\documentclass[12pt,leqno]{article}

\usepackage{amsmath,amsfonts,amscd,amssymb,theorem}

\addtolength{\topmargin}{-23mm}
\addtolength{\textheight}{60mm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-20mm}
\addtolength{\textwidth}{40mm}

%%%%%  Theorem style with a dot at the end of the header

\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@dotted{\normalfont\itshape
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}}
\endgroup
\makeatother

\theoremstyle{dotted}

\newtheorem{thm}{�������}[section]
\newtheorem{lemma}[thm]{�����}
\newtheorem{prop}[thm]{�����������}
\newtheorem{corr}[thm]{���������}
\newtheorem{exc}{����������}[section]
\newtheorem{sch}[thm]{����}

%%%%%  Same for definitions

\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@upshape{\normalfont
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}}
\endgroup
\makeatother

\theoremstyle{upshape}

\newtheorem{opr}[thm]{�����������}
\newtheorem{rem}[thm]{���������}

%%%%% ������

\makeatletter
\@addtoreset{equation}{section}
\makeatother
\renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}}

\newcommand{\proof}[1][��������������.]{\smallskip\noindent{\em #1}}
\def\endproof{\hfill\ensuremath{\square}\par\medskip}

\renewcommand{\labelenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}}
\renewcommand{\theenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}}

\def\eqref#1{\thetag{\ref{#1}}}
\def\eps{\varepsilon}
\def\phi{\varphi}
\def\wt{\widetilde}
\def\wh{\widehat}

\let\latexref=\ref
\def\ref#1{{\normalfont{\latexref{#1}}}}

\setlength{\unitlength}{1pt}
\newcommand{\idot}{{\:\raisebox{1pt}{\text{\circle*{1.5}}}}}
%
% The dot which looks good as index for homology groups
%
\newcommand{\hdot}{{\:\raisebox{3pt}{\text{\circle*{1.5}}}}}
%
% Same for cohomology
%

%%%%% �����

\newcommand{\C}{{\mathbb C}}
\newcommand{\Z}{{\mathbb Z}}
\newcommand{\R}{{\mathbb R}}
\newcommand{\Q}{{\mathbb Q}}

\newcommand{\A}{{\mathbb A}}
\newcommand{\PP}{{\mathbb P}}

\newcommand{\m}{\mathfrak m}
\newcommand{\aA}{\mathfrak a}
\newcommand{\pp}{\mathfrak p}
\newcommand{\qq}{\mathfrak q}
\newcommand{\bb}{\mathfrak b}

\newcommand{\calo}{{\mathcal O}}
\newcommand{\F}{{\mathcal F}}
\newcommand{\E}{{\mathcal E}}

\newcommand{\Hom}{\operatorname{{\sf Hom}}}
\newcommand{\Ext}{\operatorname{{\sf Ext}}}
\newcommand{\Tor}{\operatorname{{\sf Tor}}}
\newcommand{\RHom}{\operatorname{{\sf RHom}}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{{\sf Sym}}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{{\sf Id}}}
\newcommand{\id}{\operatorname{{\sf id}}}

\newcommand{\hhom}{\operatorname{{\mathcal H}{\it om}}}

\renewcommand{\Im}{\operatorname{{\sf Im}}}
\newcommand{\Ker}{\operatorname{{\sf Ker}}}
\newcommand{\Coker}{\operatorname{{\sf Coker}}}

\newcommand{\Aut}{\operatorname{{\sf Aut}}}
\newcommand{\Der}{\operatorname{{\sf Der}}}

\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Proj}{\operatorname{Proj}}
\newcommand{\Max}{\operatorname{Max}}
\newcommand{\Ass}{\operatorname{Ass}}
\newcommand{\Supp}{\operatorname{Supp}}
\newcommand{\Frac}{\operatorname{Frac}}
\newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}}

\newcommand{\Shv}{\operatorname{Shv}}
\newcommand{\PShv}{\operatorname{PreShv}}
\newcommand{\Et}{\operatorname{\text{\'Et}}}

\renewcommand{\dim}{\operatorname{{\sf dim}}}
\newcommand{\depth}{\operatorname{{\sf depth}}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{{\sf rk}}}
\newcommand{\ev}{\operatorname{{\sf ev}}}
\renewcommand{\deg}{\operatorname{{\sf deg}}}
\renewcommand{\det}{\operatorname{{\sf det}}}

\newcommand{\disc}{\operatorname{{\sf disc}}}
\newcommand{\Ann}{\operatorname{{\sf Ann}}}
\newcommand{\Res}{\operatorname{{\sf Res}}}
\newcommand{\tr}{\operatorname{{\sf tr}}}
\newcommand{\gr}{\operatorname{{\sf gr}}}
\newcommand{\htt}{\operatorname{{\sf ht}}}
\newcommand{\ppt}{\operatorname{{\sf pt}}}
\newcommand{\cchar}{\operatorname{{\sf char}}}

\def\ds{\displaystyle}

\newcommand{\6}{\partial}

%%%%% Pagestyle

\pagestyle{myheadings}

\markboth{�������� � �������������� ��������� -- ������ � ��� ����,
����� 2006}{�������� � �������������� ��������� -- ������ � ���
����, ����� 2006}

\begin{document}

\setcounter{section}{14}
\stepcounter{section}
\section*{������ 15.}

\begin{center}
\begin{minipage}{0.7\linewidth}\small
����������� ����. ��������� �����������. ����������� ������������
������������. �������������� �����-����������, ��������� �
����������. ������� ����� �� ��������� � ����.
\end{minipage}
\end{center}

\subsection*{����������� ����.}

����� ��������� ������ ��������� ����������� ���������������
������������ $X$ � �������������� � �����-�� ����� $\F$ -- ��� ���
���������� {\em ����������� ����}. �� �� ������������ �� �����,
������ ��� �� ������� ������ ����� ��������, �� ��������� ��� ����
��� �����.

����, ����� ���� �������������� ������������ $X$ � ����� $\F$ ��
$X$. ������� �������� �������� $U_i$, $i=1,\dots,l$ ����� $X$. ���
������ ������ �������� $I=\langle i_0,\dots,i_p \rangle$, ���������
����� $U_I$ ����������� $U_I=U_{i_0} \cap \dots \cap U_{i_p}$, �
��������� ����� $j_I:U_I \to X$ ��� �������� � $X$. {\em �����������
����} $C^\hdot(\{U_i\},\F)$ ����� $\F$ �������� ���. ��-������,
��������
$$
C^p(\{U_i\},\F) = \bigoplus_{|I|=p}j_{I*}j^I_*\F,
$$
��� $|I|$ ��� ������ $I=\langle i_0,\dots,i_p \rangle$ ����� �����
$p$. ��-������, ��������, ��� ��� ������ ������� $i$ � ������ $I$ ��
������������� ����� ������������ �����������
$$
p_i:j_{I*}j^I_*\F \to j_{I'*}j^{I'}_*\F,
$$
��� $I' = I \cup \{i\}$. �� ���� ������������ ����������� ����������
������������
$$
d = \oplus_{i,I,i \not\in I} \sigma(I,i)p_{I,i}:C^\hdot(\{U_i\},\F)
\to C^{\hdot+1}(\{U_i\},\F).
$$
����� $\sigma(I,i)$ ��� ����, ������� ����������� ���, ����� $d^2$
���� ����� ���� (������ ����� �������� ����� ��������� �� $I$,
������ ������� $i$).

\begin{lemma}
�������� ���� -- ����������� ����� $\F$.
\end{lemma}

\proof{} ����������� $\F \to C^0(\{U_i\},\F)$, ��� � ������������
����, �������� �� �������������. ���� ��������, ��� ���
���������������, �.�. ��� ����� $\overline{C}^\hdot(\{U_i\},\F)$
����� ����������� -- ���������� ��������. �� ��� ����������
���������� ��������, �.�. ����� ����������� �� ����� $U \in
\{U_i\}$. ����� ������ �����������, ��������
$\overline{C}^\hdot(\{U_i\},\F)$ ������������ � ����� ��������������
������������ ��������� $\overline{C}^\hdot(\{U_i \cap U\} \setminus
\{U\},j^*\F)$, ��� $j:U \to X$ -- �������� $U$ � $X$.
\endproof

� ���������, ����� $X$ -- �����, $\F$ -- ���������������� �����, �
$\{U_i\}$ -- {\em ��������} ��������. ����� ����, ����� ����� $X$
{\em ��������}.

\begin{lemma}
����������� $U \cap V \subset X$ ����� ���� �������� ��������
����������� $U,V \subset X$ ��������� ����� $X$ �������.
\end{lemma}

\proof{} �� ����������� �����������, ��������� $\Delta \subset X
\times X$ -- ��������� ��������; ������� $U \cap V = (U \times V)
\cap \Delta$ -- ��������� �������� �������� �����.
\endproof

�������������, ��� ����������� $U_I$ ���� �������, � ��������
$j_I:U_I \to X$ -- �������� ��������, � �� �����
$$
H^\hdot(X,j_{I*}j_I^*\F) \cong H^\hdot(U_I,j^*_I\F) = \F(U_I),
$$
� ������ ����������� ���. ��� �����, ��� ����� $j_{I*}j^I_*\F$
��������� ��� �������� $\Gamma(X,-)$, � ����������� $H^\hdot(X,\F)$
����� ��������� � ������� ����������� ����: ��� ����� �����������
��������� $\Gamma(X,C^\hdot(\{U_i\},\F))$.

\begin{exc}
��������� � ������� ��������� ���� �����������
$H^\hdot(\PP^1_k,\calo(n))$, ��� $\PP^1_k$ -- ����������� ������ ���
�����-���� ����� $k$, � $\calo(n)$, ��� ������ -- $n$-� ���������
������� ����� $\calo(1)$.
\end{exc}

����� �������� �������� �������� ���. ����� $X \subset P^N_A$ --
{\em �����������} �����, �.�. ��������� �������� � �����������
������������ $\PP^N_A$ ��� �����-������ ������� $A$. ����� �
$\PP^N_A$ ����� ����� $N+1$ ������������ �������������� $H_i$,
$i=0,\dots,N$, � ���������� � ��� -- �������� ������������. �������
$X \setminus (X \cap H_i)$ -- ��������� ������������ ��������
�����������, � ������ �������� �����. ��� �����, ��� ��������
�������� �������� $X$.

\subsection*{��������� �����������.}

��, ������, ����� ��������� ����������� ����������� ���� ������
��������, ������� ���� ����� �����, ��� ����������. ���� ����� �
���, ����� ������ ����������� ����� $X$ ������������� {\em ����� ���
���} -- ��������, ������ $\PP^n_k$ ������������� $\A^{n+1}_k$, �
����������� ���� � ���. ������� ���� ������� ��������� ������.

����� ���� �������� ��������� ������ $A$ � ������������ ������� $\m
\subset A$, � $A$-������ $M$. ����������� ��������� $M$ {\em �
���������� � $\m$} �� ����� �������� ��������� $\Gamma_{\m}(M)
\subset M$, ��������� �� ���������, ������������ �����-������
�������� $\m^N$. ���� ������ $M$ �������� �����, �� �������� �����
$\Gamma_{\m}(M) = M$. ���� $M$ ������� -- ��������, $M = A$ -- ��
��� ������� $\Gamma_{\m}(M)=0$. ��� �� �����, $\Gamma_{\m}(-)$ --
������ ������������ ������� �� ��������� $A$-������� � ����. ����
�������, ��������, ����� �����.

\begin{opr}
{\em ��������� �����������} $H^\hdot_{\m}(-)$ -- ��� �����������
�������� �� �������� ���������� ������� $\Gamma_{\m}(-)$.
\end{opr}

�������������� ����� ��������� ����������� �����. ��������� $X =
\Spec A$, $U = \Spec A \setminus \{\m\}$; ��� � ������, �����
$\wt{M}$ ����� ���������� ���������������� ����� �� $X$, ����������
������ $M$.

\begin{lemma}
���������� ������������ ������ �����������
\begin{equation}\label{loc}
\begin{CD}
R^\hdot\Gamma_{\m}(M) @>>> M @>>> R^\hdot\Gamma(U,\wt{M}) @>>>
\end{CD}
\end{equation}
\end{lemma}

\proof{} ������� $M$ �� ��� ����������� �����������, ��������� ��
������� ���� $I_\pp$ -- ����������� �������� ����� �������
$A_{\pp}/\pp A_{\pp}$ �� ������ ������� ������� $\pp \in \Spec
A$. ����� ����� ������, ��� �����������, ������������ �� �������
$I_{\m}$, ��������� ��� ��� $R^\hdot\Gamma_{\m}(M)$, �
�������������� �� ���� -- �.�. ��������������, ������������ ��
������� $I_{\pp}$, $\pp \in U \subset X$ -- ���������
$R^\hdot\Gamma(U,\wt{M})$.
\endproof

\begin{rem}
����� ����, ���� $Y \subset X$ -- ��������� �������� ����� $X$,
����� ���������� �� ��������� ���� ��������������� ������ �� $X$
������� ``�������� � ���������� � $Y$''; ��� ������ $\F$, �����
�����������, ����������� \eqref{loc}, ��� -- ��������� �������� $U =
X \setminus Y \subset X$ ����� $j:U \to X$ -- ������ ����� $R^\hdot
j_*\F$.
\end{rem}

\begin{lemma}
����� $M$ -- $A$-������, $t$ -- ��� �������, � $d = \dim\Supp M$ --
����������� ��� ��������. ����� $H^i_{\m}(M) = 0$ ��� $i < t$ � $i >
d$.
\end{lemma}

\proof{} ����������� ��� ������� ������ �������. �������, ��� ���
������ ������ $M$ ����� $H^\hdot_{\m}(M) =
\lim_{\to}\Ext^\hdot(A/\m^n,M)$ (���������� ��������� ��� ���
����������� ������� � ��� $\Ext^0$, ��� ����� �� �����������). �
��������� ��� $A/\m^n$ �������� �����, �� �����, ���
$\Ext^i(A/\m^n,M)=0$ ��� $i < t$. ������ ����������� ����������
��������� �� $d$. ��� $d = 0$ ��� ��������: ����� $\Supp M =
\{\m\}$, � $M$ ���� ����������� �� ����������� �������,
��������������� � $\m$, � ���������� �������� $\Gamma_{\m}(-)$
������ � ���� ������������ �� ������ -- ��� �������� ������. � �����
������, ��������, ���, �.�. ����������� ����������� � ������������
���������, ����� ������������, ��� $M$ ������� ��������. ��������
����� $x \in \m$, ��� $\dim \Supp M/xM$ � $\dim \Ker x$ ������ ������
$d$ -- ����� $\Ker x \subset M$ ��� ���� ��������� �� $x$, � �����
�������� �� ������ �����������. ����� �� ������� ������
������������������ ����������� ������� �� ��������, ��� ��������� ��
$x$ ��������� �� $H^i_{\m}(M)$ ��� $i > d$ (� ����������� ���
$i=d$). �������������, ��� $i > d$ �����
$$
H_{\m}(M) = \lim_{\to}H_{\m}(M) = H_{\m}(M(x^{-1})),
$$
��� ������ ������� �� ������������ $x:M \to M$. �� � �����������
$M(x^{-1})$ ���� ����������� �� ����������� ������� ���� $I_\pp$,
��� $\pp \in U_x \subset X$ -- ����� �� ���������� � ��������� �����
$x$ � $X = \Spec A$; � � ���� ����� ����������� ������� ���������
����������� � ���������� � $\m$ ����� ����.
\endproof

\begin{lemma}
����� ��������� ������ $A$ ���������. ����� $H^i_{\m}(A) = 0$ ��� $i
\neq d = \dim A$, � $H^d_{\m}(A)$ -- ����������� �������� ����
������� $k = A/\m$.
\end{lemma}

\proof{} ������ ����������� �� ��� ����� (��������� $A$ ���������,
$\depth A = \dim A = d$). ����� �������� ������, ����������
$R^\hdot\Gamma_{\m}(A)$ ���������� ����������� $A$-�������, �
�������, ���, � ���� \eqref{loc}, �����
$$
\Ext^\hdot(k,A) \cong \Ext^\hdot(k,R^\hdot\Gamma_{\m}(A)).
$$
�� $R^\hdot\Gamma_{\m}(A)$ ��� �������� ����������� ������� �
������������� � ����� �����, �.�. ����������� $H^d_{\m}(A)$ (�
��������� �� ������ �� $d$). ��� �����,
$$
\Ext^{\hdot+d}(k,A) \cong \Ext^\hdot(k,H^d_{\m}(A)).
$$
����� ����� ����� ������ ��������� � ������� ����������� ������ ���
$k$ � ���������, ��� $\Ext^1(k,H^d_{\m}(A)) = 0$ --
�.�. $H^d_{\m}(A)$ ���������� -- � ����� ����, $\Hom(k,H^d_{\m}(A))
\cong k$.
\endproof

\subsection*{����������� ����������� ����.}

����� ������ $X = Proj A^\hdot$ -- ����������� ����� ��� �����-����
����� $k$, � ������������ �������� $A^\hdot$. ��������� ����� $C =
\Spec A^\hdot$ �������� ����� ��� $X$, � ����� $\overline{C} = C
\setminus \{0\}$. ����� ����� ������������ ��������
$\pi:\overline{C} \to X$. ��������� ����� ����� $j:\overline{C} \to
C$ ������������ ��������.

\begin{lemma}
����� ������������ ��������������
$$
\bigoplus_{q \in \Z} H^\hdot(X,\calo_X(q)) =
H^\hdot(\overline{C},\calo_{\overline{C}}) = \Gamma(C,R^\hdot
j_*\calo_{\overline{C}}).
$$
\end{lemma}

\proof{} ������ ��������� ������� �� ����, ��� $C$ �������. �����
�������� ������, �������, ��� $\pi:\overline{C} \to X$ -- ��������
������� (�������������, ��� ������ ��������� ��������� $U \subset X$
����� $\pi^{-1}(U) \cong U \times (\A^1_k \setminus
\{0\})$). ������� ���������� ��������, ���, �� �����������,
$\pi_*\calo_{\overline{C}} \cong \bigoplus_q \calo_X(q)$.
\endproof

\begin{prop}\label{pn.coh}
����� $X=\PP^n_k$ -- $n$-������ ����������� ������������ ��� �����
$k$. �����
$$
H^i(X,\calo_X(q))=\begin{cases}
0, &\qquad q \geq 0, i \geq 1,\\
0, &\qquad q \leq -(n+1), i \leq n-1,\\
0, &\qquad -(n+1) < q < 0, i \text{ ����� }.
\end{cases}
$$
����� ����, $H^n(X,\calo_X(-(n+1)-q))$ ����������� ���������
$k$-���������� ������������, ������������� � $H^0(X,\calo_X(q))$.
\end{prop}

\proof{} �������, ��� ���� $X$ -- ����������� ������������, �� �����
$C$ ��� ��� -- ���������� �����. ���������� ��� ����������� � $\{0\}
\subset C$, � �������� ������ ����������� \eqref{loc}. �����
���������� ��������, ��� $H^{n+1}_{\{0\}}(C,\calo_C)$ ���
�������������� ��������� ������������ ��������� ������������� �
$A^\hdot = \bigoplus_{q \geq 0}H^0(X,\calo_X)$, � ������������,
��������� �� $n+1$. ��������� $C$ ���������, ��� ���������
������������ ��� ��������� ����������� �������� ���� ������� �����
$\{0\} \in C$, ��� � ���������; ���� ������ ����������� �
������������ -- � ������, ��������� ������� $\Ext^{n+1}(k,A^\hdot)$,
�������������� ������������ ������������ �� $A^\hdot$. ��, ��� ���
������� ����� $n+1$, �������� �� ��������� ������.
\endproof

�������, ��� ����� �� �� ���������� �������� ��� ������ ������������
$X$, ����� ��� ������� -- ���������� ����� (�� ��� �� ��������
����������� ���������, ������ ��� $X$ � ����� ������ �������������
����� ����������� �������������). ��� ����� ����� ���������
��-������� -- ���������� �� � ����������� ������������, � ����������
���, ��� �� ����� ����������� $\PP^N_k$ � �������������� �� {\em
����} ������ $\calo(q)$. ��� ������.

\begin{lemma}
����� $X \subset \PP^2_k$ -- ������ ��� ����� $k$ (�.�. ������
������� $3$). ����� $H^1(X,\calo_X)=H^0(\calo_X)=k$.
\end{lemma}

\proof{} ��������� ��������� �������� $i:X \to \PP^2_k$ -- ��������
�������, ����� $H^\hdot(X,\calo_X) \cong
H^\hdot(\PP^2_k,i_*\calo_X)$. ��������� $X$ ������� $3$, �����
�������� ������ ������������������
$$
\begin{CD}
0 @>>> \calo(-3) @>>> \calo @>>> i_*\calo_X @>>> 0.
\end{CD}
$$
������������� ������� ������ ������������������ �����������, �
�������� �����.
\endproof

\begin{opr}
����� $X$ -- ����������� ������ ��� ����� $k$. {\em ��������������
�����} ������ $X$ ���������� ����������� $\dim_k H^1(X,\calo_X)$.
\end{opr}

\begin{exc}
��������� �������������� ��� ������� ������ ������� $d$.
\end{exc}

\subsection*{������� ����� �� ��������� � ����.}

������ �������������� ��������, ������� ������ ��������� -- � ������
��������! -- ������� �����. ������� ������� ��������� ����������.

\begin{lemma}\label{hom.dim}
����� $X$ -- �������� ��������� �����, � $\F$ -- ����������������
����� �� $X$ � ��������� ����������� $d$. ����� $H^q(X,\F)=0$ ��� $q
> d$.
\end{lemma}

\proof{} �������� �� $d$. ������ $d=0$ �������� (� ���� ������
������� ���������� ������� �����). ��� ������ $X$, �� ����������,
��� ����� ������������, ��� $\F$ ����������. �������������, �����
���������������� ����� ���� ����������� ���� ����� �����������
��������� $\F_i$: ����� �������� �������� �������� �������������
��������� $I$, � $\F = \lim_{I\to}\F_i$. ��������� $I$ ����� ����
����� ������ �������, �� �����, ��� ��� {\em ������������}: ���
����� ���� $i_1,i_2 \in I$ ���������� ����� $i_3 \in I$, ���
$i_1,i_2 \leq i_3$. ����� ���� �������������� �������, ������� ��
������� � �������� ����������, �������, ��� ������ ������ �� {\em
�������������} �������� �������������� ��������� -- ������
�������. ������� $H^q(X,\F) = \lim_{I\to}H^q(X,\F_i)$.

����, ����� $\F$ ����������. ��������� ��������� �� $d$. �� �����
��� ��������������� ������, ���������� ����������� �������� $\F =
i_*\F_Y$, ��� $i:Y \to X$ -- ��������� ��������, $Y$ �����������, �
$\F_Y$ -- ����������� ����� �� $Y$. ����� $H^q(X,\F)=H^q(Y,\F_Y)$,
�.�. $X$ ����� �������� �� $Y$. ������ ����� �������� ��������
��������� $U \subset Y$, $j:U \to Y$, � ������������� ��������
������ ������������������
$$
\begin{CD}
0 @>>> \F_Y @>>> j_*j^*\F_Y @>>> \F' @>>> 0,
\end{CD}
$$
� ��������, ��� ����������� $\F'$ ����� �������� �� $Y \setminus U$,
� ����������� ����� ���������� ������ ������ $d$ � ����
�������������� $Y$.
\endproof

\begin{thm}[����]\label{serre}
����� $X$ -- ����������� ����� ��� ����� $k$, � $\F$ -- �����������
����� �� $X$. ����� ���������� ����� $q$, ��� $H^i(X,\F(q'))=0$ ���
����� $q' \geq q$, $i \geq 1$.
\end{thm}

\proof{} ����� �������, ��� $X = \PP^N$ (������ $X$ � $\PP^N$ �
������� $X$ �� $\PP^N$, � $\F$ -- �� ��� ������ �����). ���������
�������� �� $i$! ���� $i > \dim X$, $q$ ����� ����� �����
(���������� �� $\F$). ����� ����������� �������� ��� $i \geq
i_0$. ����� $\F(q)$ ��� ������-�� $q$ �������� ����������� ���������
-- �.�. ����� �������� ������ ������������������
$$
\begin{CD}
0 @>>> \F' @>>> H^0(X,\F(q)) \otimes_k \calo(-q) @>>> \F @>>> 0,
\end{CD}
$$
������ ���� $\F'$ -- ���� ����������� �����. ������, ���� ��
��������� ��� �� $\calo(q')$ ��� ���������� �������� $q'$, ��
������� ���� �� ����� ����� �����������; �� ��������, ����������
���������, ����� �������� ����, ��� $H^i(X,\F'(q')) = 0$ ��� $i \geq
i_0$. ����� �� ������� ������ ������������������ ��������
$H^i(X,\F(q')) = 0$ ��� $i \geq i_0 - 1$.
\endproof

\subsection*{�������������� ����������-�����.}

�������� ������ � �������� �����������~\ref{pn.coh} � ���������
������ ����������� ��� ������������ ����������. �� �������������
������������ ������� $A^\hdot$ ������������ ������������ $\PP^n_k$ �
������������ ������� $\m = A^{\geq 1} \subset A^\hdot$, � ����������
���������� $H^{n+1}_{\m}(A^{\hdot+n+1}) \cong I^\hdot_{\m} \cong
(A^\hdot)^*$ -- ���������� ���������� $H^{n+1}_{\m}(A^{\hdot+n+1})
\otimes_k A^\hdot \to k$. ������ ��������� ��� ���������� �
���������� ���� �����������:
$$
\begin{CD}
H^{n+1}_{\m}(A^{\hdot+n+1}) \otimes_k A^\hdot @>>>
H^{n+1}_{\m}(A^{\hdot+n+1}) @>{\tr}>> k.
\end{CD}
$$
����� ������ ����������� -- ��� ������ �������� ������� $A^\hdot$ ��
$A^\hdot$-������ $H^{n+1}_{\m}(A^{\hdot+n+1})$, � ������ --
��� �������� ``����������� �����'' -- ��� ���������� � ��������
������� $A^\hdot$. �� ����� ������ ������������ ������������
$X=\PP^n_k$, ��� �������� ���
$$
\begin{CD}
H^0(X,\calo(q)) \otimes_k H^n(X,\calo(-q-(n+1)) @>>>
H^n(X,\calo(-(n+1))) @>{\tr}>> k.
\end{CD}
$$
����������� -- ��� �������, ��-��������, ��������� -- ��� �����
���������� ������ �������� �� ��� ���� �����. ��-������, ��� �����
����� $X$ � ������ ����������������� ����� $\F$ �� $X$ �����
$\Gamma(X,\F) = \Hom(\calo_X,\F)$, � �������������, �����������
�������� ���� ����� -- ����� ���������� $H^\hdot(X,\F) \cong
\Ext^\hdot(\calo_X,\F)$. ������� � ����� ��������
$H^\hdot(X,\calo(-q-(n+1))) \cong
\Ext^\hdot(\calo,\calo(-q-(n+1)))$. ��-������, ����� ��������
�������� ��� ����� �� $\calo(q)$. ����� ���������� ����� ���
$$
\begin{CD}
H^\hdot(X,\calo(q)) \otimes_k \Ext^{n-\hdot}(\calo(q),\calo(-(n+1)) @>>>
H^n(X,\calo(-(n+1))) @>{\tr}>> k,
\end{CD}
$$
� ������ ����������� -- ��� ������ ���������� $\Ext$-�����. � �����
������������ ��� ������������� ���������� ����� ����� ������
��������.

\begin{opr}
{\em ����������� ����������} $\omega_X^\hdot$ �� ����� $X$ ��� �����
$k$ ���������� ����� �������� ������ �� $X$ � ������������
�������������, ���������� ������������ �����
$\tr:H^0(X,\omega^\hdot_X) \to k$, ��� ��� ������ ������������ �����
$\F$ �� $X$ ����������
$$
\begin{CD}
H^i(X,\F) \otimes_k \Ext^{-i}(\F,\omega_X^\hdot) @>>>
H^0(X,\omega^\hdot_X) @>{\tr}>> k
\end{CD}
$$
�����������.
\end{opr}

\begin{lemma}
���� $X = \PP^n_k$, �� �������� $\omega_X^\hdot =
\calo_X(-(n+1))[n]$ (�.�. ����� $\calo_X(-(n+1))$, ���������� �
������� $-n$) ������ � ������������ ������������ ����� --
����������� �������� ��� $X$.
\end{lemma}

\proof{} �� ��� �����, ��� ���������� ����������� ��� $\F =
\calo_x(q)$, $q \in \Z$, � ����� ��� $i > \dim X$. ����� ����������
�� �� ��������� �������� �� $i$, ��� � ��������������
�������~\ref{serre}.
\endproof

\begin{lemma}\label{facto}
����� ���� ��������� �������� $i:Y \to X$. ����� ������� �������
������ $i_*$ �� ����������� ������ �� $Y$ � ������������ ����� ��
$X$ ����� {\em �����} ����������� ������� $f^!$, �.�. ����� �������
$f^!$, ��� ��� ����� ����������� ������ $\F$ �� $Y$ � $\E$ �� $X$
����� ������������ ��������������
$$
\Hom(i_*\F,\E) \cong \Hom(\F,f^!\E),
$$
������ ������� $f^!$ ����� �����.
\end{lemma}

\proof{} ����������� ��������: ���� �� ������ ��������� $f^!$ ��
�������� �������� $X$, �� �� ������������ ��� ����� �����������
�������������, � ���� ������������ ������������ ��������. �������
����� �������, ��� $X = \Spec A$ �������, � $Y = \Spec A/I \subset
X$ -- ��������� ��������, �������� ������� $I \subset A$. ����� ���
������ $A/I$-������ $N$ � ������ $A$-������ $M$, ����� $A$-��������
����������� $N \to M$ ������������ ������� $I$, � ������
������������ ����� ���������
$$
\Hom_A(A/I,M) \subset \Hom_A(A,M) = M,
$$
������� ���� ������������ ������� $I$. �������������, ����� ������
���������� $f^!$, ������� $f^!M = \Hom_A(A/I,M)$. ��, ��������,
����� ����� (�������, ��� ������� ��� �� ����, ��� � ���� ����
����������� $f_*$).
\endproof

\begin{lemma}
����� $X \subset \PP^n_k$ -- ��������� �������� ������������
������������ $\PP^n_k$ ��� ����� $k$, � $f:X \to \PP^n_k$ --
����������� ��������. ����� $\omega^\hdot_X = R^\hdot
f^!(\calo(-(n+1))[n])$ -- ����������� �������� ��� $X$.
\end{lemma}

\proof{} ��� ������ ������������ ����� $\F$ �� $X$ �����
$$
\begin{aligned}
H^\hdot(X,\F) &\cong H^\hdot(\PP^n_k,f_*X),\\
\Ext^\hdot(\F,\omega^\hdot_X) &\cong \Ext^\hdot(f_*\F,\calo(-(n+1)[n]).
\end{aligned}
$$
������� ����������� ������� �� ��� ���������� ����������� ���
$\PP^n_k$.
\endproof

�������, ��� ����� ������������� ����� �������� �� � �������, � �
�����������. ��������, ���� $X \subset \PP^n_k$ -- ������� ��������
������������� $d$, �� �� ������ $f^!\calo(-(n+1)) = 0$, �� �
$R^if^!\calo(-(n+1)) = 0$ ��� ������ $i < d$.

������� �����, ��� ���� $X$ �� ����������, � ������ ���������������,
�� ������� �������������� ������ ������ �� �������� -- ������������
����������� � ��� ����� ��������� ����������������, � � �����
�������� �������������� ���������� ����� ��������. ������ ���
������� ��������, ���� ���� �� �� ���� $X$, �� {\em �������� �����}
$\F$ ���������� -- � ���� ������ ����� ������� $X$ ��� ��������
������������ � ����������� ����� $\overline{X}$, � ��������� ���
����������� �� ��� -- ��� �� ���������. �������� � �������, �����
�������� ����� ������� �������������� ��� ����������� $X$ �
���������� � ����������� �������� $Y \subset X$ -- ������ ��� ������
�������.

\subsection*{���� ����������� ���������.}

�� ����� ����, ��� ����� ��� �������������� ������ ����������, ����
� ������ ������ ������ ��������� ``���������� � ��������� ��
����������������'' -- ��� ���������� {\em ����������� ���������}
�������� ��������� ������ �� $X$. ��� ����� ������� ��� �����
�������� ���������, �� � ����� ������ ��� ������� ���������
����������� ������ (��� ��� ������� �������� � �����
���������-������). ��������� ��� ������ �� $X$ ����� ���������������
���, ��� ���� ���������� ����� ����������� ��������. �����
����������� ��������� $D^+(X)$ ������������ ���: ������� ���
������������ ����� ��������� ����������� ���������������� ������, �
�������� ����� ���� -- ��� ������ �������������� ���������������
����������� ����������. ��� ����, ����� �� �������� �������� ���
�����������, ����� ��� ���������, ����� � ���������� ����
����������� ����������� (���� ��������� ���������� �� �����������
��������, ������� ������������ �� ������, ������� ��������� �����
���� ������� ���� ����������� ������). ����� ��� ������ ������������
�������� $f:X \to Y$ ����� ����������� ������� ������� ������
$f_*:D^+(X) \to D^+(Y)$ -- ����������� ������� �� ������� ������
������ -- � ������� �������������� �� ���� ����� �������� ���.

\begin{thm}\label{dv}
��� ������ ������������ �������� $f:X \to Y$ ���������� �������
$F^!:D^+(Y) \to D^+(X)$, ����������� ����� � $f_*:D^+(X) \to
D^+(Y)$.
\end{thm}

����������, �� �������� ��� ��� ���������� ��������, � ��� ��������
������������ ������������ � �����, $f:\PP^n_k \to \Spec k$, -- �
���� �������� ��� ������ ��������� ��������� ����������� $V^\hdot$
�������� $f^!V^\hdot = V^\hdot \otimes_k \calo(-(n+1))[n]$, �
������������� ���� ������ ���������������� ����������� ���
������������� ����������. ������ ���������� ��������� ����������� �
��� ���������� ����� ���������, � ���������, ����������� ������� ���
$Y = \Spec k$. � ������ ������������� $Y$, ���� ������ �������
�������� $\PP^n_Y \to Y$; ��� �������� ��� ��, ��� ��� �����, � ��
�������� �������������� ��� �������� �����.

�������, ��� -- ��� ������� ������ -- �������~\ref{dv} ����� �������
�� ���������� ����� ����������� �������������� �������; ����� ������
��, ��� ������ ����� $f_*$ � ��� ����������� ��������� �������������
(������� ����������). � ���������, ������������� �������� �
���������� ����������, ������ ��� ����������� �������� �� $\PP^n_k$,
����� ���������� �� ����� -- ������� ������������� ����� �������� ��
�������������. ��� �����, ���� ����� $X$ �������� �����������
��������� � ����� $Y$, � � $Y$ ���� ����������� ��������, �� �� ����
� � $X$: $\omega^\hdot_X = f^!\omega^\hdot_Y$. � ���������, �����
�����, ����������� ��� $\Spec k$, ����� ����������� ��������.

���� ������� ���������� �� ���������, �������~\ref{dv} �� �����
��������. ��� � ����� ������� ������� $Y= \Spec k$, $X = \Spec A$
��� �����-�� $k$-������� $A$, ���������������� ��� $k$-���������
������������, �� �����, ��� $f^!k$ ������ ���� �� ���� $A$-�������
$A^*$ -- ������������ ��������� ������������� � ������������
���������� $A$-������. �� ��� ��������� ������������ ����������
��������, ������������� �� ������� ���� �����������, � ����� ����
����� (� ���������, $(A^*)^*$ �� ����� $A$, � ����� ����, ���
����������� ��������� ������������� � ������������ ���������,
������������ � �.�.). ���������� ������, $A^*$ ���� ������������� ��
��� ��������� ������������, �.�. ����������� ������ �������������
��������� �����������, � ��� ��������� ������������ {\em �
����������}, �.�. ����������� ������ �����������, ������
������������� -- ������ ������ �� ���� ���, ������, ����������
$\wh{A}$. ����� �������, ���������, ������������ � ��������� {\em
����} ��������� �����������, ����� �� �� ������������. ��� �� �����,
��� ���� ������� ���������, � ������� ����� ��������. ��������������
������ �������� �� ������� �������� ���� ����: ��, ������� �
��������� ����������� ������, ���������� ��������� ���������,
``������������'' � ��������� ������ ����������������, � ����������
����������� {\em �����������} ��������, ���������� ��� � ���
�������������� ������� ���� ��������, � ������� $f^!$ ��������� ��
��������������� ��������, � ������ ����������, ��� ���� �����������
��������� ����� �������� ``���-�����������'' ������, �� �
������������ �������������, ��������� ��� ����� ������� �����������
��������� $D^+(X)$.

\subsection*{��������� ��������������.}

�������� ����� ���� ����� ������������� �����, ����������� ���
����������� �� ��� $\Spec k$, � ��� $\Spec A$ ��� ������-��
���������� ������ $A$ ����������� $d$ (������, ��� ��� �����������
������� $f:X \to Y$, � �� ����� ������� ��� �������� �� $Y$). � ����
������ �������~\ref{dv} ����� ��������� �� � ��������������� ���
��������� ����������� ��� �����, � � ��� ��������� ���
��������������� ��� ������� �������� ����� ��� ��������� �������
(���, ������, ���������� �������������� �������). ��� ���������
����������� ��������. � ����� �������, ����������� �������� ���
�������� � ������������ -- �� ����� �������, ������� ������������ --
�������������. � �� �� �����, � �������������� ������� ����
������������ ������� ��������� ����������� �������� $I_k$, �������
�� ������.

����� �������, � ����������� �������� $\omega^\hdot_A$ -- ���� ��
���� -- � ����������� �������� $I_k$ ��������������� ����� � ��� ��
���������:
\begin{itemize}
\item $\Ext^i(k,I_k) = \Ext^i(k,\omega^\hdot_A) = 0$ ��� $i \neq 0$,
� $\Ext^0(k,I_k)=\Ext^0(k,\omega^\hdot_A)=k$.
\end{itemize}
���� ��� �������� �������� �����, �� ����� ��������� ��, ��� ���
���������; �� $I_k$ ��� ������ ����������� ������ ������� ��������
�����, � $\omega^\hdot_A$ ��� �������� �������� � ������������� ����
� ������� ������������, �� �� ���������������� � $\{\m\} \in \Spec
A$. ������� ��� ����������� ������ ����. � ���������,
$\omega^\hdot_A$ �� ������ ������������.

������������� $\omega^\hdot_A$ ����� ��������� �� ����� ������ ���
����� $A$, ������� ���������� �� ����������� ���� ��� ���������
������ � ��������� ������ (�������������� ��������). ����� ����, ��
�����, ��� $\omega^\hdot_A$ ���������� ��� {\em ����������} ����� --
� ������, $\omega^\hdot_A \cong A[d]$. �������� �����~\ref{facto},
����� �������, ��� $\omega^\hdot_A$ ���������� ��� ������������
$B/I$ ����������� ���������� ������ $B$ �� ������-���� ������
$I$. ������� ������������ �� $B$ ����� ��������.

\begin{opr}
��������� ������ $A$ ����������� $d$ ���������� {\em
��������������}, ���� $A[d]$ -- ����������� �������� ��� $A$.
\end{opr}

\begin{exc}
��������, ��� ������ $A$ ������������� ����� � ������ �����, �����
$\Ext^d(k,A)=k$ � $\Ext^i(k,A)=0$ ��� $i \neq d$
\end{exc}

��� ���� ���� ��������, ��� ���������������� �� ������ ������������:
���� $\Ext^i(k,A)$ ����� ���� ��� $i > d$, ������ ����� ����
������������� $\Ext^i(k,N)$ ��� ������ $i$ � ������-���� �������
$A$-������ $N$. � ���������, ���� $d=0$, �� ������ $A$ ���������
������ � ����������� ������ $A=k$. � ������������� ��� ����� �
������ �����, ����� $A^* \cong A$, � �������� ����� ����� ��������
�����.

����� ����, ������������� ������������ ��������� ����� �������� ���
{\em ������} ��������� �����.

\begin{prop}
����� $A$ -- ������ �������� ��������� ������. ����� ����������
����������� �������� $\omega^\hdot_A$.
\end{prop}

\proof{} ���������� �������� ��������� �����������
$R^\hdot\Gamma_{\m}(A)$, � ��������� ��������� � ���� ��������������
�������. ��������� ��� ������� ������, �.�. $H^\hdot_{\m}(A)$ ��
���� ������ ������� �����; �� �� �����, ��� $H^\hdot_{\m}(A) =
\lim_{\to}\Ext^\hdot(A/\m^n,A)$, � ����� ����� ����������� ������
$$
\omega^\hdot_A = \lim_{\gets}\left(\RHom^\hdot(A/\m^n,A)\right)^* =
\lim_{\gets}\Hom_A(\RHom^\hdot(A/\m^n,A),I_k).
$$
�� ����, ��� ������ $A$ �����, ����� �������, ��� �����������
��������� $\omega^\hdot_A$ -- {\em ������� �����������} $A$-������.
�� ����������, ��� ��� ����������� ��������. �������������,
$$
\begin{aligned}
\Ext^\hdot(k,\omega^\hdot_A) &=
\lim_{\gets}\Ext^\hdot(k,\left(\RHom^\hdot(A/\m^n,A)\right)^*) =
\lim_{\gets}\Ext^\hdot(\RHom^\hdot(A/\m^n,A),k) 
& = \Ext^\hdot(\R^\hdot\Gamma_{\m}(A),k),
\end{aligned}
$$
��� ������� ��������� ���� ��� ��� �������������� �������. � ����
\eqref{loc}, ������ ����� ���������� �� $\Ext^\hdot(A,k)=k$ ��
$\Ext^\hdot(R^\hdot\Gamma(U,\calo_U),k)$, � ���� ������ ��������,
��� ��� ������� ����� ����. �� ����� ����
$\Ext^\hdot(R^\hdot\Gamma(U,\F),k) = 0$ ��� ������ �����������������
����� $\F$ �� $U$; ������������ ���, ��� �� ��� �����~\ref{hom.dim},
��������� �� $\dim \Supp \F$. ������ ������ � ������������ $\F$ �
������������ ���������; �������� $x \in \m$, �� ������������ � $0$
�� $\Supp \F \subset U$, � ������������ ������ ������������������
$$
\begin{CD}
0 @>>> \F @>>> j_*j^*\F @>>> \F/(j_*j^*\F) @>>> 0,
\end{CD}
$$
��� $j$ -- �������� $j:\Spec A(x^{-1}) \to U$. ����� �������� ������
����� ������ ������, ��� �������� $\F$, � �� �������� ����������
�������� ����������� ��� $\F = j_*j^*\F$, �.�. ����� �������� $U$ ��
�������� ��������� $\Spec A(x^{-1})$, � $\F$ -- �� �����������
������-������ $A(x^{-1})$-������ $M$. �� ����� ��������� �� $x$
�������� �� $M$, � ����� ����, � ��
$\Ext^\hdot(R^\hdot\Gamma(U,\F),k) = 0$ -- � ������ �������, $x$
��������� ����� �� $k$.
\endproof

����� �������, � ��� ������ ��������� �����, � ��� ��������� �����
``��������������� �������������'', �.�. ����������� $k$-������
��������� ����, ����������� �������� ����������. ����� ����� �����
������ ����� ���� �������� �����, � ������� ����� ��� ������������ �
������������� �������; � ���������, ������ ��������� ������, ���
������� ����������� �������� ��������� ������. � �������, �
�������������� ��������� ����� ������ ������� ��������.

\begin{exc}
����� $A$ -- ��������� ������, ����������� ����������� ��������
$\omega_A^\hdot$. ��������, ��� $A$ -- ������ �����-�������
(�.�. $\depth A = \dim A$) ����� � ������ �����, ����� ���
����������� ��������� $\omega^\hdot_A$ ������������� � ����� �������
(������� ``����������� �������� ���� �����'').
\end{exc}

\subsection*{����������� �������� � �������������.}

���������, ��� ���� ���������� ��� �������������� -- ��� �����
������������ ��������� � ��� ����������� ������������� ����������.

����� ���� ������� ����� $X$ ����������� $d$ ��� �����
$k$. ��������� $X$ �������, ����� �������������� $\Omega^1(X/k)$ --
�������, �������� ��������� ����� ����� $d$. ����� �������
������������� ��� ������� ������� $\Omega^i(X/k)$ -- ��� ����������
����� ���������������� ����.

\begin{opr}
����� $K_X=\Omega^d(X/k)$ ���������������� ���� ������� ������� ��
$X$ ���������� {\em ������������ ������} ������� ����� $X$.
\end{opr}

�� �������� ������� �����, ��� $K_X$ -- �������� ��������� �����
����� $1$; ������� ��� ��� �������� ������������ ��������
�����������.

\begin{lemma}
����� $i:Y \to X$ -- ��������� �������� ������� ����� $Y$ ��� �����
$k$ � ������� ����� $X$ ��� ��� �� �����, � ����� $d = \dim X - \dim
Y$. ����� $R^j i^!K_X = K_Y$ ��� $i = d$, � ����� ���� ��� ������
$j$.
\end{lemma}

\proof{} ������� �������� �������� �������� ����� $X$; ����������
��������� ��� ������� �������� $U \subset X$ ����� ��������
�������������� $R^\hdot i^!K_U \cong K_{U \cap Y}[-d]$, ������
������� ��� ���, ����� ������������� ���� ����������� ��
������������. ��������� $Y \subset X$ -- ������� �������� �������
�����, �������� ��� �������� $d$ �����������, �.�. ����� �������,
��� $X = \Spec A$, $Y = \Spec A/I$, � ����� $I \subset A$ ��������
$d$ ���������� $x_1,\dots,x_d$. ����� ����, ����� �������, ���
$A/I$-������ $\Omega^1((A/I)/k)$ ��������� � �������� $n=\dim Y$
$1$-������� $dy_1,\dots,dy_n$. �����
$dx_1,\dots,dx_d,dy_1,\dots,dy_n$ ���� $A$-����� �
$\Omega^1(A/k)$. ��� ���� ��������� $\Ext^\hdot(A/I,K_X)$. ��� �����
������� � ������� ��������� ������; �������� ��������������
$\Ext^d(A/I,K_X) \cong K_Y$, � ��������������� ���������, ��� ��� ��
������� �� ������ $x_i$ � $y_i$.
\endproof

\begin{corr}
��� ����� ������� ����������� ����� $X/k$, ����������� ��������
$\omega^\hdot_X$ ���� ������������ ����� $K_X$, ���������� � �������
$-\dim X$.
\end{corr}

\proof{} ��������� �� �����, ��� ����� ���� ������������ ����� ���
������� ���������, ���� ������ ��������� ����������� ��� $X =
\PP^n_k$, �.�. ��������, ��� $K_X \cong \calo(-(n+1))$; ���
��������� ����������.
\endproof

����, ��� ������� ����������� ���� ��� ����� ���������� ����������
``����������� ��������'' ���� ������ ������������ ����������,
��������� ���� �� $-\dim X$.

��� ��������������, ������� ��, ������ ����� � ����������� -- ���
������.

\begin{exc}
��������, ��� ��� ������� ����������� ������ $X$ ��� ����� $k$
�������������� ��� ����� ����������� ���������� ������������
$H^0(X,\Omega^1_X)$ (``����� ����������� ��������������'').
\end{exc}

����� ����, ��� ����� �� ������������ �������� -- ��������, �
�������������� ������������ ������� ��������������, ������� �������
����, ������������ ������ ������������ ���������� $K_X$. ������ �
����������� ����� ������, ���� ����� ��������, ��� ���� ���
���������� ����������� ������: ���������� ����������� ������
��������������, � ���������� ����������� ������������ ��������� ���
������� ����.

� ���������, �������� ����� ����������� � ������������ ���������� ��
�������������� ����������-����� ���� ����� ���������� ``Residues and
duality'' -- ������ �������� ��� ������������ ���������� -- ���,
��-�������� ��-�� ������������� ������, ���� ������ ����������
�������. ��� ����� ������� ������ ������������ ����������. ��� ����,
����� �������� �������������� -- ��������, ��������� ��� $K_X$
����������� ����� -- ������������ �������� �������, �� � �����
�������� ������� ��� ���������� ``�������''. � ���������� �����, �
���� ������� ����� ����������, ��� ����� �� ������� �� ������
��������� ���������; � ��������� ��������� ����� ������������,
����������� ���������� ����������� ���� ``���������� ������������
����������'' ��� �� �������� ������. ����� �� ����, ��� ������
�������� ����� ��������� �� ������������� ���������� ������ -- ��
���� ���� ��������� �������� ������� ����, ��� ��� ������� � ��� ���
���� �������� �������. �� ��������� �������������, �������, ��� ���
��� ����� ���������, �� ��������� �������. ��-������, ��� ����������
�������������� �� ���� ���� �����, ��� ����� �����
��������������. ��-������, ���� ��� �� ������������ ��������, ��
���� ����� �������� ����� ����� � ����������� 1, ������� ����������
�� ������ ����������� � ������� ����������� �������
�.�. ``�������������� ���������'' �������� ���������, � ����
����������� ������ ��� ������� ������������� ���������
���������. ���� �� �����, ��� ������������� �������, ����
����������� ����� ��� $K_X$. � �����, ������������, ��� ����� ������
� ����� ����������, ��� ����������, ������� -- ��-��������, �
�������� ������������ ���� -- ������� ������, � ��� � ���������
������������ ����� ������ ��������������, ������� $f^!$, � ��������
� ������������ ������� ���� �������~\ref{dv}.

\bigskip

\noindent
�� ���� � ��������.

\end{document}

