\subsection*{16.}
        Идея топоса произошла от идеи схем, и в самый год появления схем,
        но по значимости далеко превзошла родительницу.  Именно тема топоса,
        и никакая другая, стала {\лк}брачным ложем{\пк} геометрии и алгебре,
        топологии и арифметике, математической логике и теории категорий,
        миру непрерывного и государству структур {\лк}разрывных{\пк}, или
        {\лк}дискретных{\пк} (полноводная  река --- она же\dsp).
Если теория схем ---
%Юлька, глубоководные бывают рыбы.
%А почему ты тогда не исправил на {\лк}глубоководная рыба{\пк}?  Очень в стиле.
        {\it сердце\/} новой геометрии, тема топоса --- ее телесная оболочка,
        или {\it жилище}.  Это то, что я задумал как самое обширное, чтобы
        уловить с изысканной точностью и передать языком, богатым
        геометрическими созвучиями, общую {\лк}суть{\пк} cамых 
        несхожих друг с другом ситуаций, из тех, что то и дело 
        складываются в различных областях просторной математической 
        вселенной.
%Г Я задумал эту самую тему, чтобы уловить... {\лк}суть{\пк} ситуаций,
%Г сложившихся в той или иной из областей просторной математической
%Г вселенной, столь несхожих друг с другом.
%Ф СВЕРХУ ИЗМЕНЕНО

           Тема топоса, однако, слишком далека от того, чтобы познать успех,
        выпавший на долю схем.  Я несколько раз при случае поговорю об этом
        на страницах {\лк}РС{\пк}; здесь же не место задерживаться
        на нелепых превратностях судьбы, поразивших это понятие.  Две главные
        темы новой геометрии вышли все же из темы топоса, две дополняющие
        друг друга {\лк}когомологические теории{\пк},  задуманные  с целью обеспечить
        подход к гипотезам Вейля: {\it тема этальная\/} (или {\it $l$-адическая\/})
        и {\it тема кристаллов}.  Первая из них оформилась в моих руках в
        $l$-адический когомологический инструмент; похоже, что сейчас
        это один из мощнейших математических инструментов
        столетия.
%Г ... инструмент; похоже, что сейчас это
%Г один из мощнейших математических инструментов столетия.
%Ф СВЕРХУ ИЗМЕНЕНО
Что же до темы кристаллов, чье существование свелось
        после моего ухода почти к оккультному, она под конец была
%Г ...оккультному, то под конец она была...
        эксгумирована под светом рампы и под видом заимствования, при
        обстоятельствах еще более странных, чем те, что сложились вокруг
        топоса.

           $l$-адический когомологический инструмент стал, как  я и предвидел,
основным инструментом доказательства гипотез Вейля.  Я сам
доказал немалую их часть,  и последний шаг был довершен
        мастерски, три года спустя после моего ухода, Пьером Делинем, самым
        блестящим из моих учеников-{\лк}когомологистов{\пк}.

           Я, впрочем, сформулировал к 1968 году более сильную и,
        главное, более геометрическую версию гипотез Вейля.  Они оставались
  {\лк}подпорченными{\пк}  (если можно так выразиться!)\ необоримым арифметическим
        привкусом, хотя, конечно, самый дух этих гипотез в том, чтобы
        выразить и уловить {\лк}арифметическое{\пк}
(или {\лк}дискретное{\пк}) через
        посредство {\лк}геометрического{\пк} (или
        {\лк}непрерывного{\пк})\footnote{(Предназначено для математика.)  Гипотезы
        Вейля находятся в зависимости от предположений арифметической
        природы: именно, рассматриваемые в них многообразия должны быть
        определены над {\it конечным\/} полем.  С точки зрения
        когомологического формализма это приводит к тому, что особое место
        получает {\it эндоморфизм Фробениуса}, соответствующий данной
        ситуации.  При моем подходе ключевые свойства (типа  {\лк}обобщенной
торемы об индексе{\пк})  связаны с {\it произвольными\/} алгебраическими
        соответствиями и не требуют никаких ограничений арифметической
        природы над основным полем, предварительно заданным.}.  В этом смысле
 вариант  гипотез, предложенный мной, представляется мне более {\лк}верным{\пк}
        философии Вейля, чем его собственный вариант --- философии, никогда
        не записанной на бумаге и редко проступавшей в речи, и ставшей, быть
        может, {\it главной\/} (невысказанной) мотивацией к необычайному
        расцвету новой геометрии в течение четырех истекших
        десятилетий\footnote{При этом после моего ухода в 1970 году
        весьма четко наметилось движение реакции, которое вылилось в
        ситуацию относительного застоя, о которой я не раз упомяну при
        случае на страницах {\лк}РС{\пк}.}.  Моя переформулировка
        состоит, по сути, в извлечении {\лк}квинтэссенции{\пк} того, что остается
        применимым в рамках алгебраических многообразий, называемых
        {\лк}абстрактными{\пк}, классической теории Ходжа, имеющей дело с
        {\лк}обыкновенными{\пк} алгебраическими
многообразиями\footnote{{\лк}Обыкновенные{\пк}
        значит здесь: {\лк}определенные над полем комплексных чисел{\пк}.  Теория
        Ходжа (называемая также гармоническими интегралами) была мощнейшей из
        известных когомологических теорий в контексте комплексных
        алгебраических многообразий.}.  Я назвал {\лк}стандартными гипотезами{\пк}
        (для алгебраических циклов) эту новую, совершенно геометрическую,
        версию знаменитых гипотез.

           По моему ощущению, это был новый шаг, после развития
        когомологического $l$-адического инструмента, по направлению к этим
        гипотезам.  Но в то же время и прежде всего, это был один из
        возможных принципов подхода к тому, что мне также представляется
         глубочайшей из  тем, введенных мной в
        математику\footnote{Эта тема --- наиболее глубокая по крайней мере
        за весь {\лк}открытый{\пк} период моей математической деятельности, между
        1950 и 1969 годами, то есть вплоть до того момента, как я
        оставил математическую сцену.  Я считаю тему анабелевой
        алгебраической геометрии и теорию Галуа-Тейхмюллера, получившие
        развитие начиная с 1977 года, сравнимыми с ней по значению.}:
        к теме {\it мотивов\/} (порожденной  {\лк}когомологической $l$-адической
        темой{\пк}).  Эта тема --- как {\it сердце}, или душа, самая затаенная,
        лучше всего скрытая от взгляда часть теории схем, которая сама по
        себе --- ядро нового видения.  И сколько ни есть ключевых явлений
        в стандартных гипотезах\footnote{(Предназначается для читателя,
        занимающегося алгебраической геометрией.)  В свое время будет
        приведена формулировка этих гипотез.  Для более подробных
        комментариев см.\ {\лк}Обзор построек{\пк} (РС~IV, примечание
$n^\circ$\,178, стр.~1215--1216)
        и сноска на стр.~769 в разделе {\лк}Убеждение и знание{\пк} (РС~III,
примечание $n^\circ$\,162).}, они могут рассматриваться как составляющие нечто вроде
%Г "нечто вроде" грубовато для "хрупкой и изощренной"
        последней квинтэссенции темы мотивов, как {\it вдохновение},
        жизненно важное для самой хрупкой и изощренной из всех тем, {\лк}ядра в
        ядре{\пк} новой геометрии.

           Вот, в общих чертах, суть вопроса.  Мы уже видели, как важно
        (в особенности с точки зрения гипотез Вейля) для простого числа $p$
        уметь построить {\лк}когомологические теории{\пк} для {\лк}многообразий
        (алгебраических) в характеристике $p${\пк}.  Знаменитый
        {\лк}когомологический $l$-адический инструмент{\пк} предоставляет именно
        такую теорию, и даже {\it бесконечное множество различных
        когомологических теорий}, каждая из которых соответствует
        какому-нибудь простому числу $l$, отличному от характеристики $p$.
        Очевидно, здесь есть {\лк}недостающая теория{\пк}, соответствующая случаю
        равенства между $l$ и $p$.  Чтобы с этим справиться, я нарочно
        выдумал другую когомологическую теорию (которая уже недавно
        упоминалась), называемую {\лк}теорией кристальных когомологий{\пк}.
        Впрочем, для важного случая бесконечного $p$ имеются в распоряжении
        еще три когомологические теории\footnote{(Предназначается для
        читателя-математика.)  Эти теории соответствуют, по порядку,
        {\it когомологиям Бетти\/} (определенным с трансцендентной точки
        зрения, с помощью вложения основного поля в поле комплексных чисел),
        {\it когомологиям Ходжа\/} (определенным Серром) и {\it когомологиям
        де Рама\/} (определенным мной); две последние относятся еще к
        пятидесятым годам (а теория Бетти --- к предыдущему столетию).} ---
и никакой гарантии, что не придется рано или поздно  ввести
        новые когомологические теории с совершенно аналогичными формальными
        свойствами.  В противовес тому, что творится в обычной топологии,
        здесь мы поставлены перед фактом ошеломляющего изобилия различных
        когомологических теорий.  Обрисовывается вполне отчетливое ощущение
        (сначала оно было довольно туманным), что все теории стремятся
        {\лк}свестись к одной{\пк}, что они {\лк}дают одни и те же
        результаты{\пк}\footnote{(Предназначается для читателя-математика.)
        Например, если $f$ --- эндоморфизм алгебраического многообразия $X$,
       индуцирующий эндоморфизм  пространства когомологий $H^i(X)$,
%Юлька, на твоем уровне уже пора учить грамматику!
        {\лк}характеристический многочлен{\пк} последнего  должен быть  многочленом с
        {\it целыми\/} коэффициентами,  не зависящими  от выбора конкретной
        когомологической теории (например, $l$-адической для различных
        $l$).  То же верно для  общих  алгебраических соответствий, если
        $X$ собственное и гладкое.  Печальная истина (дающая представление
        о плачевном состоянии заброшенности когомологической теории
        алгебраических многообразий в характеристике $p>0$, считая с моего
        ухода) состоит в том, что это не доказано по сей день даже для
        частного случая, когда $X$ есть гладкая проективная {\it поверхность\/}
        при $i=2$.  В действительности, насколько мне известно, никто после
        моего ухода не соизволил поинтересоваться этим важнейшим вопросом,
        типичным из тех, что вытекают из стандартных гипотез.  Согласно
        велению моды, единственный эндоморфизм, достойный внимания --- это
        эндоморфизм Фробениуса (с которым, отчасти, сумел разделаться Делинь,
        подручными средствами\dsp).}.  Именно затем, чтобы выразить это
        интуитивное ощущение {\лк}родства{\пк} между различными когомологическими
        теориями, я вывел на свет понятие {\it мотива},  отвечающего
        алгебраическому многообразию.  Этим термином я хотел навести на
        мысль, что речь идет об {\лк}общем мотиве{\пк} (или {\лк}общей причине{\пк}),
        скрытом в глубине огромного множества различных априори 
        возможных когомологических инвариантов.
%Г ...множества различных априори возможных когомологических инвариантов.
%Ф СВЕРХУ ИЗМЕНЕНО
        Эти различные когомологические
        теории стали бы, как тематические разработки, каждая в {\лк}темпе{\пк},
        {\лк}ключе{\пк} и {\лк}ладу{\пк} ({\лк}мажорном{\пк} или {\лк}минорном{\пк}),
какие ей подобают ---
 одного и того же {\лк}основного мотива{\пк} (называемого
{\лк}{\it мотивной\/} когомологической
        теорией{\пк}), который в то же время  является наиболее
фундаментальным, или самым
        {\лк}утонченным{\пк}  из всех этих различных {\лк}воплощений{\пк} темы
(то есть из
        всех возможных когомологических теорий).  Так, мотив, соответствующий
        алгебраическому многообразию, образовывал бы {\лк}окончательный{\пк}, {\лк}в
        полном смысле этого слова{\пк}, когомологический инвариант, из которого
        все прочие (соответствующие всевозможным когомологическим теориям)
        выводились бы, как {\лк}воплощения{\пк} музыкальной темы, ее различные
        {\лк}реализации{\пк}.  Все важнейшие свойства когомологий многообразия
        проявлялись бы (или {\лк}слышались бы{\пк}) уже в соответствующем мотиве, как
        если бы знакомые свойства и структуры на отдельных когомологических
        инвариантах ($l$-адических или кристальных, например), стали бы
        попросту точными отражениями свойств и структур, {\it заключенных в
        мотиве\/}\footnote{(Предназначается для читателя-математика.)  Другой
        способ представить себе категорию мотивов над полем $k$ ---
        рассмотреть ее как что-то вроде {\лк}обертывающей абелевой категории{\пк}
        для категории отделимых схем конечного типа над $k$.  Мотив,
        соответствующий такой схеме $X$ (или {\лк}мотивные когомологии $X${\пк},
        которые я обозначаю $H^*_{mot}(X)$) оказывается,
    таким образом,
        некоей абелианизированной {\лк}аватарой{\пк} $X$.  Самое важное здесь, что
        совершенно так же, как алгебраическое многообразие $X$ поддается
        {\лк}непрерывной деформации{\пк} (его класс изоморфизма зависит от
        непрерывных {\лк}параметров{\пк}, или {\лк}модулей{\пк}), мотив,
соответствующий
        $X$, или, более общо, {\лк}переменный{\пк} мотив, также поддается
непрерывной
        деформации.  Этот аспект мотивных когомологий находится в
        разительном контрасте с тем, что происходит со всеми классическими
        когомологическими инвариантами, в том числе $l$-адическими, за
        единственным исключением когомологий Ходжа комплексных алгебраических
        многообразий.

           Это дает представление о том, до какой степени {\лк}мотивные
        когомологии{\пк} суть более тонкий инвариант, окруженный {\лк}арифметической
        формой{\пк} (если возможно отважиться на такое выражение) многообразия
        $X$ куда плотнее, чем традиционные инварианты, чисто топологические.
        В моем восприятии мотивов они представляются, как что-то вроде
        {\лк}пуповины{\пк}, незаметной, скрытой от взгляда, который связывает
        алгебро-геометрические свойства алгебраического многообразия со
        свойствами {\лк}арифметической{\пк} природы, воплощенными в его мотиве.
        Последний может рассматриваться, как объект, по духу
        {\лк}геометрический{\пк}, но в котором {\лк}арифметические{\пк} свойства,
        определяемые геометрией, оказываются, так сказать, {\лк}обнаженными{\пк} и
        выставленными напоказ.

           Итак, мотив представляется как глубочайший {\лк}инвариант формы{\пк} из
        тех, что вплоть до настоящего момента удавалось связать с
        алгебраическим многообразием, помимо его {\лк}мотивной фундаментальной
        группы{\пк}.  И тот и другой инварианты предстают передо мной, как
        {\лк}тени{\пк}, проявления {\лк}мотивного гомотопического типа{\пк}, которые
        остается описать (и о которых я скажу несколько слов в примечании
        {\лк}Обзор построек, или инструменты и видение{\пк}
(РС~IV, $n^\circ$\,178,
        см.\ постройка~5 (Мотивы), и в особенности стр.~1214)).  Именно этот
        последний объект, мне кажется, должен стать наиболее совершенным
        воплощением ускользающего интуитивного представления об
        {\лк}арифметической (или мотивной) форме{\пк} произвольного алгебраического
        многообразия.}.

           Вот, выраженная языком не математической техники, но музыкальной
        метафоры, квинтэссенция еще одной идеи младенческой простоты, тонкой
        и смелой одновременно.  Я развивал эту идею в рамках основных задач,
        которые считал наиболее неотложными, под заголовком {\лк}теория мотивов{\пк},
        или {\лк}философия (йога) мотивов{\пк}, во все время с 1963 по 1969
        год.  Эта теория, с ее завораживающим структурным богатством,
        во многом остается еще на стадии предположений\footnote{Я излагал
        свою точку зрения на мотивы тем, кто желал выслушать, на протяжении
        всех этих лет, не взяв на себя труда что бы то ни было опубликовать
        на этот предмет
%Г на эту тему
%Ф Да нет же, тем здесь и так хватает.
(в других  насущных  вопросах не было недостатка).
        Позже это дало возможность кое-каким из моих учеников {\лк}заимствовать{\пк}
        с пущей непринужденностью, под трогательным присмотром всех разом
        моих старинных друзей, прекрасно знакомых с истинным положением дел.
        (См.\ последующую сноску.)}.

           Я несколько раз говорю на страницах {\лк}РС{\пк} о
        {\лк}йоге мотивов{\пк} --- о том, что представляется мне особенно важным.
        Здесь излишне рассуждать о том, о чем уже сказано в другом месте.
        Достаточно указать, что сами {\лк}стандартные гипотезы{\пк} берут 
        начало в мире йоги мотивов, вытекая из нее естественным
        образом.
%Г ...{\лк}стандартные гипотезы{\пк} берут начало в мире йоги мотивов,
%Г вытекая из нее естественным образом.
%Ф СВЕРХУ ИЗМЕНЕНО
        В то же время они
        предоставляют принцип подхода  к одной из  возможных
        конструкций понятия мотива.

           Эти гипотезы мне казались, кажутся и сейчас, одним из двух
        наиболее основополагающих вопросов алгебраической геометрии.  Ни они,
ни другая, также важнейшая, проблема (так называемая {\лк}проблема разрешения
        особенностей{\пк}) не разрешены до сих пор.  Но в то время как вторая
        из них высится, сегодня, как и сто лет назад, громадой великолепной
        и грозной, те, что я имел честь поставить, неоспоримым приговором
        моды отнесены (в годы, последовавшие за моим уходом с математической
        сцены, и в точности как собственно тема мотивов\footnote{В
действительности, эта тема была эксгумирована  в 1982 году
 (годом  позже,  чем тема
        кристаллов) под тем же названием на этот раз (и в более узкой форме:
        дело ограничивалось случаем основного поля характеристики нуль),
        только имя задумавшего ее работника не произносилось.  Это один
        пример из множества прочих, когда тема или понятие, похороненные
        тут же после моего ухода как безумные гротендические причуды, бывали
        извлечены из могил одна за другой некоторыми из моих учеников в
        ходе десяти-пятнадцати последующих лет со скромным достоинством и
        (нужно ли уточнять) без упоминания работника\ds}) к разряду прелестной
        гротендической чепухи.  Но я снова забегаю вперед{\ds}

