\subsection*{12.}
        Новаторская идея схемы, как мы уже знаем, дала возможность
        связать между собой различные {\лк}геометрии{\пк}, соответствующие различным
        проcтым числам (или различным {\лк}характеристикам{\пк}).  Каждая из этих
        геометрий оставалась все еще существенно {\лк}дискретной{\пк}, или
        {\лк}разрывной{\пк} по контрасту с традиционной геометрией, доставшейся нам
        в наследство от прошедших веков (начиная с Евклида).  Новые идеи,
        введенные Зарисским и Серром,  вернули в какой-то степени
        этим геометриям {\лк}непрерывное измерение{\пк},  сразу же
        перехваченное {\лк}теоретико-схемной геометрией{\пк}, пришедшей с целью их
        объединить.  Но если говорить о {\лк}невероятных гипотезах{\пк} (Вейля), то
        до их подтверждения было еще очень далеко.  {\лк}Топологии Зарисского{\пк}
        были с этой точки зрения настолько грубы, что оставались почти что на
        уровне {\лк}дискретных скоплений{\пк}.  Недоставало, очевидно, какого-то
        нового принципа, который позволил бы связать эти геометрические
        объекты (или {\лк}многообразия{\пк}, или {\лк}схемы{\пк}) с привычными
        ({\лк}благонадежными{\пк}) топологическими {\лк}пространствами{\пк}; скажем,
такими,
        в которых {\лк}точки{\пк} отчетливо изолированы друг от друга, в то время как
        в пространствах-без-стыда-и-совести, введенных Зарисским, точки имеют
        досадную склонность склеиваться между собой{\ds}

           Решительно, только появление {\лк}нового принципа{\пк}, никак не 
        меньше,
        могло устроить, чтобы {\лк}брачный союз числа и величины (размера){\пк},
        или {\лк}геометрии разрывного{\пк} с {\лк}геометрией непрерывного{\пк}
        совершился ---
%Г Решительно, только появление {\лк}нового принципа{\пк}, никак не меньше,
%Г могло устроить {\лк}брачный союз числа и величины (размера){\пк},
%Г или {\лк}геометрии разрывного{\пк} с {\лк}геометрией непрерывного{\пк} ---
%Ф А вы понимаете, о чем говорится в этом предложении?
        как то сулило некое предчувствие, впервые давшее о себе знать языком
        гипотез Вейля.

           Понятие {\лк}пространства{\пк}, без сомнения, одно из самых древних в
        математике.  Оно является до такой степени основополагающим для
        нашего {\лк}геометрического{\пк} понимания мира, что принималось на веру,
        практически не требуя описаний, в течение более чем двух тысяч лет.
        И лишь в прошлом веке понятие это постепенно освободилось из-под
        тирании непосредственного восприятия (как единственно пространства,
        нас окружающего) и связанных с ним традиционных (евклидовых)
        теоретических разработок, чтобы обрести теперь уже свои собственные
        динамику и независимость.  В наши дни оно входит в число понятий,
        наиболее часто и повсеместно используемых в математике, безусловно
        известных всем математикам без исключения.  Понятие, впрочем,
        изменчивое, не поспоришь; у него сотни, тысячи обликов, в зависимости
        от того, какую структуру ему придать.  Есть из них богатейшие (как
        почтенные {\лк}евклидовы{\пк} структуры, или {\лк}аффинные{\пк}, или
{\лк}проективные{\пк},
        или еще {\лк}алгебраические{\пк} структуры  одноименных {\лк}многообразий{\пк};
%       [*ты думаешь, речь идет о том, что многообразия тоже алгебраические,
%       как и структуры?  а не о том, что они {\лк}многообразия по самому своему
%       названию?*]
%Я, конечно, не поручусь, но по-моему, скорее, одноименных.
        эти обобщают все предыдущие, придавая им гибкость), есть
        аскетически строгие.  Последние таковы, что всякий элемент информации
        {\лк}качественной{\пк} из них словно бы исчез безвозвратно, и
        присутствует лишь намек на количественную сущность понятия
        {\it близости}, или {\it предела\/}\footnote { Говоря о понятии
        {\лк}предела{\пк}, я подразумеваю здесь в первую очередь {\лк}предельный
        переход{\пк}, скорее чем понятие {\лк}границы{\пк} (которое ближе
        нематематику).}, и наличествует лишь вернее всего ускользающая от
        интуиции ({\лк}топологическая{\пк}) версия понятия {\it формы}.  Наиболее
        безыскусное среди всех, {\it топологическое пространство\/} в течение
        истекшей половины столетия играло роль своего рода широкого лона
        общих концепций, охватывающих все прочие структуры.  Изучением таких
        пространств занимается одна из самых увлекательных, самых
        животрепещущих ветвей геометрии: {\it топология}.

           Как ни неуловима могла казаться сначала структура {\лк}чистого
        качества{\пк}, воплощенная в {\лк}пространстве{\пк} (называемом
{\лк}топологическим{\пк}),
        при отсутствии каких бы то ни было данных количественной природы
        (как расстояние между двумя точками, в частности), которые дали бы
        нам возможность уцепиться за сколько-нибудь привычное интуитивное
        представление о {\лк}величине{\пк}, или {\лк}малости{\пк}, ---
в течение минувшего
        века удалось наконец загнать эти пространства в плотные и гибкие
        ячейки языка, тщательно {\лк}скроенного из кусочков{\пк}.  Более того,
        изобрели и изготовили целиком эталоны {\лк}метра{\пк}, или
{\лк}сажени{\пк}, именно
        затем, чтобы, всему наперекор, навязать что-то вроде {\лк}мер{\пк}
        (названных {\лк}топологическими инвариантами{\пк}) этим
пространствам-спрутам,
        которые, подобно неуловимым призрачным городам, казалось,
        ускользали при всякой попытке нанести их на карту с масштабом.
        Правда, основная часть этих инвариантов, притом самых существенных,
        более тонкой природы, чем просто {\лк}число{\пк}, или {\лк}величина{\пк}.
Скорее,
        они сами представляют собой более или менее прихотливые структуры,
        привязанные (посредством конструкций той или иной степени сложности)
        к пространству, о котором идет речь.  Один из самых давних и
        важнейших таких инвариантов, введенный еще в предыдущем столетии
        (итальянским математиком {\it Бетти\/}), образован различными
        {\лк}группами{\пк}  (или {\лк}линейными пространствами{\пк})
--- так называемыми {\лк}когомологиями{\пк},
        соответствующими данному пространству\footnote{ По правде говоря,
        инварианты, введенные Бетти, были  {\it гомологиями}.
        {\it Когомологии}, более или менее эквивалентные им, {\лк}дуальные{\пк}
понятия, были введены гораздо позднее.  Этот аспект обрел
        превосходство над начальным, {\лк}гомологическим{\пк}, главным образом,
        бесспорно, вслед за введением Жаном Лерэ точки зрения, основанной на
        понятии пучка, о чем говорится ниже.  В техническом отношении можно
        сказать, что огромная часть моего труда в области геометрии состояла
        в извлечении на свет и развитии в тех или иных пределах недостающих
        когомологических теорий для пространств и многообразий всех видов,
        прежде всего {\лк}алгебраических многообразий{\пк} и схем.  Мне привелось,
        прокладывая дорогу, истолковать традиционные гомологические
        инварианты в терминах когомологических, и тем самым представить их в
        совершенно новом свете.

           Есть много других {\лк}топологических инвариантов{\пк}, введенных
        топологами, чтобы подступиться к того или иного  рода  свойствам
        топологических пространств.  Если не говорить о {\лк}размерности{\пк}
        пространства и (ко)гомологических инвариантах, первые из числа прочих
инвариантов --- {\лк}гомотопические группы{\пк}.  Я ввел  новый инвариант в 1957
        году: группу $K(X)$  (так называемую {\лк}группу Гротендика{\пк}),
        которой сразу же посчастливилось получить признание и чья значимость
        (как для топологии, так и в арифметике) не устает подтверждаться
        снова и снова.

           Множество новых инвариантов, по своей природе изощренней тех, что
        в наше время известны и используются, но по моему ощущению
совершенно фундаментальных, намечено  в моей программе по {\лк}ручной
        топологии{\пк} (ее краткий обзор включен в {\лк}Набросок Программы{\пк},
 который войдет в четвертый том  {\лк}Раздумий{\пк}).  Эта программа
        основывается на понятии {\лк}ручной теории{\пк}, или {\лк}ручного
пространства{\пк},
        которое представляет собой, в чем-то как и понятие топоса, (вторую)
        {\лк}метаморфозу понятия пространства{\пк}.  Оно намного  прозрачнее
        (как мне кажется) и не такое глубокое, как это последнее.  Я, однако,
        предвижу, что его воздействие на топологию {\лк}собственно говоря{\пк}
        определенно должно быть еще значительней, и что благодаря ему
        {\лк}ремесло{\пк} геометра-тополога изменится целиком, сверху донизу ---
путем
        глубокого преобразования концептуального контекста, в котором он
        работает.  (Как это уже случилось с алгебраической геометрией после
        введения точки зрения теоретико-схемной.)  Я послал свой {\лк}Набросок{\пк}
        нескольким старым друзьям и известным топологам, но непохоже,
        чтобы содержание их сколько-нибудь заинтересовало\ds}.  Это они
         подают голос  (правда, в основном {\лк}между строк{\пк}) в гипотезах Вейля,
        являясь для них глубоким {\лк}оправданием бытия{\пк} и придавая им (по
        крайней мере для меня, {\лк}впутанного в это дело{\пк} объяснениями Серра)
        полный их смысл.  Но возможность связать эти инварианты с
        {\лк}абстрактными{\пк} алгебраическими многообразиями, о которых шла речь в
        этих гипотезах, способом в точности отвечающим  прозвучавшим там
        требованиям,  оставалась не более чем надеждой.  Сомневаюсь, что
        кто-либо помимо Серра и меня самого (даже --- и в первую очередь ---
        лично Андрэ Вейль!)\footnote{ Парадоксально, у Вейля был прочный
        {\лк}барьер{\пк}, очевидно, инстинктивный, против когомологического
        формализма --- при том, что именно его прославленные гипотезы в
значительной мере послужили  основой для развития важнейших когомологических
        теорий в алгебраической геометрии, начиная с 1955 года
        (первоначальным толчок процессу был дан Серром, с его
        основополагающей статьей АКП, уже упоминавшейся в  одной из
предыдущих сносок).

           Мне представляется, что этот {\лк}барьер{\пк} у Вейля был частью общей
        неприязни ко всякого рода {\лк}нагромождениям{\пк}, ко всему, что приходилось
        сродни формализму (и не могло быть изложенным на нескольких
        страницах), или {\лк}конструкции{\пк}, сколько-нибудь запутанной.  В нем
        определенно не было ничего от {\лк}строителя{\пк}, и очевидно, что именно
        против воли он был принужден в течение  тридцатых-сороковых
%Юлька, здесь у Гротендика опечатка
 годов заниматься
        развитием первоначальных основ {\лк}абстрактной{\пк} алгебраической
        геометрии, которые (ввиду степени его расположенности к этому труду)
        явились воистину {\лк}Прокрустовым ложем{\пк} для потребителя.

           Я не знаю, желал ли он, чтобы я пошел дальше и вложил свои силы
        в построение больших зданий, которые позволили  бы  мечтам Кронекера и
        его собственным воплотиться в языке и инструментах изощренных и
        эффективных.  Он ни словом не откомментировал ни тот труд, в который
        видел меня погруженным, ни уже готовые части работы.  Так же не
        получил я и отклика на {\лк}РС{\пк}, экземпляр которых
        послал ему больше чем три месяца назад, с теплой дарственной
        надписью, сделанной от руки.}\ мог в нее верить{\ds}

           Незадолго до этого наше представление об этих инвариантах
        оказалось значительно обогащенным и обновленным работами {\it Жана
        Лерэ\/} (написанными в плену в Германии, во время войны, в первой
        половине сороковых).  Существенно новаторской была идея {\it пучка\/}
        (абелева) над пространством, с которым Лерэ связал соответствующие
        {\лк}группы когомологий{\пк} (так называемые {\лк}когомологии с коэффициентами
        в пучке{\пк}).  Это было как если бы старый добрый, {\лк}когомологический{\пк},
        эталон метра, которым располагали до сих пор для {\лк}измерения{\пк}
        пространства, превратился вдруг в невообразимое множество новых
        {\лк}метров{\пк} всевозможной величины, формы и содержания, каждый внутренне
        приспособленый к рассматриваемому пространству, о котором поставляет
        нам сведения с безупречной точностью, причем такие, какие может дать
        только он один.  Это была главная идея в глубоком преобразовании
        нашего подхода к пространствам всех видов и, безусловно, одна из
        важнейших идей, появившихся в течении этого столетия.  Благодаря
        прежде всего последующим работам Жан-Пьера Серра, идеи Лерэ
 уже в первое десятилетие после своего появления на свет принесли такие
плоды, как впечатляющий прорыв в развитии теории топологических
        пространств (и в частности их инвариантов, называемых
        {\лк}гомотопическими{\пк}, тесно связанных с когомологиями), и другой,
        не менее важный, прорыв  в  так называемой {\лк}абстрактной{\пк}
        алгебраической геометрии (с основополагающей статьей {\лк}АКП{\пк} Серра,
        опубликованной в 1955~г.).  Мои собственные работы по геометрии,
        начиная с 1955 года, шли в продолжение этих трудов Серра и, тем
        самым, новаторских идей Лерэ.

