\documentclass[12pt,leqno]{article}

\usepackage{amsmath,amsfonts,amscd,amssymb,theorem}

\addtolength{\topmargin}{-23mm}
\addtolength{\textheight}{60mm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-20mm}
\addtolength{\textwidth}{40mm}

%%%%%  Theorem style with a dot at the end of the header

\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@dotted{\normalfont\itshape
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}}
\endgroup
\makeatother

\theoremstyle{dotted}

\newtheorem{thm}{�������}[section]
\newtheorem{lemma}[thm]{�����}
\newtheorem{prop}[thm]{�����������}
\newtheorem{corr}[thm]{���������}
\newtheorem{exc}{����������}[section]
\newtheorem{sch}[thm]{����}

%%%%%  Same for definitions

\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@upshape{\normalfont
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}}
\endgroup
\makeatother

\theoremstyle{upshape}

\newtheorem{opr}[thm]{�����������}
\newtheorem{rem}[thm]{���������}

%%%%% ������

\makeatletter
\@addtoreset{equation}{section}
\makeatother
\renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}}

\newcommand{\proof}[1][��������������.]{\smallskip\noindent{\em #1}}
\def\endproof{\hfill\ensuremath{\square}\par\medskip}

\renewcommand{\labelenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}}
\renewcommand{\theenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}}

\def\eqref#1{\thetag{\ref{#1}}}
\def\eps{\varepsilon}
\def\phi{\varphi}
\def\wt{\widetilde}
\def\wh{\widehat}

\let\latexref=\ref
\def\ref#1{{\normalfont{\latexref{#1}}}}

\setlength{\unitlength}{1pt}
\newcommand{\idot}{{\:\raisebox{1pt}{\text{\circle*{1.5}}}}}
%
% The dot which looks good as index for homology groups
%
\newcommand{\hdot}{{\:\raisebox{3pt}{\text{\circle*{1.5}}}}}
%
% Same for cohomology
%

%%%%% �����

\newcommand{\C}{{\mathbb C}}
\newcommand{\Z}{{\mathbb Z}}
\newcommand{\R}{{\mathbb R}}
\newcommand{\Q}{{\mathbb Q}}

\newcommand{\A}{{\mathbb A}}
\newcommand{\PP}{{\mathbb P}}

\newcommand{\m}{\mathfrak m}
\newcommand{\aA}{\mathfrak a}
\newcommand{\pp}{\mathfrak p}
\newcommand{\qq}{\mathfrak q}
\newcommand{\bb}{\mathfrak b}

\newcommand{\calo}{{\mathcal O}}
\newcommand{\F}{{\mathcal F}}
\newcommand{\E}{{\mathcal E}}

\newcommand{\Hom}{\operatorname{{\sf Hom}}}
\newcommand{\Ext}{\operatorname{{\sf Ext}}}
\newcommand{\Tor}{\operatorname{{\sf Tor}}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{{\sf Sym}}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{{\sf Id}}}
\newcommand{\id}{\operatorname{{\sf id}}}

\newcommand{\hhom}{\operatorname{{\mathcal H}{\it om}}}

\renewcommand{\Im}{\operatorname{{\sf Im}}}
\newcommand{\Ker}{\operatorname{{\sf Ker}}}
\newcommand{\Coker}{\operatorname{{\sf Coker}}}

\newcommand{\Aut}{\operatorname{{\sf Aut}}}
\newcommand{\Der}{\operatorname{{\sf Der}}}

\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Proj}{\operatorname{Proj}}
\newcommand{\Max}{\operatorname{Max}}
\newcommand{\Ass}{\operatorname{Ass}}
\newcommand{\Supp}{\operatorname{Supp}}
\newcommand{\Frac}{\operatorname{Frac}}
\newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}}

\newcommand{\Shv}{\operatorname{Shv}}
\newcommand{\PShv}{\operatorname{PreShv}}
\newcommand{\Et}{\operatorname{\text{\'Et}}}

\renewcommand{\dim}{\operatorname{{\sf dim}}}
\newcommand{\depth}{\operatorname{{\sf depth}}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{{\sf rk}}}
\newcommand{\ev}{\operatorname{{\sf ev}}}
\renewcommand{\deg}{\operatorname{{\sf deg}}}
\renewcommand{\det}{\operatorname{{\sf det}}}

\newcommand{\disc}{\operatorname{{\sf disc}}}
\newcommand{\Ann}{\operatorname{{\sf Ann}}}
\newcommand{\Res}{\operatorname{{\sf Res}}}
\newcommand{\tr}{\operatorname{{\sf tr}}}
\newcommand{\gr}{\operatorname{{\sf gr}}}
\newcommand{\htt}{\operatorname{{\sf ht}}}
\newcommand{\ppt}{\operatorname{{\sf pt}}}
\newcommand{\cchar}{\operatorname{{\sf char}}}

\def\ds{\displaystyle}

\newcommand{\6}{\partial}

%%%%% Pagestyle

\pagestyle{myheadings}

\markboth{�������� � �������������� ��������� -- ������ � ��� ����,
����� 2006}{�������� � �������������� ��������� -- ������ � ���
����, ����� 2006}

\begin{document}

\setcounter{section}{15}
\stepcounter{section}
\section*{������ 16.}

\begin{center}
\begin{minipage}{0.7\linewidth}\small
������� ��������. ������� ������ ����. ������� ��������� � �������
���������.
\end{minipage}
\end{center}

\subsection*{������� ���������.}

������ �������������� ������� -- ������� {\em ���������} �����-����
��������, ������ (������, ���������� � �.�.) ��������� ��
����������. ��������, ���� ���� $C^\infty$-������������ $M$ �
�����-������ ���������������-�������������� ��������� �� ���,
���������� ��������� ����� $\xi$ -- ��������, �������� ������� -- ��
��� ���������� ��������, ��������� �� ������������ ���������� $S$,
�������� ������������� ��������� ���� �� $M \times S/S$, �������, �
������ ��������� ������� ���� �� ������ ����. ��� ���� � ������
���������������� ��������� ���� ������������ $M$ -- ��� ���������
����� -- �������� ����������; �������� ������ ��������������
��������� $\xi$. ����� ���������, ��� ����� � �������� $M \times S$
-- ����, ��� ���� ��������� {\em �����} ������������ $M'$,
���������� ������������ � $S$, �� ���� ����� ����������� � ������
������ ����� ���� ���������� �������, � ������ �������� �� ������
����������� �� ������.

�����������, � ��� ��������� ����, ��� � �������������� ���������
����� ���������� � ������� ����� ������� �������� ����� ��������, �
������� ���������� ������������ ����� {\em ��������} -- ��������,
����������� ����������� (``�����������''); ��� ���� �������� ���
�������������� ������� (� ���������, ���������� ���������� �����
����������� �������� �����������).

����������� ��� ���������-��������������; ������ ��� ��������, {\em
a priori} ���������.

\begin{opr}
����� ��� ������� ���� $f:X \to Y$. ���������������� �����
$\calo_X$-������� $\F$ �� $X$ ���������� {\em ������� ��� $Y$}, ����
�� ������� ��� ����� $f^{-1}(\calo_Y)$-�������. ��� ������� $f$
���������� {\em �������}, ���� $\calo_X$ -- �����, ������� ��� $Y$.
\end{opr}

\begin{exc}
��������, ��� ������ $M$ ��� ��������� ������� $A$ ������� ����� �
������ �����, ����� ��� ������ �������� ������ $\pp \subset A$,
����������� $M_\pp$ ������� ��� $A_\pp$ (��������: ����������������
������ �� ��������������� �������, �������� �������, ��� $M$ �������
����� � ������ �����, ����� $\Tor^1(M,A/\pp)=0$ ��� ������ ��������
$\pp$). �������� ������, ��� ������� �������� ���� $f:X = \Spec B
\to Y = \Spec A$ ������� ����� � ������ �����, ����� $B$ ������ ���
$A$-������.
\end{exc}

������� ����������� ������� ������� ��������: (1) $Y$ �����, $X = Y
\times Z$ ��� ������-������ $Z$, (2) $Y$ �����, $X \to Y$ --
�������� �������� ��������. ��� ������������� ������.

\begin{exc}[������ �������� ���������.]
����������� ������������� ����� ����� $d$, � ��������� ����� $P$
��������� ���� ��������� ���������� ��������� �� ���� ����������
������� $d$. ���������� $P$ ��� �������������� ������������ (��������
������������ ��� ����). ���������� ������������ $X \subset P \times
\PP^2$, �������� ���
$$
X = \{ \langle x,p \rangle, x \in \PP^2,p \in P \mid p(x)= 0 \}.
$$
��������, ��� $X$ -- ��������� ���������������, � �������� $X \to P$
-- ������� �������.
\end{exc}

� ���� ������� �� ��������� ���������� ����������: �����������
(������ � $\PP^2$) � �������, � ��������� ``�����������'' ���������
-- ���������� ��������� ������� $d$, �������� ������. ����������
������� ���������. ��� �� ������, � ��������� ������ ��� �������
��������� ��� � ��������. ��� ����, � ����������� �� ���������,
������ ����� ���� ������ ��� ��������, ����� ����� ���� ���
��������� ������������ ���������, � �.�.

�� ����� ����, ������ ��������� � ���, ��� � ������� ���������
����������� ���������� ����������, �� ��� �����: ��� �� ����������,
{\em �������-�����������} ������� $A$-������ $M$ �������� ���������,
� � ���������, ����������� ���� $\dim_{k(\pp)}M_\pp/\pp M_\pp$
��������������� ������������ ����� �� ������� �� ����� $\pp \in
\Spec A$. ��� ������ ������� ��������� �� ��� ����.

\begin{lemma}\label{dim.const}
����� $f:X \to Y$ -- ������� ������� ��������� ����, $x \in X$ --
����� $X$, $y=f(x) \in Y$ -- �� ����� � $Y$. �����
$$
\dim \calo_{X_y,x} = \dim \calo_{X,x} - \dim \calo_{Y,y},
$$
��� $X_y=f^{-1}(y) \subset X$ -- ���� �������� $f$ ��� ������ $y$.
\end{lemma}

���� $X$ � $Y$ -- ������������ ������������ ��� ����� $k$, ���
������, ��� ����������� ������ ��������� ���� $f^{-1}(y)$ -- � �����
����, ����������� ����� �� ��� ������������ ��������� -- �� �������
�� ������ ����� $y$ (� ����� $\dim X - \dim Y$).

\proof{} ����������� ��������: ���� ��������� ������ $B =
\calo_{Y,y}$ � ������� ��������� $B$-������� $A=\calo_{X,x}$; ����
��������� ����������� $\dim A/\m_B A$, ��� $\m_B \subset B$ --
������������ �����.

�������� �� $\dim B$. �������, ��� ���� ����� �����-�� ����� $I
\subset B$ � �������� $B$ �� $B/I$, � $A$ �� $A/IA$, �� �� $A/\m_B
A$, �� ��� ����������� �� ���������. ������� ������� � �������� $I$
����������� $B$; ����� $\dim B/I = \dim B$, � ��������� $IA$ ����
������� �� ������������� ���������, $\dim A/IA = \dim A$. �������
����� �������, ��� $B$ �� ����� ������������. ����� �������, $\m_B$
�� ���� ��������������� ������� ����� ��� $B$. ������� ����������
����� $x \in \m_B$, ������� �� ����� �� � ����� ���������������
������, �.�. �� �������� ��������� ����. �� ������ �����������,
$\dim B/x = \dim B - 1$. �� �.�. $A$ ������ ��� $B$, $x$ �� ����
�������� ���� � � $A$ (��������� $x:A \to A$ ����������). �������
$\dim A/x = \dim A - 1$. ����� $I = xB$, � ��������� ��������.
\endproof

�������� ���� ����� ��� ���������� ���� (��� ������� ��������������,
�� �� ������� ��������). ���� ���� ������ �������, ���� �� ����� --
������ ����� ��������, ��� ��������� �������, �����, ��� ���������
������������. �������� ������ ��������� ������������ ������� ������,
������� �� �������� ����� �������.

\begin{lemma}
����� $f:X \to Y$ -- ������� ��������� ����, ������ $Y$ -- ������
����������� ���������� ������ ����������� $1$ (�������, ��� $X/Y$
``������������������� ���������''). ����� $f$ ������� ����� � ������
�����, ����� ����� ��������������� ����� $X$ ��������� � {\em �����}
����� $Y$ (� ���������, ���� $X$ ���������, ��� ������, ��� ����� ��
������������ ���������� ���������� $Y$).
\end{lemma}

\proof{} �� ������� $Y = \Spec A$ ���� ������ ������ �����������
������������ � �����-�� �������������� $t \in \m \subset A$. �����
$A$-������ $M$ ������� ����� � ������ �����, �����
$\Tor^1(M,A/tA)=0$, �.�. � $M$ ��� $t$-��������: ��������� �� $t$
���� ����������� �����������. ����� �������, $t$ �� ����� �� � �����
��������������� ������� ������ ������ ���������� ������ �����
$X$. ��� � ���� ��, ��� ���������.
\endproof

\begin{exc}
����� $Y = \A^2_k$ -- �������� ��������� ��� ����� $k$, � $X$ --
�������� $Y$ � ����� $0 \in Y$. ��������, ��� ������� $X \to Y$ {\em
��} �������� �������.
\end{exc}

\subsection*{������ ����.}

������� ����������� ������ ������ � �������� ����������� -- ��� ���
���������� {\em ������� ������ ����} (��� ������ ��������
���������������� ���������� � �������������� ��������� ��
����������, ����������� � ����� ������ ����������).

����� ��� ������� ���� $f:X \to Y$. ����� ����� ���� ������ �����
$Y'$, ���������� ��������� $\pi:Y' \to Y$. �������� �������� �������
$$
\begin{CD}
X \times_Y Y' @>{\pi}>> X\\
@V{f}VV @VV{f}V\\
Y' @>{\pi}>> Y.
\end{CD}
$$
����� ������������, ��� ��� ������ ����������������� ����� $\F$ ��
$X$, �� ���������� ��������������� �������� ���������� {\em �������
������ ����}
$$
\pi^*f_*\F \to f_*\pi^*\F.
$$
�������������, �� ������������� �����
$$
\Hom(\pi^*f_*\F,f_*\pi^*\F) = \Hom(f^*\pi^*f_*\F,\pi^*f)
= \Hom(\pi^*f^*f_*\F,\pi^*f),
$$
� �� ��� �� ������������� ����� ������������ ������� $f^*f_*\F \to
\F$; �������� � ���� $\pi^*$, �������� ���������. ��� ��� �������� �
������������ ��������� �������������� ����������: ����� $Y'$ ���
����� � $Y$; ����� ����� ���������� ������� ����� $\F$ �����
���������� �� ���� $f^{-1}(y) = X \times_Y Y' \subset X$. ��
��������� ��� ����� ���������� �������� ������ ���� �� ������������
������ ���������� �������� ����������� ���������, ��� ����������
���������� �� ����������� (�������� ������ ��� ����������, ����
������������ ������ ����������� ���������). ����������� ��� ������
���� � ������� ��������� �����.

\begin{thm}
����� $f:X \to Y$ -- ������� ������� ��������� ����, � ����� $\F$ --
������� ����� �� $X$. ����� ��� ����� $Y'$, $\pi:Y' \to Y$, �������
������ ����
$$
L^\hdot\pi^*R^\hdot f_*\F \to R^\hdot f_*\pi^*\F
$$
���� ���������������.
\end{thm}

\proof{} ����������� �������� �������� �� $Y$.  ����� ���������
������ ������ ������ ����� ��������� � ������� ����������� ����
��������� �������� $X$. ����� �������� �������� �������
$\calo_Y$-�������, �������������� $R^\hdot f_*\F$, ��� �����
������������ ��� ����������� ��� ���������� $L^\hdot\pi^*$, �
���������� ��������, ��� ��� ������ {\em ���������} $U \subset X$
����������� ������ ���� ���� ����������. ��� ��������.
\endproof

\begin{rem}
������� ��������� ������������� �����. ��������: ����� $Y = \A_k^1$,
$X$ -- �����-�� ����� � ���, � $Y'$ -- �� �� ����� �����. ����� �
����������� ������������ $X \times_Y Y'$ -- �� �� �����, ����� ��
$X$ -- ������ $k$-��������� ������������, � $f_*L^i \pi^* V$ ���
������ ���������� ������������ $V$ ����� ������ $V$ ��� $i=0$, � $0$
��� $i \geq 1$. �� $L^1\pi^*V$ ���������� �� ����� ����. �������
����� � ���, ��� ����� �� ����� ����������� ������������ $X \times_Y
Y'$, �� ��������� �������� ��� ��� ������ $\Tor$ �����
$\calo_Y$-�������� $\calo_X$ � $\calo_{Y'}$; �������, ����� �������
��������, ���� �����������, ����� �� � �� ���� � ������ ������.
\end{rem}

\begin{corr}\label{eu.const}
����� $f:X \to Y$ -- ������� ����������� �������, $Y$ ������, � $\F$
-- ������� ����������� ����� �� $X$. ����� �����
$$
\chi(\F,y) = \sum_i (-1)^i\dim_{k(y)}H^i(f^{-1}(y),\F),
$$
���������� ``��������� ���������������'' $\F|_{f^{-1}(y)}$,
��������� ��� ����� ����� $y \in Y$ (����� $k(y)$ -- ���� �������
����� $y$).\endproof
\end{corr}

\subsection*{������� ��������� � ������� ���������.}

������� ������, ��� ����������� ����, ������ ����������� � ���, ���
``� ������� ��������� ���������� ���������� ���������'' (� ����� �
�������� � ����). ����� $X$ -- ����������� ����� ��� ����� $k$, �
��������� �������� �������� ����������� $\calo(1)$.

\begin{lemma}
��� ������ ������������ ����� $\F$ �� $X$, �������
$$
P(\F,n) = \chi(\F(n)) = \sum_i (-1)^i\dim_k H^i(X,\F(n))
$$
���� ������� ������� $\dim\Supp\F$.
\end{lemma}

\proof{} �������� �� $\dim\Supp\F$. ���� $Y = \Supp\F$ ���������, ��
��� �������, � $\calo(1)$ -- ����������� �������� ���������� �� $Y$;
������� $P(\F,n)$ �� ������� �� $n$. � ����� ������, �������, ���,
��� ������� �� ������� ������ ������������������ �����������,
������� $P(\F,n)$ ��������� �� ��������� � �����������. �������
����� �������, ��� $Y$ �����������. �������� ����� ������������ ������� $H
\subset X$, ��� $\dim Y \cap H < \dim Y$, �������������
�������������� ������ ������������������
$$
\begin{CD}
0 @>>> \Tor^1(\F,\calo_H) @>>> \F(-1) @>>> \F @>>> \F \otimes
\calo_H @>>> 0,
\end{CD}
$$
�, ��������� �������� � �����, � ������ ����� ����� �����������
������ ������ $\dim Y$, ���������, ��� $P(\F,n) - P(\F,n-1)$ ����
������� �� $n$ ������� �������, ��� $\dim Y$.
\endproof

\begin{opr}
������� $P(\F,n)$ ���������� {\em ��������� ���������} ����� $\F$.
\end{opr}

\begin{exc}
��������, ��� $P(\F,n) = \dim H^0(X,\F(n))$ ��� $n >> 0$ (��� �����,
������� ��������� ����� ���������� � ��� �����������).
\end{exc}

\begin{thm}
����� $f:X \to Y$ -- ����������� ������� ��������� ����, � ����� $Y$
-- ����� �����. ����� ����� $\F$ �� $X$ ������� ��� $Y$ ����� �
������ �����, ����� ������� ��������� $P(\F_{f^{-1}(y)},n)$ ��
������� �� ������ ����� $y \in Y$.
\end{thm}

\proof{} ����������� ��� ``������ �����'' ���
���������~\ref{eu.const}; ���� �������� ��������
�����������. ��������� $X$ � ����������� ������������ � ������� $\F$
�� ��� ������ �����, ����� �������, ��� $X = \PP^N_Y$. �����������
�������� �� $Y$, ������� ����� �������, ��� $Y = \Spec A$ -- ������
�������� ���������� ���������� ������, � ������������ ������� $\m
\subset A$, ����� ������� $k = A/\m$ � ����� ������� $K$. �� �������
����� ����� �������, ������� $\F$ �� $\F(n)$ ��� ���������� ��������
�������������� $n$, ��� $H^i(X,\F(l))=0$ ��� ����� $l \geq 0$ � $i
\geq 1$. ����� ����, ����� $X_o \subset X$ -- ���� $X$ ��� ������ $o
\in Y$, � $\rho:X_o \to X$ -- ��� ��������; �����, ���������� $n$,
����� �������, ��� $H^i(X_o,L^j\rho^*\F(l))=0$ ��� ����� $i \geq 1$,
$l \geq 0$, $0 \leq j \leq N$. ����� �� ������� ������ ���� �����
$$
P(\rho^*\F,l) = \dim_k H^0(X,\F(l))/\m
$$
��� $l \geq 0$, � �� ����������� ������� ��� ����� ����������� $\dim_K
H^0(X,\F(l)) \otimes_A K$. ������� $A$-������ $H^0(X,\F(l))$ �������
��� $l \geq 0$. ��������� ����� $\F$ ���������� ������������ ��
$\bigoplus_{l \geq 0}H^0(X,\F(l))$, �� ���� �������.
\endproof

�������, ��� ������ ������� �����~\ref{dim.const}, �� ������� ���� �
������, ����� $X$ ���� ����� ��� ����������� ������ $Z/Y$. �� ��� ��
���� �� �� ����� ��������������. �������������, ����� ��� ����������
������ ����������� �� ����������, ��� $\dim A/x = \dim A - 1$, ��
������������ ��������� ��������� -- � ����� ������, ��� ��� ��� ��
����� �������. ��� ����������� ���� ����������� ��� ������ ������,
����� ������ ���������, ������� ����� ������� �� �������� ���������;
��� �����, ����� ������ ���, � �������� ������ ��������� ��������
������� ���������.

�����������, ��� ��� ������ �� ����������� ������������, �������
��������� ��� ������������ ����������� ���������� ���������: ���
������ �� ������������, ����� ��������� ����� ������� ��������� ���
������������� ��������� ����� $Y$, ��� ����� ����� � ������
$P(\F,l)$ ���������� � ��� ��� ����, ������ ������ ���� ���. �����
�������, ����� ������� �� ����������� ���������� �������� ���������,
� ������������ ���������� ����� $y \in Y$. ��������� ��� ��� ��
����� �������� ��� �������� ��� ���������� {\em �����������
�������}.

\end{document}
