Current mood:	tired
Current music:	Promyshlennaya Arkhitektura - LETARGIYA

"сильный принцип максимума"
Мы привыкли, что принцип максимума применяется
к гармоническим функциям, то есть таким, что среднее
значений этой функции на любом шаре есть значение в
центре шара. Понятно, что если такая функция, заданная
на области, достигает где-то внутри оной максимума,
она постоянна.

Гармонические функции задаются условием второго
порядка - на них зануляется оператор Лапласа. Из
интегрирования оператора Лапласа следует, что
дифференциал гармонической функции на
компактном многообразии равен нулю,
соответственно в принципе максимума
нет ничего удивительного.

Имеется чрезвычайно полезный "сильный принцип максимума",
который позволяет работать с другими эллиптическими
операторами и приводит к результату, который не очевиден.
Именно, пусть задан эллиптический оператор L второго порядка
на функциях (такой оператор обязательно задается как
сумма оператора Лапласа, для какой-то метрики, и
дифференциального оператора первого порядка).
Пусть L(1) \leq 0 (т.е. постоянный член L
неположительный), а L(u)\geq 0. Тогда
тоже имеет место принцип максимума: если
функция u достигает максимума внутри области,
она постоянна.

Очень полезное утверждение, сообщенное мне этой
весной бесценным Семеном А. и сегодня с пользой
примененное к гомологической алгебре.

Вот где этот принцип например сформулирован:
http://arxiv.org/pdf/gr-qc/0102047

Ссылаются на

[25] D. Gilbarg and N. S. Trudinger.
Elliptic Partial Differential Equations of
Second Order. Springer-Verlag, Berlin, 1983.

Я его, признаться, немедленно позабыл, и сегодня
провел битый час, пытаясь вспомнить в чем дело.
Поэтому записываю.

С физической точки зрения
это утверждение вполне очевидно. Все такие операторы
представляются в виде (Лаплас + константа + производная
Ли вдоль какого-то поля v). Гармонические
функции суть функции, задающие стабильное
распределение температуры в однородной среде.
Функции, на которых зануляется L, задают стабильное
распределение температуры в среде жидкости,
которую постоянно размешивают определенной мешалкой
(мешалка это векторное поле v). Естественно,
что если эта система стабильна, у каждой
точки есть соседи, которые теплее и такие,
которые холоднее, либо температура везде
одна и та же.

Очень интересно.

Привет

(Post a new comment)

	_alien 2004-09-20 18:34 (link)
	это сколько ж веков люди беззастенчиво юзают алгебраическую геометрию, помешивая каши, варенья и прочее.., температурно-усредняя соседние "частички", заметьте, мат.факи они не все заканчивали.. (Reply to this)

	dgse 2004-09-21 00:45 (link)
	А каким образом оный принцип к гомологической алгебре может применится? (Reply to this) (Thread)

tiphareth 2004-09-21 02:05 (link)

У меня в этой вот статье строится несколько странный (не самосопряженный) оператор Лапласа именно такого вида http://arxiv.org/abs/math.AG/0112215 теперь я доказываю, что он обратим на точных формах, из чего следует формальность ДГ-алгебры, которая считает когомологии. А поскольку ситуация весьма нередкая, получается очень сильная теорема формальности для некэлеровых многообразий. Такие дела Миша (Reply to this) (Parent)

	Интересно 0_5 2004-09-21 01:46 (link)
	Надо запомнить, пригодится. (Reply to this)

	annutka 2004-09-22 10:47 (link)
	тоже изначально показалось очевидно исходя из физического принципа даже не поняля из чего ты это начал рассказывать а вот и иллюстрация принципа максимума (чем краснее тем горячее!) (Reply to this)