Current mood:	tired
Current music:	Joy Division - UNKNOWN PLEASURES

инстантоны на гиперкомплексной поверхности Хопфа
Живя в Глазго, я выстраиваю свою жизнь в рамках
пятидневной недели (по пять биологических
суток от понедельника до воскресенья) - сплю
часов по 12, бодрствую по 20-25, каждый день
ложусь на 5-10 часов позже. Когда приезжают
коллеги, приходится изображать из себя
нормального, в результате чего сплю часов по пять.
Отправил коллегу в Париж и только сегодня
отоспался - спал сутки аж.

С коллегой, дорогой, мы придумали следующее.

Пусть дана гиперкомплексная поверхность Хопфа
M (это {\Bbb H} без нуля, профакторизованное
по эквивалентности x \sim q x, где q - кватернион
с |q|>1). Ее можно рассматривать как комплексное
многообразие (M,I), с эрмитовой метрикой, которая
конформно эквивалентно плоской, и применить к ней
соответствие Кобаяши-Хитчина.

Получаем, что инстантоны
на M - это стабильные расслоения на $(M,I)$, где
под инстантонами понимаются эрмитовы
расслоения с кривизной $\Theta$ ходжева типа (1,1)
и удовлетворяющие $\Lambda\Theta =const$.
Поскольку $Pic(M,I)= \C^*$, на (M,I) есть
линейные расслоения любой степени, соответственно,
домножив расслоение на линейное расслоение,
всегда можно получить инстантон, удовлетворяющий
$\Lambda\Theta =0$. Это значит, что кривизна
ортогонально эрмитовой форме, а также
$(2,0)$ и $(0,2)$-пространствам.

Теперь поднимем расслоение на универсальное накрытие
(M,I) (которое есть $\C^2\backslash 0$). Поскольку
эрмитова метрика на (M,I) конформно эквивалентна
плоской, поднятое расслоение есть инстантон на
$\C^2\backslash 0$. Получаем эквивалентность
между стабильными расслоениями на (M,I)
и $\Z$-эквивариантными инстантонами на
$\C^2\backslash 0$.

Теперь, $\Z$-эквивариантные инстантоны на
$\C^2\backslash 0$ суть $\Z$-эквивариантные инстантоны
на ${\Bbb H}\backslash 0$ (с гиперкэлеровой плоской
метрикой), и это дает отождествление
между пространствами стабильных расслоений на
$(M,I_1)$, для различных комплексных структур,
индуцированных кватернионами. Если тщательнее
посмотреть, как такое отождествление локально
устроено, мы получаем гиперкомплексную структуру
на стабильных расслоениях, т.е. на пространстве
инстантонов на многообразии $S^1\times S^3$.
Это, как утверждает коллега, было доселе
неизвестно (трудно поверить, но она на
этих расслоениях съела собаку и написала
три длинные статьи).

Запишем и опубликуем, месяца через полтора-два.

Коллега оказалась большой любительницей
радикальной музыки, надо ей в следующий
раз не забыть подарить наших компактов.

Еще что интересно - гиперкомплексная поверхность
Хопфа изотривиальна в своем твисторном семействе
(т.е. $(M,I_1)$ изоморфно $(M,I)$
для любой комплексной структуры,
индуцированной кватернионами).
Из этого следует, что и пространство
модулей инстантонов дает изотривиальное
в твисторном семействе гиперкомплексное
многообразие.

Что-то мне говорит, что эти самые изотривиальные
в твисторном семействе гиперкомплексные многообразия
имеют интересную геометрию (например, плоскую
связность Обаты). Надо об этом внимательно
подумать, вопрос интересный вообще-то.

Такие примерно дела
Привет