Current mood:	tired
Current music:	Mekons - FEAR AND WHISKEY

рациональные гомотопии
Еду в Москву послезавтра.

Эти полгода провел я в изучении рациональных
гомотопий и теории минимальных моделей Сулливана.

Наука эта чрезвычайно важная, красивая,
и состоит из двух частей: во-первых,
строится функтор локализации, определенный
в гомотопической категории; этот функтор
ставит в соответствие клеточному пространству
X клеточное пространство X', у которого когомологии
и гомотопии такие же, как у X тензор либо $\Q$
либо $\Z_p$.

Строится этот функтор довольно просто
(про сие есть в книжке Сулливана "Геометрическая
топология"). После локализации алгебраическая
топология переводится на язык представлений
алгебры Стинрода (если локализуют над Z_p)
либо дифференциальных градуированных (ДГ-) алгебр
(если над \Q). Про алгебры Стинрода я
ничего особо внятного я не знаю, а локализация
над $\Q$ и рациональные гомотопии - это
одна из центральных тем математики
последних 20 лет.

Все дело в том, что практически любой вопрос теории
деформаций переводится на язык рациональных гомотопий.
Исторически, математика развивалась в обратном
направлении: Сулливан открыл минимальные
модели, а Сташефф и Гальперин обнаружили,
что рациональные гомотопии любой ДГ-алгебры
задаются деформациями минимальной модели от
алгебры с нулевым дифференциалом. Было это в
середине 1970-х - статья Гальперина-Сташеффа
опубликована в 1979, кажется, но препринт
существовал несколько лет до того.

У Гальперина-Сташеффа алгебраическая
структура фиксируется, и варьируется дифференциал;
неэквивалентные выборы дифференциала задают
разные гомотопические типы ДГ-алгебры с заданными
когомологиями. В такой ситуации, деформации задаются
решениями уравнения 1/2 [\theta, \theta] = d\theta.
Это уравнение (Master equation, или уравнение
Маурера-Картана) хорошо известно из теории
деформаций.

Спорадические применения рациональных гомотопий
к теории деформаций имели место вплоть до начала
1990-х (Голдман-Миллсон, Тодоров, у меня тоже
была про это статья). Ближе к середине 1990-х,
оказалось, что это же самое уравнение задает
в теории струн WDVV-потенциал, в связи с чем
наука о рациональных гомотопиях оказалась
в центре струнной математики. Максим
Концевич изложил на языке рациональных
гомотопий всю тогдашнюю науку о зеркальной
симметрии, сформулировав на математическом
языке (впервые) зеркальную гипотезу и решив
попутно массу чрезвычайно важных вопросов.

Мой интерес в этом такой - я хочу понять,
как устроены рациональные гомотопии для
G_2-многообразий, и где там зеркальная
симметрия. Когда я был студентом, существовал
ровно один текст по рациональным гомотопиям
(откуда все все и узнали) - манинский перевод
статьи Делиня-Гриффитса-Моргана-Сулливана,
где доказывалось, что рациональные гомотопии
кэлерова многообразия задаются алгебраической
структурой на когомологиях. Все известные
мне применения рациональных гомотопий
к деформациям (Голдман-Миллсон, Тодоров,
моя собственная статья) применяют аргумент
Делиня-Гриффитса-Моргана-Сулливана для других
ДГ-алгебр, выводя из этого, что пространство
решений уравнения Маурера-Картана задается
системой уравнений второй степени.

Во всех ситуациях, когда теория деформаций
интересно устроена (для плоских расслоений,
для многообразий Калаби-Яу и так далее),
на ДГ-алгебре, контролирующей деформации,
есть дополнительные алгебраические структуры,
которые позволяют легко и красиво описать
рациональные гомотопии.

Хочется таким же образом обойтись и с G_2-геометрией.
Наука эта фантастически красивая, и алгебраических структур
там колоссальное количество; труднее всего понять, какие
из них интересны для рациональных гомотопий и зеркальной
симметрии, а какие нет.

В общем, я взял в библиотеке и отксерил
огромное количество трудов по рациональным
гомотопиям, и думаю, а не следует ли мне прочесть
по ним курс.

Набор тем такой примерно
(вряд ли все это будет рассказано - определенно
обещать могу только 1-3).

1. Функторы локализации. Теорема Лабкина, этальный
гомотопический тип.

2. Операции Масси. Минимальные модели Сулливана.

3. Формальность для кэлеровых многообразий, теорема
Голдмана-Миллсона

4. Теорема Гальперина-Сташеффа о деформациях.
Матричные операции Масси.

5. Применения к зеркальной симметрии.

6. Теорема Миллера о формальности односвязных
5- и 6-многообразий

Поскольку я буду в Москве примерно месяц, курс
будет короткий: с середины декабря по середину января,
лекций четыре-пять. Требуется знание основ гомотопической
топологии (клеточные пространства, симплициальные категории,
нерв категории, когомологии Чеха, конструкция K(\pi, n))
в объеме примерно половины Фукса-Фоменко, и знание теории
категорий (пучки, расслоенные произведения-копроизведения,
прямые-обратные пределы, сопряженные функторы);
половины Гельфанда-Манина хватит, я думаю.

Время для таких курсов весьма
неудобное, и я буду его читать, только если на него
запишется разумное число слушателей. Записываться
можно по е-мэйлу, телефону или в комментариях.

Если много народу таки запишутся, я устрою
первое занятие например в пятницу, 17 декабря
(или в другое удобное время), и оповещу
почтенную публику о том дополнительно.

Привет

(Post a new comment)

	yanis 2004-12-10 05:55 (link)
	независимо от темы у тебя в каждом посте гомо и копро (Reply to this)

	a_karloff 2004-12-10 05:59 (link)
	"Я б алгебру выучил только за то, Что ей разговаривал Миша". Вы вообще какой-то совершенно замечательный, чтоб Вы знали. (Reply to this)

	nick_pershin 2004-12-10 07:00 (link)
	Гхым... я так думал что "теория струн" это фантазия футуристического, нашего, понимаети-ли, ёжика в тумане Васи Шумова из "Центр". А оно оказывается еще и раздел в математике. Во как! (Reply to this)

	harmaty 2004-12-10 10:07 (link)
	Интересно будет послушать (Reply to this) (Thread)

	bbixob 2004-12-24 10:46 (link)
	я анонс пропустил, только сейчас заметил... а так бы интересно, конечно, но не в москве я... (Reply to this) (Parent) (Thread)

	harmaty 2004-12-24 11:59 (link)
	а я в Москве и время вроде есть на то чтоб какой-нить спецсеминар запосетить, но я мастдайщик (Reply to this) (Parent)

	kapahel 2004-12-10 15:51 (link)
	а вы будете записки делать? (Reply to this) (Thread)

	tiphareth 2004-12-10 22:24 (link)
	Я и курса-то похоже читать не буду - никто особо пока не записывался Насчет же записок - я б их и сделал, а публиковать-то их где? К тому же лучше "Геометрической Топологии" Сулливана и Делиня-Гриффитса-Моргана-Сулливана все равно ничего нет. Такие дела Миша (Reply to this) (Parent) (Thread)

	(Anonymous) 2004-12-12 01:25 (link)
	Миша, а по супер-листочкам к Филдсу можно успеть? Или только на унитаз? Слава КПСС (Reply to this) (Parent) (Thread)

	dobromysl 2004-12-13 18:46 (link)
	Вы про себя или про Мишу? (Reply to this) (Parent)

	Читать (Anonymous) 2004-12-14 22:02 (link)
	Миша, читать надо, даже если никто не придет. (Читать всегда, Читать везде, до дней последних....) Короче, я записался еслиб вы приехали в противоположное место..., а так далеко... (Reply to this) (Parent)