Current mood:	tired
Current music:	Zazerkal'e - VSE ZOLOTO MIRA

Гиперкомплексные многообразия с приводимой голономией
Я это уже один раз придумал, затем пытался рассказать
несчастному, желавшему тему для статьи, и немедленно после
этого забыл. Несчастный вообще ничего не может, зато хочет
опять. Лучше я это запишу, потому что наверняка
эта итерация не последняя.

Гиперкомплексное многообразие есть многообразие
со связностью без кручения, у которой голономия
лежит в GL(n,H) (H - кватернионы).
Эквивиалентно, гиперкомплексное
многообразие есть многообразие с тремя комплексными
структурами I, J, K, которые удовлетворяют
соотношению I J = - J I = K.

Неприводимые группы голономий для
неунитарных связностей классифицированы
Меркуловым и Шварцхофером лет 10 назад, а приводимые
никак отклассифицировать нельзя (в размерности 2
и 3 пытаются, но получается грустно). Причина этому
такова: подпредставление в представлении голономии
отвечает, конечно, интегрируемому слоению,
но фактор по этому слоению никакой связности
не имеет, соответственно никак геометрически
интерпретировать факторгруппу голономии нельзя.

Исключением являются гиперкомплексные многообразия:
если у нас есть гиперкомплексное многообразие и
гиперкомплексное слоение в нем, то пространство
листов тоже гиперкомплексное (это следует из
второго определения гиперкомплексных
многообразий). Это дает надежду отклассифицировать
голономии для гиперкомплексных многообразий.

Для унитарных связностей, есть теорема де Рама,
утверждающая, что односвязное многоогразие
с приводимой голономией является само произведением,
и это разложение совместимо с разложением
представления голономии.

Идея состоит в том, чтобы получить ее аналог в
гиперкомплексной ситуации. Разумеется, разложения
в произведение не будет, поскольку представление
может быть не вполне приводимо. Значит будет слоение.

Статус того, что воспоследует, наполовину
гипотетический, аргумент в общих чертах
есть, а детали не продуманы.

Теорема 1. Пусть есть односвязное, компактное
гиперкомплексное многообразие с приводимой группой
голономий. Тогда оно допускает гладкую гиперкомплексную
сюрьекцию на многообразие меньшей размерности.

Доказательство состоит из двух частей. В первой
части никакой компактности и односвязности не требуется.

Утверждение 1. Пусть есть гиперкомплексное многообразие M,
и K - подпредставление голономий, такое, что фактор
по K неприводим. Рассмотрим соответствующее
слоение на М. Тогда либо пространство листов
этого слоения (локально определенное всегда) -
плоское гиперкомплексное многообразие, либо
пространство листов глобально определенное
орбиобразие.

Утверждение 2. Пусть есть компактное,
односвязное гиперкомплексное многообразие
M, и в нем гиперкомплексное слоение,
такое, что пространство листов (локальное) -
плоское гиперкомплексное многообразие. Тогда
пространство листов - орбиобразие.

Первое доказывается так. Пусть у нас есть
слоение, а глобального пространства листов нет.
Взяв замыкание каждого листа мы получим
слоение, фактор по которому уже орбиобразие.
По условию, K не содержится ни в каком
большем слоении, значит замыкание общего
листа плотно в M.

Про голономию
можно думать как про группоид G, объекты категории -
слои касательного расслоения, морфизмы - параллельные
переносы из точки в другую вдоль пути. В группоиде
этом есть подгруппоид G', объекты те же, а морфизмы -
переносы вдоль пути, который в расслоении.

Для точек, которые лежат на одном листе,
каждый путь из одной в другую гомотопен
пути внутри листа. Это значит, что каждый
морфизм сопряжен с морфизмом, лежащим
в G'. Приближая путь из точки в себя
последовательностью маленьких интервалов, которые
соединяют точки в одном и том же листе, мы получим, что
каждый морфизм группоида голономий приближается
морфизмами из G'. Следовательно, морфизмы
в G и в G' одни и те же, и голономия
фактора тривиальна.

Второе доказывается так.
Пусть у нас есть вышеописанное, с общим листом, который
плотный. Каждая геодезическая в M отвечает геодезической
в пространстве листов (которое локально определено, и плоско).
Фундаментальную группу можно породить кусочно геодезическими
путями, идущими от критической точки к критической точке.
Пусть у нас есть такая геодезическая, которая
к тому же не касательна к листу. На факторе
нет критических точек, значит ее образ будет там прямой.
Стягивать эту геодезическую можно, деформируя геодезические
между критическими точками. Но поскольку на факторе никаких
критических точек нет, образ этого дела в факторе
будет оставаться один и тот же, а значит ничего
не стянется.

Вот как

Если гражданин измученный природой
не научится этому, придется самому
записывать, неохота. Надо много студентов
и их учить-учить-учить, а где их взять

Сучья жизнь, да

Привет