\documentclass[12pt,leqno]{article}

\usepackage{amsmath,amsfonts,amscd,amssymb,theorem}

\addtolength{\topmargin}{-23mm}
\addtolength{\textheight}{60mm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-20mm}
\addtolength{\textwidth}{40mm}

%%%%%  Theorem style with a dot at the end of the header

\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@dotted{\normalfont\itshape
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}}
\endgroup
\makeatother

\theoremstyle{dotted}

\newtheorem{thm}{�������}[section]
\newtheorem{lemma}[thm]{�����}
\newtheorem{prop}[thm]{�����������}
\newtheorem{corr}[thm]{���������}
\newtheorem{exc}{����������}[section]
\newtheorem{sch}[thm]{����}

%%%%%  Same for definitions

\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@upshape{\normalfont
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}}
\endgroup
\makeatother

\theoremstyle{upshape}

\newtheorem{opr}[thm]{�����������}
\newtheorem{rem}[thm]{���������}

%%%%% ������

\makeatletter
\@addtoreset{equation}{section}
\makeatother
\renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}}

\newcommand{\proof}[1][��������������.]{\smallskip\noindent{\em #1}}
\def\endproof{\hfill\ensuremath{\square}\par\medskip}

\renewcommand{\labelenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}}
\renewcommand{\theenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}}

\def\eqref#1{\thetag{\ref{#1}}}
\def\eps{\varepsilon}
\def\phi{\varphi}
\def\wt{\widetilde}
\def\wh{\widehat}

\let\latexref=\ref
\def\ref#1{{\normalfont{\latexref{#1}}}}

\setlength{\unitlength}{1pt}
\newcommand{\idot}{{\:\raisebox{1pt}{\text{\circle*{1.5}}}}}
%
% The dot which looks good as index for homology groups
%
\newcommand{\hdot}{{\:\raisebox{3pt}{\text{\circle*{1.5}}}}}
%
% Same for cohomology
%

%%%%% �����

\newcommand{\C}{{\mathbb C}}
\newcommand{\Z}{{\mathbb Z}}
\newcommand{\R}{{\mathbb R}}
\newcommand{\Q}{{\mathbb Q}}

\newcommand{\A}{{\mathbb A}}

\newcommand{\m}{\mathfrak m}
\newcommand{\aA}{\mathfrak a}
\newcommand{\pp}{\mathfrak p}
\newcommand{\qq}{\mathfrak q}
\newcommand{\bb}{\mathfrak b}

\newcommand{\calo}{{\mathcal O}}
\newcommand{\F}{{\mathcal F}}

\newcommand{\Hom}{\operatorname{{\sf Hom}}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{{\sf Sym}}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{{\sf Id}}}
\newcommand{\id}{\operatorname{{\sf id}}}

\newcommand{\hhom}{\operatorname{{\mathcal H}{\it om}}}

\renewcommand{\Im}{\operatorname{{\sf Im}}}
\newcommand{\Ker}{\operatorname{{\sf Ker}}}
\newcommand{\Coker}{\operatorname{{\sf Coker}}}

\newcommand{\Aut}{\operatorname{{\sf Aut}}}
\newcommand{\Der}{\operatorname{{\sf Der}}}

\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Max}{\operatorname{Max}}
\newcommand{\Ass}{\operatorname{Ass}}
\newcommand{\Supp}{\operatorname{Supp}}
\newcommand{\Frac}{\operatorname{Frac}}

\newcommand{\Shv}{\operatorname{Shv}}
\newcommand{\PShv}{\operatorname{PreShv}}
\newcommand{\Et}{\operatorname{\text{\'Et}}}

\renewcommand{\dim}{\operatorname{{\sf dim}}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{{\sf rk}}}
\newcommand{\ev}{\operatorname{{\sf ev}}}
\renewcommand{\deg}{\operatorname{{\sf deg}}}
\renewcommand{\det}{\operatorname{{\sf det}}}

\newcommand{\disc}{\operatorname{{\sf disc}}}
\newcommand{\Ann}{\operatorname{{\sf Ann}}}
\newcommand{\Res}{\operatorname{{\sf Res}}}
\newcommand{\tr}{\operatorname{{\sf tr}}}
\newcommand{\gr}{\operatorname{{\sf gr}}}
\newcommand{\htt}{\operatorname{{\sf ht}}}
\newcommand{\ppt}{\operatorname{{\sf pt}}}
\newcommand{\cchar}{\operatorname{{\sf char}}}

\def\ds{\displaystyle}

\newcommand{\6}{\partial}

%%%%% Pagestyle

\pagestyle{myheadings}

\markboth{�������� � �������������� ��������� -- ������ � ��� ����,
����� 2005}{�������� � �������������� ��������� -- ������ � ���
����, ����� 2005}

\begin{document}

\setcounter{section}{6}
\stepcounter{section}
\section*{������ 7.}

\begin{center}
\begin{minipage}{0.7\linewidth}\small
����� � �������� � ����. �������� ������������ �����;
��������������� �����. ����������� �����.
\end{minipage}
\end{center}

\subsection*{����� �� �������������� �������������}

��������� 6 ������ �� ������� ������������� �������� �����, �.�., �
��������, �� �������������� ���������, � �������������
�������. ������� �� ������ ��������� �� �������� ������
������������, �� ����������� �������� ����� (� ������ � ����������
�������� ���������� �������������� ����������). ��� �����
������������ ������� ��� ���������� {\em ������}.

����� ���� �������������� ������������ $X$.

\begin{opr}
{\em ���������� (��������)} $\F$ �� $X$ ���������� ����� ���������
������:
\begin{enumerate}
\item ��������� $\F(U)$ ��� ������ ��������� ������������ $U \subset
X$, ���������� {\em ���������� �������} $\F$ �� $U$,
\item ����������� $\F(U_1) \to \F(U_2)$ ��� ����� ���� ���������
�������� �������� $U_2 \subset U_1 \subset X$, ���������� {\em
������������ �����������}.
\end{enumerate}
��� ������ ������ ������������� ���������� �������: ���� ���� ���
��������� �������� ��������� $U_1 \subset U_2 \subset U_3 \subset
X$, �� ���������� ����������� ����������� $\F(U_3) \to \F(U_2) \to
\F(U_1)$ ����� ����������� ����������� $\F(U_3) \to \F(U_1)$. ����
�� ���� $\F(U)$ ������ �������������� �������������� ��������� --
������, ������ � �.�. -- ������ ����������� ����������� ������� ���
���������, �� $\F$ ���������� {\em ������ �����, ����� � �.�.}
\end{opr}

������� ����� ����������� �����. � ������� ������������ ������
������ ������� �� ������������� -- $C^\infty$, $C^k$ ��� ������-��
$k$, ����������� � �.�. ����� ���� ������������� �������,
������������ ������ �������� -- �� �����-�� ��������
������������. ��� ��� ������������ ������� ������������ �
���������. �� ���� �������� �������, ��������� �������������
������������� ������� ����� ������-�������, � ������ ����������
�������, ������� ���������� ��������� ��� �� � ����� ������ ��
��������. ������ ����� ����� ��, ��� � ���� �� �������� �����
�������� ��������. � ��������� ������ �. ���� -- �� �������, ���� �
�������� ���������� -- �������, ��� ����� � ����� ��������� ��������
����������� �� ������� �������: ������������� �������, � ��������
����� �������� ��������, �� ������� ���� �� ������������
���������. ����� ����������������� ��������, �� ���� �������
��������� -- � ����� ����, ���������, ��� ����� ���������� �������
��� ������� �����.

\begin{opr}
��������� $\F$ �� �������������� ������������ $X$ ���������� {\em
������}, ���� ��������� ��������� ��� �������:
\begin{enumerate}
\item ��� ������ ��������� �������� $U_\alpha$ ���������
������������ $U \subset X$, ����� ������� $f,f' \in \F(U)$, �������
����� ����� ����������� �� ��� $U_\alpha$, ����� � ��� ��������
$\F(U)$,
\item ����� ���� �������� �������� $U_\alpha$ ��������� ������������
$U \subset X$, � �� �������� $f_\alpha \in \F(U_\alpha)$, � �����
��� ����� $\alpha, \beta$, ������� $f_\alpha$ ����� $f_\beta$ �����
����������� �� $U_\alpha \cap U_\beta$. ����� ���������� --
������������ � ���� \thetag{i} -- ������� $f \in \F(U)$, ������� ���
������ $\alpha$ ���� $f_\alpha$ � ����������� �� $U_\alpha$.
\end{enumerate}
���������, ������� ������������� ������ \thetag{i}, ���������� {\em
��������� ����������}.
\end{opr}

���� $\F$ - ��������� �������� �����, �� ��� ��� ������� �����
��������� ����������������� �� ����� ������ �������������������. �
������, ����� ���� �������� �������� $U_\alpha$ ���������
������������ $U \subset X$. ����� ����� �����������
������������������
\begin{equation}\label{exx}
\begin{CD}
0 @>>> \F(U) @>>> \bigoplus_\alpha \F(U_\alpha) @>>>
\bigoplus_{\alpha,\beta} \F(U_\alpha \cap U_\beta)
\end{CD}
\end{equation}
�������� �����, ��� ����������� ������ ���������� �� {\em ���������}
���� ����������� ����������� $\F(U_\alpha) \to \F(U_\alpha \cap
U_\beta)$, $\F(U_\beta) \to \F(U_\alpha \cap U_\beta)$. � ����
����������� ���������, ���������� ����� ���� ����������� �
\eqref{exx} ����� $0$; � ����� ������, ��� ������� ����� \thetag{i}
������������ ����, ��� \eqref{exx} ����� �����, � \thetag{ii} --
����, ��� \eqref{exx} ����� � ������� �����. ��� ������ ��������
���� ����� �������� �������� ����������������, ��������� ���������
������������ ������ ������� ������ ����� ������������������
(�.�. ``��������� ����������''), �� ��� ��� �� �����������.

��������, ��� ����������� ����������� �� �������� ����������� $X$ �
�����-�� �������������� ������������ $Y$ �������� �����; �
���������, ����������� $\R$-������� ������� �� $X$ �������� �����
�����, � �.�. �������� ��������� ����� � ��������� ������ ���������
����� �����.

\begin{exc}
����� ���� ����������� ����������� $f:Y \to X$. ����� �����������
������� $U \subset X$ ��������� ����������� ������� $U \to Y$
����������� $f:f^{-1}(U) \to U$, �������� ��������� �������� ��
$X$. ��������, ��� ��� ����� (�� ���������� {\em ������ �������}
����������� $f$).
\end{exc}

��������������, � ������� ������� �������� ����� -- ������ ��������
���������� ������ �������� � �����������, ���� ������� � ������ ����
�������������� ������������ $Y$ � ���� ����������� $f$. ������� �
����������� ����� ������, ����� �����, ���, ��� ����������, �����
����� ����� ����������� ��� ����� �������. ��� ����, ���� ��������
�� $f$ ��������� �������, ����� ������������� ����� ������������ �
������������.

\begin{opr}
����������� ����������� $f:Y \to X$ ���������� {\em ��������}, ����
� ����� ����� $y \in Y$ ���� ����� ����������� $U \subset Y$, ���
$f(U)$ �������, � $f:U \to f(U)$ -- ������������.
\end{opr}

\begin{prop}\label{et}
����� $\F$ -- ����� �������� �� �������������� ������������
$X$. ����� ���������� ����� �������������� ������������ $\Et(\F)$ �
�������� ��������� $p:\Et(\F) \to X$, ��� $\F$ ��������� �����
������� ����������� $p$. ����� ����, ����� ���� $\langle
\Et(\F),p\rangle$ ����������� � ��������� �� �������������
�����������.
\end{prop}

\proof{} ���������� ��������� �����������
$$
\wt{X} = \coprod_{U \subset X} U \times \F(U)
$$
�� ���� �������� ������������� $U \subset X$ (����� $\F(U)$
��������������� � ���������� ����������, �.�. �� ����, �� �����
��������� ����������� ���� $U$, ������ ������ ������� ������� ���,
������� ��������� � $\F(U)$). ����� ��������� ����������� ��������
����������� $\wt{p}:\wt{X} \to X$, $\wt{p}(u \times f)=u$. ���������
��������� ��������������� �� $\wt{X}$ ��������� �������:
\begin{itemize}
\item $u \times f \sim u' \times f'$, $u \in U$, $u' \in U'$, ����
$u=u' \in X$, � ��� �����-�� ��� �������� ����������� $V \subset U
\cap U' \subset X$, $f|_V = f'|_V$.
\end{itemize}
����� ���������, ��� ��� ������������� ���������
���������������. ������� � �������� $\Et(\F)$ ������������������
$\wt{X}$ �� ����� ��������� ���������������, ������ �
����������������: ������������ $U \subset \Et(\F)$ ������� ����� �
������ �����, ����� ��� �������� $\pi^{-1}(U) \subset \wt{X}$ ���
������������ ����������� $\pi:\wt{X} \to \Et(\F)$ ������. ��
����������� $\sim$, ������������ ����������� $\wt{p}:\wt{X} \to X$
������������ ����� ����������� $p:\Et(\F) \to X$.

��������� $\wt{p}$ ����������, $p$ ���� ����������: ��� ������
��������� $U \subset X$, ������������ $\pi^{-1}(p^{-1}(U)) = \wt{p}^{-1}(U)
\subset \wt{X}$ �������, � ������ $p^{-1}(U) \subset \Et(\F)$ �������
�� ����������� ���������������. ����� ����, ��� ������ $U \times f
\subset \wt{X}$ ������������
$$
\pi^{-1}(\pi(U)) = \coprod_{U' \subset X} U \cap U
$$
�������, � ������ $\pi(U) \subset \Et(\F)$ �������. ��������� $\wt{p}$
��������� � ����������� �� $U$, ����������� $p$ ��������� � ����������� ��
$\pi(U)$, � ��� ����� $p:\Et(\F) \to X$ �������.

����� ������ ���� �������� $U \subset X$. ����� ����� $f \in \F(U)$
�� ����������� ���� ������� ����������� $\wt{p}$, � �������������, �
$p$. ��������, ����� ���� ������� $f:U \to \Et(\F)$ �����������
$p$. ����� ��� ������ $x \in U \subset X$, $f(x) \in \Et(\F)$
��������� �� ������-�� $V \times f_x \subset \wt{X}$, ������, ��� ��
��� ��������, $\pi(V \times f_x) \subset \Et(\F)$ �������. �������
$U_x=f^{-1}(\pi(V \times f_x)) \subset U$ -- �������� �����������
$x$, � ��� $f$ -- ������� $p$, ��� ������ $x' \in U_x$ ����� $f(x')
\in p^{-1}(x') \cap \pi(V \times f_x) = \pi(x' \times f_x)$. ����,
$f = f_x$ �� $U_x$ ��� ������-�� $f_x \in \F(U_x)$. ��� $f_x$
�������� ����������� �� ������������, �, � ���� ������ �����, ��
����� ������������ ������� ������� � ���� ������� $f \in \F(U)$.

�������, ����� �������� ��������������, �����������, ��� $\F$ ����
����� ������� ���������� ��������� ����������� $q:Y \to X$. �����
����� ��������������� ����������� $\tau:\Et(\F) \to Y$, $u \times f
\mapsto f(u)$. ����� ����, ��� ����� ����� $y \in Y$ �� �����
������� �������� ����������� $V \subset Y$, ��� ������� $q:V \to
q(V)$ ���� ������������. ����� �������� ����������� $f:q(V) \to V
\subset Y$ ���� ����������� ������� $q$, � ������ ������ ������� $f
\in \F(q(V))$ � ����� $y'=q(y) \times f \in q(V) \times \F(q(V))
\subset \wt{X}$. ����� ������, ��� $\tau(y')=y$, � ��� ����� ������
����� � ���� ��������� ������������ $y'$. ������� $\tau:\Et(\F) \to
Y$ ��������� �, ������ �� ���������� ��������� ��������������, ����
����� � ���������� ������������.
\endproof

������������ $\Et(\F)$ ���������� {\em �������� ������������� �����}
$\F$. ��� ������ ������ ��������� ��� ���������� ������ ������.
���, �������, ��� � ����������� ��������� ������������ �� ����� ��
������������ ��, ��� $\F$ ����� -- ��� ����� ��� �� �������� ���
����������.

\begin{opr}
����� $\F$ -- ��������� �� $X$. {\em ��������������� ������} $a(\F)$
��������� $\F$ ���������� ����� ������� ��������� ������������
$\Et(\F)$.
\end{opr}

�� ����������� $\Et(\F)$, �� ������ ����� ������������ ����������� $\F
\to a(\F)$, �� ��� � ����� ������ �� ���������� (�� ����� ����,
��������� $a(\F)$ �� ����� �����, $\F \cong a(\F)$ ����� �����,
����� ��� $\F$ ��� ������).

\begin{exc}
����� $\F$ -- ��������� ����� (��� �����). ��������, ��� ������ ��
$a(\F)$ ��������� ��������� ����� (��� �����).
\end{exc}

\medskip

����� ����, ������� -- ��� ��� ����������� � ����� ������ -- ��� �
����������� ��������� � ����� �� ����������� ���� ������������� {\em
���} �������� ������������ $U \subset X$. � ������, �����������, ���
���� ���� $S$ ��������� �� $X$ (�.�. ����� ����� ��������
�����������, ��������� ������������ �������� �����������, ��� �����
�������� $U \subset X$ ���� ����������� �����-�� $U_\alpha \in
S$). ����� ������� ��������� � ����� verbatim ����������� �
��������, ����� ��������� ������� $\F(U)$ ������ ������ ��� $U \in
S$. ����� ����������� �� ����� �������� {\em �����������} � {\em
�������} �� $S$. ��� ���, ���������� ��������������
�����������~\ref{et}, �� �����, ��� ��� ��������� ��� �� ��������
��� ���������� � ������ �� ����. �.�. �� ������� ��������� $\F$ ��
$S$ �� ����� ��������� �������� ������������ $\Et(\F)$, � ���� $\F$
��� ������, �� $\F(U)$ ��������� ��������� ������� $\Et(\F)$ ��� $U$
��� ������ $U \in S$. ��� �����, � ���������, ����� ����� �� $S$
����������� � ������������ ������� ������������ �� ����� �� $X$ (�
��� ���������� ���, ����������, �������).

\medskip

����� ����������������� ��������, ������� ������������ ����������
����. �� ������� ��������������� ����������� $X$ �� ������ ���
���������: ��������� ���������� �� $X$ (��������� �� $\PShv(X)$),
��������� ������ �� $X$ (��������� �� $\Shv(X)$) � ���������
�������������� ����������� $Y$, ���������� �������� ��������� � $X$
(��������� �� $\Et(X)$). �����������~\ref{et} ����������, ���
��������� $\Et(X)$ � $\Shv(X)$ ������������: ��������������� � ����
������� ������������ ������������ $Y \in \Et(X)$ ��� ����� �������,
��������������� � ������ ������� ������������ ����� $\F \in \Shv(X)$
��� �������� ������������ $\Et(\F) \in \Et(X)$. ����� ����, �� �����
������� ��������� $\Shv(X) \to \PShv(X)$ (����� ����� �
������������� ��� ��� ���������), � ������� ���������������� �����
$a:\Shv(X) \cong \Et(X) \to \PShv(X)$.

\begin{exc}
��������, ��� ������� ��������� � ������� ���������������� �����
{\em ���������}; � ������, ��������, ��� ��� ����� $\F \in \Shv(X)$,
$\F' \in \PShv(X)$ ������� ������������ ��������������
$$
\Hom_{\PShv(X)}(\F',\F) \cong \Hom_{\Shv(X)}(a(\F'),\F).
$$
\end{exc}

������������ �������� ��������� ������������ �� �������� ������,
��������� ������ ��� ���������� ����� �������. � ���������, ���� $Y$
-- �������������� ������������, � $\F$ -- ����� ����������� $U \to
Y$, �� $\Et(\F) = X \times Y$ ������ ���� $Y$ ����������. � ����,
��������, $Y = \R$ � ������������ ����������, ��� ��� $\F = C^0(X)$
���� ����� ����������� $\R$-������� ������� �� $X$, �� $\Et(\F)$ ���
��������� �������� �������������� ������������, ������� �������
������, ��� $X \times \R$ (������������ ����� ���, �.�. ���� $\F$ �
���� ����� ������� ������������ �������� $X \times \R \to X$, ���
�������� ��������� ������� �� �������). 

��� �� �����, ��� ``���������'' ������ �������� ������������ �����
����� ���������� ������. � ���������, ����� ������� ������ �����
�����. ����� $C$ -- ��������� (��� ������, ��� ������, �
�.�.). ����� ����� ���������� ���������� ��������� $C'_X$ �� $X$,
������ ������� $C'_X(U)=C$ ��� ������ $U$ (� ��� �����������
����������� -- �������������).

\begin{opr}
���������� ����� $C_X$ -- ��� �����, ��������������� � ����������
$C'_X$.
\end{opr}

\begin{exc}
��������� �������� ������������ $\Et(C_X)$ � ��������� �������
$C_X(U)$ ��� ������ $U \subset X$. � ���������, ��������� ������
������ $U$ � ����� $X$, ��� $C_X(U) \neq C$.
\end{exc}

� ��������� ����� ����� ������������ �������� ���������� ������,
���������� {\em �������� ����������� �������}, ��� {\em ����������
���������}: �������, ��� ����� $\F$ �� $X$ �������� ���������, ����
� ������ ����� $x \in X$ ���� ����� ����������� $U \subset X$, ���
$\F|_U$ -- ���������� ����� (����� $\F|_U$ -- ����������� ����� $\F$
�� $U$ -- ������������ ��������������: �� ������ �������� ��� ���
�������� $V \subset X$, ������� �� ����� ������� � $U$). ��������
������������ �������� ����������� ����� -- ��� ��, ��� � ���������
���������� {\em ���������} $X$.

������ �������� ����� ������ ����� �����. ����� $x \in X$ -- �����
��������������� ������������ $X$, � $C$ -- �����-�� ��������� (���
������� ������).

\begin{opr}
{\em �����-���������} $C_x$, ��������������� � ����� $x \in X$,
������������ ���
$$
C_x(U) = \begin{cases}
C, &\qquad x \in U,\\
\ppt &\qquad x \not\in U.
\end{cases}
$$
(����� $\ppt$ -- ��������� �� ������ ��������.)
\end{opr}

\begin{exc}
����� $X=\R^1$, $x = 0 \in \R$, � $C = \Z/2\Z$. ������� ��������
������������ $\Et(C_x)$. ����������� �� ���?
\end{exc}

\subsection*{�������� � �������}

������ ������ �������, ������� ����� ����� ������� ����� ��������
������������, ��� ������� ���� �����.

\begin{opr}
{\em �����} $\F_x$ ����� $\F$ �� $X$ � ����� $x \in X$ ����������
���� $p^{-1}(x) \subset \Et(X)$ ��� $x$ ������������ ��������
$p:\Et(\F) \to X$.
\end{opr}

��������� $\Et(\F)$ -- �������������� ������������, $\F_x$ ����
��������� ���������, �� ����� ������, ��� ��� ��������� �� �����
���� ����������. ����� ������� $\F_x$ ����� ������� ���:
\begin{equation}\label{stalk}
\F_x = \lim_{\underset{x \in U \subset X}{\to}}\F(U).
\end{equation}
����� �������, ������� $\F_x$ ��� ������� $\F$ �� �����-��
����������� $U \subset X$ ����� $x$, ������ ��� ������� ������ ����
������� ����� � ������ �����, ����� ��� ��������� �� �������
�����������. ������� ��� �������� $\F_x$ ��� ������� ��� ���
``������ �������'' $\F$ � ����������� $x \in X$.

\begin{rem}[�����������������]
������ ��-��������� ����� germ (��� ��� ��� ������ ``������'', ``�������''
-- � ����� ``������'', �� ��� � ���� ��������� �� �����). ���� �����
���������� stalk; ��� �������� ���������� �� ������� ���
``�������'', �� ������ �� ��������. ��� ���� ��� ����� ����� sheaf
-- ������� ������������ faisceaux -- ��� ������ ������ �� ``�����'',
� ``����'', ��� ``������''. ����� �������� ��������, � �����������
��������� ���� ������������ ������ pencil, ������� �� ������� ����
������-�� ����������� ����������� ��� ``�����'' (�� � �������, ���
���� ���� ������ �� �����������).
\end{rem}

��������� ����� ������� �����. ����� ���� ���������� �����������
$f:Y \to X$ � ����� $\F$ �� $X$.

\begin{exc}
��������, ��� ��� ������ $Z \in \Et(X)$, ����������� ������������ $Z
\times_X Y$ ������ � ��������� �� ������ ����������� ���� ������ �
$\Et(Y)$.
\end{exc}

\begin{opr}
{\em �������� �������}, ��� {\em ����������}, ��� {\em ������������}
$f^{-1}(\F)$ ����� $\F$ �� $Y$ ���������� ����� ������� ���������
������������ $\Et(\F) \times_X Y \in \Et(Y)$.
\end{opr}

���� $Y = \{x\}$ -- ��������� �� ����� ����� $x \in X$, �� �����
(��������, �����, ����� � �.�.) �� $Y$ -- ��� ������ ���������,
������, ������ � �.�. ����� ����������� $\F$ �� $Y$ -- ��� ��� ����
� ����� $x$.

�� ����� ������ � �������� ��������, �������� ����� ����������� ���:
$$
f^{-1}(\F)(U) = \lim_{\underset{V \supset f(U)}{\to}} \F(V).
$$
��� ������ ��������� ������� \eqref{stalk}. �������������� ��
��������� � �������� (���������������) ���������; ��� ����������
���� �� ��������, ��� �������������� �����������~\ref{et}.

\begin{exc}
��������, ��� �������� $f^{-1}(C_X)$ ����������� ����� $C_X$ --
���������� ����� $C_Y$.
\end{exc}

������� ��������� ������ ����� �����, � ���������, ����� ����������
� ��������� ����� ��� � ���������. � ������ ������� ���� ��������
�����; � ������� ������� ����� $\F$ ���� ���� �������� �����, ������
�� ������������ ������� �������� �������� ����� $f^{-1}(\F)$, �
������ ��������� ������ ���������� ��������������� ���������:
������� ����� �������� ����� �����, ����� �������� ����� ���
�������.

\begin{exc}
��������� ������������ �����������
$$
f^*:\F(X) \to f^{-1}(\F)(Y).
$$
\end{exc}

������� ���, ��� ��������� ������� $\F(U)$ ��� $U \subset X$ -- �
���������, $\F(X)$ -- ��� ���������� $\Gamma(U,\F)$, � ���� $\F$ --
����� �������� �����, �� � $H^0(U,\F)$. ��� ������ �� ��������, �
����� ����� ����� ����������� $\F(U)$ ��� ������� �� $\F$.

�� �� ������ ���� � ��������, ����������� � ������ �������: ��������
������� ������. �� ��� ��� ������� ���������� ����� ��������
���������.

\begin{opr}
{\em ������ �������} $f_*(\F)$ ����� $\F$ �� $Y$ ��� �����������
$f:Y \to X$ ���������� �����, �������� ��� $f_*(\F)(U) =
\F(f^{-1}(U))$.
\end{opr}

\begin{exc}
���������, ��� $f_*(\F)$ ������������� �������� �����.
\end{exc}

\begin{exc}
����� $Y = \{x\}$, $x \in X$, � $C$ -- �����-�� ���������,
������������� ��� ����� �� $Y$. ��������, ��� $f_*C = C_x$.
\end{exc}

��� ��, ��� � � �������� �������, ��� ������� ������ �����
������������ �����������
$$
\Gamma(Y,\F) \to \Gamma(X,f_*\F)
$$
�� ��������, ������� � ���� ������ �� ����������� ���� ������
���������� (������� ��� ��, ��� ��� ������� ���������� �������
$\Gamma(X,-)$ ����� ������������� ��� ������ ����� ��� �������� �
����� $X \to \ppt$).

\begin{exc}
���������, ��� �������� $f_*$ � $f^{-1}$ {\em ���������} -- �
������, ��������, ��� ��� ����� $\F \in \Shv(Y)$, $\F' \in \Shv(X)$
������� ������������ ����������
\begin{equation}\label{adj}
\Hom(f^*\F',\F) \cong \Hom(\F',f_*\F).
\end{equation}
\end{exc}

�� ������ ����� �� ������ ���������, ���� ���� ���� �����������
���������, �� ����� �� ��� ���������� ���������� ������ -- �
���������, ����� �������� ���������� ������� $f_*$, � �����
���������� $f^{-1}$ �������� \eqref{adj}. ����� ���� �����������
������ �������� (�� �������� �������� � �� ���������).

\subsection*{����� �������� �����}

����� ������ ������������� �� ������ ����� �� ��������������
������������ $X$, � ����� �������� �����. ����� �����������, ��� �
���� ����� ��������� ��� �� �� ������������ �������� ��������
�������, ��� � ������ � �������� ��� � �������� ��� �������: �����
�����, �����������, ������, ���� � ������ �������������. �����
������, ��� ������� ����� ���������� ����������� ���� ���� ��������
-- ����������� ��� ���������� {\em �������� ���������} (�
������������ ������� � ����������� ��� ����, ����� �����������
�����). �� ��� ��� ���� �� �����������, � �� ��� ����� ������
������.

��� �������� �������� ������� � ����������� �����������
``���������'' -- ��������, ���� ��� ��������� $\F$ � ������������
$\F' \subset \F$, �� ��������������� $\F/\F'$ �� �����������
�������� ��� $(\F/\F')(U) = \F(U)/\F'(U)$. �������� � ���, ��� ��
��� �������� ��������� ������� �����. ������, � ������ ��� �
�������.

\begin{exc}\label{left.ex}
����� $\phi:\F \to \F'$ -- ������� ������ �������� ����� �� $X$;
��������, ��� ��� ���� $\Ker\phi$ -- ���� �����.
\end{exc}

�� ��� �����, ������ � ����������� ����������� ����������� ������
{\em �������}. ����� ������ ������ � ���� �����.

\begin{opr}
����� � ������ ����������� ������ $\phi:\F \to \F'$ �������������
��� �����, ��������������� � ������� � ������� ����� ����������� �
��������� ����������.
\end{opr}

����� ���� ����������� ���������� ����������� ������ � ������, �
����� ��� ����� �� �����������, � �������. �� ������e� �� ���
�������, �� ���� ����� ������ ������������ ��� ���
�����������. �������� ���� ������ ����, ������� �� �����
������������ � ���������� ��� ������� �������� ��������� ������.

\begin{exc}
������� ���������������� ����� �����, �.�. ��������� ������
������������������ � ������ (��������: ��������, ��� �� ������
�����������, ����� ���������� ������ �������� ����� -- ��� ���������
����� ��������������; ����� ����������� ����������~\ref{left.ex}).
\end{exc}

\subsection*{����������� �����}

��� ��������� ����� ����� ��� ����� �� ����� ��������� �� ����
�������������; ���� ��, �������� � ������. � ���������, �� ������
������� ������� ��� ������ ��� �������� �����.

����, ����� ���� ������������� ������ $A$, � ���������� $X = \Spec
A$ � ���������� ����������. ��������, ��� �� $X$ ���� �����������
���� ��������� $S$, ��������� �� �������� ����������� ���� $S_f =
\Spec A[f^{-1}] \subset X$, $f \in A$. ����� $M$ -- �����-��
$A$-������. ��� ������ $f \in A$, ����� ����������� $M_f =
M[f^{-1}]$. ����������� $S_f \mapsto M_f$, �� �������� ��������
��������� �������� ����� �� ���� $S$, ������� �� ���������� �����
$\wt{M}$.

\begin{lemma}
��������� $\wt{M}$ �� $S$ �������� ������ (� � ���������,
����������� ������������ �� ����� �� $X$).
\end{lemma}

\proof{} �� ������������� ��������� ����� � ����� \eqref{exx}. ����,
���� $S_f \subset X$ � ��� �������� �������� $\{S_i\}$ �����������
���� $S_i = S_{f_i}$ (��������, �����������). ��������� �� $f$ �
������� $X$ �� $S_f$, ����� ������������, ��� $S_f=X$. �������
�����, ��� ���� ���� ������, ����� \eqref{exx} ����� �� �����������
�������� -- � ������, ����� ���� $S_f=X$ �������� ����� �� $S_i$. �
����� ������, ����� ��������, ��� \eqref{exx} ����� �����, ���������
����� $N$ ���� ������ �����������. ���������� ��������� $I \subset
A$ ������ $N$. ���� ��������, ��� $N=0$, �.�. $I=A$. �� ���� ��� ��
���, �� $I$ ����� � �����-�� ������� ������ $\pp \subset A$,
���������� ����� $x \in X$. ������� ����� $S_i$, ������� ��������
$x$, � �������� � ����������� �� $f_i$. �� ������ � �������������
����������� �������� -- �������������, ������������������
\eqref{exx} ����� ������, �, ��������� ����������� �����, ��
���������, ��� $N_{f_i}=0$. ������� $f_i \in I$, � ��� ������������.

����� ��������, ��� \eqref{exx} ����� � ������� �����, ����������
����� ��� ��, �� � �������� $N$ ����� ``������ ��������� ���������
\eqref{exx} � ������� �����'' -- �.�. ������ ���� �������
����������� �� ������ ������.
\endproof

\begin{exc}
��������, ��� ���� $\wt{M}_x$ ����� $\wt{M}$ � ����� $x \in X$,
���������� �������� ������ $\pp \subset A$, ����������� ���������
����������� $M_\pp$.
\end{exc}

� ���������, ����� ����� ��������� � $M=A$; ���������� ����� �� $X$
����������� ������������ $\calo_X$ � ���������� {\em ������ �������}
�� $X$. �������, ��� �� ����� ������������ ��������� {\em �����
�����}. ����� $\wt{M}$ ��� ������ $A$-������ $M$ ����� ���������
����� ������� ��� ������ ����� $\calo_X$.

\begin{opr}
{\em ��������-������������� �������������} ���������� ��������������
������������ $X$, ���������� ����� ������ ����� $\calo_X$, ��� ���
������� $x \in X$ ���� $\calo_{X,x}$ -- ��������� ������.
\end{opr}

\begin{opr}
{\em ������} ���������� ��������-������������� ������������ 
$\langle X,\calo_X \rangle$, �������� ���������� $\Spec A$ 
��� �����-�� $A$. ����� $\calo_X$-������� $\F$ �� ����� $X$ 
���������� {\em ����������������}, ���� �� �������� ��������� 
����� ���� $\wt{M}$.
\end{opr}

\end{document}
