\documentclass[12pt,leqno]{article}

\usepackage{amsmath,amsfonts,amscd,amssymb,theorem}

\addtolength{\topmargin}{-23mm}
\addtolength{\textheight}{60mm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-20mm}
\addtolength{\textwidth}{40mm}

%%%%%  Theorem style with a dot at the end of the header

\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@dotted{\normalfont\itshape
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}}
\endgroup
\makeatother

\theoremstyle{dotted}

\newtheorem{thm}{�������}[section]
\newtheorem{lemma}[thm]{�����}
\newtheorem{prop}[thm]{�����������}
\newtheorem{corr}[thm]{���������}
\newtheorem{exc}{����������}[section]
\newtheorem{sch}[thm]{����}

%%%%%  Same for definitions

\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@upshape{\normalfont
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}}
\endgroup
\makeatother

\theoremstyle{upshape}

\newtheorem{opr}[thm]{�����������}
\newtheorem{rem}[thm]{���������}

%%%%% ������

\makeatletter
\@addtoreset{equation}{section}
\makeatother
\renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}}

\newcommand{\proof}[1][��������������.]{\smallskip\noindent{\em #1}}
\def\endproof{\hfill\ensuremath{\square}\par\medskip}

\renewcommand{\labelenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}}
\renewcommand{\theenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}}

\def\eqref#1{\thetag{\ref{#1}}}
\def\eps{\varepsilon}
\def\phi{\varphi}
\def\wt{\widetilde}
\def\wh{\widehat}

\let\latexref=\ref
\def\ref#1{{\normalfont{\latexref{#1}}}}

\setlength{\unitlength}{1pt}
\newcommand{\idot}{{\:\raisebox{1pt}{\text{\circle*{1.5}}}}}
%
% The dot which looks good as index for homology groups
%
\newcommand{\hdot}{{\:\raisebox{3pt}{\text{\circle*{1.5}}}}}
%
% Same for cohomology
%

%%%%% �����

\newcommand{\CA}{{\mathcal A}}
\newcommand{\CF}{{\mathcal F}}
\newcommand{\CV}{{\mathcal V}}
\newcommand{\ZZ}{{\mathbb Z}}
\newcommand{\CO}{{\mathcal O}}

\newcommand{\C}{{\mathbb C}}
\newcommand{\Z}{{\mathbb Z}}
\newcommand{\R}{{\mathbb R}}
\newcommand{\Q}{{\mathbb Q}}

\newcommand{\A}{{\mathbb A}}
\newcommand{\Pp}{{\mathbb P}}

\newcommand{\m}{\mathfrak m}
\newcommand{\aA}{\mathfrak a}
\newcommand{\pp}{\mathfrak p}
\newcommand{\qq}{\mathfrak q}
\newcommand{\bb}{\mathfrak b}

\newcommand{\calo}{{\mathcal O}}
\newcommand{\F}{{\mathcal F}}
\newcommand{\E}{{\mathcal E}}

\newcommand{\Hom}{\operatorname{{\sf Hom}}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{{\sf Sym}}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{{\sf Id}}}
\newcommand{\id}{\operatorname{{\sf id}}}

\newcommand{\hhom}{\operatorname{{\mathcal H}{\it om}}}

\renewcommand{\Im}{\operatorname{{\sf Im}}}
\newcommand{\Ker}{\operatorname{{\sf Ker}}}
\newcommand{\Coker}{\operatorname{{\sf Coker}}}

\newcommand{\Aut}{\operatorname{{\sf Aut}}}
\newcommand{\Der}{\operatorname{{\sf Der}}}

\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Proj}{\operatorname{Proj}}
\newcommand{\Max}{\operatorname{Max}}
\newcommand{\Ass}{\operatorname{Ass}}
\newcommand{\Supp}{\operatorname{Supp}}
\newcommand{\Frac}{\operatorname{Frac}}
\newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}}

\newcommand{\Shv}{\operatorname{Shv}}
\newcommand{\PpShv}{\operatorname{PreShv}}
\newcommand{\Et}{\operatorname{\text{\'Et}}}

\renewcommand{\dim}{\operatorname{{\sf dim}}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{{\sf rk}}}
\newcommand{\ev}{\operatorname{{\sf ev}}}
\renewcommand{\deg}{\operatorname{{\sf deg}}}
\renewcommand{\det}{\operatorname{{\sf det}}}

\newcommand{\disc}{\operatorname{{\sf disc}}}
\newcommand{\Ann}{\operatorname{{\sf Ann}}}
\newcommand{\Res}{\operatorname{{\sf Res}}}
\newcommand{\tr}{\operatorname{{\sf tr}}}
\newcommand{\gr}{\operatorname{{\sf gr}}}
\newcommand{\htt}{\operatorname{{\sf ht}}}
\newcommand{\ppt}{\operatorname{{\sf pt}}}
\newcommand{\cchar}{\operatorname{{\sf char}}}

\def\ds{\displaystyle}

\newcommand{\6}{\partial}

%%%%% Pagestyle

\pagestyle{myheadings}

\markboth{�������� � �������������� ��������� -- ������ � ��� ����,
����� 2005}{�������� � �������������� ��������� -- ������ � ���
����, ����� 2005}

\begin{document}

\setcounter{section}{8}
\stepcounter{section}
\section*{������ 9.}

\begin{center}
\begin{minipage}{0.7\linewidth}\small
����������� ����� �� ����������� ������� --- ������� �����.
����������� � ����������� ������������ � �������� �������.
�������� � ����� �������� �����.
\end{minipage}
\end{center}

\subsection*{������� �����}

�� ������� ������ �� �� $\ZZ_{\ge 0}$ �������������� ������� $A^\hdot$
��������� ����� $X = \Proj A^\hdot$ (����������� ������) ��� $\Spec A^0$ �
��� ������� $\ZZ$-��������������� $A$-������ $M^\hdot$ ����������������
����� $\widetilde{M^\hdot}$ �� $X$. �������� ������� �������� �����
$\CO_X(n) = \widetilde{A^\hdot(n)}$, ��� $(n)$ �������� �����
����������� �� $n$.

\begin{lemma}
���� ������� $A^\hdot$ ����������� ����������� $A^1$ ��� $A^0$-�������,
�� ����� $\CO_X(n)$ �� $X$ �������� �������� ����� $1$, �
$\widetilde{M^\hdot(n)} \cong \widetilde{M^\hdot}\otimes_{\CO_X}\CO_X(n)$
��� ������ $M^\hdot$. � ��������� $\CO_X(n)\otimes_{\CO_X}\CO_X(m) \cong \CO_X(n+m)$.
\end{lemma}
\proof{}
����� $f\in A^1$. �� �������� ��������� $S_f \subset X$ �����
${\CO_X}_{|S_f} = \widetilde{(A[f^{-1}])^0}$,
${\CO_X(n)}_{|S_f} = \widetilde{(A[f^{-1}])^n} = f^n\widetilde{(A[f^{-1}])^0}$,
�� ���� �� $S_f$ ����� $\CO_X(n)$ ��������� ����� $\CO_X$.
����������, $\widetilde{M^\hdot(n)}_{|S_f} = \widetilde{(M[f^{-1}])^n} = f^n\widetilde{(M[f^{-1}])^0} = \widetilde{(M[f^{-1}])^0} \otimes_{\widetilde{(A[f^{-1}])^0}} f^n\widetilde{(A[f^{-1}])^0}$,
������ �������� ���������� $\widetilde{M^\hdot(n)} \cong \widetilde{M^\hdot}\otimes_{\CO_X}\CO_X(n)$ �� $S_f$.
�������� ��������, ��� ���� ������� $A^\hdot$ �����������
����������� $A_1$, �� �������� ��������� $S_f$, $f\in A_1$
��������� ��� $X$.
\endproof

����������� ������������ ������� �� ������ ������ �� ����������� ���������
�������. �� �����, ��� ����������� ��������� ������� �������� --
������ $A$ ���������� ����������������� �� ����� $\Spec A$. ��������
�� ����������� $\Proj A^\hdot$? ������ ������, ���. ��������,
������� ��������� �������.

\begin{exc}
����� $A^\hdot$ -- �������������� ������, � $A^\hdot_m$ -- ���������
��������� �������, ��������� �� $m$ (�.�. $A^l_m = A^{ml}$ ���
������ $l$). ��������, ��� $\Proj(A^\hdot) \cong \Proj(A^\hdot_m)$.
\end{exc}

���������� $A_m^\hdot$ ���������� {\em ����������� ��������}.

������, ���� ������ ����� ����� $X = \Proj(A^\hdot)$ ��� ���� ����� $\CO_X(n)$,
������� $A^\hdot$ ����� ���� � ������� ������� �������������.
� ������, ������� ����������������� ����� $\CF$ �� $X$ ����������
�������������� $A^\hdot$-������ $\Gamma^\hdot(\CF)$ ��������� �������
$$
\Gamma^\hdot(\CF) = \bigoplus_{n\in\ZZ} \Gamma(X,\F\otimes\CO_X(n)).
$$

\begin{exc}
��������� �� $\Gamma^\hdot(\CF)$ �������� $A^\hdot$-������,
��������, ��� $\Gamma^\hdot(\CO_X)$ �������� $A^\hdot$-�������� � ���������, ���
$\Gamma^\hdot(\CO_X) = A^\hdot$ ��� $X = \Pp^N_k = \Proj A^\hdot$, $A^\hdot = k[z_0,z_1,\dots,z_N]$.
\end{exc}

\begin{lemma}\label{gon}
���� $A^1$ --- ������� ����������� $A^0$-������, $A^\hdot$ ����������� ����������� $A^1$
��� $A^0$-�������, � $A$ --- ��������� �������, �� $\Gamma(X,\CO_X(n)) = A^n$ ��� $n\gg0$.
\end{lemma}
\proof{}
����� $z_0,z_1,\dots,z_N$ --- ���������� $A^0$-������ $A^1$.
�� ����������� ������� ���������� $\CO_X(n)$ ��� $S_{z_i}$
��� ������� ������� $n$ � ����������� $A[z_i^{-1}]$.
��� ��� $A$ --- ��������� ������, ��� ����������� $A[z_i^{-1}]$
����������� ������������ � $A[z_0^{-1}z_1^{-1}\cdots z_N^{-1}]$ � ����, ���
����� ������� ��� $S_{z_i}$ ����������� � ������� �� ���� $X$
����� � ������ �����, ����� ������ ��������������� ���������
� $A[z_0^{-1}z_1^{-1}\cdots z_N^{-1}]$ ���������. ����,
$\Gamma(X,\CO_X(n))$ ��������������� � ���������� ������� $n$
� ����������� $\cap A[z_i^{-1}]$. ����� ������ $x$ --- �������
������� $n\ge 0$ � �����������. ������ �������� $m$, ����� ���
$xz_i^m \in A$ ��� ���� $i$, ������� $x A^{\ge M} \subset A$, ��� $M = (m-1)(N+1) + 1$.
�� $\deg x \ge 0$, ������� �� ����� ���� $x A^{\ge M} \subset A^{\ge M}$.
�� �������� �������� $x^s A^{\ge M} \subset A^{\ge M}$ ��� ���� $s$.
��� ��� $A^{\ge M}$ --- ������� ����������� $A$-������, �� �����,
��� $x$ --- ��� ��� $A$. �������������, $\Gamma^\hdot(\CO_X)$
���� ��� $A$ �, �������������, $\Gamma^\hdot(\CO_X)$ ��������
������� ����������� $A$-�������.
���������� ������ ������������ $\Gamma^\hdot(\CO_X)/A$. �� �������
��������. � ������ �������, ������ ��� ������� ��� ��������� ��
$A^{\ge M}$ ��� ���������� ������� $M$ ����������. �������
������ $\Gamma^\hdot(\CO_X)/A$ ������������ � �������� ����� ��������.
������ $\Gamma(X,\CO_X(n)) = A^n$ ��� $n\gg0$.
\endproof

\begin{corr}
��� $m \gg 0$ $m$-�� ���������� �������� ������ $A^\hdot$ � $\Gamma^\hdot(\CO_X)$ �����.
\end{corr}

����� �������, ��� ���������� ��������� �������� �������,
������� $A$ ����������������� �� ����� $X$ � ����� $\CO_X(1)$
� ��������� �� ��������� ����� ���������.

����� ������� $A^\hdot$ ����������� ���������� $z_0,z_1,\dots,z_N$ ������� $1$.
����� ���������� ������������ ����������� $A^0[z_0,z_1,\dots,z_N] \to A^\hdot$.
����, ��� �������� ����������� �������� ������ ��������, ������ ��������� �����������
$\Proj A^\hdot \to \Proj A^0[z_0,z_1,\dots,z_N] = \Pp_{A^0}^N$.

\begin{exc}\label{sur_clem}
��������, ��� ��� ����������� �������� ��������� ���������.
\end{exc}

\begin{opr}
������� $X \to Y$ ���������� \emph{�����������}, ���� �� ������������ �����
��������� �������� � $\Pp_Y^N$ ��� ���������� $N$. ������������ ���������� \emph{�����������},
���� ��� ���������� ��� ������.
\end{opr}

����������� ������ ����� ������� ����������� ������� $A^\hdot$ ���������� ��� $\Spec A^0$.

\begin{exc}
��������, ��� ���� ����� $X$ ���������� ��� $\Spec A$, �� $X$ ��������
����������� �������� ��������� �������������� $A$-�������.
\end{exc}

\begin{exc}
����� $A^\hdot$ --- $d$-�� ���������� �������� � $k[z_0,z_1,\dots,z_N]$.
��������, ��� $\Proj A \cong \Pp^N$ ������������ � $\Pp^{{\scriptscriptstyle {N+d \choose d}}-1}$.
\end{exc}

��� �������� ���������� $d$-������� ��������� ��������.

\begin{exc}
��������, ��� ��� $N = 1$, $d=2$ ����� �������� �������� --- ������
{\rm(}������� ���������� ������ ������� $2$ � $\Pp^2${\rm)}
\end{exc}

\begin{exc}
����� $A^\hdot$ --- ������������ �������������� ���������� � ���������������� �������
$k[z_0,z_1,\dots,z_N]\otimes k[w_0,w_1,\dots,w_M]$, {\rm(}�� ���������� $A^n$ �������
�� ��������� ��������� $(n,n)${\rm) � $k[z_0,z_1,\dots,z_N]\otimes k[w_0,w_1,\dots,w_M]$}.
��������, ��� $\Proj A \cong \Pp^N\times\Pp^M$ ������������ � $\Pp^{MN + M + N}$.
\end{exc}

��� �������� ���������� ��������� �����.

\begin{exc}
��������, ��� ��� $M = N = 1$ ����� �������� ����� --- �������� � $\Pp^3$.
\end{exc}

\medskip


������ �������� ������� �� ����������� �������.




\begin{lemma}
���� ������� $A^\hdot$ ����������� ����������� $A^1$ ��� $A^0$-�������,
�� ��� ������� ����������������� ����� $\CF$ �� $X = \Proj A^\hdot$
���������� ���������� ������ $\beta:\widetilde{\Gamma^\hdot(\CF)} \cong \CF$.
\end{lemma}
\proof{}
����� ����� $f\in A^1$ � ���������� �������� ������������ $S_f \subset X$.
�� $S_f$ ����� $\widetilde{\Gamma^\hdot(\CF)} = \widetilde{(\Gamma^\hdot(\CF)[f^{-1}])^0}$,
������� ������ ��� ������� ����� ��� $m/f^n$, ��� $m\in \Gamma(X,\CF\otimes\CO_X(n))$.
����, ��� $1/f^n$ �������� �������� ����� $\CO_X(-n)$ �� $S_f$, �������
$m\otimes(1/f^n)$ �������� �������� ����� $\CF\otimes\CO_X(n)\otimes\CO_X(-n) = \CF$
�� $S_f$. ����������� ������� $m/f^n$ ������� $m\otimes(1/f^n)$ �������� ����������
$\beta_f$ �� $S_f$. ����, ��� ����������� $\beta_f$ � $\beta_g$ �����������
�� ������������ $S_f \cap S_g$, ������� ��� ��� ����������� � ����������
$\beta$ �� $\cup S_f = X$.
\endproof

����� ������, ������ ���������������� ����� �� ����� $\Proj A^\hdot$
�������������� � ���� $\widetilde{M^\hdot}$ ��� ���������� ���������������
$A^\hdot$-������ $M^\hdot$.

\begin{lemma}
���� $A^0$ --- �������� ������, $A^1$ --- ������� ����������� $A^0$-������
� $A^\hdot$ ����������� ����������� $A^1$ ��� $A^0$-�������, ��
��� ������� ��������������� ������� ������������ $A^\hdot$-������ $M^\hdot$
���������� ������� $A^\hdot$-������� $\alpha:M^\hdot \to \Gamma^\hdot(\widetilde{M^\hdot})$,
���������� ������������ �� ���� ��������, ������� � ���������.
\end{lemma}
\proof{}
������� ����� ���������� $z_0,z_1,\dots,z_n$ � $A^0$-������ $A^1$.
����� ������������ ����������� $M^n \to (M[z_i^{-1}])^n$,
������� ����� ������������ ��� ����������� $M^n \to \Gamma(S_{z_i},\widetilde{M^\hdot}(n))$.
����, ��� ��� ����������� ����������� �� ������������ $S_{z_i}\cap S_{z_j}$
������ ����������� � ����������� $M^n \to \Gamma(X,\widetilde{M^\hdot}(n))$,
������ �������� ������� ����������� $\alpha$.
�������� ���������, ��� $\alpha$ --- ���������� � ������� ��������.

������������� ����� ������������ ������ 3 (������ ������, �� ��������������
�������) --- �� ������ $M$ ���������� �������� ����������, ��� ��������������
������� ������� ����� ��� $(A/\pp) (n)$, ��� $\pp$ --- ���������� ������� �����.
����, ��� ����� ���������� ���������� ���������� �� ����� $\widetilde{M^\hdot}$
� ������� $\alpha$ ���������� � ����������� (� ���� ����������������). ������� ���������� �������� ����
����������� ��� ������� ���� $(A/\pp)(n)$. ����� ����, ���� ��� �������
$A$ ����� �������� �� $A/\pp$, ����� ������� ������ �������� � �����~\ref{gon}.
\endproof

����� �������, $A^\hdot$-������ $M^\hdot$ ���� �����������������
�� ����� $\widetilde{M^\hdot}$ � ��������� �� ������� ������������ $A^0$-������.

\begin{exc}[��������������]
��������, ��� ��������� ����������� ������ �� $\Proj A$ ������������
��������������� ��������� ������������������ �������������� $A$-�������
�� ������������ ������� ������� ����������� ��� $A^0$.
\end{exc}

%\begin{lemma}
%��� ������� ��������������� $A^\hdot$-������ $M^\hdot$ ����������
%������� $A^\hdot$-������� $\alpha:M^\hdot \to \Gamma^\hdot(\widetilde{M^\hdot})$,
%����� ��� ���� � ������ $\alpha$ �������� �������� ��������, �� ���� ������ �� �������
%������������ ��������� �������� ������ �������� �� $A^{\ge 1}$.
%\end{lemma}
%\proof{}
%��� ������� $f\in A^l$ ����� ������������ ����������� $M^n \to (M[f^{-1}])^n$,
%������� ����� ������������ ��� ����������� $M^n \to \Gamma(S_f,\widetilde{M^\hdot}(n))$.
%����, ��� ��� ����������� ����������� �� ������������ $S_f\cap S_g$
%������ ����������� � ����������� $M^n \to \Gamma(X,\widetilde{M^\hdot}(n))$,
%������ �������� ������� ����������� $\alpha$.
%����� ������ $m \in M^n$ ����� � ��� ����. ������ ������� $m$
%����� ���� � ����������� $M[f^{-1}]$, �� ���� $mf^k = 0$ ��� ���������� $k$.
%��������� ��� ����� ��� ������ $f$, $m$ �������� ��������� ��������.
%
%����������, ���� $m' \in \Gamma(X,\widetilde{M^\hdot}(n))$,
%�� ��� ������� $f$ ������� $m'$ ����� � $M[f^{-1}]^n$, �� ����
%�������������� � ���� $m/f^k$ ��� ���������� $m\in M$.
%������ $(m'f^k-m)f^l = 0$ ��� ���������� $l$, �� ����
%$m'f^l = mf^{k+l}$, �� ���� ����� $m'$ � ������ $\alpha$
%�������� ��������� ��������.
%\endproof
%
%\begin{exc}
%���� $A^0$ --- �������� ������, $A^1$ --- ������� ����������� $A^0$-������
%� $A^\hdot$ ����������� ����������� $A^1$ ��� $A^0$-�������, ��
%������ ������� ����������� �������������� ������ ��������
%������������ � �������� ����� ��������.
%\end{exc}
%
%\begin{prop}
%���� $A^0$ --- �������� ������, $A^1$ --- ������� ����������� $A^0$-������
%� $A^\hdot$ ����������� ����������� $A^1$ ��� $A^0$-�������, ��
%��� ������ ������� ������������ ��������������� $A^\hdot$-������
%$M^\hdot$ ���������� ����� ����� $n_M\in\Z$, ����� ��� �������
%$\alpha:M^n \to \Gamma(X,\widetilde{M^\hdot}(n))$
%�������� ������������ ��� $n \ge n_M$.
%\end{prop}
%\proof{}
%����, ��� ������ $A^\hdot$ ��������, ������ $M^\hdot$ �������,
%������� ��� ��������� $\Ker\alpha$ ������� ��������,
%������������� ������������ � �������� ����� ��������.
%������� ������, ��� ������ $\Gamma^\hdot(\CF)$ ������� ��������
%��� ������ ������������ ����� $\CF$ �� $X = \Proj A^\hdot$.
%�� ����� ����� �������� �������� ������������� ������ $\Coker\alpha$,
%�� ���� $\Coker\alpha$ ���� ������������ � �������� ����� ��������.
%
%����� $z_0,z_1,\dots,z_N$ --- ���������� $A^0$-������ $A^1$
%(��� �� �������� ����������� ������� $A^\hdot$).
%�� �������� ���������� $S_{z_i} = \Spec (A[z_i^{-1}])^0$
%����� $\CF$ �������������� � ���� $\widetilde{M_i}$,
%��� $M_i$ --- ������� ����������� $(A[z_i^{-1}])^0$-������.
%$M_i[z_i]$ �������� �������������� ������������������ $A$-�������
%� ����� ��������� �������� $\Gamma^\hdot(\CF) \subset \oplus_{i=0}^N M_i[z_i]$,
%������� $\Gamma^\hdot(\CF)$ ������������� ������� ��������.
%\endproof
%
%������ ��� ��������� ���� � �����������
%
%�� ������� ������ �� ��������, ��� ��������� ���������������� ������ �� �������� �����
%$\Spec A$ ������������ ��������� $A$-�������. ����������� ������ ������,
%����� �� ������� ��������� ���������������� ������ �� ����������� �����
%$\Proj A^\hdot$ � �������� �������������� ������� $A^\hdot$.
%
%����������� �����. �� ������� ������ �� ����������� ������� ���������������
%$A^\hdot$-������ $M^\hdot$ ���������������� ����� $\widetilde{M^\hdot}$.
%����� ������

����� ������ ������� ������������� �������� ������� � ������������ �������.
����� $\CA$ --- ���������������� ����� $\CO_X$-������ �� ����� $X$.
��� ������� ��������� ��������� ������������ $U \subset X$
���������� �������� $U$-����� $\Spec(\CA(U))$ (�������� � $U$
��������� �� �������� ������ $\CO_X(U) \to \CA(U)$). ����������� �����������
$\CA(U) \to \CA(V)$ ���� �������� ����$\Spec(\CA(V)) \to \Spec(\CA(U))$,
������� ��������� ������� ��������� ����� ��� $X$, ������� ������������ $\Spec_X(\CA)$
� ���������� ������������� �������� ����� ������ $\CA$ ��� $X$.

\begin{exc}
����� $\pi:X \to Y$ --- ��������.
��������, ��� $X = \Spec_Y(\pi_*\CO_X)$.
\end{exc}

���������� ��� ����� �������������� $\CO_X$-������ ������������
������������� ����������� ������. ��������, ���� $\CV$ --- �������� ��������� �����
��������� ����� �� ����� $X$, ����� $\Pp_X(\CV) = \Proj_X(S^\hdot\CV^*)$
���������� {\em ���������������} ����� $\CV$, � ���� $i:Z \subset X$ --- ���������
��������, �� ����� $\Bl_Z(X) = \Proj_X(\oplus I_Z^{k})$ ����������
��������� ����� ������� $I_Z = \Ker(\CO_X \to i_*\CO_Z)$.

\begin{exc}
��������, ��� �������� ������ ������� $I_Z^m$ � $I_Z$ �����.
\end{exc}








\subsection*{�������� � ����� �������� �����.}


����� ������ ���� �����������, ������� ������ ��������� ����� $X$
��� ������ $Y$ (�.�. ���������� ��������� $X \to Y$).
����� ��������, �������� �� ��� �����������, ����������
��������� ����������� � ����������� ������������ $\Pp^N_Y$.

����� $Y= \Spec A$, $\Pp^N_Y = \Proj A[z_0,z_1,\dots,z_N]$.
�������� ���������� $\calo(1)$ ��~$\Pp^N_k$ ����� $(N+1)$-������ ������������ ���������� �������
� ���������� ������� (���������� ����������� $z_0,z_1,\dots,z_N$). ���� ����� �������
������ ������� ������ $\calo^{\oplus (N+1)} \to \calo(1)$ ��~$\Pp^N_Y$.

\begin{exc}
��������, ��� ������� ������ $\calo^{\oplus (N+1)} \to \calo(1)$ �� $\Pp^N_Y$ �����������.
\end{exc}

����� ������ ��� �������� $X$ --- ������������ ��� ����� $k$, � $\rho:X \to \Pp^N_k$ --- �����������.
�������� ������� ��������� ������ $\rho^*$, �������� �������
$c_\rho:\calo_X^{\oplus (N+1)} \to \rho^*\calo(1)$ �� $X$. ������� ��������� ������ ����� ������
(�� �������� ����������� ������� �������� $\rho^{-1}$ � ������� ������ �������� ����������
������������ �� $\calo_X$), ������� ������� $c_\rho$ �����������.
������� ������, ��� ����������� $\rho$ ����� ������������ �� �������� $c_\rho$.

\begin{lemma}\label{recmap}
����� $L$ --- �������� ���������� �� $X$ � $c:\calo_X^{\oplus (N+1)} \to L$ --- ������������ �������.
����� ���������� ����������� $\rho:X \to \Pp^N_k$, ����� ��� $L = \rho^*\calo(1)$ � $c = c_\rho$.
\end{lemma}
\proof{}
����������� $\rho$ ����� ��������� �� ������ �����. ��� ������ ����� $x\in X$
� ����� ������� $K$ ������� ���������� $L_x\cong K$ (����� $L$ �������� �������� ����� $1$),
� ���������� ����� ��������� $(c_x(e_0),c_x(e_1),\dots,c_x(e_N)) \in K^{N+1}$,
��� $e_0,e_1,\dots,e_N$ --- ����������� ����� � ���� $(\calo_X^{\oplus (N+1)})_x = K^{N+1}$,
� $c_x$ --- ������� ����� � $x$. ����, ��� ���������� ����� ����� �� ����� ���� �������,
��� ��� ������� $c$ �����������. ����� ����, ������ ���������� $L_x\cong K$ �������� ����
����� �� ��������� ���������. ����� �������, �������� ��������� ������������ $K$-�����
������������ ������������ $\Pp^N_k$. ��� ����� ��������� ����������� $\rho:X \to \Pp^N_k$.
������ ����������� $\rho$ ��������. ����� $x_0,x_1,\dots,x_N$ --- ������� ���������� $L$
�� $X$, �������������� �������� �������� $e_0,\dots,e_N$. ����� $X_i = \{x\in X\ |\ x_i(x)\ne 0\}$.
��� �������� �� ��������� ������������ (���������!). ���������� ����������� �����
$k[z_0/z_i,z_1/z_i,\dots,z_N/z_i] = (k[z_0,z_1,\dots,z_N][z_i^{-1}])^0 \to \calo_{X_i}$,
����������� $z_j/z_i$ � $x_j/x_i$ (������� ���� ������� ��������� ����������,
���� �� ������� ����� �� ���������� � ���� �������� ��������� ������������ ��������).
����� ������, ��� ��������������� ����������� $\rho_i:X_i \to U_i = \{(z_0:z_1:\ldots:z_N)\in\Pp^N_k\ |\ z_i\ne 0\}$
��������� �� ������������ $X_i\cap X_j$ � ������� ���������� � ������� ���� $X \to \Pp^N_k$,
�� ������ ����� ����������� � $\rho$.

�����, ����������� ����� $\calo(1)$ �� $U_i$ �� ����������� ������������� ���������� ������
$z_ik[z_0/z_i,z_1/z_i,\dots,z_N/z_i] = (k[z_0,z_1,\dots,z_N][z_i^{-1}])^1$.
����������� �������� $z_i$ ������� $x_i\in L(X_i)$ �������� ����������
$\rho_i^*\calo(1) \cong L_{|X_i}$. ����� ��, ����������� �����������
����������� �� ������������ $X_i\cap X_j$, � ������� ���� ���������� $\rho^*\calo(1) \cong L$,
������ $c_\rho = c$.
\endproof

������� ���������� ��� ����������� � ��������������� �����. ����� $V$ --- ��������� ������������.
������� $\Pp(V) = \Proj S^\hdot(V^*)$, ��� $S^\hdot(V^*)$ --- ������� �������������� ������� �� $V$
(����� ������ $z_0,z_1,\dots,z_N$ � $V^*$ ���� ����������� $S^\hdot(V^*) \cong k[z_0,z_1,\dots,z_N]$,
$\Pp(V) \cong \Pp^N_k$). �������������, ����������� $\rho:X \to \Pp(V)$ ������������ �������
$c_\rho:V^*\otimes\calo_X \to \rho^*\calo(1)$ � ��������, ������� ����������� $c:V\otimes\calo_X \to L$
����������� $\rho:X \to \Pp(V^*)$.


\begin{exc}
�������� ������������� ������ �����~$\ref{recmap}:$
���� $\CV$ --- �������� ��������� ����� ��������� ����� �� ����� $Y$,
���������, ��� ��� ������ ����� $X$ ��� $Y$ � ��������� $\pi:X \to Y$,
���������� ������� ����� ���������� ���� $X \to \Pp_Y(\CV)$ ��� $Y$
� ������������� ������ $\pi^*\CV^* \to L$.
\end{exc}

� ���������, ���� �� ����� �������� ����������� � $\Pp^N_Y$ ���� � ��������
$\CV$ ����� ��������� �����, $\CV = V\otimes\CO_Y$. � ���� ������
$\pi^*\CV^* = V^*\otimes\CO_X$, �� ���� ������� ������ �����������
����������� ������� ����������� $V^* \to H^0(X,L)$.

����, ����� ������ ����������� $X$ � ����������� ������������ ���� ������� �������� ���������� $L$
� ��������� ������������ ��� ������� $V \to H^0(X,L)$, ����� ��� ��������������� ������� ������
$V\otimes\calo_X \to L$ ����������� (�������, ��� ����� $L$ {\em �����������}\/ ������������� $V$.
����, ��� � �������� $V$ ����� ����� ��� ������������ $H^0(X,L)$. ���� ��� ��������� $L$
(� ���� ������ �������, ��� $L$ {\em ����������� ����������� ���������}), ��������
����������� $X \to \Pp(H^0(X,L)^*)$. ������, ��������� �����, ��������� �������������
������� �������� ����������� ����������� ��������� ���������� {\em ������������} (semiample).
%
%\begin{exc}
%����� $L$ --- ������������ ��������� �����.
%���������, ��� ������������ $V$ ��������� $L$ ����� � ������ �����,
%����� ����� $X$ � $\Pp(H^0(X,L)^*)$ �� ���������� $\Pp(V^\perp) \subset \Pp(H^0(X,L)^*)$ � ���
%��������������� ����������� $X \to \Pp(V^*)$ �������������� � ����������
%$X \to \Pp(H^0(X,L)^*)\setminus \Pp(V^\perp) \to \Pp(V^*)$, ���
%������ ����������� --- �������� ��������.
%\end{exc}
%
������������ ��������� ����� $L$ ������� �� ����������� ����������� ���������.
% (� �� ���� ��������).

\begin{opr}
{\em �������� ����������} ��������� ���������� $L$ ���������� ���������
$B(L) \subset X$ ����� ����� $x \in X$, ��� ��� ���������� �������
$L$ ���������� � $0$ � $x$.
\end{opr}

��� �������������� ��������; ����� ���������� ��������, �������
������� � � ������������� �������� $X/Y$, �����. ��������� �����
$\pi:X \to Y$ �������� $X$ � $Y$. ����� �� �������������, �����
������������ ����������� $\eta:\pi^*\pi_*L \to L$.

\begin{exc}
��������, ��� $B(L) = \Supp \Coker\eta$ (�.�. ��������� �����, ���
$\eta$ �� �����������).
\end{exc}

������ ��������������� ��������, ��� $B(L)$ ��� ��������������
������������ -- ��������� ����� ��������� ��������� �������� -- �
��� ����������� �� ����� ���� ����� ����� ��� ������
����������������� ����� $\E$ �� $X$. ����� ����������� ����������� ���������,
���� $B(L) = \emptyset$.

����, �� ��������, ��� ��� ������� ����������� $Y$-����� $\rho:X \to \Pp^N_Y$
���������� ������� �������� ���������� $\rho^*\CO(1)$.

\begin{opr}
���������� $L$ �� $X/Y$ ���������� {\em ����� �������� ��� $Y$}, ����
���������� ����� ����������� ������������ $\Pp^N_Y$ � �������� $\rho:X \to
\Pp^N_Y$, ��� $L \cong \rho^*\calo(1)$. ���������� ���������� ������
{\em ��������}, ���� �����-�� ��� ������������� ��������� �������
$L^{\otimes n}$, $n \geq 1$ ����� �������.
\end{opr}

����� ��� {\em ���������} �� ������ ������ �������� ����������
��������� � ���������� ��������: ���� ��������� ��������
$\overline{X} \subset \Pp^N_Y$, � �������� �������� $X \subset \overline{X}$.



��������� ������ ���������������� �������� �������� ����������.
�� �������������� ����, ��� ������ �������� ����� ����������� ����������� ���������.
�������� ������� �� ����� --- ���� ��� ��������� ����������� �����
$L$, �� �� ������ ��������� ����������� $\rho:X \to \Pp(V)$,
$V = (H^0(X,L)^*)$ � ����, ��� $L$ ����� ������ ����� � ������ �����,
����� ��� $\rho$ -- �������� (� ��� �������� ������� -- ��������,
������� �������, ��� ���������� ����� $\calo_X$ ������ ���������
�������� -- ������? -- �� �������� ����� ���������� ������� �� $X$
��� ������ ���������, ��� ��� $\dim V = 1$, � $\Pp(V)$ -- �����).

\begin{exc}
������� ���� $\rho:X \to Y$ �������� ��������� ����� � ������ �����,
�����
\begin{enumerate}
\item ��� ����� ���� ������ ����� $x,x' \in X$ ����� $\rho(x) \neq
\rho(x')$, �
\item ��� ����� ����� $x \in X$ � ���������� ������������ ������� (�
������ ����������) $\xi$ � ����� $x$, $\rho(\xi) \neq 0$.
\end{enumerate}
\end{exc}

���� ����������� $\rho:X \to \Pp(V)$, ���������� ���������
������������ ��������� ���������� $L$, ������������� �������
\thetag{i}, �� �������, ��� $L$ {\em ��������� �����}, � ����
������� \thetag{ii} -- �� ��� $L$ {\em ��������� �����������
�������}.

\begin{exc}
����� $\rho:X \to \Pp(V^*)$ --- �����������, �������� ���������������� $V \subset H^0(X,L)$.
���������, ��� ������� ����������� ���������� ����������� ��������
\begin{enumerate}
\item ��� ����� ���� ������ ����� $x,x' \in X$ ���������� ����� $s
\in H^0(X,L)$, ��� $s(x)=0$, � $s(x') \neq 0$.
\item ��� ����� ����� $x \in X$ � ���������� ������������ ������� (�
������ ����������) $\xi$ � ����� $x$, ���������� ����� $s \in
H^0(X,L)$, ��� $s(x) = 0$, �� $\langle ds, \xi \rangle \neq 0$.
\end{enumerate}
\end{exc}


����� ��������� ������� ���������� � ��������� ������: ���������
����� $L$ �������� �������� ����� $1$, ����� �������, ��� $L|_U
\cong \calo_U$ � �����-�� �������� ����������� $U \subset X$ �����
$x$; ����� $s$ ��� ������ �������, � �� ������������ $ds$ ������
���������. ���� �� ������� ������ ���������� $L|_U \cong \calo_U$,
�� �������, ���������� $s$, ��������� �� ��������� �������. �������
$\langle ds,\xi \rangle$ ��������� �� ��������� ��������� -- � ���
����, ��� ��� ����� ����� ��� �� ����� ����, �� ������� �� ������
����������� $L|_U \cong \calo_U$.

����� �������, �������� ���������� ����� �������, ���� ��� (1) ��
����� �������� �����, (2) ��������� �����, � (3) ���������
����������� ������� -- ��� ������������ � ������������ �����, ���
���� � ������ ����������� ����������� �������.

\begin{exc}
��������, ��� ���� $L$ --- �������� ����� �� ��������� ����� $X$,
�� ��� ������ ������������ ����� $\CF$ �������� ����� $n_\CF$,
����� ��� ��� ������ $n\ge n_\CF$ ����� $L^n\otimes\CF$
����������� ����������� ���������.
\end{exc}

�������, ������������� ��������� ��������� ���������� �� ����� $X$
��� �� ����������� �� ������������� --- ���������� ����������� �� $X$
� ����������� ������������ ����� �� ���� ��������� ���������. �� ����� ����
��� ����������� ����� � ������ �����, ����� $X$ �������� ������ ��������� ---
�������� {\em �����������}\/ ��� $Y$. �� ���� �������� �� ��������� �� ��������� ������.

��������� ��������� �� ��� ���� ��� �����.
� ������������ ��������� ������ ��������������� $V \subset H^0(X,L)$
���������� {\em �������� ��������}\/ (� ��� $H^0(X,L)$ -- {\em ������
�������� ��������}). �����������, ��� ������������ � ���� �������
������� � ������, ����� �������������� �������� �������� �� �������
�������� ���������� � ������� ��� ���������� {\em ���������}. �� ���
����� ���������, �� ����� ��������� �����. �������� �������� ������� $V$
����� ��� ��, ��� � ������, ����� ��������� �������� ����� $B(V)$ �
������ ����������� $X \setminus B(V) \to \Pp(V^*)$, ������� �����
���� ��� �� ���� ���������, ��������� ��� �� ��������� �����, � �.�.

\begin{exc}
����� $A$ -- �������-����������� ������� ��� ����� $k$, $X = \Spec
A$ -- �������� �����, $L = \calo_X$ -- ����������� ��������
����������, � $V \subset A = H^0(X,\calo_X)$ -- �������������
���������������. � ����� ������� �������� ������� $V$ (1) �����
�������? (2) �� ����� �������� �����?
\end{exc}




\end{document}
