Current mood:	tired
Current music:	Lustmord - THE MONSTROUS SOUL

теорема Калаби-Яу
Математические науки бывают условно двух типов.
Для какой-то области, чтобы нечто понять, нужно
сначала изучить сто томов гениальных предшественников.
Особенно этим характерна алгебраическая геометрия
и дифференциальная. Типа одно большое здание-небоскреб,
и с фундаментом, уходящим на столько же вниз.

Другой полюс - наука состоит из набора связанных
друг с другом, но независимых результатов, и чтобы
читать работы, достаточно образования на уровне
матшколы и знакомства с терминологией. Примеры
называть не буду, ибо симпатии мои на стороне тех
наук, которые похожи на небоскреб, а не тех,
которые похожи на караван-сарай.

Ибо очень много народу постоянно доказывают какую-то
фигню вроде олимпиадных задач, не задумываясь о том,
что в 19 веке это все наверняка уже неоднократно
доказали. И через 50 лет придет такой же придурок,
и опять все то же самое докажет. Это по-моему
совершенно неинтересное занятие, и даже вредное,
поскольку содержательные вещи за этой свалкой
ненужных теорем теряются.

Самые ж интересные результаты - это такие,
которые используют множество вещей и используются
множеством других наук.

По большому счету, за последние 30 лет было
две наиболее важных работы - доказательство Делинем
гипотез Вейля (наилучшим образом разъясненное
в книге Бейлинсона, Бернштейна и Делиня
как утверждение о весах Фробениуса на прямых
образов превратных пучков) и доказательство
Яу гипотезы Калаби, на которой базируются
математические приложения струнной физики.

При этом, доказательство Делиня давно
стало частью математической культуры -
нормальный математик, будучи среди ночи
разбужен, расскажет вам эту науку с начала
и до конца, от этальных когомологий
и до превратных пучков; а теорема
Калаби-Яу до сих пор никому по большому
счету непонятна. Доказательство ее изложено,
кажется, только в статье Яу, за которую
Яу дали филдсовскую медаль, и в пересказе
Джойса в книжке "Компактные многообразия
со специальной голономией". Причем у Джойса
(как мы выяснили пару недель назад) ошибки.

Гротендик писал, что понимание науки
наступает, когда люди находят понятийную
базу, в которой никаких доказательств
уже не надо - все содержательные результаты
более-менее сразу вытекают из определений.
Алгебраическая геометрия и комплексная
по большей части так и устроены (стараниями
Гротендика отчасти), а с теоремой Калаби-Яу
происходит совершенно наоборот.

Очень интересно - будет ли создана понятийная
база, в которой теорема Калаби-Яу окажется
очевидна, или таки Гротендик был совершенно
неправ. Мне хочется думать, что наука победит
и через какое-то время все будет понятно.

Но пока никакие медитации над теоремой
Калаби-Яу к результату не привели - доказательство
я выучил, но понять, в чем смысл его, и почему там
в одном месте логарифм, а в другом месте $\Delta'\Delta$,
а не наоборот $\Delta\Delta'$, не получается никак.

Привет

(Post a new comment)

kaledin 2005-03-02 17:27 (link)

Prevratnye puchki ni pri chem -- srazu v "gipoteze Weilya II" utverzhdenie bylo pro vesa na pryamykh obrazakh (ono nazvana gipoteza Weyl'ya iz skromnosti; sobstvenno gipotezu Weyl'ya Deligne dokazal ran'she). Prevratnye puchki -- ehto uzhe sledstvie: osoznali, chto kompleksy chistogo vesa tozhe obrazuyut abelevu kategoriyu, i ee mozhno postroit' chisto topologicheski, bez Frobeniusa. Ehto tak, v poryadke anal'no-retentivnosti. A vot skazhi. Perel'man-Hamilton kakoe-nibud' otnoshenie imeyut k? pomogayut li? (Reply to this) (Thread)

tiphareth 2005-03-02 17:40 (link)

Это само собой. Просто формулировка гипотез Вейля без превратных пучков уродская. У Гамильтона изначально, была идея строить эйнштейновы метрики, исходя из потока Риччи (и для кривых он доказал таки Калаби-Яу таким образом). А если поток Риччи сходится (после удаления особенностей), то мы немедленно получаем, действительно, гипотезу геометризации, потому что эйнштейного трехмерное многообразие имеет постоянную секционную кривизну. Достижение Перельмана - он добавил к потоку дополнительное векторное поле, после чего это получился градиентный поток (у Гамильтона поток Риччи не градиентный, ибо он его по дороге перенормирует, чтобы все сошлось). После этого все трудности в программе Гамильтона решаются гораздо проще. Самое забавное тут - что у него все получилось именно в той парадигме, которую Гротендик предлагал (заменили определение, и все проблемы решились сами) Можно ли теким образом делать Калаби-Яу, мне неведомо, но у Перельмана вся борьба ведется за размерность 3 в основном. Такие дела Миша (Reply to this) (Parent) (Thread)

kaledin 2005-03-03 17:30 (link)

Formulirovka gipotezy Weil'ya ehto "vesa pri pryamom obraze ne umen'shayutsya"; prichem zdes' prevratnye puchki ya pravda ne ponimayu. I moral' vsej istorii tozhe konechno shire, chejm prevratnye puchki: moral' chto est' takaya fundamental'naya chisto topologicheskaya veshch' "ves" (kotoruyu pochemu-to poshchupat' mozhno tol'ko cherez slozhnuyu tekhniku, uvy). Zhalko, chto Perel'man vyshe dim 3 nikak ne pomogaet. (Reply to this) (Parent)

	mancunian 2005-03-02 17:57 (link)
	Образ хороший. Я, как ты понимаешь, за караван-сарай. Кстати, к нам недавно приезжал Тюрин-мл. Рассказывал мнение коллективного разума Стекловки про всё и про всех. ;) (Reply to this) (Thread)

	tiphareth 2005-03-02 18:04 (link)
	Хе-хе. Из окончательной версии убрано словосочетание "придурок Эрдош". А чего рассказал Коля? Такие дела Миша (Reply to this) (Parent) (Thread)

	mancunian 2005-03-02 18:17 (link)
	За Эрдёша спасибо! Я знаю, что ты его не любишь, но насчет переоткрывания того, что было известно в 19-м веке - это вряд ли. Некоторые вопросы просто не могли быть заданы тогда. Коля же, со слов О-ка, поразил окружающих знанием всех деталей жизни русских геометров. Ну и плюс обычная болтология про то, кто крут, а кто - не очень. :) (Reply to this) (Parent) (Thread)

	tiphareth 2005-03-02 18:21 (link)
	>Некоторые вопросы просто не могли быть заданы тогда. Ну, почти все в математике получено переговариванием старого (но забытого) на новый язык. Арнольд про это любит рассуждать. Касательно ж Эрдоша - там в основном какие-то мелочи, полукомбинаторные, я уверен, что если в записках Эйлера покопаться, найдется половина. Такие дела Миша (Reply to this) (Parent) (Thread)

mancunian 2005-03-02 18:34 (link)

У меня есть неопубликованный манускрипт Эрдеша под названием "On Some of my Favourite Theorems", написанный им незадолго до смерти. Если тебе действительно хочется поплеваться со знанием дела, я могу тебе его прислать - с условием нераспространения. Занятно, что его замечательных теорем 30-х годов про свертки Бернулли там нет. Видимо, он их не любил. Если всё это есть в рукописях Эйлера, я готов съесть свои носки. (Reply to this) (Parent) (Thread)

	(Anonymous) 2005-03-03 05:41 (link)
	И мы тоже хотим манусскрипт Ердеша посмотреть. Что же вы его там прячете? (Reply to this) (Parent) (Thread)

	mancunian 2005-03-03 09:16 (link)
	Потому как тот, кто мне его дал, сделал это по доброте душевной, а не для распространения. Так что вывешивать в сеть это нельзя. (Reply to this) (Parent)

	Я не согласен! (Anonymous) 2005-03-22 11:50 (link)
	У меня конечно нет никакого права спорить с Вами , судя по знаниям и достижениям в математике , но я найду в себе наглость сказать , что в комбинаторике есть очень красивые результаты и идеи и есть очень сложные задачи!!! (Reply to this) (Parent)

(Reply from suspended user)

	bo_ba 2005-03-02 20:45 (link)
	Зельдович говорил, что если ученый не в состоянии объяснить уборщице вечером чем он занимается, не понимает, чем он занимается. (Reply to this) (Parent)

	0_5 2005-03-03 01:26 (link)
	В физике, скорее, строят небоскреб, подпирая его со всех сторон "сараями". По мере строительства, соответственно, нужда в сараях пропадает, и они отваливаются. Вообще, образ замечательный. (Reply to this) (Parent)

	вопрос freakup 2005-03-02 23:47 (link)
	А как обстоят дела с мат. обоснованием континуальных интегралов? (Reply to this) (Thread)

Re: вопрос kaledin 2005-03-03 17:26 (link)

Huevo. S smysle, kontinual'nyj integral ne budet oboznovan nikogda, potomu chto on nekorrekten -- ehto kak obosnovyvat' raskhodyashchiesya ryady. Vot tipa Ehjler pleval na skhodimost', no u nego bylo vnutrennee chuvstvo; a eshche bylo mnogo idiotov, u kotorykh ne bylo chuvstva, i oni poluchali bred. Situaciya s kontinual'nym integralom takaya zhe. Ponatno, chto veshch' nekorrektna i obosnovat' ee nel'zya, nado vykidyvat'; no ponyatno, chto za nej stoit kakaya-to geometriya, kotoruyu nado pered vykidyvaniem vytashchit' na svet i prorabotat'. I s ehtim poka nichego ne vykhodit. Khotya mnogie umnye lyudi pytayutsya (po krajnej mere Deligne i Kontsevich). (Reply to this) (Parent) (Thread)

Long live path integrals! clovis2 2005-03-05 19:05 (link)

Дима, Situaciya s kontinual'nym integralom takaya zhe. ... как у Эйлера: умные люди с его помощью производят на свет красивые и чётко сформулированные математические гипотезы. Потом математики доказывают их замысловатыми способами. Мне говорили, что когда континуальный интеграл наконец будет точно определён, заметная часть математических доказательств сильно упростится: ну, как вычисление площади под параболой после обоснования обычного интеграла. (Reply to this) (Parent) (Thread)

Re: Long live path integrals! kaledin 2005-03-05 20:14 (link)

Uvazhaemyj, Ya mogu nekotoroe vremya besedovat' neizvestno-s-kem o evreyakh i prochikh interesnykh veshchakh. No ya sovershenno ne khochu razgovarivat' neizvestno-s-kem o matematike. Potomu chto TeXovskuyu notaciyu my zdes' ispol'zovat' ne budem, pozhaluj, i govorit' budem obychnymi slovami; a vne konteksta -- naprimer, kogda nel'za sdelat' na cheloveka poisk v arxiv.org -- sovershenno ne ochevidno, chto za slovami khot' chto-to stoit. I neponyatno, zachem ya togda budu tratit' na besedy neizvestno-s-kem svoe ves'ma dragocennoe vremya. Inymi slovami: IDITE NAHUJ. Vam ehto, kstati, uzhe govorili. (Reply to this) (Parent) (Thread)

	Что в имени тебе моём? clovis2 2005-03-05 21:18 (link)
	Дима, Какой Вы грубый! Какая разница, знаете Вы меня или нет, и сколько статей у меня в arxiv.org? Давайте говорить по существу. Path integral -- великое оружие в руках умелых людей. Попытки доказывать "выведенные" с его помощью результаты обходными, но хорошо протоптанными путями напоминают вычисление площадей до изобретения интеграла. Вы не находите? (Reply to this) (Parent) (Thread)

	Re: Что в имени тебе моём? tiphareth 2005-03-06 11:59 (link)
	Что-то я не припомню ни одного результата, "выведенного" с помощью path integrals (Reply to this) (Parent) (Thread)

	Виттен -- наша слава боевая clovis2 2005-03-06 13:10 (link)
	Миша, . А как, по-Вашему, были выведены инварианты Зайберга-Виттена? (Reply to this) (Parent) (Thread)

	Re: Виттен -- наша слава боевая tiphareth 2005-03-06 18:09 (link)
	Ну уж никак не с помощью "path integrals". В оригинальном труде это слово не употребляется ни разу. http://arxiv.org/abs/hep-th/9407087 Реально ж - получили уравнение из наблюдений над двойственностью Оливе-Монтонена. Такие дела Миша (Reply to this) (Parent) (Thread)

Слона-то я и не приметил! clovis2 2005-03-06 18:45 (link)

Миша, Вся статья построена на вычислениях в рамках квантовой теории поля, то есть почти по определению основана на континуальном интеграле. Почему N=2 Янг-Миллс с топологической подкруткой в высокоэнергетическом пределе даёт инварианты Дональдсона? Это следует из прямого вычисления континуального интеграла, который локализуется. Почему в низкоэнергетическом пределе получается хитрая U(1) теория? Это более тонкие свойства КТП, то есть всё того же континуального интеграла (Reply to this) (Parent) (Thread)

Re: Слона-то я и не приметил! tiphareth 2005-03-07 07:45 (link)

Континуального интеграла (по пространству связностей), но никак не "path integrals". И главное - даже если аксиоматизировать интегрирование по бесконечномерным пространствам, никаких инвариантов Зайберга-Виттена не получится, ибо они выводятся из физических феноменов, а не из теории. > Почему N=2 > Янг-Миллс с топологической подкруткой в > высокоэнергетическом пределе даёт > инварианты Дональдсона? Это следует из > прямого вычисления континуального > интеграла, который локализуется. Это как раз вытекает непосредственно из определения. Но никаких достижений Виттена в этом нет, это было известно в 1970-е (если не раньше). > Почему > в низкоэнергетическом пределе > получается хитрая U(1) теория? Это более > тонкие свойства КТП, то есть всё того же > континуального интеграла Квантовая теория поля не сводится к континуальному интегралу. И никакого математически внятного вывода теории Зайберга-Виттена из аксиоматической квантовой теории поля нет. Такие дела Миша (Reply to this) (Parent) (Thread)

Смотрите шире clovis2 2005-03-07 08:15 (link)

Миша, Континуального интеграла (по пространству связностей), но никак не "path integrals". Это одно и то же: главное, что интегрирование идёт по бесконечномерному пространству, а мера имеет определённый вид. Само же пространство -- связности на многообразии или отображения из одного многообразия в другое -- это вторично. Кстати, в N=2 теориях присутствуют не только связности, но и скалярные поля, так что там и "path" имеется. даже если аксиоматизировать интегрирование по бесконечномерным пространствам "Если" тут, пожалуй, неуместно: ведь аксиом-то нет. Были бы аксиомы -- Вы с Калединым, небось, давно бы уж признали path integral. никаких инвариантов Зайберга-Виттена не получится, ибо они выводятся из физических феноменов, а не из теории. Не из "физических феноменов", а из свойств path integral. Они посмотрели, как выглядит низкоэнергетический предел теории, то есть задумались о вычислении path integral в пределе большого размера многообразия. Это как раз вытекает непосредственно из определения. Но никаких достижений Виттена в этом нет, это было известно в 1970-е (если не раньше). Ничего не вытекает ни из какого определения. Атия специально спросил у Виттена, нельзя ли построить КТП, которые бы давали инварианты Дональдсона и Джонса. И Виттен построил обе теории. Потом Атия и Джеффри пересказали виттеновскую 4-хмерную теорию на математическом языке. И никакого математически внятного вывода теории Зайберга-Виттена из аксиоматической квантовой теории поля нет. Из аксиоматической -- нет. А из известных физикам приёмов вычисления path integrals -- есть. Читайте собственную ссылку. (Reply to this) (Parent) (Thread)

Re: Смотрите шире kaledin 2005-03-07 19:03 (link)

Ot "aksiomatizacii" nikakogo tolka ne budet -- kak mozhno aksiomatizirovat' to, chego net? Eshche raz. Kontinual'nyj integral ehto nekorrektnoe oboshchenie vychislitel'nogo priema. Sam priem bessmyslennyj; mne kazhetsya, esli by Fejnmana uchili matematike, a ne "calculusu", bylo by luchshe. Tak ili inache, za priemom stoit nekotoraya geometricheskaya intuiciya: konechnaya, skazhem reshetochnaya, model' taki stremitsya *v khoroshikh sluchayakh* k kontinual'nomu predelu; no kakie sluchai khoroshie, znaet tol'ko khoroshij fizik. Chto nado delat', ehto ne aksimatizirovat' yavnuyu labudu, a pytat'sya u fizika vyznat', kak on znaet. I po-chelovekcheski -- a ne kakimi-to dopotopnymi "intergralami" -- izlozhit'. Ya ne ponimayu, o chem zdes' sporit'. (Reply to this) (Parent) (Thread)

Зри в корень! clovis2 2005-03-08 08:11 (link)

Дима, Eshche raz. Kontinual'nyj integral ehto nekorrektnoe oboshchenie vychislitel'nogo priema. Примерно как обычный интеграл до изобретения строгих обоснований. Sam priem bessmyslennyj; mne kazhetsya, esli by Fejnmana uchili matematike, a ne "calculusu", bylo by luchshe. Может, Вам бы и было... Но вот Фаддеев и Попов с Вами никак не согласятся. Как я слышал, с помощью континуального интеграла они в несколько строчек вывели правила квантования калибровочных полей, над которыми физики, действовавшие обычными методами, безуспешно бились годами. С тех пор континуальный интеграл считается основой квантовой теории. Ну а про успехи физиков в применении континуального интеграла к математике Вы с Мишей знаете лучше меня. Одни инварианты Зайберга-Виттена чего стоят! Tak ili inache, za priemom stoit nekotoraya geometricheskaya intuiciya: konechnaya, skazhem reshetochnaya, model' taki stremitsya *v khoroshikh sluchayakh* k kontinual'nomu predelu; no kakie sluchai khoroshie, znaet tol'ko khoroshij fizik. Не геометрическая интуиция, а формальное применение свойств конечномерных интегралов в бесконечномерном случае. Плюс ещё немало разных глубоко неочевидных соображений. a pytat'sya u fizika vyznat', kak on znaet. I po-chelovekcheski -- a ne kakimi-to dopotopnymi "intergralami" -- izlozhit'. При этом от Вас ускользнёт суть происходящего -- но Вы, кажется, и не хотите в ней разбираться. А допотопны не континуальные интегралы, а способы, которыми математики, кряхтя, доказывают выведенные с их помощью соотношения. (Reply to this) (Parent) (Thread)

	Re: Зри в корень! kaledin 2005-03-08 15:34 (link)
	Znaete, mne na sekundu pokazalos', chto vy vse-taki znaete, o chem govorite -- no kazhetsya zrya. V poslednij raz. "Formal'noe primenenie obychnykh pravil", esli ego provodit' posledovatel'no, vsegda daet bred. Iskusstvo v tom, chtoby znat', gde mozhno, a gde nel'zya. Bylo by interesno ehto iskusstvo dovesti do urovnya nauki. (Reply to this) (Parent)

bacr 2005-03-03 01:42 (link)

Строительство небоскрёба, это правильно, но более важно чем сам небоскрёб - выбор места для стройки. Во многих полезных местах не построили даже лачуги, а ведь есть спрос для практического пользования. Вот и в свободное от основной работы время (эксперимент с нанотехнологиями:) халтурю на строительстве палаточных домиков для биологов. Собираюсь на досуге сделать большой сарай для молекулярной динамики (у несчастных ошибки во временной шкале доходят до 10 порядков 10^10). Если так дальше будут выёживаться, а не строить новае реакторы все ведь перегрызутся от нефти передохнут от климата, говна и фондового рынка. Я вот за выживание человечества борюсь, а ты за что? (Reply to this)

	dobromysl 2005-03-03 06:02 (link)
	Сдохну, а лучше не напишу. Убивать, убивать, убивать! (Reply to this)

9/11 piont 2005-03-03 16:02 (link)

Если бы науки строились, как небоскребы, то через некоторое время достигали бы той высоты, когда одному человеку одолеть необходимое количество томов невозможно, и разваливались бы от отсутствия техобслуживания. К счастью, есть и обратный процесс: небоскреб оседает, когда люди переписывают составляющие его сто томов, выбрасывая ненужное и переделывая построенное. Во времена Евклида элементарная геометрия была небоскребом, а теперь -- самый низкий из сараев. Если наука кажется небоскребом, то это означает только, что она еще молода и непроработана. Небоскребы должны рухнуть. (Reply to this)

Не ввысь, а вглубь solomon2 2005-03-06 04:57 (link)

Все бы в небоскребах жить хотели - но либо почва не держит, либо стройматериалов не завезли, так что приходится сооружать собачую конуру. Это я к тому, что математика развивается не совсем по произволу самих математиков - много ограничений и внешних и внутренних, и просто фактор случайности присутствует. Можно и перевернуть: есть области математики - как некогда богатые рудники -бывало ударь киркой по стене и самородки посыпятся, да только в таких местах разработки давно ведутся, и самородки уже все почти выбраны, а руду просеивать - трудоемко. Ну а те, кто ищет новых месторождений - копают, конечно, не глубоко, на пробу. (Reply to this)