Current mood:	tired
Current music:	Arhitektor - SOLNYSHKO

"Hypercomplex structures on Kaehler manifolds"
Дописал статью научную
http://arxiv.org/abs/math.AG/0406390
"Hypercomplex structures on Kaehler manifolds"

Восхитительное, в принципе говоря.
Я очень много раз пытался в этом направлении
думать, года наверное с 1997-го, но ничего
не выдумывалось.

Пусть дано гиперкомплексное многообразие (это
многообразие, на котором заданы комплексные
структуры I,J,K, вместе порождающие
алгебру кватернионов). Может ли
так случиться, что (M,I)
алгебраическое или например
кэлерово?

Имеет смыл ограничиться компактными M
(что понятно). Оказывается, что в таком
случае кэлеровость (M,I) влечет
голоморфную симплектичность, т.е.
гиперкэлеровость. Правда, неясно,
бывают ли на гиперкэлеровых многообразиях
негиперкэлеровы гиперкомплексные структуры
(об этом см.)

Доказательство, что забавно, использует
HKT метрики, изобретенные физиками и доселе
никаких, кажется, математических применений
не имевшие (несмотря на десятки математических
публикаций про HKT). Оказывается, из
кэлеровой метрики на (M,I) строится
HKT-метрика на (M,I,J,K), а дальше
применяется моя старая работа по
суперсимметрии на HKT-многообразиях
и все получается сразу же.

Дело в том, что гиперкомплексные
эрмитовы многообразия имеют
невырожденную (2,0)-форму, такую же,
какая бывает у гиперкэлеровых, только
не обязательно замкнутую.
HKT-многообразие это такое гиперкомплексное
эрмитово многообразие, у которого эта
(2,0)-форма замкнута относительно дифференциала
Дольбо (бьющего в (3,0)-формы).
Поскольку старшая степень этой
(2,0)-формы дает тривиализацию
канонического класса, (M,I) имеет тривиальный
c_1. По теореме Калаби-Яу, если (M,I) кроме того
кэлерово, оно является многообразием
Калаби-Яу. Применяя структурную теорему
Богомолова, получаем, что многообразие
Калаби-Яу голоморфно симплектично
тогда и только тогда, когда в (2,0)-когомологиях
есть класс, старшая степень которого ненулевая.

Этим классом должен был бы быть класс
HKT-формы (которая замкнута по Дольбо),
но часто так случается, что HKT-форма
не только замкнута, но и точна.
К счастью, для тривиального канонического
класса мы можем применить мою работу
про суперсимметрию и убедиться, что
умножение на класс когомологий HKT-формы
есть часть sl(2)-тройки, похожей на
Лефшеца (ее существование доказывается
так же, как доказывается теорема Лефшеца -
через тождества Кодаиры). А значит, старшая
степень HKT-формы таки не ноль, и $(M,I)$
голоморфно симплектично.

Примерно так вот

Привет