Misha Verbitsky ([info]tiphareth) wrote,
@ 2005-03-03 01:23:00
Current mood: tired
Current music:Lustmord - THE MONSTROUS SOUL

теорема Калаби-Яу
Математические науки бывают условно двух типов.
Для какой-то области, чтобы нечто понять, нужно
сначала изучить сто томов гениальных предшественников.
Особенно этим характерна алгебраическая геометрия
и дифференциальная. Типа одно большое здание-небоскреб,
и с фундаментом, уходящим на столько же вниз.

Другой полюс - наука состоит из набора связанных
друг с другом, но независимых результатов, и чтобы
читать работы, достаточно образования на уровне
матшколы и знакомства с терминологией. Примеры
называть не буду, ибо симпатии мои на стороне тех
наук, которые похожи на небоскреб, а не тех,
которые похожи на караван-сарай.

Ибо очень много народу постоянно доказывают какую-то
фигню вроде олимпиадных задач, не задумываясь о том,
что в 19 веке это все наверняка уже неоднократно
доказали. И через 50 лет придет такой же придурок,
и опять все то же самое докажет. Это по-моему
совершенно неинтересное занятие, и даже вредное,
поскольку содержательные вещи за этой свалкой
ненужных теорем теряются.

Самые ж интересные результаты - это такие,
которые используют множество вещей и используются
множеством других наук.

По большому счету, за последние 30 лет было
две наиболее важных работы - доказательство Делинем
гипотез Вейля (наилучшим образом разъясненное
в книге Бейлинсона, Бернштейна и Делиня
как утверждение о весах Фробениуса на прямых
образов превратных пучков) и доказательство
Яу гипотезы Калаби, на которой базируются
математические приложения струнной физики.

При этом, доказательство Делиня давно
стало частью математической культуры -
нормальный математик, будучи среди ночи
разбужен, расскажет вам эту науку с начала
и до конца, от этальных когомологий
и до превратных пучков; а теорема
Калаби-Яу до сих пор никому по большому
счету непонятна. Доказательство ее изложено,
кажется, только в статье Яу, за которую
Яу дали филдсовскую медаль, и в пересказе
Джойса в книжке "Компактные многообразия
со специальной голономией". Причем у Джойса
(как мы выяснили пару недель назад) ошибки.

Гротендик писал, что понимание науки
наступает, когда люди находят понятийную
базу, в которой никаких доказательств
уже не надо - все содержательные результаты
более-менее сразу вытекают из определений.
Алгебраическая геометрия и комплексная
по большей части так и устроены (стараниями
Гротендика отчасти), а с теоремой Калаби-Яу
происходит совершенно наоборот.

Очень интересно - будет ли создана понятийная
база, в которой теорема Калаби-Яу окажется
очевидна, или таки Гротендик был совершенно
неправ. Мне хочется думать, что наука победит
и через какое-то время все будет понятно.

Но пока никакие медитации над теоремой
Калаби-Яу к результату не привели - доказательство
я выучил, но понять, в чем смысл его, и почему там
в одном месте логарифм, а в другом месте $\Delta'\Delta$,
а не наоборот $\Delta\Delta'$, не получается никак.

Привет



(Post a new comment)


[info]kaledin
2005-03-02 17:27 (link)
Prevratnye puchki ni pri chem -- srazu v "gipoteze Weilya II" utverzhdenie bylo pro vesa na pryamykh obrazakh (ono nazvana gipoteza Weyl'ya iz skromnosti; sobstvenno gipotezu Weyl'ya Deligne dokazal ran'she). Prevratnye puchki -- ehto uzhe sledstvie: osoznali, chto kompleksy chistogo vesa tozhe obrazuyut abelevu kategoriyu, i ee mozhno postroit' chisto topologicheski, bez Frobeniusa.

Ehto tak, v poryadke anal'no-retentivnosti.

A vot skazhi. Perel'man-Hamilton kakoe-nibud' otnoshenie imeyut k? pomogayut li?

(Reply to this) (Thread)


[info]tiphareth
2005-03-02 17:40 (link)
Это само собой. Просто формулировка гипотез Вейля
без превратных пучков уродская.

У Гамильтона изначально, была идея
строить эйнштейновы метрики, исходя из потока Риччи
(и для кривых он доказал таки Калаби-Яу таким
образом). А если поток Риччи сходится (после
удаления особенностей), то мы немедленно получаем,
действительно, гипотезу геометризации, потому
что эйнштейного трехмерное многообразие
имеет постоянную секционную кривизну.

Достижение Перельмана - он добавил к
потоку дополнительное векторное поле,
после чего это получился градиентный
поток (у Гамильтона поток Риччи не
градиентный, ибо он его по дороге
перенормирует, чтобы все сошлось).
После этого все трудности в программе
Гамильтона решаются гораздо проще.

Самое забавное тут - что у него все получилось
именно в той парадигме, которую Гротендик предлагал
(заменили определение, и все проблемы решились сами)

Можно ли теким образом делать Калаби-Яу, мне неведомо,
но у Перельмана вся борьба ведется за размерность 3 в основном.

Такие дела
Миша

(Reply to this) (Parent) (Thread)


[info]kaledin
2005-03-03 17:30 (link)
Formulirovka gipotezy Weil'ya ehto "vesa pri pryamom obraze ne umen'shayutsya"; prichem zdes' prevratnye puchki ya pravda ne ponimayu.

I moral' vsej istorii tozhe konechno shire, chejm prevratnye puchki: moral' chto est' takaya fundamental'naya chisto topologicheskaya veshch' "ves" (kotoruyu pochemu-to poshchupat' mozhno tol'ko cherez slozhnuyu tekhniku, uvy).

Zhalko, chto Perel'man vyshe dim 3 nikak ne pomogaet.

(Reply to this) (Parent)


[info]mancunian
2005-03-02 17:57 (link)
Образ хороший. Я, как ты понимаешь, за караван-сарай.

Кстати, к нам недавно приезжал Тюрин-мл. Рассказывал мнение коллективного разума Стекловки про всё и про всех. ;)

(Reply to this) (Thread)


[info]tiphareth
2005-03-02 18:04 (link)
Хе-хе.
Из окончательной версии убрано словосочетание
"придурок Эрдош". А чего рассказал Коля?

Такие дела
Миша

(Reply to this) (Parent) (Thread)


[info]mancunian
2005-03-02 18:17 (link)
За Эрдёша спасибо! Я знаю, что ты его не любишь, но насчет переоткрывания того, что было известно в 19-м веке - это вряд ли. Некоторые вопросы просто не могли быть заданы тогда.

Коля же, со слов О-ка, поразил окружающих знанием всех деталей жизни русских геометров. Ну и плюс обычная болтология про то, кто крут, а кто - не очень. :)

(Reply to this) (Parent) (Thread)


[info]tiphareth
2005-03-02 18:21 (link)
>Некоторые вопросы просто не могли быть заданы тогда.

Ну, почти все в математике
получено переговариванием старого
(но забытого) на новый язык. Арнольд
про это любит рассуждать. Касательно
ж Эрдоша - там в основном какие-то
мелочи, полукомбинаторные, я уверен,
что если в записках Эйлера покопаться,
найдется половина.

Такие дела
Миша

(Reply to this) (Parent) (Thread)


[info]mancunian
2005-03-02 18:34 (link)
У меня есть неопубликованный манускрипт Эрдеша под названием "On Some of my Favourite Theorems", написанный им незадолго до смерти. Если тебе действительно хочется поплеваться со знанием дела, я могу тебе его прислать - с условием нераспространения.

Занятно, что его замечательных теорем 30-х годов про свертки Бернулли там нет. Видимо, он их не любил.

Если всё это есть в рукописях Эйлера, я готов съесть свои носки.

(Reply to this) (Parent) (Thread)


(Anonymous)
2005-03-03 05:41 (link)
И мы тоже хотим манусскрипт Ердеша посмотреть. Что же вы его там прячете?

(Reply to this) (Parent) (Thread)


[info]mancunian
2005-03-03 09:16 (link)
Потому как тот, кто мне его дал, сделал это по доброте душевной, а не для распространения. Так что вывешивать в сеть это нельзя.

(Reply to this) (Parent)

Я не согласен!
(Anonymous)
2005-03-22 11:50 (link)
У меня конечно нет никакого права спорить с Вами , судя
по знаниям и достижениям в математике , но я найду в себе наглость
сказать , что в комбинаторике есть очень красивые результаты
и идеи и есть очень сложные задачи!!!

(Reply to this) (Parent)

(Reply from suspended user)

[info]bo_ba
2005-03-02 20:45 (link)
Зельдович говорил, что если ученый не в состоянии объяснить уборщице вечером чем он занимается, не понимает, чем он занимается.

(Reply to this) (Parent)


[info]0_5
2005-03-03 01:26 (link)
В физике, скорее, строят небоскреб, подпирая его со всех сторон "сараями".
По мере строительства, соответственно, нужда в сараях пропадает, и они отваливаются.

Вообще, образ замечательный.

(Reply to this) (Parent)

вопрос
[info]freakup
2005-03-02 23:47 (link)
А как обстоят дела с мат. обоснованием континуальных интегралов?

(Reply to this) (Thread)

Re: вопрос
[info]kaledin
2005-03-03 17:26 (link)
Huevo.

S smysle, kontinual'nyj integral ne budet oboznovan nikogda, potomu chto on nekorrekten -- ehto kak obosnovyvat' raskhodyashchiesya ryady. Vot tipa Ehjler pleval na skhodimost', no u nego bylo vnutrennee chuvstvo; a eshche bylo mnogo idiotov, u kotorykh ne bylo chuvstva, i oni poluchali bred. Situaciya s kontinual'nym integralom takaya zhe. Ponatno, chto veshch' nekorrektna i obosnovat' ee nel'zya, nado vykidyvat'; no ponyatno, chto za nej stoit kakaya-to geometriya, kotoruyu nado pered vykidyvaniem vytashchit' na svet i prorabotat'. I s ehtim poka nichego ne vykhodit. Khotya mnogie umnye lyudi pytayutsya (po krajnej mere Deligne i Kontsevich).

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Long live path integrals!
[info]clovis2
2005-03-05 19:05 (link)
Дима,
Situaciya s kontinual'nym integralom takaya zhe.

... как у Эйлера: умные люди с его помощью производят на свет красивые и чётко сформулированные математические гипотезы. Потом математики доказывают их замысловатыми способами. Мне говорили, что когда континуальный интеграл наконец будет точно определён, заметная часть математических доказательств сильно упростится: ну, как вычисление площади под параболой после обоснования обычного интеграла.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Re: Long live path integrals!
[info]kaledin
2005-03-05 20:14 (link)
Uvazhaemyj,

Ya mogu nekotoroe vremya besedovat' neizvestno-s-kem o evreyakh i prochikh interesnykh veshchakh. No ya sovershenno ne khochu razgovarivat' neizvestno-s-kem o matematike. Potomu chto TeXovskuyu notaciyu my zdes' ispol'zovat' ne budem, pozhaluj, i govorit' budem obychnymi slovami; a vne konteksta -- naprimer, kogda nel'za sdelat' na cheloveka poisk v arxiv.org -- sovershenno ne ochevidno, chto za slovami khot' chto-to stoit. I neponyatno, zachem ya togda budu tratit' na besedy neizvestno-s-kem svoe ves'ma dragocennoe vremya.

Inymi slovami: IDITE NAHUJ.

Vam ehto, kstati, uzhe govorili.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Что в имени тебе моём?
[info]clovis2
2005-03-05 21:18 (link)
Дима,

Какой Вы грубый! Какая разница, знаете Вы меня или нет, и сколько статей у меня в arxiv.org? Давайте говорить по существу. Path integral -- великое оружие в руках умелых людей. Попытки доказывать "выведенные" с его помощью результаты обходными, но хорошо протоптанными путями напоминают вычисление площадей до изобретения интеграла. Вы не находите?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Re: Что в имени тебе моём?
[info]tiphareth
2005-03-06 11:59 (link)
Что-то я не припомню ни одного результата,
"выведенного" с помощью path integrals

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Виттен -- наша слава боевая
[info]clovis2
2005-03-06 13:10 (link)
Миша,
.
А как, по-Вашему, были выведены инварианты Зайберга-Виттена?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Re: Виттен -- наша слава боевая
[info]tiphareth
2005-03-06 18:09 (link)
Ну уж никак не с помощью "path integrals".
В оригинальном труде это слово не употребляется
ни разу.

http://arxiv.org/abs/hep-th/9407087

Реально ж - получили уравнение из наблюдений
над двойственностью Оливе-Монтонена.

Такие дела
Миша



(Reply to this) (Parent) (Thread)

Слона-то я и не приметил!
[info]clovis2
2005-03-06 18:45 (link)
Миша,

Вся статья построена на вычислениях в рамках квантовой теории поля, то есть почти по определению основана на континуальном интеграле. Почему N=2 Янг-Миллс с топологической подкруткой в высокоэнергетическом пределе даёт инварианты Дональдсона? Это следует из прямого вычисления континуального интеграла, который локализуется. Почему в низкоэнергетическом пределе получается хитрая U(1) теория? Это более тонкие свойства КТП, то есть всё того же континуального интеграла

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Re: Слона-то я и не приметил!
[info]tiphareth
2005-03-07 07:45 (link)
Континуального интеграла (по пространству связностей),
но никак не "path integrals". И главное - даже если
аксиоматизировать интегрирование по бесконечномерным
пространствам, никаких инвариантов Зайберга-Виттена
не получится, ибо они выводятся из физических
феноменов, а не из теории.

> Почему N=2
> Янг-Миллс с топологической подкруткой в
> высокоэнергетическом пределе даёт
> инварианты Дональдсона? Это следует из
> прямого вычисления континуального
> интеграла, который локализуется.

Это как раз вытекает непосредственно из определения.
Но никаких достижений Виттена в этом нет, это было известно
в 1970-е (если не раньше).

> Почему
> в низкоэнергетическом пределе
> получается хитрая U(1) теория? Это более
> тонкие свойства КТП, то есть всё того же
> континуального интеграла

Квантовая теория поля не сводится к континуальному
интегралу. И никакого математически внятного вывода теории
Зайберга-Виттена из аксиоматической квантовой теории
поля нет.

Такие дела
Миша

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Смотрите шире
[info]clovis2
2005-03-07 08:15 (link)
Миша,
Континуального интеграла (по пространству связностей), но никак не "path integrals".

Это одно и то же: главное, что интегрирование идёт по бесконечномерному пространству, а мера имеет определённый вид. Само же пространство -- связности на многообразии или отображения из одного многообразия в другое -- это вторично. Кстати, в N=2 теориях присутствуют не только связности, но и скалярные поля, так что там и "path" имеется.
даже если аксиоматизировать интегрирование по бесконечномерным пространствам

"Если" тут, пожалуй, неуместно: ведь аксиом-то нет. Были бы аксиомы -- Вы с Калединым, небось, давно бы уж признали path integral.
никаких инвариантов Зайберга-Виттена не получится, ибо они выводятся из физических феноменов, а не из теории.

Не из "физических феноменов", а из свойств path integral. Они посмотрели, как выглядит низкоэнергетический предел теории, то есть задумались о вычислении path integral в пределе большого размера многообразия.
Это как раз вытекает непосредственно из определения. Но никаких достижений Виттена в этом нет, это было известно в 1970-е (если не раньше).

Ничего не вытекает ни из какого определения. Атия специально спросил у Виттена, нельзя ли построить КТП, которые бы давали инварианты Дональдсона и Джонса. И Виттен построил обе теории. Потом Атия и Джеффри пересказали виттеновскую 4-хмерную теорию на математическом языке.
И никакого математически внятного вывода теории Зайберга-Виттена из аксиоматической квантовой теории поля нет.

Из аксиоматической -- нет. А из известных физикам приёмов вычисления path integrals -- есть. Читайте собственную ссылку.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Re: Смотрите шире
[info]kaledin
2005-03-07 19:03 (link)
Ot "aksiomatizacii" nikakogo tolka ne budet -- kak mozhno aksiomatizirovat' to, chego net?

Eshche raz. Kontinual'nyj integral ehto nekorrektnoe oboshchenie vychislitel'nogo priema. Sam priem bessmyslennyj; mne kazhetsya, esli by Fejnmana uchili matematike, a ne "calculusu", bylo by luchshe. Tak ili inache, za priemom stoit nekotoraya geometricheskaya intuiciya: konechnaya, skazhem reshetochnaya, model' taki stremitsya *v khoroshikh sluchayakh* k kontinual'nomu predelu; no kakie sluchai khoroshie, znaet tol'ko khoroshij fizik. Chto nado delat', ehto ne aksimatizirovat' yavnuyu labudu, a pytat'sya u fizika vyznat', kak on znaet. I po-chelovekcheski -- a ne kakimi-to dopotopnymi "intergralami" -- izlozhit'.

Ya ne ponimayu, o chem zdes' sporit'.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Зри в корень!
[info]clovis2
2005-03-08 08:11 (link)
Дима,
Eshche raz. Kontinual'nyj integral ehto nekorrektnoe oboshchenie vychislitel'nogo priema.

Примерно как обычный интеграл до изобретения строгих обоснований.
Sam priem bessmyslennyj; mne kazhetsya, esli by Fejnmana uchili matematike, a ne "calculusu", bylo by luchshe.

Может, Вам бы и было... Но вот Фаддеев и Попов с Вами никак не согласятся. Как я слышал, с помощью континуального интеграла они в несколько строчек вывели правила квантования калибровочных полей, над которыми физики, действовавшие обычными методами, безуспешно бились годами. С тех пор континуальный интеграл считается основой квантовой теории. Ну а про успехи физиков в применении континуального интеграла к математике Вы с Мишей знаете лучше меня. Одни инварианты Зайберга-Виттена чего стоят!
Tak ili inache, za priemom stoit nekotoraya geometricheskaya intuiciya: konechnaya, skazhem reshetochnaya, model' taki stremitsya *v khoroshikh sluchayakh* k kontinual'nomu predelu; no kakie sluchai khoroshie, znaet tol'ko khoroshij fizik.

Не геометрическая интуиция, а формальное применение свойств конечномерных интегралов в бесконечномерном случае. Плюс ещё немало разных глубоко неочевидных соображений.
a pytat'sya u fizika vyznat', kak on znaet. I po-chelovekcheski -- a ne kakimi-to dopotopnymi "intergralami" -- izlozhit'.

При этом от Вас ускользнёт суть происходящего -- но Вы, кажется, и не хотите в ней разбираться. А допотопны не континуальные интегралы, а способы, которыми математики, кряхтя, доказывают выведенные с их помощью соотношения.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Re: Зри в корень!
[info]kaledin
2005-03-08 15:34 (link)
Znaete, mne na sekundu pokazalos', chto vy vse-taki znaete, o chem govorite -- no kazhetsya zrya.

V poslednij raz. "Formal'noe primenenie obychnykh pravil", esli ego provodit' posledovatel'no, vsegda daet bred. Iskusstvo v tom, chtoby znat', gde mozhno, a gde nel'zya. Bylo by interesno ehto iskusstvo dovesti do urovnya nauki.

(Reply to this) (Parent)


[info]bacr
2005-03-03 01:42 (link)
Строительство небоскрёба, это правильно,
но более важно чем сам небоскрёб - выбор места для стройки.

Во многих полезных местах не построили даже лачуги,
а ведь есть спрос для практического пользования.
Вот и в свободное от основной работы время (эксперимент с нанотехнологиями:)
халтурю на строительстве палаточных домиков для биологов.
Собираюсь на досуге сделать большой сарай для молекулярной динамики
(у несчастных ошибки во временной шкале доходят до 10 порядков 10^10).

Если так дальше будут выёживаться, а не строить новае реакторы все ведь
перегрызутся от нефти передохнут от климата, говна и фондового рынка.
Я вот за выживание человечества борюсь, а ты за что?

(Reply to this)


[info]dobromysl
2005-03-03 06:02 (link)
Сдохну, а лучше не напишу.
Убивать, убивать, убивать!

(Reply to this)

9/11
[info]piont
2005-03-03 16:02 (link)
Если бы науки строились, как небоскребы, то через некоторое время
достигали бы той высоты, когда одному человеку одолеть необходимое количество томов
невозможно, и разваливались бы от отсутствия техобслуживания.

К счастью, есть и обратный процесс: небоскреб оседает, когда люди переписывают
составляющие его сто томов, выбрасывая ненужное и переделывая построенное.
Во времена Евклида элементарная геометрия была небоскребом, а теперь --
самый низкий из сараев.

Если наука кажется небоскребом, то это означает только, что она еще молода и непроработана.
Небоскребы должны рухнуть.

(Reply to this)

Не ввысь, а вглубь
[info]solomon2
2005-03-06 04:57 (link)
Все бы в небоскребах жить хотели - но либо почва не держит, либо стройматериалов не завезли, так что приходится сооружать собачую конуру.

Это я к тому, что математика развивается не совсем по произволу самих математиков - много ограничений и внешних и внутренних, и просто фактор случайности присутствует.

Можно и перевернуть: есть области математики - как некогда богатые рудники -бывало ударь киркой по стене и самородки посыпятся, да только в таких местах разработки давно ведутся, и самородки уже все почти выбраны, а руду просеивать - трудоемко. Ну а те, кто ищет новых месторождений - копают, конечно, не глубоко, на пробу.

(Reply to this)



[ Home | Update Journal | Login/Logout | Browse Options | Site Map ]