\Omega(A/k)_{\m}$ модуля дифференциалов
$\Omega(A/k)$ в максимальном идеале $\m$ точки $x$ -- свободный
модуль над $A_\m$. Ранг этого модуля в такой ситуации равен $\dim
A$.
\end{lemma}

\begin{rem}
Как мы уже говорили, более научно это называется {\em модуль
$\Omega(A/k)$ плоский в $x \in X$}.
\end{rem}

\proof{} Заменим $A$ на локализацию $A_\m$. Тогда $\Omega(A_\m/k) =
\Omega(A/k) \otimes_A A_\m$ конечно порожден, и надо проверить,
свободен ли он. Поскольку $\Hom_k(\Omega(A/k),k) = \Der_k(A,k) =
(\m/\m^2)^*$, имеем $\Omega(A/k) \otimes_A k = \m/\m^2$ (это частный
случай точной последовательности \eqref{2.seq}, которая в этом
случае точна и слева). Поэтому по Лемме Накаямы, модуль
$\Omega(A/k)$ можно породить над $A$ самое меньшее $d = \dim
\m/\m^2$ образующими. Он свободен тогда и только тогда, когда между
ними нет соотношений. Поскольку алгебра $A$ целостная, достаточно
проверить, что соотношений нет над $K = \Frac(A)$; для этого надо
проверить, что $\dim_K \Omega(A/k) \otimes_A K = d$.

Возьмем теперь $\m$-примарный идеал $I \subset A$, порожденный $n =
\dim A$ элементами $a_1,\dots,a_n$, и рассмотрим подалгебру
$A'=k[a_1,\dots,a_n] \subset A$. Тогда $K$ есть конечное расширение
поля $K'=\Frac(A')$. Т.к. $\cchar k =0$, это расширение
неразветвленное; применяя \eqref{1.seq} к $K/K'/k$, получаем
$$
\dim_K \Omega(K/k) \leq \dim_{K'}\Omega(K'/k) 
= \dim_{K'}\Omega(A'/k) \otimes_{A'} K' = n,
$$
и $\Omega(A/k)$ свободен тогда и только тогда, когда $d=n=\dim A$.
Это определение регулярности.
\endproof

Надо сказать, что любое из двух условий -- целостность $A$ и $\cchar
k =0$ -- на самом деле можно отбросить. Оба отбросить нельзя (чтобы
понять, почему, решите Упражнение~\ref{diff}~\thetag{iii}).

\subsection*{Теорема Коэна}

Наконец, в завершение лекции, докажем теорему И.С. Коэна (в
предположении характристики $0$).

\begin{prop}
Пусть $A$ -- полное локальное кольцо с максимальным идеалом $\m
\subset A$ и полем вычетов $K = A/\m$ характеристики $0$, и пусть
$A$ содержит какое-то поле $k$. Тогда $A$ содержит и поле
коэффициентов $K \subset A$.
\end{prop}

\proof{} Переформулируем ситуацию: нам дано подполе $k \subset K$, и
отображение $\phi:k \to A$, причем диаграмма
$$
\begin{CD}
k @>{\phi}>> A\\
@VVV @VVV\\
K @= A/\m
\end{CD}
$$
коммутативна. Нам надо продолжить $\phi$ до отображения $\phi_1:K
\to A$, тождественного по модулю $\m$. Скажем, что подполе $K_1
\subset K$, содержащее $k$, {\em хорошее}, если для любого подполя
$K_2 \subset K_1$, $k \subset K_2$, любое отображение $\phi_2:K_2
\to A$, продолжающее $\phi$ и тождественное по модулю $\m$,
продолжается до отображения $\phi_1:K_1 \to A$ с теми же
свойствами. Тогда $k$ по определению хорошее (условие пусто), и по
Лемме Цорна, существует максимальное хорошее подполе $K_1 \subset
K$. По определению, $\phi$ можно продозжить до отображения
$\phi_1:K_1 \to A$. Мы хотим доказать, что $K_1 = K$.

Действительно, пусть это не так. Возьмем какой-нибудь элемент $x \in
K$, $x \not\in K_1$. Тогда если $x$ трансцендентно над $K_1$, то
можно продолжить $\phi_1$ на $K_1(x) \subset K$, переведя $x$ в
любое $a \in A$, $a = x \mod \m$. Поскольку $K_1$ максимально,
такого не может быть, а стало быть, $x$ алгебраично над $K_1$, и
$K_1\langle x \rangle \subset K$ изоморфно $K_1[x]/(P(x))$. Теперь
надо применить следующую важную Лемму.

\begin{lemma}
Пусть дана коммутативная диаграмма
$$
\begin{CD}
K @>{\phi}>> B\\
@VVV @VVV\\
K[x]/(P(x)) @>{\phi}>> B/I
\end{CD},
$$
где $K$ -- поле, $B$ -- кольцо, а $I \subset B$ -- идеал с квадратом
$0$. Тогда если $K[x]/(P(x))$ неразветвлено над $K$, то существует
диагональное отображение $\phi':K[x]/(P(x)) \to B$, делающее
диаграмму коммутативной.
\end{lemma}

\begin{rem}
Научное название этого свойства такое: $K[x]/(P(x))$ {\em формально
гладко} над $K$.
\end{rem}

\proof{} Выберем любое $b \in B$, равное $\phi(x)$ по модулю $I$, и
переведем $x$ в него. Получим отображение $\phi':K[x] \to B$. Надо
подправить его так, чтобы $\phi'(P(x))=0$. Поскольку мы не можем
менять $\phi' \mod I$, мы можем только добавить к нему какое-то
дифференцирование $D:K[x] \to I$, которое к тому же должно быть
$K$-линейным. Такое дифференцирование однозначно задается тем, куда
переходит $x$. Если $x$ переходит в какое-то $b' \in I \subset B$,
то по правилу Лейбница получаем
$$
(\phi'+D)(P(x)) = P(b) + P'(b)b_1.
$$
Поскольку $K[x]/(P(x))$ неразветвлено над $K$, $P(x)$ и $P'(x)$
взаимно просты, и это уравнение всегда можно разрешить.
\endproof

Применяя эту Лемму несколько раз по индукции, мы видим, что условие
$I^2=0$ можно заменить на $I^n=0$; переходя к пределу, можно просто
предполагать, что $B$ полно в $I$-адической топологии. Теперь мы
немедленно можем закончить доказательство Предложения: поскольку по
условию $\cchar K_1=0$, любое его алгебраическое расширение
неразветвлено.
\endproof

\end{document}
