\documentclass[12pt,leqno]{article}

\usepackage{amsmath,amsfonts,amscd,amssymb,theorem}

\addtolength{\topmargin}{-23mm}
\addtolength{\textheight}{60mm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-20mm}
\addtolength{\textwidth}{40mm}

%%%%%  Theorem style with a dot at the end of the header

\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@dotted{\normalfont\itshape
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}}
\endgroup
\makeatother

\theoremstyle{dotted}

\newtheorem{thm}{Теорема}[section]
\newtheorem{lemma}[thm]{Лемма}
\newtheorem{prop}[thm]{Предложение}
\newtheorem{corr}[thm]{Следствие}
\newtheorem{exc}{Упражнение}[section]
\newtheorem{sch}[thm]{Факт}

%%%%%  Same for definitions

\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@upshape{\normalfont
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}}
\endgroup
\makeatother

\theoremstyle{upshape}

\newtheorem{opr}[thm]{Определение}
\newtheorem{rem}[thm]{Замечание}

%%%%% Разное

\makeatletter
\@addtoreset{equation}{section}
\makeatother
\renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}}

\newcommand{\proof}[1][Доказательство.]{\smallskip\noindent{\em #1}}
\def\endproof{\hfill\ensuremath{\square}\par\medskip}

\renewcommand{\labelenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}}
\renewcommand{\theenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}}

\def\eqref#1{\thetag{\ref{#1}}}
\def\eps{\varepsilon}
\def\phi{\varphi}
\def\wt{\widetilde}
\def\wh{\widehat}

\let\latexref=\ref
\def\ref#1{{\normalfont{\latexref{#1}}}}

\setlength{\unitlength}{1pt}
\newcommand{\idot}{{\:\raisebox{1pt}{\text{\circle*{1.5}}}}}
%
% The dot which looks good as index for homology groups
%
\newcommand{\hdot}{{\:\raisebox{3pt}{\text{\circle*{1.5}}}}}
%
% Same for cohomology
%

%%%%% Буквы

\newcommand{\C}{{\mathbb C}}
\newcommand{\Z}{{\mathbb Z}}
\newcommand{\R}{{\mathbb R}}
\newcommand{\Q}{{\mathbb Q}}

\newcommand{\A}{{\mathbb A}}

\newcommand{\m}{\mathfrak m}
\newcommand{\aA}{\mathfrak a}
\newcommand{\pp}{\mathfrak p}
\newcommand{\qq}{\mathfrak q}
\newcommand{\bb}{\mathfrak b}

\newcommand{\calo}{{\mathcal O}}
\newcommand{\F}{{\mathcal F}}

\newcommand{\Hom}{\operatorname{{\sf Hom}}}
\newcommand{\Ext}{\operatorname{{\sf Ext}}}
\newcommand{\Tor}{\operatorname{{\sf Tor}}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{{\sf Sym}}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{{\sf Id}}}
\newcommand{\id}{\operatorname{{\sf id}}}

\newcommand{\hhom}{\operatorname{{\mathcal H}{\it om}}}

\renewcommand{\Im}{\operatorname{{\sf Im}}}
\newcommand{\Ker}{\operatorname{{\sf Ker}}}
\newcommand{\Coker}{\operatorname{{\sf Coker}}}

\newcommand{\Aut}{\operatorname{{\sf Aut}}}
\newcommand{\Der}{\operatorname{{\sf Der}}}

\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Proj}{\operatorname{Proj}}
\newcommand{\Max}{\operatorname{Max}}
\newcommand{\Ass}{\operatorname{Ass}}
\newcommand{\Supp}{\operatorname{Supp}}
\newcommand{\Frac}{\operatorname{Frac}}
\newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}}

\newcommand{\Shv}{\operatorname{Shv}}
\newcommand{\PShv}{\operatorname{PreShv}}
\newcommand{\Et}{\operatorname{\text{\'Et}}}

\renewcommand{\dim}{\operatorname{{\sf dim}}}
\newcommand{\depth}{\operatorname{{\sf depth}}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{{\sf rk}}}
\newcommand{\ev}{\operatorname{{\sf ev}}}
\renewcommand{\deg}{\operatorname{{\sf deg}}}
\renewcommand{\det}{\operatorname{{\sf det}}}

\newcommand{\disc}{\operatorname{{\sf disc}}}
\newcommand{\Ann}{\operatorname{{\sf Ann}}}
\newcommand{\Res}{\operatorname{{\sf Res}}}
\newcommand{\tr}{\operatorname{{\sf tr}}}
\newcommand{\gr}{\operatorname{{\sf gr}}}
\newcommand{\htt}{\operatorname{{\sf ht}}}
\newcommand{\ppt}{\operatorname{{\sf pt}}}
\newcommand{\cchar}{\operatorname{{\sf char}}}

\def\ds{\displaystyle}

\newcommand{\6}{\partial}

%%%%% Pagestyle

\pagestyle{myheadings}

\markboth{Введение в алгебраическую геометрию -- лекции в НОЦ МИАН,
весна 2006}{Введение в алгебраическую геометрию -- лекции в НОЦ
МИАН, весна 2006}

\begin{document}

\setcounter{section}{12}
\stepcounter{section}
\section*{Лекция 13.}

\begin{center}
\begin{minipage}{0.7\linewidth}\small
Гомологическая теория локальных колец: проективная размерность,
глубина и регулярные последовательности, комплекс Кошуля,
характеризация Серра регулярных колец.
\end{minipage}
\end{center}

\subsection*{Проективная размерность.}

В этой лекции мы будем изучать гомологические свойства модулей над
локальным кольцом. Пусть $A$ -- нетерово локальное кольцо, с
максимальным идеалом $\m \subset A$ и полем вычетов $k = A/\m$.

\begin{lemma}
Пусть $M$ -- конечно порожденный $A$-модуль; тогда следующие
свойства эквивалентны:
\begin{enumerate}
\item $M$ плоский,
\item $M$ проективный,
\item $M$ свободный,
\item $\Tor^1(M,k)=0$.
\end{enumerate}
\end{lemma}

\proof{} \thetag{iii} $\Rightarrow$ \thetag{ii} $\Rightarrow$
\thetag{i} $\Rightarrow$ \thetag{iv} очевидно, доказать надо
\thetag{iv} $\Rightarrow$ \thetag{iii}. Действительно, поскольку
$M$ конечно порожден, можно выбрать свободный модуль $F=A^{\oplus
n}$ и сюръективное отображение $f:F \to M$, причем можно взять число
образующих $n$ минимальным возможным, а именно, равным размерности
$\dim_k M/\m M$. Тогда $\overline{f}:F/\m F \to M/ \m M$ --
изоморфизм (такую пару $\langle F,f \rangle$ будем называть {\em
минимальным свободным накрытием} модуля $M$). Поэтому, если $N =
\Ker f \subset F$, то $N/\m N$ сюъективно накрывается $k$-векторным
пространством $\Tor^1(M,k)$. По предположению, оно равно нулю; стало
быть, $N=0$ по лемме Накаямы, и $M \cong F$ -- свободный $A$-модуль.
\endproof

Это утверждение имеет следующее обобщение.

\begin{lemma}\label{proj.dim}
Пусть $M$ -- конечно порожденный $A$-модуль; тогда следующие
утверждения эквивалентны:
\begin{enumerate}
\item $M$ имеет проективную резольвенту длины $n$,
\item $\Tor^n(M,k)=0$.
\end{enumerate}
\end{lemma}

\proof{} \thetag{i}$\Rightarrow$\thetag{ii} очевидно. В другую
сторону, возьмем проективную резольвенту $P_\idot$ модуля
$M$. Обозначим через $Z_0 \subset P_0$ ядро отображения аугментации
$P_0 \to M$, а через $Z_i \subset P_i$, $i \geq 1$ -- ядро
дифференциала $d:P_i \to P_{i-1}$. Тогда резольвента $P_\idot$
распадается в набор коротких точных последовательностей
$$
\begin{CD}
0 @>>> Z_{i+1} @>>> P_{i+1} @>>> Z_i @>>> 0,
\end{CD}
$$
и, применяя по индукции длинную точную последовательность функторов
$\Tor$, получаем $\Tor^{n-i-1}(Z_i,k)=0$. В частности, $Z_{n-2}$ --
проективный модуль. Поэтому резольвенту $P_\idot$ можно обрезать --
заменить $P_{n-1}$ на $Z_{n-2}$, а дальше поставить нулевые
модули. Получаем резольвенту длины $n$.
\endproof

\begin{opr}
{\em Проективной гомологической размерностью} модуля $M$ называется
наименьшее $n$, для которого $M$ имеет проективную резольвенту длины
$n+1$ -- или бесконечность, если проективной резольвенты конечной
длины у $M$ вообще нет.
\end{opr}

Проективная гомологическая размерность модуля над коммутативным, да
и не обязательно коммутативным, кольцом -- это важный инвариант. К
сожалению, как раз в коммутативном случае он не особенно полезен,
поскольку, как мы увидим, для нерегулярного кольца проективная
размерность модуля, как правило, бесконечна.

\begin{exc}
Пусть $A = k[x]/x^n$. Чему равна проективная размерность $A$-модуля
$k$?
\end{exc}

\begin{exc}
Пусть $\Tor^i(k,k)=0$; докажите, что $\Tor^j(k,k)=0$ для любого $j >
i$.
\end{exc}

\subsection*{Комплекс Кошуля.}

Пусть даны $l$ штук элементов $x_1,\dots,x_l \subset \m$. {\em
Комплекс Кошуля} $K_\idot^{x_1,\dots,x_l}(A)$ задается так: как
$A$-модуль, $K_\idot^{x_1,\dots,x_l}(A) = A\langle \xi_1,\dots,\xi+l
\rangle$ есть алгебра грассмановых полиномов над $A$ от $l$
образующих $\xi_1\dots,\xi_l$; дифференциал $d$ есть
дифференцирование -- т.е. отображение, удовлетворяющее правилу
Лейбница, с соотвествующими знаками -- которое на образующих равно
$d(\xi_i) = x_i \in A$.

\begin{exc}
Проверьте, что $d^2=0$. (Указание: воспользуйтесь тем, что $d^2$ это
(косо)коммутатор $d$ с собой, а потому тоже удовлетворяет правилу
Лейбница.)
\end{exc}

Если дан $A$-модуль $M$, то комплекс Кошуля можно тензорно помножить
на $M$ -- получается {\em комплекс Кошуля модуля $M$}
$K_\idot^{x_1,\dots,x_l}(M) = K_\idot^{x_1,\dots,x_l}(A) \otimes_A
M$.

\begin{opr}
Говорят, что $x_1,\dots,x_l$ -- {\em регулярная последовательность}
для $M$, если комплекс Кошуля $K_\idot^{x_1,\dots,x_l}$ точен везде,
кроме степени $0$.
\end{opr}

\begin{lemma}\label{reg}
Пусть дан конечно порожденный $A$-модуль $M$. Последовательность
$x_1,\dots,x_l$ регулярна для $M$ тогда и только тогда, когда
\begin{enumerate}
\item $x_1$ -- не делитель $0$ в $M$ (т.е. $x_1m \neq 0$ для любого
ненулевого $m \in M$), и
\item $x_2,\dots,x_l$ -- регулярная последовательность для $M/x_1M$.
\end{enumerate}
\end{lemma}

\proof{} В одну сторону утверждение очевидно: комплекс Кошуля
$K_\idot^{x_1,\dots,x_l}(M)$ есть конус отображения
$K_\idot^{x_2,\dots,x_l}(M) \to K_\idot^{x_2,\dots,x_l}(M)$,
заданного умножением на $x_1$; раз $x_1$ не делитель нуля, это
отображение инъективно, и его конус квазиизоморфен его коядру; а
коядро и есть в точности $K^{x_2,\dots,x_l}(M/x_1M)$. 

В другую сторону: пусть $x_1,\dots,x_l$ -- $M$-регулярная
последовательность. Достаточно проверить условие \thetag{i},
т.е. что $x_1$ не делитель $0$ в $M$ -- тогда вышеприведенний
аргумент работает так же и дает условие \thetag{ii}. Иными словами,
надо доказать, что последовательность из одного элемента $x_1$
регулярна для $M$. По индукции, для этого достаточно доказать, что
последовательность $x_1,\dots,x_{l-1}$ $M$-регулярна.

В самом деле, представим комплекс Кошуля
$K_\idot^{x_1,\dots,x_l}(M)$, как выше, в виде конуса отображения
умножения, но не на $x_1$, а на $x_l$:
\begin{equation}\label{cone}
\begin{aligned}
K_\idot^{x_1,\dots,x_l}(M) &= K_\idot^{x_1,\dots,x_{l-1}}(M) 
\oplus K_\idot^{x_1,\dots,x_{l-1}}(M) \wedge \xi_l,\\
d = d' + x_l,
\end{aligned}
\end{equation}
где $d'$ -- дифференциал в комплексе Кошуля
$K_\idot^{x_1,\dots,x_{l-1}}(M)$, a $x_l$ -- отображение умножения
на $x_l$. Пусть для какого-то $i > 0$ модуль гомологий
$N=H_i(K_\idot^{x_1,\dots,x_{l-1}})$ нетривиален. Возьмем любой
элемент $[a] \in N$, представленный каким-то циклом $a \in
K_\idot^{x_1,\dots,x_{l-1}}(M)$, $d'(a)=0$. Поскольку мы знаем, что
комплекс Кошуля $K_\idot^{x_1,\dots,x_l}(M) \supset
K_\idot^{x_1,\dots,x_{l-1}}(M)$ ацикличен в степени $i$, имеем
$$
a = d(b) = d(b' + b'' \wedge \xi_l)
$$
для каких-то $b' \in K_{i+1}^{x_1,\dots,x_{l-1}}(M)$, $b'' \in
K_i^{x_1,\dots,x_{l-1}}(M)$. С учетом \eqref{cone}, это значит, что
$d'(b'') = 0$, и что $a = x_lb''$ по модулю образа дифференциала
$d'$. Тем самым, $b''$ есть цикл, т.е. представляет какой-то класс
гомологий $[b''] \in N$, и при этом $[a]=x_l[b'']$.

Т.к. $[a] \in N$ был любой, мы заключаем, что умножение на $x_l$
сюръективно на $N$. В частности, оно сюръективно на $N/\m N$; а
поскольку $x_l \in \m$, $N/\m N=0$, и $N=0$ по Лемме Накаямы.
\endproof

\begin{corr}\label{kosz}
Пусть дано регулярное локальное кольцо $А$ размерности $d= \dim A$,
и набор образующих $x_1,\dots,x_d$ максимального
идеала $\m \subset A$. Тогда $x_1,\dots,x_d$ -- регулярная
последовательность для $A$, а $\dim_k\Tor^l(k,k)=\binom{d}{l}$ (в
частности, проективная размерность $k$ равна $d$).
\end{corr}

\proof{} То, что $x_1 \in \m$ не есть делитель нуля, легко видеть,
например, из того, что он не есть делитель нуля в кольце полиномов
$k[x_1,\dots,x_d]$ -- присоединенном градуированном фактор $A$ по
$\m$-адической фильтрации. Так же легко видеть, что $A/x_1A$ --
регулярное кольцо размерности $d-1$. По индукции получаем первое
утверждение. Второе получается, если вычислить функторы
$\Tor^\hdot(k,k)$ с помощью проективной резольвенты
$K_\idot^{x_1,\dots,x_d}(A)$.
\endproof

\subsection*{Глубина.}

\begin{lemma}\label{glub}
Пусть $M$ -- конечно порожденный $A$-модуль, а $n$ -- положительное
целое число; тогда следующие условия эквивалентны:
\begin{enumerate}
\item существует $M$-регулярная последовательность $x_1,\dots,x_N
\in \m$.
\item $\Ext^l(k,M)=0$ при $l \leq n-1$.
\end{enumerate}
\end{lemma}

(Функторы $\Ext^l(-,M)$ здесь -- это производные от функтора
$\Hom(-,M)$, так же, как функторы $\Tor^l(-,M)$ -- производные от $-
\otimes_A M$. Подробности продумайте сами или прочитайте в любом
учебнике по гомологической алгебре.)

\proof{} Индукция по $n$ (причем существенный шаг первый, $n=1$).

Пусть $n=1$. В \thetag{i} требуется элемент $x \in \m$, который не
есть делитель нуля для $M$. Иными словами, надо, чтобы объединение
$\Ann(m) \subset \m$ аннуляторов всех элементов $m \in M$ не
покрывало весь максимальный идеал $\m \in A$. По науке про
ассоциированные идеалы, здесь достаточно взять те аннуляторы,
которые просты как идеалы в $A$ -- т.е. просто все ассоциированные
идеалы $M$. А поскольку простой идеал не может быть объединением
других простых идеалов, которые в нем лежат собственным образом, сам
$\m$ должен быть ассоциированным идеалом для $M$. Итак, \thetag{ii}
для $n=1$ значит, что $\m \subset A$ не есть ассоциированный простой
идеал для $M$. Это по определению значит, что
$\Hom(k,M)=\Hom(A/\m,M)=0$.

Пусть теперь все доказано для какого-то $n$, и надо доказать для
$n+1$. Тогда замечаем, что по доказанному, существует $x_1 \in \m$,
которое не есть делитель нуля для $M$, и что для любого такого
$x_1$, имеем короткую точную последовательность
$$
\begin{CD}
0 @>>> M @>>> M @>>>M/x_1 @>>> 0.
\end{CD}
$$
Рассматривая соответствующую длинную точную последовательность
функторов $\Ext^l$, заключаем, что \thetag{ii} для $M$, $n+1$
эквивалентно \thetag{ii} для $M/x_1M$, $n$. То же верно для
\thetag{i}, в силу Леммы~\ref{reg}.
\endproof

\begin{exc}
Докажите, что в условии \thetag{ii} Леммы~\ref{glub} $\Ext^l(k,M)=0$
можно заменить на ``$\Ext^l(N,M)=0$ для любого $A$-модуля $N$
конечной длины''.
\end{exc}

\begin{opr}
{\em Глубиной} $\depth M$ модуля $M$ называется наибольшее $n$, для
которого верны эквивалентные условия Леммы~\ref{glub} (или $0$, если
они вообще никогда не верны).
\end{opr}

\begin{exc}
Докажите, что $\depth A \leq \dim A$ (выберите $x \in \m$, которое
не есть делитель нуля, и по индукции сведите все к $A/xA$).
\end{exc}

Геометрический смысл глубины такой. Пусть $k$ алгебраически
замкнуто, а $A$ -- локализация какой-то $k$-алгебры конечного типа в
замкнутой точке. Тогда набор элементов $x_1,\dots,x_l \in A$ задает
отображение $\Spec A \to \A^l$, а сами элементы $x_i$ порождают
регулярное подкольцо $B \subset A$. Тогда последовательность
$x_1,\dots,x_l$ регулярна тогда и только тогда, когда $A$ плоско над
$B$. В частности, $\depth A = \dim A$ тогда и только тогда, когда
$\Spec A$ допускает такое конечное отображение в $\A^d$ --
т.е. такую нетерову нормализацию -- что $\Spec A$ {\em плоско} над
аффинным пространством $\A^d$. Впоследствии мы увидим и другие
геометрические приложения понятия глубины.

\begin{opr}
Локальное кольцо, для которого $\depth A = \dim A$, называется {\em
кольцом Коэна-Маколея}.
\end{opr}

\begin{lemma}[Ауслендер-Буксбаум]
Пусть $M$ -- конечно порожденный $A$-модуль {\em конечной}
проективной размерности $n$. Тогда
$$
n + \depth M = \depth A.
$$
\end{lemma}

\proof{} Индукция по $n$. Случай $n=0$ очевиден. Если $n > 0$,
выберем минимальное свободное накрытие $f:F \to M$ модуля $M$, и
рассмотрим $Z = \Ker f \subset F$. Тогда с одной стороны, длинная
точная последовательность функторов $\Tor$ показывает, что $Z$ имеет
проективную размерность $n-1$. С другой стороны, из длинной точной
последовательности функторов $\Ext$ следует, что
$$
\Ext^l(k,Z) \cong \Ext^{l-1}(k,M)
$$
для всех $l < \depth A$. Если $n > 1$, это сразу дает шаг индукции
(мы используем \thetag{ii} Леммы~\ref{glub} для определения
глубины). Если $n=1$, надо дополнительно доказать, что естественное
отображение $\Ext^l(k,Z) \to \Ext^l(k,F)$ равно нулю и для $l =
\depth A$. Это следует из минимальности $F$: отображение вложения $Z
\to F$ -- а значит, и все индуцированные им отображения $\Ext^l(k,Z)
\to \Ext^l(k,F)$ -- пропускается через $\m F \subset F$, а все
$A$-модули $\Ext^l(k,Z)$ аннулируются максимальным идеалом $\m
\subset A$.
\endproof

\subsection*{Теорема Серра.}

Следствие~\ref{kosz} говорит, что если локальное кольцо $A$
регулярно, то проективная размерность модуля $k$ конечна (и равна
$\dim A$). Из Леммы~\ref{proj.dim} следует, что тогда и проективная
размерность любого конечно-порожденного $A$-модуля $M$ не превышает
$\dim A$ (говорят, что ``глобальная размерность кольца $A$ равна
$\dim A$''). Удивительным образом, обратное тоже верно -- имеется
следующий результат Серра.

\begin{thm}[Серр]
Пусть $A$ -- нетерово локальное кольцо с полем вычетов $k$, и
проективная размерность $A$-модуля $k$ конечна. Тогда $A$ регулярно.
\end{thm}

Доказывается это умным применением комплекса Кошуля. А именно, пусть
сначала дан конечно порожденный модуль $M$ над локальным кольцом
$A$. Последовательно беря {\em минимальные} свободные накрытия,
получаем такую свободную резольвенту $L_\idot$ модуля $M$, что
дифференциал $d:L_{i+1} \to L_i$ пропускается через $\m L_i \subset
L_i$. Такая резольвента называется {\em минимальной}.

\begin{exc}
Докажите, что минимальная резольвента единственна {\em с точностью
до изоморфизма}.
\end{exc}

Пусть теперь дан какой-то комплекс $K_\idot$ конечно порожденных
свободных $A$-модулей -- не обязательно точный -- и пусть $L_\idot$
-- минимальная резольвента модуля $K_0/\m K_0$.

\begin{lemma}\label{smart}
Пусть для любого $i \geq 0$ комплекс $K_\idot$ удовлетворяет
следующим двум условиям:
\begin{enumerate}
\item дифференциал $d:K_{i+1} \to K_i$ пропускается через $\m K_i
\subset K_i$, и
\item индуцированое отображение $K_{i+1}/\m K_{i+1} \to (\m/\m^2)
\otimes_k (K_i/\m K_i)$ инъективно.
\end{enumerate}
Тогда тождественное отображение $K_0/\m K_0 \to L_0/d(L_1)$
продолжается до такого отображения комплексов $f:K_\idot \to
L_\idot$, что для любого $i$ индуцированное отображение $f:K_i/\m
K_i \to L_i/ \m L_i$ инъективно.
\end{lemma}

\proof{} Хотя комплекс $K_\idot$ и не обязан быть точным, он все же
состоит из свободных -- а стало быть, проективных -- $A$-модулей. С
другой стороны, $L_\idot$ -- резольвента. Поэтому обычная
конструкция применима и дает отображение $f:K_\idot \to
L_\idot$. Более того, поскольку $L_\idot$ -- минимальная
резольвента, дифференциал в ней пропускается через $\m L_\idot
\subset L_\idot$, и для любого $i$ мы имеем коммутативную диаграмму
$$
\begin{CD}
K_{i+1}/\m K_{i+1} @>{d}>> (K_i/\m K_i) \otimes_k (\m/\m^2)\\
@V{f}VV  @VV{f}V\\
L_{i+1}/\m L_{i+1} @>{d}>> (L_i/\m L_i) \otimes_k (\m/\m^2).
\end{CD}
$$
По нашему предположению, верхняя строка -- инъективное
отображение. Поэтому если правый столбец инъективен, то и композиция
инъективна, а стало быть, левый столбец обязан быть
инъективным. Осталось применить индукцию по $i$.
\endproof

\begin{corr}
Пусть $A$ -- локальное кольцо, а $x_1,\dots,x_l$ -- минимальная
система образующих максимального идеала $\m \subset A$
(т.е. $x_1,\dots,x_l$ дают базис $k$-векторного пространства
$\m/\m^2$). Тогда для любого $i$ имеем
$$
\dim_k \Tor^i(k,k) \geq \binom{l}{i},
$$
и в частности, проективная размерность $k$ не меньше, чем $l$.
\end{corr}

\proof{} Легко проверить, что, в силу минимальности $x_1,\dots,x_l$,
комплекс Кошуля $K_\idot = K_\idot^{x_1,\dots,x_l}(A)$ удовлетворяет
условиям Леммы~\ref{smart}: действительно, отображение,
инъективность которого надо проверить, это в этом случае
$$
\Lambda^i(V) \to V \otimes_k \Lambda^{i-1}(V),
$$
где $V = \m/\m^2$. Поэтому если $L_\idot$ -- минимальная проективная
резольвента $k = K_0/\m K_0$, то $\dim_k L_i/\m L_i \geq \dim_l
K_i/\m K_i$. Левая часть по определению есть $\dim_k \Tor^i(k,k)$, а
правая -- требуемый биномиальный коэффициент.
\endproof

\proof[Доказательство Теоремы Серра.] Пусть проективная размерность
$k$ конечна и равна $l$. По Лемме Ауслендера-Буксбаума, имеем тогда
$l \leq l + \depth k = \depth A$, что в свою очередь не превышает
$\dim A$. С другой стороны, мы только что доказали, что $l$ не
меньше, чем размерность $\dim_k \m/\m^2$. Итак, $\dim_k \m/\m^2 \leq
\dim A$, а это и значит, что $A$ регулярно.
\endproof

\end{document}

