Current mood:	tired
Current music:	Gong - Live At Sheffield '74

Уравнение Монжа-Ампера
Если математика это устремленное ввысь готическое
здание, то теорема Калаби-Яу есть заложенный
кирпичом этаж где-то в середине, с затемненными
окнами, населенный неизвестно кем. Толпы
людей спускаются и поднимаются каждый день,
но дальше лестницы заглядывать стесняются
Теорема Калаби-Яу это черный ящик; все ей
пользуются, а доказательства никто не понимает.

На самом деле речь идет о существовании и
единственности решения уравнения Монжа-Ампера на
компактном многообразии (либо с граничными условиями)
в разных полезных для геометрии ситуацияк.

Пусть на многообразии задан дифференциальный
оператор D, делающий из функции билинейную симметричную
2-форму. Типичные ситуации, когда это имеет место, такие -

(а) дано многообразие с плоской связностью
без кручения (обыкновенно не ортогональной - если
она ортогональная, то это компактный тор).
Вторая производная D от функции это симметрическая
билинейная 2-форма

(б) Дано кэлерово многообразие. Оператор
D=\partial\bar\partial делает из функции дифференциальную
(1,1)-форму, но пространство (1,1)-форм отождествлено
с пространством полуторалинейных симметрических форм.

Назовем риманову метрику кэлеровой, если она локально
представляется в виде D(\phi), для какой-то
функции \phi. Кэлеров класс данной метрики g
есть множество всех метрик вида g + D(\phi).

Если задана метрика g, обозначим за Vol(g) соответствующую
форму объема. Уравнение Монжа-Ампера имеет вид
Vol(g + D(\phi)) = V,
где g и V заданы, а phi неизвестная функция.
Это страшно нелинейное эллиптическое
уравнение. Случай (а) называется "вещественное
уравнение Монжа-Ампера", случай (б) - "комплексное
уравнение Монжа-Ампера". Оказывается, решение уравнения
Монжа-Ампера для разумных V существует и единственно;
это доказал Яу в 1978 году (для комплексного уравнения)
и Яу-Чен в середине 1980-х (для вещественного).

По-другому, теорему Калаби-Яу можно сформулировать так -
для каждой невырожденной формы V старшей степени, в каждом
кэлеровом классе существует и единственна метрика,
для которой V есть форма объема (с точностью
до константы).

Геометрический смысл вещественного (классического)
Монж-Ампера ясен так: пусть (для простоты) g=0,
тогда Vol(D(\phi)) есть гессиан \phi, то есть решая
уравнение Монж-Ампера, мы находим функцию с заданным
гессианом. Это нужно, например, при проектировании
купола - если купол представить как график функции,
то гессиан есть произведение главных кривизн,
то есть гауссова кривизна, то есть напряженность
конструкции в данной точке.

Комплексный Монж-Ампер надо понимать так -
если h есть невырожденное голоморфное сечение
канонического класса, то h \bar h это форма объема.
Решая уравнение Монжа-Ампера, мы найдем кэлерову
метрику g такую, что h \bar h имеет (относительно g)
постоянную длину. Это значит, что |h|=const, то есть у
канонического класса есть сечение постоянной длины. В этой
ситуации, кривизна канонического класса равна нулю.
Но поскольку кривизна канонического класса равна
кривизне Риччи, мы получаем, что многообразие
Риччи-плоско. То есть решения комплексного
уравнения Монжа-Ампера позволяют строить
риччи-плоские метрики в любом кэлеровом
классе.

За это, собственно, Яу и дали филдсовскую
премию. Если б их было несколько, надо было бы дать
все, потому что более важного результата в математике
последних 30 лет пожалуй и нет (такие же важные
есть, а более важного наверное нет).

В кватернионной и октавной (G_2-) геометрии есть тоже
версии теоремы Калаби-Яу, мы над ними работаем. Это,
в принципе, чрезвычайно интересно, я со временем
про них подробно напишу.

Привет

(Post a new comment)

	zhecka 2005-03-23 22:48 (link)
	А в чем значимость версий теоремы Калаби-Яу в кватерниовой (и особенно октавной) геометрии? (Reply to this) (Thread)

	tiphareth 2005-03-23 23:03 (link)
	Если б я знал (Reply to this) (Parent)

aspirantus 2005-03-24 00:12 (link)

Помнится я ходил на спецкурс, с основами кватернинионной алгебры(?). Рассказывали, что на кватернионы, в момент изобретения, возлагались большие надежды. По аналогии с комлексными числами надеялись построить кучу новых объектов и всё такое. Но тогда дело закончилось ничем. На комплексных числах вырасли целые науки, а кватернионы долго остались забавным математическим объектом. А вот оказывается доросла наука до кватернионов и есть от них толк и новые горизонты. интересно. (Reply to this) (Thread)

	tiphareth 2005-03-24 03:41 (link)
	>Но тогда дело закончилось ничем. Наоборот - уравнения Максвелла и весь вообще векторный анализ были выведены исторически из кватернионного исчисления. Лет 30-50 более важной науки не было. Такие дела Миша (Reply to this) (Parent) (Thread)

	(Anonymous) 2005-03-24 20:28 (link)
	С точки зрения профана, нельзя ли: - B, D - "унитарность" в R^n, A - унитарность в С^n, C - в Н^n, G, F, E - тем или другим боком - геометрия октонионов? (Reply to this) (Parent)