\documentclass[12pt,leqno]{article}

\usepackage{amsmath,amsfonts,amscd,amssymb,theorem}

\addtolength{\topmargin}{-23mm}
\addtolength{\textheight}{60mm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-20mm}
\addtolength{\textwidth}{40mm}

%%%%%  Theorem style with a dot at the end of the header

\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@dotted{\normalfont\itshape
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}}
\endgroup
\makeatother

\theoremstyle{dotted}

\newtheorem{thm}{Теорема}[section]
\newtheorem{lemma}[thm]{Лемма}
\newtheorem{prop}[thm]{Предложение}
\newtheorem{corr}[thm]{Следствие}
\newtheorem{exc}{Упражнение}[section]
\newtheorem{sch}[thm]{Факт}

%%%%%  Same for definitions

\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@upshape{\normalfont
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}}
\endgroup
\makeatother

\theoremstyle{upshape}

\newtheorem{opr}[thm]{Определение}
\newtheorem{rem}[thm]{Замечание}

%%%%% Разное

\makeatletter
\@addtoreset{equation}{section}
\makeatother
\renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}}

\newcommand{\proof}[1][Доказательство.]{\smallskip\noindent{\em #1}}
\def\endproof{\hfill\ensuremath{\square}\par\medskip}

\renewcommand{\labelenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}}
\renewcommand{\theenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}}

\def\eqref#1{\thetag{\ref{#1}}}
\def\eps{\varepsilon}
\def\phi{\varphi}
\def\wt{\widetilde}
\def\wh{\widehat}

\let\latexref=\ref
\def\ref#1{{\normalfont{\latexref{#1}}}}

\setlength{\unitlength}{1pt}
\newcommand{\idot}{{\:\raisebox{1pt}{\text{\circle*{1.5}}}}}
%
% The dot which looks good as index for homology groups
%
\newcommand{\hdot}{{\:\raisebox{3pt}{\text{\circle*{1.5}}}}}
%
% Same for cohomology
%

%%%%% Буквы

\newcommand{\C}{{\mathbb C}}
\newcommand{\Z}{{\mathbb Z}}
\newcommand{\R}{{\mathbb R}}
\newcommand{\Q}{{\mathbb Q}}

\newcommand{\A}{{\mathbb A}}

\newcommand{\m}{\mathfrak m}
\newcommand{\aA}{\mathfrak a}
\newcommand{\pp}{\mathfrak p}
\newcommand{\qq}{\mathfrak q}
\newcommand{\bb}{\mathfrak b}

\newcommand{\calo}{{\mathcal O}}
\newcommand{\F}{{\mathcal F}}
\newcommand{\E}{{\mathcal E}}

\newcommand{\Hom}{\operatorname{{\sf Hom}}}
\newcommand{\Ext}{\operatorname{{\sf Ext}}}
\newcommand{\Tor}{\operatorname{{\sf Tor}}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{{\sf Sym}}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{{\sf Id}}}
\newcommand{\id}{\operatorname{{\sf id}}}

\newcommand{\hhom}{\operatorname{{\mathcal H}{\it om}}}

\renewcommand{\Im}{\operatorname{{\sf Im}}}
\newcommand{\Ker}{\operatorname{{\sf Ker}}}
\newcommand{\Coker}{\operatorname{{\sf Coker}}}

\newcommand{\Aut}{\operatorname{{\sf Aut}}}
\newcommand{\Der}{\operatorname{{\sf Der}}}

\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Proj}{\operatorname{Proj}}
\newcommand{\Max}{\operatorname{Max}}
\newcommand{\Ass}{\operatorname{Ass}}
\newcommand{\Supp}{\operatorname{Supp}}
\newcommand{\Frac}{\operatorname{Frac}}
\newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}}

\newcommand{\Shv}{\operatorname{Shv}}
\newcommand{\PShv}{\operatorname{PreShv}}
\newcommand{\Et}{\operatorname{\text{\'Et}}}

\renewcommand{\dim}{\operatorname{{\sf dim}}}
\newcommand{\depth}{\operatorname{{\sf depth}}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{{\sf rk}}}
\newcommand{\ev}{\operatorname{{\sf ev}}}
\renewcommand{\deg}{\operatorname{{\sf deg}}}
\renewcommand{\det}{\operatorname{{\sf det}}}

\newcommand{\disc}{\operatorname{{\sf disc}}}
\newcommand{\Ann}{\operatorname{{\sf Ann}}}
\newcommand{\Res}{\operatorname{{\sf Res}}}
\newcommand{\tr}{\operatorname{{\sf tr}}}
\newcommand{\gr}{\operatorname{{\sf gr}}}
\newcommand{\htt}{\operatorname{{\sf ht}}}
\newcommand{\ppt}{\operatorname{{\sf pt}}}
\newcommand{\cchar}{\operatorname{{\sf char}}}

\def\ds{\displaystyle}

\newcommand{\6}{\partial}

%%%%% Pagestyle

\pagestyle{myheadings}

\markboth{Введение в алгебраическую геометрию -- лекции в НОЦ МИАН,
весна 2006}{Введение в алгебраическую геометрию -- лекции в НОЦ
МИАН, весна 2006}

\begin{document}

\setcounter{section}{13}
\stepcounter{section}
\section*{Лекция 14.}

\begin{center}
\begin{minipage}{0.7\linewidth}\small
Когомологии пучков, инъективные и вялые пучки. Инъективные модули
над кольцом. Когомологии пучков на схеме.
\end{minipage}
\end{center}

\subsection*{Когомологии пучков.}

Понятия проективного объекта и производных функторов от точного
справа функтора очевидным образом дуализуются -- надо ``обратить все
стрелки''. Двойственное понятие к проективному объекту это
инъективный объект.

\begin{opr}
Объект $I$ какой-либо категории называется {\em инъективным}, если
для любого инъективного морфизма
\begin{equation}\label{inj}
M \to N,
\end{equation}
любой морфизм $M \to I$ продолжается до морфизма $N \to I$.
\end{opr}

Говорят, что в категории {\em достаточно инъективных объектов}, если
любой объект вкладывается в инъективный. Если категория $C$ абелева
(как например категория модулей над кольцом, или пучков модулей на
окольцованном пространстве), и в ней достаточно инъкетивных
объектов, то для любого {\em точного слева} функтора $F:C \to D$ в
другую абелеву категорию $D$, производные функторы $R^iF:C \to D$
определяются так: для любого объекта $A \in C$ берем иъективную
резольвенту $I^\hdot$, и тогда $R^iF(A)$ -- это $i$-е когомологии
комплекса $F(I^\hdot)$. Так же, как и для проективных резольвент,
легко доказывается, что это действительно определяет функтор и не
зависит от выбора резольвенты; для короткой точной
последовательности в $C$, имеем длинную точную последовательность
производных функторов в $D$.

Ситуация, в который мы сейчас будем этот формализм применять, такая:
категория это категория пучков на топологическом пространстве,
функтор -- функтор глобальных сечений.

\begin{lemma}
Пусть $X$ -- топологическое пространство, $k$ -- поле, $\Shv_k(X)$
-- категория пучков $k$-векторных пространств на $X$. Тогда в
$\Shv_k(X)$ достаточно инъективных объектов.
\end{lemma}

\proof{} Для любой точки $x \in X$ и любого пучка $\F \in
\Shv_k(X)$, по сопряженности имеем каноническое отображение $\F \to
i_{x*}i_x^*\F$, где $i_x:x \to X$ -- отображение вложения точки
$x$. Если взять объединение $\overline{X}$ всех точек -- т.е. $X$ с
дискретной топологией -- и обознчить $i:\overline{X} \to X$, то $\F
\to i_*i^*\F \cong \oplus_x i_{x*}i_x^*\F$ это {\em инъективное}
отображение; поэтому достаточно доказать, что любой пучок вида
$i_{x*}i_x^*\F$ инъективен. Действительно, для любого пучка $\E$
имеем $\Hom(\E,i_{x*}i_x^*\F) \cong \Hom(i_x^*\E,i_x^*\F)$;
поскольку функтор ограничения $i_x^*$ точен, отсюда следует, что
условие продолжения \eqref{inj} достаточно проверять после
ограничения на $x$. Но категория пучков на точке -- это просто
категория $k$-векторных пространств, а в категории $k$-векторных
пространств очевидным образом {\em любой} объект инъективен.
\endproof

\begin{opr}
{\em Когомологии} $H^i(X,\F)$ пучка $\F$ на топологическом
пространстве $X$ это производные функторы от функтора глобальных
сечений: $H^i(X,\F)=R^i\Gamma(X,\F)$.
\end{opr}

\subsection*{Вялые пучки.}

Для определения когомологий инъективных объектов в $\Shv_k(X)$
достаточно, но для того, чтобы что-нибудь доказать, уже не всегда --
поэтому часто пользуются следующим приемом.

\begin{opr}
Объект $A$ абелевой категории $C$ называется {\em ацикличным} для
точного слева функтора $F$, или иногда {\em приспособленным к $F$},
если $R^iF(A)=0$ для любого $i \geq 1$.
\end{opr}

\begin{lemma}
Пусть дан точный слева функтор $F$ и резольвента $M^\hdot$ какого-то
объекта $A$, состоящая из объектов, ацикличных для $F$. Тогда
когомологии комплекса $F(M^\hdot)$ изоморфны $R^\hdot F(A)$.\endproof
\end{lemma}

Или же: производные функторы можно вычислять с помощью резольвент,
составленных из ацикличных объектов. Доказательство прочитайте в
учебнике или придумайте сами (указание: сначала докажите, что у
любого комплекса $K^\hdot$ есть ``инъективная резольвента'', а
именно, комплекс из инъективных объектов $I^\hdot$ и квазиизоморфизм
$K^\hdot \to I^\hdot$).

\begin{rem}
На самом деле, можно определить понятие ацикличного объекта, не
используя производные функторы, и тогда, чтобы определить и
рассматривать производные функторы какого-то точного слева $F$, не
нужно требовать, чтобы в категории было достаточно инъективных
объектов -- нужно только чтобы в ней было достаточно объектов,
ацикличных для $F$ (и то же, по двойственности, для функторов,
точных справа). Это не такая уж и редкая ситуация: например, в
категории пучков, как правило, {\em проективных} объектов
недостаточно (а то и вообще нет). Нам все это не понадобится, по
крайней мере пока; если хотите изучить эту тему, лучше смотреть тот
текст, где все это и было впервые введено -- ``О некоторых вопросах
гомологической алгебры'' А. Гротендика (он очень понятный, сжато и
хорошо написан).
\end{rem}

\begin{opr}
Пучок $\F$ на топологическом пространстве называется {\em вялым},
если для любого открытого множества $U$ и его открытого подмножества
$U' \subset U$, отображение ограничения $\F(U) \to \F(U')$ {\em
сюръективно}.
\end{opr}

\begin{exc}
Докажите, что любой инъективный пучок вялый (используйте то, что
продолжение пучков нулем с $U'$ на $U$ -- точный функтор).
\end{exc}

\begin{lemma}
Любой вялый пучок $\F$ на $X$ ацикличен по отношению к функтору глобальных
сечений $\Gamma(X,-)$.
\end{lemma}

\proof{} Надо доказать, что $H^i(X,\F)=0$ для любого $i \geq 1$ и
любого вялого $\F$. Индукция по $i$. Вложим $\F$ в инъективный пучок
$I$, и обозначим $\F'=I/\F$, так что есть короткая точная
последовательность
\begin{equation}\label{fl}
\begin{CD}
0 @>>> \F @>>> I @>{f}>> \F' @>>> 0
\end{CD}
\end{equation}
пучков на $X$. Мы утверждаем -- и для этого утверждения неважна даже
инъективность $I$ -- что отображение $\Gamma(X,I) \to \Gamma(X,\F')$
сюръективно. Действительно, выберем сечение $s \in \Gamma(X,\F')$;
надо доказать, что $s = f(s')$ для какого-то сечения $s' \in
\Gamma(X,I)$. Рассмотрим множество пар $\langle U,s'_U \rangle$ из
открытого подмножества $U \subset X$ и такого $s'_U \in I(U)$, что
$f(s'_U) = s|_U$. Это множество естественным образом частично
упорядочено ($\langle U,s'_U \rangle \leq \langle U',s'_{U'}
\rangle$ если $U \subset U'$ и $s_{U'}|_U=s_U$). Аксиомы пучка
немедленно показывают, что оно удовлетворяет условиям Леммы
Цорна. Пусть $\langle U,s'_U \rangle$ -- его максимальный
элемент. Тогда если $U \neq X$, то есть точка $x \in X$, $x \not\in
U$; по определению факторпучка у нее есть окрестность $V \subset X$
и такое $s'_V \in I(V)$, что $f(s'_V) = s|_V$. Тогда на пересечении
$s'_U$ и $s'_V$ отличаются на сечение $t \in \F(U \cap V)$ пучка
$\F$, и в силу вялости $\F$, $t$ можно продолжить до сечения $t_V
\in \F(V)$ на всем $V$. Заменим $s'_V$ на $s'_V + t_V$; тогда $s'_V$
и $s'_U$ согласованы на пересечениях, а потому задают общее сечение
$s' \in I(U \cup V)$, причем по-прежнему $f(s')=s$. Это противоречит
максимальности $U$.

Тот же аргумент работает, если вместо $X$ рассматривать сечения на
каком-то открытом $U \subset X$. Отсюда немедленно вытекает, что
$\F'$ тоже вялый. Из длинной точной последовательности когмологий,
связанной с \eqref{fl}, получаем, что $H^1(X,\F)=0$ (база индукции)
и $H^{i+1}(X,\F)=H^i(X,\F')$ (индуктивный переход).
\endproof

Главное достоинство вялых пучков -- это что они сохраняются
при прямом образе: прямой образ вялого пучка вялый
(проверьте). Это используется например для следующего.

\begin{exc}
Докажите, что если $f:X \to Y$ -- непрерывное отображение
топологических пространств, то любой вялый пучок $\F$ на $X$
ацикличен для функтора прямого образа $f_*$.
\end{exc}

\begin{lemma}
Пусть $f:X \to Y$ -- морфизм топологических пространств, а $\F$ --
пучок на $X$, ацикличный для $f_*$. Тогда $H^\hdot(X,\F) \cong
H^\hdot(Y,f_*\F)$.
\end{lemma}

\proof{} Для $H^0$, т.е. для глобальных сечений, это следует из
определения прямого образа (без всяких предположений на
$\F$). Высшие когомологии $H^\hdot(X,\F)$ будем вычислять с помощью
вялой резольвенты $F^\hdot$; тогда $f_*F^\hdot$ -- вялая резольвента
для $f_*\F$.
\endproof

\begin{rem}
Утверждение Леммы может показаться тривиальным и верным в более
общей ситуации: если есть функтор $F:C \to D$, точный слева функтор
$G:D \to E$ и объект $A \in C$, ацикличный для $F$, то $R^\hdot
G(F(A)) \cong R^\hdot(G \circ F)(A)$. Но это неверно (даже если $F$
вообще точный). Пример: $C$ и $E$ -- категория $k$-векторных
пространств, $D$ -- категория $k[x]$-модулей, $F$ -- функтор
вложения, $G$ -- сопряженный функтор факторизации по $x$ ($M \mapsto
M/xM$).
\end{rem}

\subsection*{Инъективные модули.}

Чтобы обобщить вышесказанное с пучков векторных пространств на пучки
модулей -- а нас в конечном счете интересуют когерентные пучки на
схеме -- надо сначала разобраться в ситуации, когда $X$ просто
точка. Иными словами, надо построить инъективные объекты в категории
$A$-модулей для какого-то (нетерова коммутативного) кольца $A$. Они
там действительно есть, но этот факт в учебниках очень не любят не
доказывать, ссылаясь на другой учебник. Потратим поэтому некоторое
время и разберемся в том, что происходит.

\begin{exc}
Докажите, что абелева группа $A$ инъективна как $\Z$-модуль тогда и
только тогда, когда она {\em делима}, т.е. для любого $a \in A$ и
любого ненулевого $n \in \Z$ существует такое $a' \in A$, что $a =
na'$.
\end{exc}

\begin{exc}
Докажите, что в категории модулей над кольцом $\Z_p$ $p$-адических
чисел модули $\Q_p$ и $\Q_p/\Z_p$ инъективны.
\end{exc}

Заметим, что ни тот, ни другой не конечно порождены. Это общая
ситуация: чтобы построить инъективные объекты, конечно-порожденных
модулей недостаточно, и надо рассматривать все.

\begin{lemma}
Пусть $\pp \subset A$ -- простой идеал в коммутативном кольце $A$, а
$I$ -- инъективный модуль над локализацией $A_\pp$. Тогда $I$
инъективен и как $A$-модуль.
\end{lemma}

\proof{} По сопряженности, для любого $A$-модуля $M$ имеем
$$
\Hom_{A_\pp}(M_\pp,I) = \Hom_{A_\pp}(M \otimes_A A_\pp,I) =
\Hom_A(M,I),
$$
а поскольку локализация -- точный функтор, условие
продолжения \eqref{inj} достаточно проверять после перехода к
$A_\pp$-модулям.
\endproof

Итак, инъкетивные модули достаточно уметь строить для локальных
колец. На самом деле, для них это можно сделать достаточно точно.

\begin{opr}
Инъективный модуль $I$ над локальным кольцом $A$ с максимальным
идеалом $\m \subset A$ и полем вычетов $k = A/\m$ называется {\em
инъективной оболочкой} $k$ (по-английски injective hull), если
\begin{enumerate}
\item $\Supp I = \{\m\} \subset \Spec A$, и
\item $\Hom_a(k,I) = k$.
\end{enumerate}
\end{opr}

\begin{opr}
Докажите, что если инъективная оболочка существует, то она
единственна с точностью до изоморфизма.
\end{opr}

\begin{thm}\label{inj.hull}
Пусть $A$ -- нетерово локальное кольцо; тогда у поля вычетов $k =
A/\m$ есть (единственная с точностью до изоморфизма) инъективная
оболочка $I$.
\end{thm}

\begin{lemma}\label{ide}
Пусть $A$-модуль $I$ удовлетворяет условию продолжения \eqref{inj}
для любой пары $\aA \subset A$, где $\aA$ -- идеал в $A$. Тогда $I$
инъективен.
\end{lemma}

\proof{} Надо проверить условие продолжения для любой пары модулей
$M \subset N$: дано $f:M \to I$, надо продолжить его до $f_N:N \to
I$. Рассмотрим множество пар $\langle M',f'\rangle$, $M' \subset N$
содержит $M$, $f':M' \to I$ продолжает $f:M \to I$. Это множество
частично упорядочено ``по продолжению'' и удовлетворяет условию
Леммы Цорна. Поэтому достаточно взять максимальный подмодуль и, если
это не все $N$, прибавить к нему один элемент. Иными словами, мы
можем предполагать, что $N = M + A \cdot x$ для какого-то $x \in
N$. Тогда $\aA = M \cap A \cdot x \subset A$ -- идеал, и чтобы
продолжить $f$ с $M$ на $N$, достаточно продолжить его с $\aA$ на
$A$.
\endproof

\begin{lemma}\label{fin.length}
Пусть кольцо $A$ -- локальное нетерово, а $A$-модуль $I$
удовлетворяет условию продолжения для всех пар $M \subset N$
$A$-модулей конечной длины, причем $\Supp I$ -- замкнутая точка
$\Spec A$. Тогда $I$ инъективен.
\end{lemma}

\proof{} По Лемме~\ref{ide} достаточно для любого идеала $\aA
\subset A$ продолжить любое отображение $f:\aA \to I$ на все
$A$. Поскольку по условию максимальный идеал $\m \subset A$ --
единственный ассоциированный идеал для $I$, любой элемент $x \in I$
аннулируется какой-то степенью $\m^n$; поскольку $\aA$ конечно
порожден, $f$ обращается в ноль на $\m^N\aA \subset \aA$ для
какого-то $N$. По Лемме Артина-Риса $\m^{N'} \cap \aA \subset
\m^M\aA$ для какого-то большего $N'$. Поэтому $f$ определено на
$\aA/(\m^{N'} \cap \aA)$, и его достаточно продолжить на
$A/\m^{N'}$. Оба модуля -- конечной длины.
\endproof

\subsection*{Локальная двойственность (для модулей конечной длины).}

Чтобы доказать Теорему~\ref{inj.hull}, нам осталось научиться
строить модули, удовлетворяющие условию продолжения отображений для
пар $M \subset N$ $A$-модулей конечной длины. Это можно очень просто
сделать в ``геометрической'' ситуации -- когда само кольцо $A$ есть
алгебра над $k$.

А именно, если $A$ -- $k$-алгебра, то всякий $A$-модуль $M$ конечной
длины есть также конечномерное векторное простраство над $k$. Легко
видеть, что двойственное векторное пространство $M^*$ тоже имеет
естественную структуру $A$-модуля конечной длины. Таким образом,
имеем функтор $M \mapsto M^*$ из категории $A$-модулей конечной
длины в двойственную к ней, причем не просто функтор, а
эквивалентность. Пусть $\wh{A}$ -- пополнение кольца $A$, а
$I=\wh{A}^*$ -- ``топологически двойственный к нему'', иными словами,
просто прямой предел $\lim_{\to}(A/\m^n)^*$. Тогда легко видеть, что
для любого $M$ конечной длины имеем
$$
\Hom_A(M,I)=\Hom_A(A,M^*)=M^*.
$$
В частности, $\Hom_A(_,I)$ -- точный функтор на модулях конечной
длины, и в силу Леммы~\ref{fin.length} $I$ инъективен. Проверьте,
что это и есть инъективная оболочка $k$.

\begin{exc}
Пусть $A$ не только $k$-алгебра, но и артинова $k$-алгебра (т.е она
конечномерна как векторное пространство над $k$). Верно ли, что $A^*
\cong A$? Если нет, верно ли хоть иногда?
\end{exc}

В общей ситуации -- полезный пример здесь $A = \Z_p$ -- эта
конструкция прямо так не проходит: никакого очевидного способа
построить локальную двойственность нет. И это на самом деле та же
задача, что построение $I$.

\begin{lemma}
Пусть $I$ -- инъективная оболочка $k$; тогда $M \mapsto M^* =
\Hom_A(M,I)$ -- автоантиэквивалентность категории $A$-модулей
конечной длины, причем инволютивная ($M^{**} \cong M$).
\end{lemma}

\proof{} Поскольку $I$ инъективен, наша двойственность $M \mapsto
M^*$ есть точный функтор, причем поскольку $\Hom_A(k,I)=k$, он
переводит $k$ в себя. Отображение $M \mapsto M^{**}$ строится так
же, как для векторных пространств; поскольку для $M=k$ оно
изоморфизм, а функтор точный, оно изоморфизм для любого $M$ конечной
длины. Поэтому $M \mapsto M^*$ -- эквивалентность (обратная самой
себе).
\endproof

Если кольцо $A$ содержит хоть какое-то поле, один из способов
построить и $I$, и локальную двойственность -- это заметить, что $A$
можно, ничего не меняя, заменить его пополнением, а дальше применить
структурную теорему Коэна о полных локальных кольцах. Есть еще
способ строить двойственность сначала для регулярных колец --
используя так называемые ``локальные когомологии'' -- а потом
представить наше кольцо $A$ как фактор регулярного, и таких образом
перенести двойственность на него. Но мы будем действовать честно --
явно построим $I$ для любого нетерова $A$ как прямо предел,
аналогичный $\lim_{\to}(A/\m^n)*$.

Для этого нам понадобится явная интерпретация функторов $\Ext^1$. А
именно, пусть дана точная последовательность
\begin{equation}\label{shex}
\begin{CD}
0 @>>> M_1 @>>> M_2 @>>> M_3 @>>> 0
\end{CD}
\end{equation}
(модулей, пучков, или вообще объектов какой-то абелевой
категории). Тогда длинная точная последовательность функторов $\Ext$
дает, в частности, граничное отображение 
$$
\delta:\Hom(M_3,M_3) \to \Ext^1(M_3,M_1). 
$$
Его можно применить к единичному отображению $\id
\in \Hom(M_3,M_3)$ и получить класс $\delta(\id) \in
\Ext^1(M_3,M_1)$. Говорят, что точная последовательность
\eqref{shex} {\em представляет по Йонеде} класс $\delta(\id)$.

\begin{lemma} Любой класс $a \in \Ext^1(M_3,M_1)$ представляется по Йонеде
какой-то точной последовательностью вида \eqref{shex}, и два класса
равны тогда и только тогда, когда представляющие их точные
последовательности изоморфны.\endproof
\end{lemma}

Доказательство придумайте сами (это несложно). Отсюда также
немедленно выводится, что $A$-модуль $I$ удовлетворяет свойству
продолжения для пары модулей $M \subset N$, если имеем
$\Ext^1(M/N,I)=0$.

\begin{rem}
Исторически, $\Ext^1$ определялся именно как класс эквивалености
раширений \eqref{shex} (а $\Ext$ это слово extension,
расширение). Высшие $\Ext$ обобщают его так же, как высшие $\Tor$
обощают кручение.
\end{rem}

Рассмотрим теперь любой $A$-модуль $M$ конечной длины. Т.к.
$\Ext^\hdot(k,M)$ можно вычислять с помощью проективной резольвенты
$k$, а ее можно составить из конечно порожденных модулей, все
$\Ext^\hdot(k,M)$ -- конечномерные $k$-векторные пространства. В
частности, $\Ext^1(k,M)$ -- конечномерное векторное
пространство. Т.к. $\Ext$ коммутируют с прямой суммой, для любого
конечномерного $k$-векторного пространства $V$ имеем $\Ext^1(V,M)
\cong \Hom(V,M)$. Положим $V = \Ext^1(k,M)$, и рассмотрим класс в
$\Ext^1(V,M)$, отвечающий при этом изоморфизме
тождественному отображению $\id \in \Hom(V,\Ext^1(k,M))$. Представим
его по Йонеде точной последовательностью
$$
\begin{CD}
0 @>>> M @>>> I(M) @>>> V @>>> 0.
\end{CD}
$$
Тогда $I(M)$ -- тоже $A$-модуль конечной длины, снабженный
отображением $M \to I(M)$. При этом по построению, граничный
дифференциал $\Ext^1(k,M)=V=\Hom(k,V) \to \Ext^1(k,M)$ в длинной
точной последовательности функторов $\Ext^1(k,-)$, связанной с
расширением $I(M)$, биективен. Следовательно, 
$$
\Hom(k,M) \cong \Hom(k,I(M)),
$$
а отображение $\Ext^1(k,M) \to \Ext^1(k,I(M))$ равно
нулю.  Обозначим по индукции $I^l(M) = I(I^{l-1}(M))$, и положим
$I^\infty(M) = \lim_{\to}I^l(M)$.

\begin{lemma}
Модуль $I=I^\infty(k)$ -- инъективная оболочка $A$-модуля $k$.
\end{lemma}

\proof{} Поскольку функторы $\Ext^\hdot(k,-)$ можно вычислять с помощью
проективной резольвенты, составленной из конечно порожденных
модулей, а для любого конечно порожденного $F$ функтор $\Hom(F,-)$
коммутирует с прямыми пределами, имеем
$$
\Ext^1(k,I) = \lim_{\to} \Ext^1(k,I^l(k)).
$$
Но все отображения перехода в этом прямом пределе обращаются в $0$;
стало быть, $\Ext^1(k,I)=0$. По длинной точной последовательности,
$\Ext^1(M,I)$ равно нулю для любого $M$ конечной длины. Поэтому $I$
удовлетворяет свойству продолжения для пар модулей $M \subset N$
конечной длины. Поскольку все $I^l(k)$ конечной длины, носитель $I$
-- максимальный идеал $\{\m\} \subset \Spec A$; поэтому $I$
инъективен. Наконец, поскольку $\Hom(k,I^l(k)) \cong
\Hom(k,I^{l-1}(k))$, имеем
$$
\Hom(k,I) = \lim_\to \Hom(k,I^l(k)) = k,
$$
и стало быть, $I$ -- действительно инъективная оболочка.
\endproof

\subsection*{Когомологии аффинных схем.}

\begin{lemma}\label{many}
Пусть $A$ -- нетерово кольцо. Тогда в категории $A$-модулей
достаточно инъективных объектов.
\end{lemma}

\proof{} Надо любой $A$-модуль $M$ вложить в инъективный. По Лемме
Цорна, можно считать, что $M$ конечно порожден. Если подмодуль $M_1
\subset M$ вложен в $I_1$, а фактормодуль $M_2 = M/M_1$ вложен в
$I_2$, то вложение $M_1$ в силу инъективности продолжается до
отображения $M \to I_1$ и, складывая это с вложением $M_2$, получаем
отображение $M \to I_1 \oplus I_2$, которое тоже, очевидно,
вложение. Поэтому по индукции можно предполагать, что $M=A/\pp$, где
$\pp$ -- простой идеал. Тогда $M$ вкладывается в $A_\pp/\pp A_\pp$,
а оно в свою очередь вкладывается в свою инъективную оболочку
$I_\pp$.
\endproof

\begin{lemma}
Пусть $A$ -- нетерово кольцо, $\pp$ -- простой идеал, $I_\pp$ --
инъективная оболочка поля вычетов локализации по нему. Тогда
квазикогерентный пучок $\wt{I_\pp}$ на $X = \Spec A$, отвечающий
$A$-модулю $I_\pp$, есть вялый пучок.
\end{lemma}

\proof{} Пусть $X_\pp = \Spec A_\pp$, и $f:X_\pp \to X$ --
естественное отображение. Тогда $\wt{I_\pp} = f_*\wt{I_\pp}$, и,
поскольку прямой образ вялого пучка вялый, достаточно доказать, что
$\wt{I_\pp}$ -- вялый пучок на $X_\pp$. Это очевидно: $\wt{I_\pp}(U)$
для открытого $U \subset X_\pp$ либо равно $0$, если $U$ не содержит
замкнутую точку $X_\pp$, либо равно $I_\pp$, если $U$ эту точку
содержит.
\endproof

\begin{thm}
Для любого квазикогерентного пучка $\F$ на аффинной нетеровой схеме
$X = \Spec A$ имеем $H^i(X,\F)=0$ при $i \geq 0$.
\end{thm}

\proof{} Мы знаем, что категория квазикогерентных пучков на $X$
эквивалентна категории $A$-модулей, и в ней поэтому достаточно много
инъективных объектов -- более того, по доказательству
Леммы~\ref{many}, любой модуль можно вложить в сумму объектов вида
$\wt{I_\pp}$ для всяческих точек $\pp \in X$. Поскольку все они дают
вялые пучки на $X$, когомологии $H^\hdot(X,\F)$ можно вычислять с
помощью инъективной резольвенты $I^\hdot$ для $\Gamma(X,\F)$ --
$H^i(X,\F)$ есть когомологии комплекса $\Gamma(X,\wt{I}^\hdot)$. Но
в силу экиваленентности, этот комплекс есть $I^\hdot$, и высших
когомологий у него нет.
\endproof

\begin{exc}
Пусть $f:X \to Y$ -- аффинный морфизм схем (т.е. прообраз аффинной
открытой подсхемы тоже аффинный). Докажите, что $R^if_*\F=0$, $i
\geq 1$, для любого квазокогерентного $\F$ на $X$.
\end{exc}

\end{document}

