Misha Verbitsky ([info]tiphareth) wrote,
@ 2002-07-27 16:46:00
Current mood: tired
Current music:Rada - ishchut nazvanie, aga

Эдинбург, Лагранж, кватернионы
Друзья,
я уезжаю в Эдинбург на
душеспасительное мероприятие.
Вернусь третьего августа.

Следующая смешная штука пришла ко мне
в голову пока я готовился к докладу:
простое доказательство теоремы Лагранжа
о том, что всякое целое положительное число
представляется в виде суммы четырех квадратов.


Рассмотрим кольцо R целых кватернионов.
Норма бьет из этого кольца в целые числа
(a+Ib+Jc+Kd -> a^2 + b^2 +c^2 +d^2)
и она мультипликативна. Нужно доказать,
что ее образ - все числа. Из-за мультипликативности,
достаточно доказать только для простых чисел.

Пусть p простое. Если p=xy, где x, y целочисленные
необратимые в R кватернионы, тогда

p^2 = N(p) = N(x) N(y),
но поскольку N(x) и N(y) не единицы, то
N(x)=p. Значит, нам нужно доказать, что
каждое простое целое число непросто в R.

Пусть p просто в R. Рассмотрим кольцо
R/pR целых кватернионов по модулю p.
Оно некоммутативно, значит по теореме Веддерберна
имеет делители нуля. Возьмем x, y такие, что
xy делится на p, а x, y не делится на p.
Поскольку p просто в R, x и y взаимно просты с
p. Применяя алгоритм Евклида, находим целые кватернионы
такие, что

1= ax + bp,
1 = yc + pd.

Перемножив правые и левые части этих уравнений, находим

1 = a xy c + Z

где Z делится на p. Поскольку xy тоже делится на p,
получаем, что 1 делится на p - противоречие.

Забавное, и наводит на соображения о необходимости
изучать целочисленные кватернионы. Известные мне другие
доказательства теоремы Лагранжа безумно нудные и длинные
(хотя многие из них больше дают, конечно).

Привет



(Post a new comment)


[info]mrparker
2002-07-27 06:34 (link)
ты охуел.
я не понял ни слова, кроме "положительное целое" и "квадрат".

(Reply to this) (Thread)


[info]kukutz
2002-07-27 06:58 (link)
Это его работа.

Он бы в исходниках кортоны ровно столько же понял, ИМХО.

(Reply to this) (Parent)


[info]french_man
2002-07-27 07:42 (link)
Насчет алгоритма Евклида не совсем понятно. Почему его можно применять?

(Reply to this) (Thread)


[info]ktotam
2002-07-27 17:44 (link)
да, так, кажется, не работает.
я уже где-то видел доказательство через кватернионы, у Харди&Райта оно наверняка есть.

можно сделать так:
1) докажем, что для любого простого p есть такие целые a,b, что 1+a^2+b^2=mp, 1<m<p [т.е N(1+aI+bJ+0K)=mp]. Это легко (надо посчитать количество разных a^2 и -1-b^2 в Z/p).

2) потом докажем, что R евклидово, например, слева: для u,v из R найдутся x,y из R такие, что u=xv+y, N(y)<N(v).
Вот доказательство для нечётного N(v):
ясно, что для любого s из R и любого нечётного n>0 можно найти такое x, что N(s-xn)<n^2. Теперь возьмём n=N(v)=vv*, [ v=(v0,v1,v2,v3), v*=(v0,-v1,-v2,-v3) ] и s=uv*. Тогда N(v)N(v*)=n^2>N(s-xn)=N(uv*-xvv*)=N(u-xv)N(v*), и если y=u-xv, то N(v)>N(y).

3) тогда всякий левый идеал -- главный (евклидовы кольца суть области главных идеалов). Дальше берём левый идеал, порождённый p и 1+aI+bJ (a и b посчитаны выше): up+v(1+aI+bJ), u,v из R. Он главный, и, значит, порождается каким-то w. Легко видеть, что N(w)=p.

вот.

(Reply to this) (Parent) (Thread)


[info]french_man
2002-07-29 09:53 (link)
Да, похоже на правду. У меня некоммутативная интуиция отсутствует напрочь, но, вроде бы, явных дырок нет.

(Reply to this) (Parent) (Thread)


[info]ktotam
2002-07-30 06:56 (link)
так ещё можно доказать, что простые числа вида 4n+1 представимы в виде суммы двух квадратов.
рассуждения аналогичные, только вместо кватернионов берём обычные комплексные числа. А первое утверждение -- что a^2=-1(mod p) имеет решение при p=1(mod 4), доказывается например через Вильсона. В результате получаем такое w=a+bI, что N(w)=p.

(Reply to this) (Parent) (Thread)


[info]french_man
2002-07-30 07:08 (link)
Это как раз просто, потому что для целых гауссовых евклидовость очевидна.

(Reply to this) (Parent) (Thread)


[info]tiphareth
2002-07-30 10:44 (link)
Dlya kvaternionov tozhe:
delenie s ostatkom est', poskol'ku kazhdyj drobnyj kvaternion mozhno priblizit' celym s tochnost'yu
<1. Znachit est' algoritm Evklida, prichem
sprava i sleva.

Takie dela
Misha.

(Reply to this) (Parent) (Thread)


[info]french_man
2002-07-30 17:04 (link)
kazhdyj drobnyj kvaternion mozhno priblizit' celym s tochnost'yu
<1

Это неверно для (1+i+j+k)/2. Более того, кажется (могу ошибаться), что R не является кольцом главных идеалов. Например, (левый) идеал, порожденный 2 и 1+i+j+k, не является(?) главным. Так что [info]ktotamовское рассуждение тоже некорректно.

(Reply to this) (Parent) (Thread)


[info]tiphareth
2002-07-31 01:15 (link)
Da! Sovershenno verno!
Nado dobavit' k celym kvaternionam kvaterniony vida (1+I+J+K)/2
Norma u nikh celaya, tak chto moe rassuzhdenie ostaetsya v sile.

Spasibo!

Takie dela
Misha.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Извините мою занудливость.
[info]french_man
2002-07-31 05:44 (link)
Да, но даже если полученное кольцо будет кольцом главных идеалов, это доказывает лишь, что, для всякого простого р, либо само р, либо 4р есть сумма квадратов. Что не совсем достаточно.

Я думаю, что если бы быстрое кватернионное д-во существовало, оно бы было известно. Единственное д-во, которое я вполне понимаю, это в рамках общей теории квадратичных форм, как у Боревича-Ш. Д-ва ad hoc, типа приведенных в элементарных книжках, мне непонятны.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Re: Извините мою занудливость.
[info]french_man
2002-07-31 05:53 (link)
Собственно, БШ тоже мало. Значит, я не знаю не одного д-ва. Такие сейчас пошли профессора теории чисел.

(Reply to this) (Parent)

Re: Извините мою занудливость.
[info]ktotam
2002-07-31 18:50 (link)
да, это я попробовал воспроизвести доказательство для целых гауссовых и немного ошибся

а оно и есть известно наверняка. вот Харди у меня под рукой нет, а то бы я посмотрел. Вообще кватернионы же куда только ни совали первое время, до того как векторы придумали -- наверняка и лагранжа доказывали, он же естественным образом напрашивается.

(Reply to this) (Parent)

Re: ???????? ??? ????????????.
[info]tiphareth
2002-08-01 01:24 (link)
Spasibo! Ochen' razumnoe zamechanie.
Vot kak s ehtim borots'ya.

Pust' 4p ehto summa 4 kvadratov. Togda ili vse oni
chetny (delim popolam - vse dokazano) ili
nechetny. Vo vtorom sluchae, imeem
4p = x_1^2 +x_2^2 +x_3^2 +x_4^2, gde
x_1 vse nechetny, znachit, x_i^2 = 1 (mod 4),
a znachit, p = 4k+1. Dlya takikh p vse
i tak izvestno! Q.E.D.

Takie dela
Misha.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Re: ???????? ??? ????????????.
[info]kaledin
2002-08-01 17:44 (link)
Vot chto ja nashel v knizhke Milnora i Husemollera
"Simmetricheskie bilinejnye formy":

Rassmotrim reshetku celykh kvaternionov v R^4.
V nej est' ideal, kotoryj podreshetka indeksa
p^2 (v knizhke on vypisan javno, no ehto srazu
sleduet iz teoremy Vanderberna -- v matrichnoj
algebre 2x2 est' ideal korazmernosti 2). Poehtomu
ob'em fundametal'noj oblasti dlja ehtoj podreshetki
raven p^2. Po teoreme Minkovskogo o vypuklom
tele, v nej est' vektor x, u kotorogo kvadrat
dliny men'she 4p\sqrt{2}/\pi. Ehto men'she 2p.
S drugoj storony, legko proverit' chto kvadrat
dliny x delitsja na p.

Men'she stranicy pechatnogo teksta, mehzdu prochem,
so vsemi podrobnostjami. Ofiget'.

Privet,
Dima.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Re: ???????? ??? ????????????.
[info]french_man
2002-08-02 19:08 (link)
Извините, насчет Веддерберна можно подробнее?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Re: ???????? ??? ????????????.
[info]kaledin
2002-08-04 15:37 (link)
Ja ne stal utochnjat', potomu chto pro
ehto bylo u Mishi.

Redukcija kvaternionov mod p -- prostaja
algebra. Po teoreme V...na u F_p gruppa
Brauera nulevaja, poehtomu ehta redukcija
est' matricy 2x2. V matricakh NxN polno
idealov korazmernosti N.

Potomu zhe i norma delitsja na p. Norma
mod p reduciruetsja v opredelitel'. Vse
ehti idealy sostojat iz matric ranga
strogo men'she N (2 v nashem sluchae) --
poehtomu opredelitel' raven nulju.

Privet,
Dima

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Спасибо
[info]french_man
2002-08-04 18:19 (link)
Красиво и концептуально.

(Reply to this) (Parent)

Re: ???????? ??? ????????????.
[info]french_man
2002-08-02 19:07 (link)
x_1 vse nechetny, znachit, x_i^2 = 1 (mod 4),
a znachit, p = 4k+1.

Вот это не работает. Максимум, что можно утверждать, это что р=1 mod 2 (имеем x_i^2 = 1 mod 8, сл-но 4р = 4 mod 8).

Кажется, Каледин внизу дело написал, хотя насчет Веддерберна я не врубился.

(Reply to this) (Parent)


[info]french_man
2002-07-30 17:06 (link)
Есть проблема.

(Reply to this) (Parent) (Thread)


[info]ktotam
2002-07-31 18:40 (link)
да, и правда, для чётной нормы строгого неравенства не будет.
но если добавить к кватернионам с коэффициентами из Z кватернионы с коэффициентами из Z+1/2, всё будет хорошо.
Если вдруг w оказался с половинчатыми коэффициентами, его всегда можно умножить на один из обратимых (+-1/2,+-1/2,+-1/2,+-1/2) и получить ассоциированный с целыми коэффициентами. Это несложно, хотя и нудно, проверяется.

вообще, мне кажется, можно остаться и в H(Z). там будут чуть сложнее устроены идеалы -- кроме главных вылезут всякие 1+i,1+j, но арифметика должна работать. надо будет расписать это всё как-нибудь.

(Reply to this) (Parent)


[info]telnikoff
2002-07-31 02:50 (link)
Миша, а что я такого на этот раз сказал? Что, неужели из-за Сорокина опять меня из френдов выгоняешь?

"Я уже устал от всего этого" (с) :-)

(Reply to this) (Thread)


[info]tiphareth
2002-07-31 05:13 (link)
Da nichego osobennogo. Naschet Sorokina mne nachkhat'.
Ya prosto reshil, chto vot ehtomu
http://www.livejournal.com/talkread.bml?journal=telnikoff&itemid=140930
ya ne yavlyayus' celevoj auditoriej. No esli ty nastaivaesh',
nemedlenno dobavlyu obratno.

Takie dela
Misha.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Re:
[info]telnikoff
2002-07-31 05:42 (link)
Разумеется, ты не являешься - ты ведь не дама, а нечто "полностью противоположное". А это было для дам.

Спасибо, что вернул.

(Reply to this) (Parent)


(Post a new comment)


[ Home | Update Journal | Login/Logout | Browse Options | Site Map ]