Current mood:	tired
Current music:	Manager - PARALICH

Деформации конформно гиперкэлеровых многообразий
Удивительное научное открытие.

Следует изучать конформно гиперкэлеровы многообразия.

Это такие многообразия, у которых
на накрытии задана гиперкэлерова структура,
а deck transform на листах накрытия
сохраняет кватернионную структуру,
и умножает метрику на число.

Я про них писал таки в LJ,
зачем они важны, недели две назад.

Куча народу (Пун, Педерсен, Гранчаров, другие) писали
статьи про деформации гиперкомплексных многообразий;
а поскольку примеры оных в основном конформно
гиперкэлеровы, то 90% этого дела были про
конформно гиперкэлеровы.

Пару лет назад мы с Димой Калединым написали
статью про деформации голоморфных симплектических
многообразий. Богомолов доказал в 1975-м году, что
оные не имеют препятствий, если многообразие
компактно. Мы ж с Димой доказали, что они не имеют
препятствий даже и в некомпактном случае,
при довольно слабых дополнительных предположениях.
Например, если первые и вторые когомологии
структурного пучка обнуляются, то пространство
деформаций локально изоморфно топологическим
вторым когомологиям многообразия.

Я сейчас перечел мою половину статьи,
и обнаружил, что доказательство немедленно
переносится на конформно гиперкэлеровы
многообразия! Роль структурного
пучка играет расслоение L^{-1},
где L - линейное расслоение,
порожденное симплектической
формой. В случаях конформно
гиперкэлеровых многообразий,
построенных из орбиобразий Фано
(все известные такие) вторые
когомологии L^{-1} как раз обнуляются,
что доказывает отсутствие препятствий.

Деформации конформно гиперкэлеровых многообразий
получаются немедленно известным твисторным
аргументом Хитчина.

Это дает совершенно общий аргумент,
дающий все теоремы Педерсена и Пуна
и других и много еще другого.

Возникает, правда, существенная
трудность, которая в ситуации,
описанной в статье с Калединым
совершенно не решается: деформации
голоморфно симплектического многообразия и
деформации того же, но рассмотренного
как комплексное - существенно разные
вещи. А приори, деформация
не обязана быть голоморфно
симплектична.

В компактном гиперкэлеровом случае
эта проблема решается методами кэлеровой
геометрии. Именно, деформация
симплектического многообразия
опять симплектична, поскольку
структура Ходжа у деформации таже, а
значит у ней есть голоморфная 2-форма;
проверить, что она невырожденна,
довольно просто (если у нее появляются
нули, то степень соответствующего
линейного расслоения подскакивает).

У меня появилась идея, как решать эту
проблему в конформно гиперкэлеровой
ситуации. Рассмотрим каноническую
плоскую связность на L^{-1},
выберем ее тривиализацию,
и пусть v - форма связности (которая,
очевидна, замкнута). Рассмотрим
когомологии оператора
d+v на дифференциальных формах,
где d это дифференциал де Рама.
Это когомологии Новикова
многообразия с коэффициентами
в расслоении L^{-1}.

Используя тривиализацию L^{-1},
мы получаем метрику и симплектические
(неголоморфные) структуры на нашем многообразии.

Полученная симплектическая форма очевидно
замкнута относительно d+v, и все кэлеровы
формы тоже замкнуты. Используя это, можно
вроде бы доказать, что спектральная
псоледовательность Дольбо для d+v
вырождается; это дает разложение
Ходжа на когомологиях Новикова
(но не действие Лефшеца, так как
на когомологиях Новикова нет умножения).

По той же самой причине, что и
в кэлеровом случае, разложение
Ходжа на когомологиях Новикова
не меняется при деформации.
С другой стороны, голоморфная
симплектическая форма дает (2,0)-класс
в этих когомологиях, значит у всех
деформаций тоже должна быть такая форма.

Для достаточно маленьких деформаций она
даже невырожденна, по очевидным причинам.

Получаем, вроде бы, что
малая комплексная деформация
конформно гиперкэлерова многообразия опять
конформно гиперкэлерова. Результат
довольно неожиданный.

Все это страшно интересно.

Привет
Миша.