Current mood:	tired
Current music:	Camel - SNOW GOOSE

проконечные свободные группы
Ходил на семинар. Рассказывал
П. Залесский, из Бразилии.
Рассказывал про проконечные свободные группы.
Все знают, что подгруппа свободной группы свободна.
Если взять проконечное пополнение, это уже не так;
известно только, что подгруппа проконечной свободной
группы проективна в соответствующей категории
(то есть всякий эпиморфизм на нее допускает сечение).
Нормальные подгруппы H проконечной свободной группы
описаны Мельниковым (О.В.) и Любоцким; они интересны тем,
что любая собственная открытая подгруппа H свободна.

Борьба идет за то, чтобы распространить эти результаты
на проконечное пополнение фундаментальной группы $\pi_1(X)$
римановой поверхности. Первый результат
получается как обобщение известной теоремы о том, что
подгруппа бесконечного индекса в $\pi_1(X)$ свободна.
Оказывается, что для проконечного пополнения
эта теорема обобщается так - подгруппа
сверхъестественно (supernatural) бесконечного
индекса в пополнении $\pi_1(X)$ свободна.
Сверхъестественный индекс принимает значения
в множестве вида $\prod_p p^{\alpha_p}$,
где $p$ пробегает все простые числа, а
$\alpha_p$ натуральное число или бесконечность.
Для подгрупп проконечных групп этот индекс хорошо
определен. Подгруппа пополнения $\pi_1(X)$
проективна, если сверхъестественный индекс
бесконечен в каждом простом числе.

Вторая же теорема такая - нормальная подгруппа
пополнения $\pi_1(X)$ (она, кажется, а постериори
будет бесконечного индекса) изоморфна нормальной
подгруппе проконечной свободной.

Это нужно для изучения конгруэнц-проблемы, которая
имеет место для любой алгебраической группы G(O) над кольцом
целых алгебраических чисел O. Конгруэнц-подгруппа такой
группы есть подгруппа вида $G(1+I)$, где $I$ это идеал в $O$.
Вопрос такой - любая ли подгруппа конечного индекса может
быть получена как конгруэнц-подгруппа. Клейн (1896) доказал,
что это неверно для $SL(2,Z)$, a Серр, Басс, Милнор
и другие люди (в 1960-х) - что это верно для групп
ранга >1. Для $SL(2,Z)$ и других групп ранга 1,
можно задаться вопросом о ядре отображения из
проконечного пополнения в пополнение по
конгруэнц-подгруппам (конгруэнц-проблема
решается положительно тогда и только тогда,
когда эта группа нулевая). Мельников доказал, что
для $SL(2,Z)$ эта группа - свободная проконечная
со счетным числом образующих, а Залесский
обобщил сие на некоторые другие кольца.

Очень интересно, да.

В Глазго вообще алгебра расцвела, а геометрия,
по совокупности причин, сдохла. Я тут ни при чем
совершенно (наоборот, лоббировал, чтобы приняли
постдока по геометрии, а меня не послушали и
взяли по алгебре).

Привет

(Post a new comment)

	ratamaque 2005-02-23 10:08 (link)
	К сожалению, слаб в математике... Хотел бы узнать как обстоит с теорией суперструн? Или все завяло? (Reply to this) (Thread)

	tiphareth 2005-02-23 10:21 (link)
	Хорошо обстоят! Такие дела Миша (Reply to this) (Parent) (Thread)

	ratamaque 2005-02-23 10:55 (link)
	Т.е. всеобъясняющая теория скоро таки появится? И измерений не 4, а 10? (Reply to this) (Parent) (Thread)

	tiphareth 2005-02-23 11:03 (link)
	> Т.е. всеобъясняющая теория скоро таки > появится? Их несколько. Самая популярная называется М-теория, см. напр. http://arxiv.org/abs/hep-th/0411073 >И измерений не 4, а 10? Их несколько. В разных приближениях измерений разное число. Такие дела Миша (Reply to this) (Parent) (Thread)

	ratamaque 2005-02-24 05:00 (link)
	Спасибо за информацию! (Reply to this) (Parent)

(Reply from suspended user)

	Re: Дурацкий вопрос: tiphareth 2005-02-23 10:22 (link)
	Да нет, конечно. Но вещи настолько элементарные, что их в школе можно (и нужно) проходить. (Reply to this) (Parent) (Thread)

(Reply from suspended user)

	Re: Дурацкий вопрос: tiphareth 2005-02-23 11:08 (link)
	Вот наши листочки (для 10-классников) http://ium.mccme.ru/f04/experimental.html если их прорешать, там ближе к концу рассказывается про свободные группы и подгруппы. Про проконечные я не включил в программу (в какой-то момент они были, я их выкинул), но с этим просто разобраться. Такие дела Миша (Reply to this) (Parent)

	Re: Дурацкий вопрос: (Anonymous) 2005-02-23 10:22 (link)
	udoi moloka povysyatsya. (Reply to this) (Parent) (Thread)

(Reply from suspended user)

ignat 2005-02-23 10:29 (link)

Ба, знакомые всё лица! Олег Владимирович Мельников -- наш минский светило. А Паша Залесский -- его ученик. Supernatural numbers переводятся как сверхнатуральные числа. Интересная проблема: что есть пополнение свободной проконечной группы, рассматриваемой как абстрактная? Для конечно-порождённых (топологически) этот вопрос решили Сигал и Никонов (хотя доказательного текста они до сих пор не опубликовали). Ответ у них такой: проконечное пополнение свободной проконечной группы конечного ранга есть она сама ("строго полная" группа). Для бесконечного ранга вопрос открыт. (Reply to this) (Thread)

tiphareth 2005-02-23 10:58 (link)

Симпатичный, да - я с ним, к стыду моему, так и не познакомился (все собираюсь). > переводятся как > сверхнатуральные числа Угу. Сверхъестественные просто красивее звучит (а по-английски supernatural именно это и значит). >Олег Владимирович Мельников Я спросонья решил, что речь идет об Иване Мельникове с мех-мата, который со дня на день возглавит КПРФ (и про которого все рассказывают, что он дебил). Удивился, да. Потом посмотрел в Mathscinet и обнаружил, что рассказывают таки правильное. Такие дела Миша (Reply to this) (Parent)

bbixob 2005-02-24 15:07 (link)

A для таких групп (фундаменталных групп алгебраических многообразий) подргуппы конечного индекса определимы ? для свободных ето никогда неверно (говорят, следует из резылтатов Села) >нормальная подгруппа >пополнения $\pi_1(X)$ (она, кажется, а постериори >будет бесконечного индекса) не очень понятно---если Х=С*, то $\пи_1(Х)=З$, и там есть нормальные подгруппы конечно индекса (Reply to this) (Parent) (Thread)

	tiphareth 2005-02-25 09:51 (link)
	Да, конечно. Надо это отдельно оговорить Такие дела Миша (Reply to this) (Parent) (Thread)

	bbixob 2005-02-25 13:34 (link)
	t.e. ogovorit', chto normal'naja podgruppa konechnogo indeksa vsegda sootvetstvuet konechnomy etal'nomy nakrytiju; ona neobhodimo otkryta, esli rech' idet o prokonechnom popolnenii... tak, da. (Reply to this) (Parent)