Current mood:	tired
Current music:	Homan Greed - CONSOLATION

классификация и первое число Бетти для l.c.hk
Большое научное достижение про
локально конформные гиперкэлеровы многообразия

Конус риманова многообразия (M,g) это произведение
М на R^{>0}, с метрикой (t^2 g + dt^2),
где t параметр в R^{>0}.

Гиперкомплексное многообразие это
многообразие с комплексными структурами I, J, K
которые удовлетворяют кватернионным
соотношениям I J = - J I = K.

Гиперкэлерово многообразие это
гиперкомплексное многообразие с метрикой,
которая кэлерова в каждой из комплексных
структур I, J, K.

3-сасакиево многообразие это риманово многообразие,
такое, что на его конусе задана гиперкэлерова структура,
и для каждого вещественного числа l отображение
(m, t) -> (m, lt) сохраняет гиперкомплексную структуру.

Локально конформное гиперкэлерово многообразие
это гиперкомплексное многообразие с гиперкэлеровой
метрикой на накрытии, причем преобразование монодромии
на накрытии умножает метрику на число.

Пусть M 3-сасакиево.
Зафиксируем l > 1. Профакторизуем конус M по действию
группы Z, порожденной (m, t) -> (m, lt). Фактор
будет по определению локально конформно гиперкэлеровым.

Более общая версия той же конструкции.
Пусть f автоморфизм 3-сасакиева многообразия М.
Профакторизуем конус по действию
группы Z, порожденной (m, t) -> (f(m), lt).
Фактор будет, по тем же самым причинам,
локально конформно гиперкэлеровым.

Модель этой картинки - 3-мерная сфера
(3-сасакиева), ее конус (кватернионы без нуля)
и многообтразие Хопфа (фактор ненулевых
кватернионов по умножению на кватернион
q, |q|>1).

3-сасакиевых многообразий очень много,
и про них многое понятно. Они Эйнштейновы,
они все получаются как главные S^1-расслоения
над контактными орбиобразиями Фано,
есть 30 страниц таблиц, где выписаны
примеры 3-сасакиевых многообразий со
всеми когомологиями и прочим.
Про локально конформно гиперкэлеровы
многообразия неизвестно ничего, кроме
примеров, которые я объяснил как строить.
Зато они очень нужны в физике, см. напр.
http://arxiv.org/abs/hep-th/9907191

Мое великое научное достижение
состоит в том, что ничего другого
и не происходит - каждое
локально конформно гиперкэлерово
многообразие получается из 3-сасакиева
плюс автоморфизм, таким образом, как
я выше объяснил.

Доказывается это так. Пусть
M локально конформно гиперкэлерово.
Возьмем плоское 1-мерное
расслоение L на M с монодромией,
заданной действием фундаментальной
группы на гиперкэлеровой метрике
на накрытии M. Можно считать,
что на M задана L-значная
гиперкэлерова метрика.

Каждая тривиализация L задает метрику
на M. Поскольку L плоское, на нем
задана связность. Обозначим 1-форму
этой связности за dr. dr зависит
от тривиализации. Поскольку связность
плоская, dr замкнуто. У L есть выделенная
тривиализация, построенная Гадюшоном;
для метрики, заданной этой тривиализацией,
форма dr параллельна, а двойственное ей
векторное поле Киллингово.

На накрытии M, форма dr точна, и мы имеем
dr = d(r), где r есть некая функция на накрытии.
Конечно, r нелься спустить на M.
Предположим временно, что первое
число Бетти M равно 1. Тогда периоды
dr это циклическая группа, и
можно рассмотреть r как отображение
из M в окружность. Слои N этого отображения
все изоморфны, поскольку двойственное
векторное поле к dr Киллингово и соответствующая
изометрия переводит эти слои друг в друга;
значит, накрытие M это конус над N, а значит,
N 3-сасакиево.

Чтобы доказать классификационную теорему для
локально конформно гиперкэлеровых многообразий,
остается доказать, что у них у всех первое
число Бетти M равно 1.

Воспользовавшись спектральной последовательностью
Дольбо, мы находим, что нужно доказать две вещи:
H^1(O) = C и H^0(\Omega^1) =0. Обе группы
вычисляются с помощью теории Ходжа на
HKT-многообразиях, которую я развил здесь

http://arxiv.org/abs/math.AG/0112215

(а конформно гиперкэлеровы многообразия всегда HKT).

Во-первых, умножение на (0,1)-часть dr
коммутирует с лапласианом Дольбо, значит операторы
(dr^{0,1}, (dr^{0,1})^*) порождают действие нечетной
супералгебры Гейзенберга в когомологиях.
В частности, если H^i(O) = 0 для i > 2,
то H^1(O) = H^0(O) = C.

Чтобы увидеть, что H^i(O) = 0 для i > 2,
мы доказываем аналог теоремы Кодаиры-Накано
для супералгебры Ли, действующей на HKT-многообразии.
(Строго говоря, речь идет скорее об обобщении
голоморфных неравенств Морса-Демайи на
гиперкомплексную ситуацию, так как
одному из собственных значений кривизны
разрешается быть другого знака).

Как и в теориеме Кодаиры-Накано, у нас
задано два оператора Лапласа, а их
разность есть коммутатор внешнего умножения
на симплектическую форму и внутреннего
умножения с кривизной корня из
канонического класса. Но эта кривизна
имеет все собственные значения, кроме
одного, положительными. Из этого
следует зануление всех когомологий O,
кроме нулевых и первых.

Зануление H^0(\Omega^1) тоже
следует из HKT-версии Кодаиры-Накано.
Произведение \Omega^1 на корень из L
есть гиперголоморфное расслоение,
значит Янг-Миллса, а значит все
его подрасслоения имеют неположительную
кривизну. Поскольку L^{-1} имеет отрицательную
кривизну, любое линейное подрасслоение
\Omega^1 имеет отрицательную кривизну.
По Кодаире-Накано у него не может быть
сечений.

Вот так примерно.

Все это записано вчерную,
но додумывать подробности -
на это нужны студенты-дипломники.
А студентов нет. У меня уже несколько
статей лежит таким образом, руки не доходят
сесть и привести в человеческое.

Привет