Current mood:	tired
Current music:	Coil - 4-Indolol, 3- [2- (Dimethylamino) Ethyl]' Phosphate Ester: (psilocybin)

кольцо целых функций - ZFC - теория Галуа
Удивительные вещи узнал я сегодня.
Как известно, проективная размерность модуля -
длина его самой короткой проективной резольвенты,
а глобальная размерность кольца - это
супремум проективных размерностей по всем
конечно порожденным модулям.

Пусть R кольцо целых функций (то есть комплексно
аналитических на всем \C). Легко видеть,
что R не нетерово, но каждый конечно порожденный
идеал в R главный (Веддерберн, 1915)

Оказывается, что глобальную размерность
R нельзя узнать: для любого $3\leq n\leq \infty$,
утверждение gl.dim(R)=n консистентно
с ZFC (системой аксиом Цермело-Френкеля+аксиома
выбора). Более того, оно же консистентно с ZFC+MA
(MA это аксиома Мартина, слабая форма
континуум-гипотезы).

Источник: Jensen, Christian U.
La dimension globale de l'anneau des fonctions entieres.
C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math. 294 (1982), no. 12, 385--386.

Все это чрезвычайно забавно, ибо
математическое сообщество в целом уже лет 40 считает,
что теория множеств нигде в математике проявляться
не может и не должна, а если проявляется, то к этому
есть специальные (и весьма экзотические) причины.

И это правда, конечно (есть изолированные и давно не
развивающиеся разделы математики, которые с теорией
множеств тесно связаны, но к ним остальные специалисты
относятся весьма кисло, и не без взаимности; и есть
логика, давно уже отделившаяся в отдельную науку).


Между тем, выложен листок по теории Галуа
http://ium.mccme.ru/postscript/f04/e_algebra11.ps.gz
(к этому полезно прочесть два предварительных листка: [ 9 | 10 ])

Теория Галуа излагается исключительно в терминах
артиновых коммутативных алгебр, так примерно -
расширение Галуа [K:k] это такая алгебра над k,
которая, будучи умножена на себя, дает несколько
копий себя же. Автоморфизмы расширения действуют на
компонентах этой прямой суммы перестановками.
Промежуточные расширения соответствуют К-подалгебрам
в K\otimes_k K, а поскольку
K\otimes_k K \cong K+K+K+K ...
то промежуточные расширения легко описываются
в терминах группы, переставляющей компоненты.
Из этого сразу получается основная теорема
теории Галуа, теорема Абеля и много всякого.

Этот подход, как легко догадаться, позаимствован
непосредственно из SGA 4 1/2, и адаптирован
для старшеклассников; в результате получилось
вчетверо-впятеро проще, чем обыкновенно
делается. Дополнительный плюс - что
после этого ничего не меняя можно
рассказывать теорию накрытий в топологии
(это у нас делается) и науку об этальной
фундаментальной группе.

Я по дороге придумал чисто категорную
формулировку теории Галуа, абсолютно тривиальную
причем - все факты, которые верны в категории
расширений полей или в категории накрытий
(основная теорема теории Галуа и все прочее),
будут верны в категории C, обладающей следующими
свойствами.

1. В C существуют копроизведения (несвязные
суммы) и конечные расслоенные произведения.

2. Назовем объект C связным,
если он не разлагается в несвязную сумму.
Любой мономорфизм из какого-то объекта C
в связный - изоморфизм.

3. Задан функтор \Psi из C в множества,
инъективный на морфизмах, и сохраняющий
несвязные суммы и расслоенные произведения
(называется "функтор слоя").

4. Если функтор слоя от объекта
дает множество мощности A, то определено
произведение A копий объекта с собой.

И все. Морфизмом Галуа в такой ситуации будет
стрелка X\arrow Y, такая, что X\times_Y X
это несвязная сумма несколько копий
X. Если взять произведение объекта X\arrow Y на себя
над Y \Psi(X) раз, то там будет компонента, морфизм
которой в Y это морфизм Галуа. Основная теорема
теории Галуа доказывается дословно так же,
как аналогичное утверждение для накрытий.

Разумеется, функтором слоя для накрытий
будет прообраз какой-то (любой) точки,
функтором слоя в теории Галуа - множество
вложений из поля [K:k] в алгебраическое
замыкание k; а фундаментальная группа
(абсолютная группа Галуа для полей)
будет группой автоморфизмов
функтора слоя.

Привет

(Post a new comment)

	yvk 2004-12-01 06:23 (link)
	А по англицки листовок не будет? Я за интернационал. Типа пролетарии всех стран - решайте. (Reply to this) (Thread)

	tiphareth 2004-12-01 22:35 (link)
	Да, будет конечно перевод Такие дела Миша (Reply to this) (Parent) (Thread)

	yvk 2004-12-02 00:50 (link)
	Спасибо. Был бы очень благодарен. Юрий. (Reply to this) (Parent)

	graph 2004-12-01 10:53 (link)
	Миша, расслабьтесь, про Галуа я уже написал, и даже тост поднял. Наливайте! :) http://www.livejournal.com/users/graph/273527.html (Reply to this)

	Tribute to John Balance voronoid 2004-12-01 15:04 (link)
	http://dk.vpochete.ru/ (Reply to this)

	svintusoid 2004-12-01 16:33 (link)
	Про теорию Галуа в чисто категорном варианте-- Джанелидзе, кажется занимается всевозможными такими обобщениями-- http://www.rmi.acnet.ge/~gjanel/ (Reply to this)

dmitri83 2004-12-02 10:23 (link)

Все это чрезвычайно забавно, ибо математическое сообщество в целом уже лет 40 считает, что теория множеств нигде в математике проявляться не может и не должна, а если проявляется, то к этому есть специальные (и весьма экзотические) причины. это да, но тем не менее, лемма Цорна используется в доказательстве существования базиса Гамеля и теоремы Хана-Банаха, которые используются на каждом шагу. да в любом доказательстве, которое по сути индуктивно, но множество, по которому идёт индукция, либо слишком большое, либо заранее просто не известна его мощность, приходится использовать лемму Цорна. И это правда, конечно (есть изолированные и давно не развивающиеся разделы математики, которые с теорией множеств тесно связаны, но к ним остальные специалисты относятся весьма кисло, и не без взаимности; и есть логика, давно уже отделившаяся в отдельную науку). а на самом деле -- зря. на нестандартных моделях теориях множеств строят "альтернативные математики", которые во многом привлекательны. не встречали никогда трудов Кутателадзе по так называемому булевозначному анализу ? он рассматривает разные структуры в специальной нестандартной теории множеств, и у него есть принцип переноса результатов из этой теории множеств в стандартную. получается интересно, например, множестово действительных чисел в этой теории множеств фактически является упорядоченным векторным пространством, что даёт естественное об`яснение, почему для пространств с векторной нормой (значения нормы в упорядоченном векторном пространстве) можно получить те же результаты, что и для скалярно нормированных пространств. (Reply to this) (Thread)

	kaledin 2004-12-02 12:21 (link)
	Voobshche-to teorema Hana-Banacha ne ispol'zuetsya. Vse raboty, kakie ya za poslednie gody videl, gde Hana-Banacha pytalis' primenit' k delu, soderzhali oshibki. Ehto khorosho izvestnyj fenomen. Pod delom ponimaetsya estestvenno algebraicheskaya geometriya, carica nauk. (Reply to this) (Parent) (Thread)

	dmitri83 2004-12-07 16:38 (link)
	если честно, в алгебраической геометрии я ни в зуб ногой, но мне просто интересно, там тоже изучают нормированые векторные пространства ? (Reply to this) (Parent) (Thread)

	kaledin 2004-12-07 22:11 (link)
	Esli nad kompleksnymi chislami, to kompaktnye algebraicheskie mnogoobraziya ehto bolee-menee to zhe samoe, chto kompaktnye kompleksno-analiticheskie. Poehtomu da, izuchayut poroj. No kak tol'ko poyavlyaetsya chot-nibud' bolee slozhnoe, chem sobolevskie L^2-normy, zhdi podvokha. (Reply to this) (Parent)

	ссылки _oleg 2004-12-09 03:06 (link)
	можно попросить ссылку на такую статью? заранее благодарю олег (Reply to this) (Parent)

tiphareth 2004-12-03 16:58 (link)

>да в любом доказательстве, которое по >сути индуктивно, но множество, по которому идёт >индукция, либо слишком большое, либо заранее просто >не известна его мощность, приходится использовать лемму Цорна. Это так, конечно. Но реально в 99.9% приложений происходит индукция по счетным множествам. То есть счетной версии выбора (аксиомы детерминированности, например) хватает почти всегда. Главное ж, если рассматривать происходящее под углом конструктивистской философии, становится понятно, почему нигде нет несчетных множеств. Их не существует. > он рассматривает разные структуры в специальной >нестандартной теории множеств, и у него есть принцип >переноса результатов из этой теории множеств в >стандартную. получается интересно, например, множестово >действительных чисел в этой теории множеств фактически >является упорядоченным векторным пространством, что даёт >естественное об`яснение, почему для пространств с >векторной нормой (значения нормы в упорядоченном векторном >пространстве) можно получить те же результаты, что и для >скалярно нормированных пространств. Спасибо, очень интересно. Я на самом деле не оправдываю тезис "теория множеств не нужна", это некий общематематический консенсус, с которым я не вполне даже и согласен. Такие дела Миша (Reply to this) (Parent) (Thread)

	kaledin 2004-12-03 23:34 (link)
	Ya by skazal, ona ne to chto ne nuzhna -- ona naoborot, slishkom slozhna! poehtomu v primeneniyakh luchshe po minimumu. A to lyudi smotryat na otrezok kak na nechto do boli prostoe i ponyatnoe. (Reply to this) (Parent)

	великолепно! piont 2004-12-03 13:02 (link)
	Спасибо за ссылку о глобальной размерности! Надо вставить куда-нибудь во введение.... (Reply to this)

	ggrigoriy 2004-12-05 00:44 (link)
	Спасибо! Очень интересная информация. (Reply to this)