\documentclass[12pt,leqno]{article}

\usepackage{amsmath,amsfonts,amscd,amssymb,theorem}

\addtolength{\topmargin}{-23mm}
\addtolength{\textheight}{60mm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-20mm}
\addtolength{\textwidth}{40mm}

%%%%%  Theorem style with a dot at the end of the header

\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@dotted{\normalfont\itshape
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}}
\endgroup
\makeatother

\theoremstyle{dotted}

\newtheorem{thm}{�������}[section]
\newtheorem{lemma}[thm]{�����}
\newtheorem{prop}[thm]{�����������}
\newtheorem{corr}[thm]{���������}
\newtheorem{exc}{����������}[section]
\newtheorem{sch}[thm]{����}

%%%%%  Same for definitions

\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@upshape{\normalfont
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}}
\endgroup
\makeatother

\theoremstyle{upshape}

\newtheorem{opr}[thm]{�����������}
\newtheorem{rem}[thm]{���������}

%%%%% ������

\makeatletter
\@addtoreset{equation}{section}
\makeatother
\renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}}

\newcommand{\proof}[1][��������������.]{\smallskip\noindent{\em #1}}
\def\endproof{\hfill\ensuremath{\square}\par\medskip}

\renewcommand{\labelenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}}
\renewcommand{\theenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}}

\def\eqref#1{\thetag{\ref{#1}}}
\def\eps{\varepsilon}
\def\phi{\varphi}
\def\wt{\widetilde}
\def\wh{\widehat}

\let\latexref=\ref
\def\ref#1{{\normalfont{\latexref{#1}}}}

\setlength{\unitlength}{1pt}
\newcommand{\idot}{{\:\raisebox{1pt}{\text{\circle*{1.5}}}}}
%
% The dot which looks good as index for homology groups
%
\newcommand{\hdot}{{\:\raisebox{3pt}{\text{\circle*{1.5}}}}}
%
% Same for cohomology
%

%%%%% �����

\newcommand{\C}{{\mathbb C}}
\newcommand{\Z}{{\mathbb Z}}
\newcommand{\R}{{\mathbb R}}
\newcommand{\Q}{{\mathbb Q}}

\newcommand{\A}{{\mathbb A}}
\newcommand{\Pp}{{\mathbb P}}

\newcommand{\m}{\mathfrak m}
\newcommand{\aA}{\mathfrak a}
\newcommand{\pp}{\mathfrak p}
\newcommand{\qq}{\mathfrak q}
\newcommand{\bb}{\mathfrak b}

\newcommand{\calo}{{\mathcal O}}
\newcommand{\F}{{\mathcal F}}

\newcommand{\Hom}{\operatorname{{\sf Hom}}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{{\sf Sym}}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{{\sf Id}}}
\newcommand{\id}{\operatorname{{\sf id}}}

\newcommand{\hhom}{\operatorname{{\mathcal H}{\it om}}}

\renewcommand{\Im}{\operatorname{{\sf Im}}}
\newcommand{\Ker}{\operatorname{{\sf Ker}}}
\newcommand{\Coker}{\operatorname{{\sf Coker}}}

\newcommand{\Aut}{\operatorname{{\sf Aut}}}
\newcommand{\Der}{\operatorname{{\sf Der}}}

\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Pproj}{\operatorname{Proj}}
\newcommand{\Max}{\operatorname{Max}}
\newcommand{\Ass}{\operatorname{Ass}}
\newcommand{\Supp}{\operatorname{Supp}}
\newcommand{\Frac}{\operatorname{Frac}}
\newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}}

\newcommand{\Shv}{\operatorname{Shv}}
\newcommand{\PpShv}{\operatorname{PreShv}}
\newcommand{\Et}{\operatorname{\text{\'Et}}}

\renewcommand{\dim}{\operatorname{{\sf dim}}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{{\sf rk}}}
\newcommand{\ev}{\operatorname{{\sf ev}}}
\renewcommand{\deg}{\operatorname{{\sf deg}}}
\renewcommand{\det}{\operatorname{{\sf det}}}

\newcommand{\disc}{\operatorname{{\sf disc}}}
\newcommand{\Ann}{\operatorname{{\sf Ann}}}
\newcommand{\Res}{\operatorname{{\sf Res}}}
\newcommand{\tr}{\operatorname{{\sf tr}}}
\newcommand{\gr}{\operatorname{{\sf gr}}}
\newcommand{\htt}{\operatorname{{\sf ht}}}
\newcommand{\ppt}{\operatorname{{\sf pt}}}
\newcommand{\cchar}{\operatorname{{\sf char}}}

\def\ds{\displaystyle}

\newcommand{\6}{\partial}

%%%%% Pagestyle

\pagestyle{myheadings}

\markboth{�������� � �������������� ��������� -- ������ � ��� ����,
����� 2005}{�������� � �������������� ��������� -- ������ � ���
����, ����� 2005}

\begin{document}

\setcounter{section}{7}
\stepcounter{section}
\section*{������ 8.}

\begin{center}
\begin{minipage}{0.7\linewidth}\small
�������� ����� ��� ������� ������ �����. �������� ����. ������������
������� ���� � ����������� ������; �������� � ����. �����������
������ � ����������� �����. ��������.
\end{minipage}
\end{center}

\subsection*{�������� ����� ��� �����.}

� ����� ������� ������ �� ���������� ����� � ���������������� �����
������� �� ���. ������� ������ � ����, ��� �������� ������
������������������� �����. �� �� ����� ���� ���������� ��� �������
������ ����� �������� �����������.

\begin{opr}
����� $j:U \to X$ -- �������� ��������� ������������ $U$ �
�������������� ������������ $X$, � $\F$ -- ����� �������� ����� ��
$U$. {\em ����������� �����} $j_!\F$ ����� $\F$ �� $X$ ������������
���
$$
j_1\F(V) =
\begin{cases}
\F(V), &\qquad V \subset U,\\
0, &\qquad \text{� ��������� ������}.
\end{cases}
$$
\end{opr}

����� ������ (��������� ���!), ��� $j_!\F$ ��� �����.

\begin{exc}
����� $X$ -- �����, $U \subset X$ -- �������� ��������, � $\F$ --
���������������� ����� $\calo_U$-�������. ��������, ��� �����
$\calo_X$-������� $j_!\F$ ���������������� ����� � ������ �����,
����� $U \subset X$ ��� � ��������.
\end{exc}

� ���� ��������� ������ ������������ ��������� ��������� ����: ����
$X$ -- �����, � $U \subset X$ -- �������� ������������, �� $\langle
U,\calo_X|_U\rangle$ -- ���� ����� (���������� {\em ��������
���������} � $X$). �������� $U \to X$ -- ������ {\em ��������
�����}. ����� ����������� ������ ��������� �������.

\begin{opr}
{\em �������} $f:X \to Y$ ������������� ����������� $\langle
X,\calo_X \rangle$, $\langle Y,\calo_Y\rangle$ -- ��� ���� ��
������������ ����������� $f:X \to Y$ � ����������� ������ �����
$f^*:f^{-1}\calo_Y \to \calo_X$ (��� ��, ��� ������������, $\calo_Y
\to f_* \calo_X$).
\end{opr}

���� $X = \Spec A$ � $Y = \Spec B$ -- �������� �����, �� �����
����������� ����� $f:B \to A$ �������� ���������� �������
������������� ����������� $\wt{f}:X \to Y$. ��� ���� ���� �������
�������� �������������� ���������.

\begin{opr}
����������� $f:A \to B$ ��������� ����� $A$, $B$ ���������� {\em
���������}, ���� �������� $f^{-1}\m_B$ ������������� ������ $\m_B$
����� ������������� ������ $\m_A \subset A$. ������� $f:X \to Y$
�������� ������������� ����������� ���������� {\em ���������}, ����
��� ������ ����� $x \in X$ ��������������� ����������� ���������
����� $f^*:\calo_{Y,f(x)} \to \calo_{X,x}$ -- ��������� �����������.
\end{opr}

\begin{opr}
{\em ������� ����} ��� ��������� ������� ��������������� ��������
������������� �����������.
\end{opr}

\begin{lemma}
������� $A \to \Spec A$ -- ��� ��������������� ����� ����������,
������������ � ��������� �����, � ���������� �������� ����.
\end{lemma}

\proof{} �������� ������� ��������� ������ -- ���� $X = \Spec A$, ��
$A = \Gamma(X,\calo_X)$ -- ������ ���������� ������� ������������
����� $\calo_X$ (��� ��� ���������� ������� ���������� ������� ��
$X$). ����������� ����� $f:A \to B$ ���� ����������������� ��
���������������� �������� ���� $\wt{f}:Y = \Spec B \to X$:
������������ �����������
$$
\begin{CD}
A = \Gamma(X, \calo_X) @>{\wt{f}^{-1}}>> \Gamma(Y,f^{-1}\calo_X)
@>{\wt{f}^*}>> \Gamma(Y,\calo_Y) = B
\end{CD}
$$
�������� ����� $f$. ������������ ��������� ��������: ���� $g:Y \to
X$ ���������� ����������� ���������� ������� $f=g^*:A \to B$, �� $g
= \wt{f}$. �������������, ����� ����� $y \in Y$ �������� ��������
������ $\pp \subset B$. ����� $\pp = B \cap \m_y$, ��� $\m_y = \pp
B_\pp$ -- ������������ ����� ���������� ������ $\calo_{Y,y} =
B_\pp$. �, ��������� �� ����������� ����������� $f:\calo_{X,x} \to
\calo_{Y,y}$ {\em ���������}, ����� $f^{-1}(\pp) = A \cap g^*(\m_y)
= A \cap \m_x$, ��� $x = g(y) \in Y$. ������� $\wt{f}(y)=x=g(y)$.
\endproof

\begin{exc}
��������� �������� ����� $X = \Spec A$, $Y = \Spec B$ �
(�����������) ������� ������������� ����������� $f:X \to Y$, ��
������������ �� ������������ $B \to A$. ��������: ����� ������ ��
������, �������� � �������� $Y = \Spec B$ ������ ������ �����������
������������, �.�. ����� � ����� �������, � � �������� $X$ -- ������
��� ���� ������� (����� � ����� ������).
\end{exc}

\begin{exc}\label{sopr}
��������, ��� ��� ����� ����� $X$ � �������� ����� $Y = \Spec A$,
��������� ��������� �� ����� $X$ � $Y$ ����������� ����������������
� ���������� ������������� �� ������ $A$ � ������
$\Gamma(X,\calo_X)$.
\end{exc}

����������� ����������� ���� � ��� ������� � ����������������
������.

\begin{lemma}
����� $X = \Spec A$ -- �������� �����; ����� ������� $M \mapsto
\wt{M}$ -- ��������������� ����� ���������� $A$-������� � ����������
���������������� ������ $\calo_X$-������� �� $X$.
\end{lemma}

\proof{} �������� ������� ��� ���������� �������, $\F \mapsto
\Gamma(X,\F)$. �� ����������� $\Gamma(X,\wt{M}) = M$ ��� ������
$A$-������ $M$. ������������ ��������� ��������: �����
���������������� ����� $\F$ �� $X$ ��������� $\wt{M}$ (���� �� ���
������-�� $M$ -- ����� ������������� $M = \Gamma(X,\F)$). ��� ��
��������, ��������� �� ����������� $\F$ ����� ��� $\wt{M}$ ������
��������: ���������� ����� �������� �������� �������� $U_i$ �����
$X$, ��� $\F|_{U_i} \cong \wt{M}_i$, ��� $M_i = \F(U_i)$. �� �����
�� ������� ����� ����� ������ ������������������
$$
\begin{CD}
0 @>>> M @>>> \bigoplus_i \F(U_i) @>>> \bigoplus_{i,j} \F(U_i \cap
U_j),
\end{CD}
$$
�, ��������� ����������� -- ������ �������, ������������������
$$
\begin{CD}
0 @>>> M \otimes_A \calo_X(U_l) @>>> \bigoplus_i \F(U_l \cap U_j)
@>>> \bigoplus_{i,j} \F(U_l \cap U_i \cap U_j)
\end{CD}
$$
���� ����� ��� ������ $l$. ������ ��������, ���
$$
M \otimes_A \calo_X(U_l) \cong \F(U_l),
$$
���� ��� ������ $l$. ������ ����� ���������, ��� ��� ������
��������� $U \subset X$ ����� $M \otimes_A \calo_X(U) \cong \F(U)$,
�.�. $\F \cong \wt{M}$.
\endproof

����� �������, ��� �����������, ������� �� �� ��� ��� �������,
������������� �� ������������ ���� �����: � ����� ����� ������,
������� �������� ����� ��� �� �� �����, ��� ������� �������������
������.

\subsection*{������������ �������� ����.}

������ ��������� ������������ �������� ���� -- ������������ � ���
������, ��� ��� ����� ��������� ��������������� �������� ��������
����, ������� �� ��� �������.

\begin{opr}
����� $X$ ���������� {\em �����������}, {\em ����������}, ���� ���
������ ����� $x \in X$ �������� ������ $\calo_{X,x}$ ���������,
���������. ����� $X$ ���������� {\em ������������}, ���� ���
����������� ��� �������������� ������������. ����� $X$ ����������
{\em �����}, ���� ��� ����������� � ���������. ����� $X$ ����������
{\em ���������������}, ���� ��� ��������� ��� ��������������
������������. ����� $X$ ���������� {\em ���������}, ���� ���
��������� �������� �������� $U_\alpha$, $U_\alpha = \Spec A_\alpha$,
� ��� $A_\alpha$ -- �������� ������.
\end{opr}

�������, ��� ������� ����������������� ���� ���� ������, ���
������������ $C^\infty$ ������������ (��-�� �������� ���������
����������). ��������, ����� ���������.

\begin{exc}\label{comp}
��������, ��� �������� ����� $X$ �������������� (����� �������, ��
������ ��������� �������� $U_\alpha$ ����� ������� �������
�����������). ��������: ������� ��� � ������, ����� ��� $U_\alpha$
����� ��� $S_f$ ��� �����-�� $f \in A$.
\end{exc}

�� ����� ����, ��� ���� ����������������� ��� ������� �������������,
����� ���������� (�������� ������ ����������� ��� ��� �
������������� ��� ��������� ��������������� ����).

����� ������, ��� �������� ����� $X = \Spec A$ �����������,
������������, ����� ����� � ������ �����, ����� ��� �����������,
������������, ����� � ������ ������ 3. ��� ������������ ��� �����
�����.

\begin{exc}
��������, ��� ����� $\Spec A$ ���������, �.�. ����� �����������
$A_\pp$ ����� � �������������, ����� � ������ �����, ����� $\Spec A
= \coprod \Spec A_i$, � ������ $A_i$ -- ����� � �������������
������ (����������� ������������ ���������� $\Spec A$ � ��������,
��� ��� ������ ���� ������������ ���������).
\end{exc}

��� ����������� ��� ���� �����.

\begin{exc}
��������, ��� $X = \Spec A$ ������� ���������� ��������� ���������
���������� $U_\alpha = \Spec A_\alpha$, �� ������ $A$ ��������
(�������, ���������������� �����������~\ref{comp}, �������� ��������
��������).
\end{exc}

\subsection*{�������� �� �������.}

������ ������ ����������� �������������� �������� �� ������� --
������� (������ ������) � ������������ (�������� ������). ������� ��
�������� ��������� ������������ ��������� �������: ���� � ��� ����
��� ����� $X_1$, $X_2$ � ���������� �������� �������� $U_1 \subset
X_1$, $U_2 \subset X_2$, $U_1 \cong U_2$, �� ����� ������, ��� ��
�������������� ������������, ��������� �� $X_1$ � $X_2$ �� $U_1
\cong U_2$, ������������ ������� ������������ ����� �����, � �
���������� ���������� �����. �� �� �����, ����� �����������
��������� ���� $X_1,X_2,\dots,X_n$. ������� �� �� ��������
������������� ������ ���� ��������, �� ��� ������ ������, ������� ��
�� ����� ����������, �� ������� ���� ����.

��� �� ������������, �� � ��� ���� ��������� ��������, ������� ��
��� ������ ��� �������� ����: ������������� $X \times Y$ ����� $X =
\Spec A$ �� ����� $Y = \Spec B$ ����������� ������� ����� $\Spec A
\otimes B$, �� � ���� ������� ������ �����, ��� � ������������
���. ������������ ����� $X$ �� ���. ������������ ����� $Y$. �������
{\em �����������} ������������ ���� ���������� ��������������.

\begin{opr}
������������� �������
$$
\begin{CD}
Z @>>> X_1\\
@VVV @VVV\\
X_2 @>>> Y
\end{CD}
$$
� �����-�� ��������� ���������� {\em ����������}, ���� ��� ������
������� $S$ � ���� ��������� $S \to X_1$, $S \to X_2$, ��� �������
������� 
$$
\begin{CD}
S @>>> X_1\\
@VVV @VVV\\
X_2 @>>> Y
\end{CD}
$$
������������, ���������� ������������ ������� $S \to Z$, ������
������� ������������� ���������. � ����� ��������, $Z$ �������� {\em
����������� �������������} $X_1$ � $X_2$ ��� $Y$ � ���������� $Z =
X_1 \times_Y X_2$.
\end{opr}

\begin{lemma}
��� ����� ���� ���� $X_1$, $X_2$, ���������� ���������� $X_1 \to Y$,
$X_2 \to Y$ � ����� $Y$, ���������� (������������� ������������)
����������� ������������ $X_1 \times_Y X_2$.
\end{lemma}

\proof[�������� ��������������.] ��������������, ���� ��������� ���
��������� � ���������, �������� ��������, �� ���������� ����������;
����������� ���������. ���� $Y = \Spec A$, $X_i = \Spec B_1$, ��
$X_1 \times_Y X_2$ ���������� � ����� $\Spec B_1 \otimes_A B_2$ �
���� ����������~\ref{sopr}. � ����� ������, ������� $Y$ ���������
����������� $V^\alpha$. ������� $X_1$ ��������� ���������
����������� $U_1^\alpha$, � $X_2$ -- ��������� �������� �����������
$U_2^\alpha$, ������ ���, ����� ������ $U_i^\alpha$ ���������������
������ ������-������ $V^\alpha$. ����� ����������� ������������
$U_1^\alpha \times_Y U_2^\beta = U_1^\alpha \times_{V^\alpha \cap
V^\beta} U_2^\beta$ ����������. ����������� ������������ �����������
�� ���� ������������ �� ������������ ���������������
($U_1^{\alpha_1} \times_Y U_2^\beta$ � $U_2^{\alpha_2} \times_Y
U_2^=beta$ ����������� �� $(U_1^{\alpha_1} \cap U_1^{\alpha_2})
\times_Y U_2^\beta$, � �� �� ��� $U_2$). ����� ���������, ��� ���
������������� ����������� ������������, ��������, ��� ����������� ��
�������� ����� $S$ � $X_i$ -- ��� �� �� �����, ��� �������� ��������
$V^\alpha$ ����� $S$ � ����� ������������� ����������� $V^\alpha \to
U_i^\alpha$, $i=1,2$. ������� ����� ������ ������� �� ���������.
\endproof

\subsection*{������������ �������� ����������� ������.}

��������� �����, �� ����� ���������� ���������������� ����� �������
�� ���. ���� �������� �� ����� ������� ����������, ��������� �������
������������ �����.

\begin{opr}
���������������� ����� $\F$ $\calo_X$-������� �� ��������� ����� $X$
���������� {\em �����������}, ���� ��� ������� ��������� ���������
������������ $U \subset X$, $\calo_U$-������ $\F(U)$ �������
��������.
\end{opr}

����� $f:X \to Y$ -- ������� ����. �� ����������� ����� ������, ���
������ ����� $f_*\F$ ����������������� ����� $\calo_X$-�������
������������� ���� ���������������� �����
$\calo_Y$-�������. ������������� ��� ������ ������, ����������, ��
����������� -- ��������, ���� $X = \Spec A$ -- ������ $k$-�������
$A$, � $Y = \Spec k$, �� $f_*\calo_X = A$ �������� ���������� ��
������� ���� �������-����������� $k$-�������. ��� ��������� ��������
�� ������� $f$ ������������� ���� �����������, � ��� ����� ����� --
��������������� ����� �������� ��� ������� ����������, � �� ��������
�� ����� �������� �� �������.

������ �������� ����� $f^{-1}\F$ ����������������� �����
$\calo_Y$-������� $\F$ ���������� �� ������ ���� ���������������� --
�� ����� ����, �� ��� ��� ���� ������� ����������� ���������
$\calo_X$-������. ������� ��� ���������������� ������ �������
��������� ������ ���� ��������������.

\begin{opr}
{\em ��������� �������������} ������ $\F_1$, $\F_2$ ��
�������������� ������������ ���������� �����, ��������������� �
���������� $U \mapsto \F_1(U) \otimes \F_2(U)$. {\em ��������
�������} $f^*\F$ ����������������� ����� $\F$ �� ����� $Y$ ���
����������� $f:X \to Y$ ���������� ����� $f^*(\F) = f^{-1}(\F)
\otimes_{f^{-1}(\calo_Y)} \calo_X$.
\end{opr}

\begin{exc}
����� $f:X \to Y$ -- ������� �������� ���� $X = \Spec A$, $Y = \Spec
B$. ����� ��� ������ $B$-������ $M$, ����� $f^*\wt{M} = \wt{M
\otimes_B A}$.
\end{exc}

��������� ��� ����������, ����� ���������, ��� �������� �����
��������� ������������������ -- � ����� � �������������. ����� �����
��������, ��� �������� $f_*$ � $f^*$ ��������� (��� �������� ��
���������� ���������������� ������).

�������, � ���������, ��� ����� ����������� ��������� ������ �����
��������� � ��� �������� ����� $f:x \to X$. ������� ��� ����� $\F_x$
����������������� ����� $\calo_X$-������� $\F$ ����������� ��������
�� ������ ��� ���� $\F^{shv}_x$ ��� �����, � �������� ����� $f^*\F$
-- �������, ��� ����� ������, ����� $\F^{shv}_x
\otimes_{\calo_{X,x}} k(x)$, ��� $k(x)$ -- ���� ������� ����������
������ $\calo_{X,x}$. ���� ����� $\F$ �����������, �� ���� $\F_x$ --
������������� ��������� ������������ ��� $k(x)$ (� $\F^{shv}_x$ --
������� ����������� ������ ��� ���� ��������� �������
$\calo_{X,x}$). ������� ���������� �����: ���� ����� ������ ����
���������� � �������� ������, � ��� ������ $\calo_X$-������� -- �
������ $\calo_X$-������� (� ���� ���� ���� ����������� ��� ���� ���
������ �����, �� ��� ���������� �������������).

\subsection*{����������� �����.}

����� ������� ���������� �����, �����, � ��������, ���� ��������� ��
�� �������� ��������, �� �� �������� ��� ��������, � ��� ������
�����. ������ ������ �������� ����� �����������, ������� ���������
������� ����������� ������������ � ��� ��������� ��������
(����������� ������������ �������). ��� ����������� � ������������
������� ���������� ����������� ������� $\Spec A$.

����� ���� {\em ��������������} ������ $A^\hdot$. ����� ��������,
��� ���������� ����� $I^\hdot \subset A^\hdot$ {\em ��������}, ����
$I^\hdot$ �� �������� ������ $A^{\geq 1} \subset A^\hdot$ (�������
���������� {\em ����� �����������}).

\begin{opr}\label{proj.0}
{\em ����������� ��������} $\Pproj A^\hdot$ ���������� ���������
���������� ���������� ������� ������� � $A^\hdot$. ��� ������
���������� ������ $I^\hdot \subset A^\hdot$, {\em ������������
�����} $V(I^\hdot) \subset \Pproj A^\hdot$ ��� ������������ ����
������� ������� �� $\Pproj A^\hdot$, ���������� $I^\hdot$.
\end{opr}

����� ��������� -- ��� �������� ����� ��� ��, ��� ��� $\Spec$ -- ���
������������ $V(I^\hdot)$, ������ � �������� ��������� �����������,
������ �� $\Pproj A^\hdot$ ��������� ���������; ��� ����������
���������� ����������. ��� ������ ����������� $f \in A^l$, $l \geq
0$, ����� �������� ������������ $S_f = \Pproj A^\hdot \setminus
V((f)) \subset \Pproj A^\hdot$. ����� �������� �������� ��� $\Spec$,
����������, ��� �������� ������������ $S_f$ �������� ���� ���������
����������. ��� ������ ��������������� $A^\hdot$-������ $M^\hdot$ �
������ $S_f \subset A^\hdot$, ��������� ����� $\wt{M^\hdot}(S_f) =
(M[f^{-1}])^0$ ���������� ������� $0$ � �����������
$M^\hdot[f^{-1}]$. ��� ��, ��� ��� $\Spec$, ���������, ��� ���
�����, ��� $\wt{A^\hdot}$ ��� ����� �����, � ��� $\wt{M^\hdot}$ ���
������ $M^\hdot$ ���� ����� $\wt{A^\hdot}$-�������.

\begin{opr}
�������� �����������~\ref{proj.0}, {\em ����������� ��������} $\Pproj
A^\hdot$ ����� �������� ��������� $\Pproj A^\hdot$, ����������
���������� ���������� � ������ ����� $\wt{A^\hdot}$.
\end{opr}

\begin{rem}
������������ �������������� �������, �� ������������, ��� ���
����������� ���������������� ������ �������. ��� ������� ���
������������ �������������: ��� ����������� ����� ��� �� �������� �
��� �������, ������������� ������ ������ �������.
\end{rem}

\begin{exc}
��������, ��� $\Pproj A^\hdot$ -- ����� (��� ����� ��������, ��� ���
������ ����������� $f \in A^l$, $l \geq 1$, $S_f \cong \Spec
(A[f^{-1}])^0$ ��� ������������� ������������). �������� ��� ��, ���
��� ������ $A^\hdot$-������ $M^\hdot$, $\wt{M^\hdot}$ --
���������������� ����� �� $\Pproj A^\hdot$.
\end{exc}

\begin{exc}\label{proj.map}
��������� ������������ ����������� ���� $\Pproj A^\hdot \to \Spec
A^0$.
\end{exc}

\begin{opr}
������� ���� $\pi:X \to Y$ ���������� {\em �����������}, ���� ���
����� �������� �������� $U = \Spec A \subset X$, ��������
$\pi^{-1}(U)$ ������������ � $\Pproj A^\hdot$ ��� �����-��
�������������� ������� $A^\hdot$, ������ $A^0 \cong A$, �
$\pi:\pi^{-1}(U) \to U$ -- ������������ ����������� ��
����������~\ref{proj.map}. � ����� �������� ������� �����, ��� �����
$X$ {\em ���������� ��� $Y$}.
\end{opr}

�������������� ����� ������������ ������� �����. ��� �����
�������������� ������� $A^\hdot$, ����� ����������� ������� ��������
������ $\Spec A^\hdot$. ����� ������ �����������, ����� ��
������������ �����-������ ������������ ��������. ����������� ���
��������, ��� $A^\hdot$ -- ������� ��� ����������� ����� $k$. �����
����������� ������ �����: ������������� �������� �����������������
������ $k^*$ ���� $k$ �� $A^\hdot$, ��� ������� $\lambda \in k^*$
��������� �� ���������� $A^l \subset A^\hdot$ ������� $l$ ����������
�� $\lambda^l$. ��� �������� ���������� � ����������. ��������� ����
����������, ����������� ���������� ����������������� �� ��������
$k^*$.  ���� �������, ��� ���������� ����� ����� � ���������� ������
��������� ��� ����������� -- $k^*$ ���� ������������� ��� ���
���������� ``�������������� ������'', ����� �� �������� �� ���-����
����� � �������� ������������ �����������, � �� ���� ����� ���������
������������� ������������ �������� ���� $k$. ��� ��� �����,
���������� ������ $I^\hdot \subset A^\hdot$ �������������
$k^*$-������������ ������� � $A^\hdot$, � ���������� ������� ������
�������� $k^*$-������������ ������ $\Spec A^\hdot$ -- �.�. �����
������ ����� $k^*$. ������� $\Pproj A^\hdot$ -- ���, � ������
�����������, ������ $\Spec A^\hdot$ �� �������� $k^*$. � ������
����������� ������, ��� ���� ��� ������ ������� ������������ --
������� �� ����� ����, ������ ��� ����� ������, ���� �������� ��
$\Spec A^\hdot$ ��������� ������������ $V(A^{\geq 1})$ (�������, ���
����� ������, ����������� ��������������� � $\Spec A^0$). ����,
�����
$$
\Pproj A^\hdot = (\Spec A^\hdot \setminus \Spec A^0)/k^*
$$
(�� ������� ����, ��� �������������� ������������). ����� �������
������ ���� ����������� �����: ������� $A^\hdot = k[x_1,\dots,x_d]$,
������� ��������� �� $d$ ����������.

\begin{opr}
����������� ������ $\Pproj k[x_1,\dots,x_d]$ ���������� {\em
����������� �������������} $\Pp^{d-1}_k$ ����������� $d-1$ ��� �����
$k$.
\end{opr}

��� � ������ ����, $\Pp^d_k$ ��� ������ $\A^{d+1} \setminus \{0\}$ ��
$k^*$, � ��� $k$-����� -- ��� ������ ����� $\langle
z_1,\dots,z_{d+1} \rangle$, ���������� {\em �����������
������������}, ������� ��������������� � ��������� �� ��������������
��������� �� $\lambda \in k^*$, � �� ����� ��� ������������ ����
����� $0$.

������� ������, ��� ��� �������������� ������� ������� ����
��������� �������������� �������� -- ����� �����������. � ������,
��� ������ ��������������� $A^\hdot$-������ $M^\hdot$, ���������
����� $M^\hdot(n)$ ��� �� $M^\hdot$, �� � ����� ������������:
$M^l(n) = M^{l+n}$. � ���������, ��� ����� ��������� � ������
$A^\hdot$, �������������� ��� ������ ��� �����.

\begin{exc}
����� $X = \Pproj A^\hdot$ -- ����������� �����. ��������, ��� ���
������ $n$, $\wt{A^\hdot(n)}$ -- �������� ��������� ����� ����� $1$
�� $X$ (���� ����� ������������ $\calo_X(n)$). ��������: �����������
����������� $\wt{A^\hdot(n)}$ �� ��������� $S_f \subset X$ ���
������ $f \in A^l$, $l \geq 1$.
\end{exc}

����� �������� -- � �� ��� ������� ����� ������� �������� -- ���,
���� ����� $\calo_X(n)$ �������� �������� � ��������� ���� �����,
��������� ��� ���������� �� ��������� (� � ���������, ���� ����� $X$
�� �������� � ����������� ���������� �����, $\calo_X(n) \cong
\calo_X$ ������ ��� $n=1$). � ��������� ��-�� ����� �������,
�������� ��������� ����� ����� $1$ ������ � �������������� ���������
������ ���� � �������� ������ ��������.

\begin{opr}
�������� ��������� ����� �� ����� $X$ ���������� {\em
�����������}. ���������� ����� $1$ ���������� {\em ��������}.
\end{opr}

\begin{rem}
``�������� ����������'' ��� �������� ������������ -- ��
������������� -- ������� ����������� line bundle, ������� � ����
������� ����, ��-��������, ������� ������������ fibr\'e en droits --
``���������� �� ������''.
\end{rem}

\subsection*{��������.}

������ ����������� �����������, � ����� ������ �� ��������, ������
$\Pproj$ -- ��� ���������� {\em ��������} ������, ��� �� ���������
��� {\em ������������ ��������������}.

����� $A$ -- ������, � $I \subset A$ -- �����. ����������
������������� ������� $A^\hdot = \bigoplus_l I^l$.

\begin{opr}
{\em ���������} �������� ����� $X = \Spec A$ � ��������� �������� $Z
= \Spec (A/I) \subset X$, ���������� $I \subset A$, ���������� �����
$$
\Bl(X,Z) = \Pproj \bigoplus_l I^l.
$$
\end{opr}

\begin{rem}
��-��������� �������� ���������� blow-up. ����������� $\Bl$
�������������; ������������ ����������� ��� ��������, � ��������,
���.
\end{rem}

\begin{exc}
����� $f:\Bl(X,Z) \to X$ -- �������� ����� $X$ � �������� $Z$. �����
$f$ ���������� ���������� $f:f^{-1}(U) \to U$, ��� $U = X \setminus
Z$.
\end{exc}

����� �������, ��� $Z$ �������� �� ������ ����� ������. ��� ��
���������� � $Z$? �� ���������� ��� �� ������� ������� ��������
�����. ����� $X = \A^n_k = \Spec k[x_1,\dots,x_n]$ -- $n$-������
�������� ������������ ��� ����� $k$, � $Z \subset X$ -- ����� $0 \in
\A^n_k$. �����, ���������� ����������� ��������, �� �����, ���
$\Bl(X,Z)$ ��� ��������� �������� � $\A^n_k \times \Pp^{n-1}_k$,
�������� ����������� $x_iz_j=z_ix_j$, $1 \leq i,j \leq n$ (�����
$z_1,\dots,z_n$ -- ���������� ���������� �� $\Pp^{n-1}_k$). ����
������ $\langle x_1,\dots,x_n \rangle$ �� ����� ������������ ����,
�� �� ��������� �������, ��� $z_i=x_i$ (����������, � ��������� ��
�������������� ��������� ���� $z_i$ �� �����-������ ���������). ����
�� $x_1=\dots=x_n=0$, �� $z_i$ ����� ���� ������! ����� �������,
���� $\Bl(X,Z) \to X$ ��� $0 \in X$ -- ��� ����������� ������������
$\Pp^{n-1}_k$. ���� ��������� ���� ���� �����������, ��� ������
��������, �� ����� ������, ��� �� ����������� ��������������� �
��������������� ������������ ������������ $T_0\A^n_k$.

\end{document}
