tiphareth: Алгебра 5-6, геометрия 5-6

Алгебра 5

marina_p
2004-10-20 00:15 (link)

Хорошо бы в самом начале сказать, что поле фиксировано, а то нехорошо рассматривать отображения разных векторных пространств и алгебр, не оговаривая, что они над одним полем.

В первой строчке надо исправить "\to V_2" на "\to V_3".
После этого идет в формуле "\mu(v_1,-)" -- я не помню, разве было раньше введено такое обозначение, с минусом на знакоместе? (под рукой сейчас нет старых листков).

Определение 5.1, последняя строчка: надо добавить слово "линейное" в "подалгебра есть подпространство...".

Задача 5.15. Надо добавить, что алгебра с единицей, иначе неверно.

Определение 5.5. В формуле, которая в две строчки записана, аж пять опечаток :-)

Задача 5.18. Вроде раньше не было определено пространство билинейных форм на паре (V,W), они были только с аргументами из одного пространства?

Определение 5.7. Коэффициенты там явно должны быть не вещественными, а из поля k.

Определение алгебры Клиффорда. Я не знакома с алгебрами Клиффорда, поэтому не знаю, что именно, но что-то с ним не то. С одной стороны, в правой части стоит 1, то есть в алгебре должна быть единица. С другой стороны, если подставить v_2=1, то получаем, что V одномерно.

(Reply to this) (Thread)

Re: Алгебра 5

tiphareth
2004-10-20 13:41 (link)

Спасибо! Я внес все исправления, завтра появится.

> Хорошо бы в самом начале сказать, что
> поле фиксировано, а то нехорошо рассматривать отображения
> разных векторных пространств и алгебр,
> не оговаривая, что они над одним полем.

Это не очень правильно, поскольку может навести на мысль,
что в какой-то другой ситуации кому-то может прийти в
голову рассматривать отображения векторных пространств,
заданных над разными полями. А это, конечно, полный бред.
Я просто написал "зафиксируем поле $k$"

> Определение 5.5. В формуле, которая в две
> строчки записана, аж пять опечаток :-).

Шесть! Кошмар.

>Задача 5.18. Вроде раньше не было определено
>пространство билинейных форм на паре (V,W), они были
> только с аргументами из одного пространства?

Ага, в листке 3 были из разных.

> Определение алгебры Клиффорда. Я не знакома
>с алгебрами Клиффорда, поэтому не знаю, что именно,
>но что-то с ним не то. С одной стороны, в правой
>части стоит 1, то есть в алгебре должна быть единица.
>С другой стороны, если подставить v_2=1, то
>получаем, что V одномерно.

Мы алгебры с образующими и соотношениями
определяем так, что единица не принадлежит
$V$ (алгебра получается из тензорной алгебры факторизацией
по набору соотношений, но в тензорной алгебре единица
уже есть и не принадлежит $V$). Так что я не очень
понимаю, как можно подставить 1=v_2, 1 и v_2 - это
разные элементы тензорной алгебры.

По поводу ж алгебр Клиффорда, вот их сайт
http://www.clifford.org/
а вот история
http://www.nhn.ou.edu/~ski/papers/Clifford/history.ps

Такие дела
Миша

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Re: Алгебра 5

marina_p
2004-10-21 01:00 (link)

> Так что я не очень понимаю,
> как можно подставить 1=v_2, 1 и v_2 - это
> разные элементы тензорной алгебры.

Действительно, это я напутала: решила почему-то, что соотношения для всех элементов алгебры работают. Но я поняла, откуда у этой моей ошибки ноги растут.

Откуда вообще в правой части, т.е. в в исходной свободной алгебре, элементом которой должна по определению являться правая часть соотношения, единица? Тогда надо в определении свободной алгебры в область, которую пробегает индекс i, включать ноль и определять V^0 как поле k (кстати, плохо, что эта область индекса явно не описана, это и к Алгебре 6 относится, к определению градуированной алгебры). А мало того, что про индекс ничего не сказано, но и V^i определены только для натуральных i. Либо, если все же i начинается с 1, а не с 0, надо соотношения, определяющие алгебру Клиффорда, домножать слева и справа на всевозможные элементы алгебры, а исходную формулу убрать.

Другие замечания:

Не сказано в названии алгебры Клиффорда, над чем она: над V или над полем k. В то же время дальше в заданиях говорится об "алгебрах Клиффорда над R". Получается непонятно, в качестве чего здесь выступает R.

Не определено, что такое "размерность алгебры Клиффорда" -- размерность алгебры как векторного пространства или что-то другое.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

	Re: Алгебра 5 tiphareth 2004-10-21 02:36 (link)
	Спасибо! Я все поправил Такие дела Миша (Reply to this) (Parent) (Thread)

Re: Алгебра 5 -

marina_p, 2004-10-21 10:02:41

Re: Алгебра 5 -

tiphareth, 2004-10-21 14:04:09

Алгебра 6

marina_p
2004-10-21 10:46 (link)

Не очень понятно, как правильно называть элемент алгебры. Везде идет название "вектор", но при этом же получается, что мы забываем про структуру алгебры? Как вообще принято называть?

Определение 6.1. Хорошо бы сказать, что A^I -- алгебры, и написать, какие значения i принимает.

Определение 6.4. Это же частный случай алгебры Клиффорда? А про это ничего не написано.

Задача 6.6. Надо добавить "для конечномерного V".

Задача 6.11. Надо "\Lambda^d". Из последние двух предложений одно лишнее :-)

Задача 6.18. Надо "x_i_1... -> Alt(x_i_1...)" заменить на "\eta -> Alt(\eta)".

Задача 6.21. Почему-то требуется доказать ассоциативность, хотя она очевидна, и не требуется доказать, что таким образом действительно получается алгебра.

Определение 6.9. После него, может, вставить пример с алгеброй многочленов нескольких переменных как тензорном произведении?

Задача 6.33. Тензорное произведение эндоморфизмов не было определено. Почему не написать простое произведение соответствующих элементов поля?

(Reply to this) (Thread)

Re: Алгебра 6

tiphareth
2004-10-21 14:18 (link)

Спасибо! Я добавил исправления.

> Не очень понятно, как правильно
> называть элемент алгебры. Везде идет
> название "вектор", но при этом же
> получается, что мы забываем про
> структуру алгебры? Как вообще принято
> называть?

Мне самому интересно.
Вектор, наверное. Или элемент.
Элемент алгебры Клиффорда - мультивектор,
элемент алгебры Грассмана - форма или мультивектор,
элемент (пара-)кватернионов - (пара-)кватернион.

> Определение 6.1. Хорошо бы сказать, что A^I
> -- алгебры, и написать, какие значения i
> принимает.

Это как? Что $i$ пробегает $\Z$ - это действительно
нужно написать.

Все остальное исправил - спасибо

Такие дела
Миша

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Re: Алгебра 6

marina_p
2004-10-21 21:20 (link)

> Вектор, наверное. Или элемент.

Может, писать везде единообразно "элемент"? Чтобы путаницы не возникало?
Называть везде "мультивектор" плохо, потому что алгебры рассматриваются не только тензорные.

> Это как? Что $i$ пробегает $\Z$ - это действительно нужно написать.

Я имею в виду, что в предыдущем листке было важно, i пробегает N или N+{0}. Здесь тоже может быть не обязательно все Z, поэтому о том, что $i$ пробегает $\Z$, человек может и не догадаться.

Вообще я раньше сталкивалась с определением градуированной алгебры как функции из алгебры в Z. Там сразу понятно, что градуировка не обязательно все целые значения принимает. В вашем определении это не очевидно, так как про то, что некоторые алгебры в определении могут быть пустыми, не сказано. Поэтому сразу неочевидно, что, например, тензорная алгебра является частным случаем этого определения. Лучше, наверное, это особо отметить (или изменить определение).

Еще интересно, рассматриваются ли градуированные алгебры с градуировкой не в Z, а в какое-то другое кольцо? Например, в Z_p, Q или R?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

	Re: Алгебра 6 marina_p 2004-10-21 21:23 (link)
	> а в какое-то другое кольцо Опечатка, конечно, имелась в виду группа. (Reply to this) (Parent)

Re: Алгебра 6

tiphareth
2004-10-22 06:47 (link)

>Может, писать везде единообразно "элемент"?
>Чтобы путаницы не возникало?

Пусть лучше привыкают. В научном тексте терминология
всегда неконсистентна, и понимать ее - одна из вещей,
которой надо учиться.

> Вообще я раньше сталкивалась с определением
>градуированной алгебры как функции из алгебры в Z. Там
>сразу понятно, что градуировка не обязательно все целые
>значения принимает. В вашем определении это не очевидно,
>так как про то, что некоторые алгебры в определении могут
>быть пустыми, не сказано. Поэтому сразу неочевидно, что,
>например, тензорная алгебра является частным случаем этого
>определения. Лучше, наверное, это особо отметить (или
>изменить определение).

Градуировка - конечно, не функция в Z (градуировку
имеют только элементы чистой градуировки, их суммы
уже не имеют). Можно определять градуировку
(и это часто делается) как
действие группы U(1) (весовые пространства веса i
задают разложение алгебры в прямую сумму).

>Лучше, наверное, это особо отметить

Ага! поправил.

>Еще интересно, рассматриваются ли градуированные
>алгебры с градуировкой не в Z, а
>в Z_p, Q или R?

В Z/2Z - постоянно. В Z_p, Q или R - достаточно редко,
зато биградуировка (градуировка, проиндексированная
группой Z\times Z) - постоянно рассмотривается,
это типа то место, с которого начинается
определение спектральной последовательности
(в одной из версий).

Такие дела
Миша

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Re: Алгебра 6 -

marina_p, 2004-10-22 22:04:15

Геометрия 5. Часть1.

marina_p
2004-10-23 01:10 (link)

Определение 5.1. Надо не "M называется" а "пара (M,S) называется". Тем более что дальше потом такое обозначение используется.

Определение изоморфизма: надо "это такое отображение" заменить на "это такой морфизм".

Определение 5.5. Лучше, наверное, не "оно получено", а "его можно получить". А то с точки зрения русскоко языка не очень стыкуется со словом "метризуемо".

Задача 5.10. Наверное, стоит тут сказать, что при этом говорят, что вторая топология сильнее первой. Тем более, что дальше этого термина не хватает (например, в задаче 5.21).

Задачи 5.11 и 5.14. Опечатка с S_{\nu}.

Задача 5.13. Опять забыли написать, что V конечномерно :-)

Задача 5.14. Надо не "Топология на S_{\nu}", а "Топология S_{\nu}".

Определение 5.8. В Т0 надо добавить "несовпадающие" в "даны любые точки".

Задача 5.21. Надо бы добавить подзадачу доказать, что это действительно отношение эквивалентности.
Пункт (б) неверен. Надо определить топологию на М' как самую сильную из тех, при которых отображение непрерывно.

(Reply to this) (Thread)

	Дополнение marina_p 2004-10-24 01:21 (link)
	Определение 5.11. В последней строчке надо заменить М на В. Задача 5.45. Она не на две звездочки тянет? (Reply to this) (Parent)

Геометрия 5. Часть 2.

marina_p
2004-10-24 01:22 (link)

Задача 5.55.
1) Пункт (i) лишний, т.к. следует из (ii). Если все же выделять его отдельно, то после запятой надо изменить на "x \in lim любой подпоследовательности".
2) Надо добавить как минимум одну аксиому о том, что предел стационарной последовательности {x}^N содержит x (в частности, это необходимо, чтобы само М было открытым).
3) Пункт (б) неверен, и это разрушает Вашу стройную картину :-) Контрпример: кофинитная топология (т.е. замкнутые множества -- это все конечные + М). При переходе от топологии к последовательностям и затем снова к топологии мы получим снова кофинитную топологию, а она не удовлетворяет первой аксиоме счетности.
4) Пункт (г) неверен: S=S'.

Вообще эта теория ведь наверное есть в книжках, может, ее взять оттуда уже готовую (в смысле, аксиоматику для предела), а не изобретать заново? Вот операция замыкания как основа для определения топологии точно рассматривалась кем-то из основоположников топологии, я помню, только там аксиом больно много было.

(Reply to this)

Геометрия 6.

marina_p
2004-10-24 01:54 (link)

Задача 6.4. "Отрезков" надо заменить на "интервалов".

Задача 6.5. Надо добавить условие UB=M.

Определение 6.3. "пространство"->"пространства", "виде"->"вида",
"M_1xM_2"->"(M_1xM_2, S)".

Задача 6.17. "\alfa_1(i)"->"\alfa_k(i)".

Указание к задаче 6.22 неверно.

Задачи 6.29-6.30. Везде опечатки с индексами второго уровня.

Задача 6.30. Надо добавить условие f|_A=0.

Замечание к задаче 6.33. Как-то не по-русски написано, лучше "Всякое польское топ.простр-во метризуемо".

Еще в Геометрию 5, мне кажется, хорошо бы добавить (со звездочками) несколько примеров каких-нибудь интересных экзотических пространств. Помнится, у нас на семинарах по топологии они были в довольно большом ассортименте.

Вообще, если у Вас получится такой учебник по всем "основам" -- это здорово. Я с удовольствием помогу чем смогу.

Получается типа "Теоремы Абеля в задачах и решениях" по структуре. У меня об этой книжке очень хорошие воспоминания, она была моей первой серьезной книгой по математике (после Перельмана, Гарднера и т.п.), у меня на нее в шестом классе полгода ушло (но я старательно прорешивала все задания). Тут большой плюс, что заниматься по такой книге можно где угодно, хоть в деревне. А сейчас умный студент в провинции практически предоставлен сам себе. Кстати, хорошо бы в конце каждого раздела приводить список рекомендуемой литературы для тех, кому эта тема понравилась и хочется двигаться дальше в этом направлении.

(Reply to this) (Thread)

Re: Геометрия 6.

tiphareth
2004-10-24 18:25 (link)

Спасибо за исправления! Просто замечательно!
Я все поправил.

> Задача 5.45. Она не на две звездочки тянет?

Пожалуй, да! Спасибо.

У меня была весьма простая конструкция, когда я эту задачу
придумал, но задним числом ясно, что ее так просто
не изобрести.

Насчет сходимостей:

3) Пункт (б) неверен, и это
> разрушает Вашу стройную картину :-)
> Контрпример: кофинитная топология (т.е.
> замкнутые множества -- это все конечные +
> М). При переходе от топологии к
> последовательностям и затем снова к
> топологии мы получим снова кофинитную
> топологию, а она не удовлетворяет
> первой аксиоме счетности.

Спасибо!
Да, там нужна другая аксиома счетности:
любой набор $S$ вложенных друг в друга
открытых окрестностей точки имеет счетную
подпоследовательность $R$, такую, что любой
элемент $S$ содержится в каком-то из $R$.
Она, впрочем, равносильна стандартной,
если верно условие отделимости Т3, а в
общей ситуации - слабее, конечно.

> 4) Пункт (г)
> неверен: S=S'.

Конечно! Спасибо.

Сейчас там следующее

\item Определим замкнутые подмножества в $M$ как подмножества
$Z\subset M$, содержащие все пределы всех последовательностей
$\{x_i\}\in Z$. Определим открытые подмножества как дополнения к
замкнутым. Докажите, что это задает топологию на $M$.

\item Пусть дана топология $S$ на $M$ со счетной базой окрестностей
любой точки. Определим пределы последовательностей, исходя из этой
топологии, как делалось выше. Докажите, что выполняются условия
(i)-(iv). Пусть $S'$ -- топология, полученная из пределов, как в
части (а). Докажите, что топологии $S'$ и $S$ совпадают.

\item Пусть в $M$ задан класс сходящихся
последовательностей, удовлетворяющий условиям
(i) - (iv), а $S'$ -- топология, построенная, исходя из пределов, как в
части (а). Предположим, что в $(M, S')$ выполнено условие отделимости Т3.
Будет ли в этом пространстве выполняться первая аксиома
счетности?

\item Возьмем несчетное множество со следующей
топологией: открытые множества есть дополнения к конечным
(такая топология называется кофинитной). Пусть $S'$ -
топология, построенная, исходя из пределов, как выше.
Найдите $S'$. Докажите, что в $S'$ не выполнена
первая аксиома счетности.

> Вообще эта теория ведь наверное есть в
> книжках, может, ее взять оттуда уже
> готовую (в смысле, аксиоматику для
> предела), а не изобретать заново? Вот
> операция замыкания как основа для
> определения топологии точно
> рассматривалась кем-то из
> основоположников топологии, я помню,
> только там аксиом больно много было.

Конечно, у Кэли например. Но там он дает
построение совершенно общее, с направленными
множествами и чуть ли не ультрафильтрами.
Идеологически здорово, а в реализации - кошмар.
Я пытался убрать оттуда всю теорию множеств,
видимо, это все-таки не получается (то есть нужна
аксиома отделимости Т3, или, как минимум,
хаусдорфовость).

> Указание к задаче 6.22 неверно.

Спасибо! Да, абсолютно. Кошмар.
А вообще, как это доказывать? Я никак не
могу сообразить.

Я сделал так

\begin{zadacha}[**]
Докажите, что если множество $I$ имеет мощность континуума
или больше, то тихоновский куб
$[0,1]^I$ несепарабелен.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
Пусть задано счетное подмножество $W$ хаусдорфова
пространства. Докажите, что мощность замыкания $W$
не больше континуума.
\end{ukazanie}

Две звездочки исключительно потому, что
теорему Кантора мы не доказывали (у студентов
была об этом лекция, но листка про это нет),
а понятие "мощность не больше" требует теоремы
Кантора-Бернштейна и аксиомы выбора (об этом
тоже была лекция, но никто ее не понял, кажется).

Уверен, что можно проще.

(prodolzhenie sejchas - ne umestilsya kommentarij)

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Re: Геометрия 6.

marina_p
2004-10-25 04:17 (link)

> > Задача 5.45. Она не на две звездочки тянет?
> У меня была весьма простая конструкция, когда я эту задачу
> придумал, но задним числом ясно, что ее так просто
> не изобрести.

Я взяла в качестве точек конечные двоичные последовательности, а база топологии индексируется бесконечными двоичными последовательностями x, каждая такая окрестность состоит из всех конечных начальных кусков x. Но до этого додуматься не очень просто.

> Да, там нужна другая аксиома счетности:
> любой набор $S$ вложенных друг в друга
> открытых окрестностей точки имеет счетную
> подпоследовательность $R$, такую, что любой
> элемент $S$ содержится в каком-то из $R$.
> Она, впрочем, равносильна стандартной,
> если верно условие отделимости Т3, а в
> общей ситуации - слабее, конечно.

Я (до того, как это Ваше письмо увидела) проконсультировалась сегодня по этому поводу у Е.Г.Пыткеева (он тополог). Он говорит, что ему неизвестна простая аксиоматика предела, из которой для индуцированной топологии вытекала бы первая аксиома счетности при каких-то естественных доп. предположениях типа отделимости. По его словам, при вводе доп.условий получаются все более сильные условия типа счетности, но слабее первой аксиомы, она таким образом не получается вроде бы, по крайней мере он о таком не слышал.

А оно Вам вообще надо? В смысле, чтобы таким образом получались только пространства с 1 аксиомой? Пусть получаются всякие, главное, что все с 1 аксиомой мы можем получить таким образом, а лишние вроде и не мешают. На самом деле у Вас в условии пункта (б) так и было написано: "Будет ли выполняться?", но это я только сегодня обнаружила, до того было понятно, что на самом деле Вы имели в виду :-)

> \item Пусть в $M$ задан класс сходящихся
> последовательностей, удовлетворяющий условиям
> (i) - (iv), а $S'$ -- топология, построенная, исходя из пределов, как в
> части (а). Предположим, что в $(M, S')$ выполнено условие отделимости Т3.
> Будет ли в этом пространстве выполняться первая аксиома счетности?

Не думала еще над ответом, но мне не нравится, что сформулировано на языке топологии. Вот если бы это было как еще одна аксиома для предела...

> \item Возьмем несчетное множество со следующей
> топологией: открытые множества есть дополнения к конечным
> (такая топология называется кофинитной).

А действительно так называется? Я-то не в курсе, написала, чтобы как-то назвать :-)

> > Указание к задаче 6.22 неверно.
>
> Спасибо! Да, абсолютно. Кошмар.
> А вообще, как это доказывать? Я никак не
> могу сообразить.

Сама не знаю :-) Так что как минимум на две звездочки она тянет :-)

> \begin{ukazanie}
> Пусть задано счетное подмножество $W$ хаусдорфова
> пространства. Докажите, что мощность замыкания $W$
> не больше континуума.
> \end{ukazanie}

До такой идеи я не додумалась...

> а понятие "мощность не больше" требует теоремы
> Кантора-Бернштейна и аксиомы выбора (об этом
> тоже была лекция, но никто ее не понял, кажется).

Сын на экзамене в 10 классе сдавал как раз теорему Кантора-Бернштейна :-) Получил 2, так как начал рассказывать "свое" доказательство, отличное от того, которое приводилось в книжке. А их преподаватель такое сильно не любил.

> Уверен, что можно проще.

Так это вообще-то самое простое, наверное. Другое дело, что мощности использует, но сама по себе идея очень простая.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Re: Геометрия 6.

tiphareth
2004-10-26 07:50 (link)

>Не думала еще над ответом, но мне не нравится,
>что сформулировано на языке топологии. Вот если бы это
>было как еще одна аксиома для предела...

Я думал об этом, но ничего понятного не придумалось.

>> (такая топология называется кофинитной).

>А действительно так называется? Я-то не в курсе,
>написала, чтобы как-то назвать :-)

Да вроде да, по крайней мере по-английски
http://planetmath.org/encyclopedia/Cocountable.html

Еще есть косчетная топология.

>> Уверен, что можно проще.

>Так это вообще-то самое простое, наверное.
>Другое дело, что мощности использует, но сама по себе идея
>очень простая.

Но оно, увы, не работает, если мощность меньше континуума,
но больше счетной.

Такие дела
Миша

Current mood:	tired
Current music:	Podorozhnyj - CHUDO-CHELOVECHESTVO