Current mood:	tired
Current music:	:Zoviet*France: - Gesture Signal Threat

Kaehler identities for G_2-manifolds
Гениальный математик Шень-Шень Черн (Чжень)
умер, в возрасте 93 лет, в начале декабря 2004 года.
Оказывается, перед смертью он опубликовал препринт!
С доказательством чрезвычайно важной теоремы о
несуществовании комплексных структур на 6-мерной сфере.
Вот подробности.

Теперь это дело называется "последняя теорема Черна".
Напоминает "последнюю теорему Ферма", о да.

Почти комплексная структура на 6-мерной сфере строится,
кстати, совершенно очевидным образом. А именно, 6-мерная
сфера отождествляется с множеством всех тотально мнимых
октав, которые дают в квадрате -1. На пространстве,
ортогональном такой октаве, эта октава действует
как комплексная структура. Касательное пространство
к шестимерной сфере отождествляется с этим самым
ортогональным дополнением - вуаля. На
сферах любой размерности, кроме 2 и 6,
почти комплексной структуры не бывает,
по топологическим причинам.

Тем временем, я дописал и выложил наконец статью
про рациональные гомотопии на G_2-многообразиях
http://arxiv.org/abs/math.DG/0502540

"Manifolds with parallel differential forms and
Kaehler identities for G_2-manifolds"

Как известно, GL(R,7) (49-мерная) действует на
пространстве 3-форм (35-мерном) с двумя открытыми орбитами.
Стабилизатор общей 3-формы - группа размерности 49-35=14,
и она называется G_2. Это группа автоморфизмов
октавной алгебры. Поскольку таких орбит две, то и
стабилизаторов имеется два - один отвечает
компактной вещественной форме G_2, другой
некомпактной. Науку интересуют преимущественно
компактная форма G_2; 3-формы, у которых такой
стабилизатор, называются положительными.
Если на многообразии задана такая 3-форма,
касательное расслоение редуцируется к
G_2, а поскольку G_2 компактна, то на
многообразии получается риманова структура.
Такое многообразие называется G_2-многообразием.
Условие интегрируемости в такой ситуации - то,
что 3-форма параллельна относительно связности
Леви-Чивита. Когда говорят про G_2-многообразия,
имеют в виду в основном эти. Они чрезвычайно
важны в физике - начиная от 1997-98 года,
основная надежда на объединение гравитации
и остальных трех фундаментальных сил лежит
в M-теории, которая компактифицирует 11-мерное
физическое пространство в 7-мерное G_2-многообразие.
При этом обычные струнные теории получаются
как аппроксимации M-теории при разных предельных
значениях параметров.

Разные свойства G_2-многообразий обобщают
аналогичные свойства трехмерных Калаби-Яу.
Если взять трехмерное Калаби-Яу и умножить
на окружность, получится G_2-многообразие,
а интересные структуры, заданные на Калаби-Яу
(например, рациональные кривые или специальные
лагранжевы циклы) становятся интересными
структурами на G_2-многообразии. Что самое
забавное - и рациональные кривые и специальные
лагранжевы циклы превращаются в один
и тот же класс циклов на G_2-многообразии
(ассоциативные циклы).

В общем, на G_2-многообразии должна быть построена
алгебраическая геометрия, по образцу знакомой нам.
Этим я давно уже занимаюсь, с переменным успехом.
Одно из направлений - попытаться обнаружить на
G_2 структуры, известные нам из работ Сулливана
(также Делиня-Гриффитса-Моргана-Сулливана),
и приводящие к формальности кэлеровых
многообразий. Это и было сделано. Формальности
G_2-многообразий я не обрел, но получил
чрезвычайно красивую ДГ-алгебру, эквивалентную
де рамовской, все дифференциалы в которой
зануляются, кроме одного; и массу других
поучительных результатов.

С очень подробной библиографией
(пришлось прочесть страниц наверное 800).
Сущность M-теории очень внятно излагается здесь
http://arxiv.org/abs/hep-th/0409191
и здесь
http://arxiv.org/abs/hep-th/0411073
математический смысл G_2-геометрии - здесь
http://arxiv.org/abs/math.DG/0010054

Писал ее полгода почти, с перерывом на
листочки. Ужас, да.

Привет

(Post a new comment)

	kapahel 2005-03-01 09:28 (link)
	забавно, нам в клубе рассказывали в воскресенье про несуществование комплексной структуры. Я искал доказательство в разных книжках и не нашел. Теперь понятно, почему. (Reply to this) (Thread)

	tiphareth 2005-03-01 09:38 (link)
	А кто рассказывал-то? (Reply to this) (Parent) (Thread)

	kapahel 2005-03-01 09:39 (link)
	Зограф (Reply to this) (Parent) (Thread)

	tiphareth 2005-03-01 09:48 (link)
	Офигительно. Но Зографу про черновский препринт наверное ведь и неоткуда знать, а? То есть откуда дровишки-то? Такие дела Миша (Reply to this) (Parent) (Thread)

	kapahel 2005-03-01 09:52 (link)
	Я и решил судя по тому, как это было преподнесено, что это такой [общеизвестный] факт. А вообще-то, почему бы ему и не знать про Черна. Интернет у всех один. (Reply to this) (Parent) (Thread)

	tiphareth 2005-03-01 09:56 (link)
	Ну дык доказательство Черна не опубликованное, на Интернете его нет. Есть только по ссылке обсуждение того, какое оно могло бы быть. В принципе, когда я обсуждал именно этот вопрос с Джойсом и Хитчиным месяц назад, они про препринт Черна не знали, а уж кому как не им знать. Такие дела Миша (Reply to this) (Parent) (Thread)

	kapahel 2005-03-01 10:00 (link)
	Тот Джойс, который про специальные группы голономий написал? Интересно. (Reply to this) (Parent) (Thread)

	tiphareth 2005-03-01 10:06 (link)
	Он хороший (Reply to this) (Parent) (Thread)

	ne_lirik 2005-03-01 10:30 (link)
	А чем этот хороший сейчас занимается? (Reply to this) (Parent) (Thread)

	tiphareth 2005-03-01 10:39 (link)
	Абелевыми категориями (Reply to this) (Parent) (Thread)

	ne_lirik 2005-03-01 10:44 (link)
	Линейный плоский мир ... Джойс сдрейфил, или как? (Reply to this) (Parent) (Thread)

	tiphareth 2005-03-01 10:48 (link)
	Ну, я тоже занимался превратными когерентными пучками и стабильностью в 1992-93 годах. Оно тесно соотносится с разными геометрическими структурами. А сейчас это ко всему прочему и востребованная наука. Такие дела Миша (Reply to this) (Parent)

	popn 2005-03-01 15:06 (link)
	Да Петя Зограф из Stony Brook'ских -- мог и знать. Спросим. (Reply to this) (Parent) (Thread)

	tiphareth 2005-03-01 15:07 (link)
	Подозреваю, что источником была брошюра Кириллова, как ignat по соседству рассказал. Такие дела Миша (Reply to this) (Parent)

	popn 2005-03-01 15:09 (link)
	С другой стороны, Antti Niemi -- он у нас очень часто тут гуляет по 5-ому этажу. (Reply to this) (Parent) (Thread)

	tiphareth 2005-03-01 15:51 (link)
	Круто! Хорошо бы из него препринт Черна добыть, интересно ведь Такие дела Миша (Reply to this) (Parent) (Thread)

	popn 2005-03-01 16:29 (link)
	Узнаем. Рапортуем. (Reply to this) (Parent) (Thread)

	kapahel 2005-03-01 16:54 (link)
	детективный роман, однако страшно интересно, да (Reply to this) (Parent)

	ignat 2005-03-01 13:01 (link)
	Насколько мне известно, доказал это утверждение Chuan-Chih Hsiung (не позднее 2001), а Чжень сделал доклад. Кириллов это знал ещё в 2000 году, и написал об этом в его брошюрке по матанализу для первокурсников НМУ. (Я узнал именно из этой брошюрки об этом.) (Reply to this) (Thread)

	tiphareth 2005-03-01 13:20 (link)
	Да, есть действительно такая работа Hsiung, Chuan-Chih Nonexistence of a complex structure on the six-sphere. Bull. Inst. Math. Acad. Sinica 14 (1986), no. 3, 231--247. Она неправильная. http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/96/complex.struct (автор письма Bryant хорошо известен) Такие дела Миша (Reply to this) (Parent) (Thread)

	ppetya 2005-03-02 03:35 (link)
	Как раз вчера за местным обедом Концевич рассказал, пересказывая кого-то, что у Чженя тоже ошибка, но в целом небезынтересная статья. Такие дела. (Reply to this) (Parent)

	ОффтопикЪ son_of_bob 2005-03-02 05:16 (link)
	Миша, я знаю - ты такое любишь, прочти. http://www.fatuma.net/text/amvros.htm В РиЖ! За РиЖ! (Reply to this)

	(Anonymous) 2005-03-02 16:00 (link)
	После постов Миши про манифолды хочется лечь в печку Освенцима или повеситься (Reply to this)