Current mood:	tired
Current music:	Podorozhnyj - PO RA

экзотические гиперкомплексные структуры
Хорошая исследовательская
задачка по алгебраической геометрии для студента,
запишу, а то все время такие штуки забываются.

Дано компактное гиперкомплексное многообразие (M, I, J, K )
(гиперкомплеклексное - это у которого три комплексные
структуры I, J, K, вместе порождающие кватернионную
алгебру). Если $(M, I)$ допускает
кэлерову структуру, то $(M,I)$ гиперкэлерово,
это можно доказать (такую статью я как раз
закончил и на днях выложу в архив).
При этом гиперкомплексная структура
$(M, I, J, K )$ не обязательно гиперкэлерова.

Определить, гиперкэлерова ли она или нет, довольно
просто - на гиперкомплексном многообразии есть
единственная связность без кручения, уважающая
$I, J, K$ (связность Обаты). Многообразие
гиперкэлерово тогда и только тогда, когда
эта связность эрмитова, т.е. если ее
группа голономий компактна.

Негиперкэлеровы гиперкомплексные структуры
на (компактных) гиперкэлеровых многообразиях называются
экзотическими. Я подозреваю, что их не бывает.

Про них можно доказать следующее (и это
я записывать не стал, за недостатком времени,
но оно того стоит).

1. Пространство твисторов
такой структуры изоморфно пространству твисторов
для соответствующей гиперкэлеровой структуры.

2. Как известно, гиперкомплексная структура
реконструируется по своему пространству твисторов
и антикомплексной инволюции $(m, I) -> (m, -I)$.
Так вот, антикомплексная инволюция у этих двух
гиперкомплексных структур (гиперкэлеровой
и экзотической) разная, все остальное одинаковое.

3. Эти антикомплексные инволюции отличаются
на голоморфную инволюцию твисторов, совместимую
с проекцией в $CP^1$. В частности, если такой
инволюции нет (для K3 и схемы Гильберта от K3),
то и экзотических гиперкомплексных структур
тоже нет.

4. У тора инволюции, естественно, есть
(с точностью до внутреннего автоморвизма
ровно одна - $t-> -t $), но
для них можно явно проверить, что
они никаких экзотических гиперкомплексных
структур не задают.

5. У обобщенных многообразий Куммера инволюция
есть (она приходит с тора). Для них я не знаю.

Привет