Current mood:	tired
Current music:	Gong - live at sheffield '74

про теорию меры
С этой среды (и по средам) я буду рассказывать
первокурсникам про теорию меры. Также будут выдаваться
задачи (в том же роде, что и прошлогодний
пир духа).

Вот первая порция
(объемы многогранников, инвариант Дена, почему
правильный тетраэдр не равносоставлен кубу).

Шень рассказал, что можно разрезать
круг на много (примерно 10^50) кусков,
и сложить из них равновеликий квадрат. Доказательство
опубликовано в Крелле, 1990-й год примерно.

А еще на плоскости
мера Лебега продолжается до конечно-аддитивной
инвариантной меры на множестве всех ограниченных
подмножеств плоскости (это Банах доказал). Для
плоскости Лобачевского и евклидова пространства
размерности >2 это, конечно, неверно (в силу парадокса
Банаха-Тарского). Мудрецы открыли, что можно
разрезать маленький кусок кала на 4 куска и
сложить из них земной шар, со всеми обитателями,
и получить впридачу тот кусок кала, с которого
начали. Вот какая полезная наука математика.

Привет

(Post a new comment)

	parf 2005-03-27 23:16 (link)
	Миша, когда уже ты прочтешь какую-нибудь интересную лекцию, как про копирайт? Не про торсионные поля, а (предлагаю темы на выбор): - математика для дебилов - что такое порнография и какова ее роль в современном обществе - что такое секс и как им правильно заниматься - жизнь после тридцати: как грамотно убить себя Про торсионные поля для дебилов впрочем тоже можно. (Reply to this) (Thread)

	tiphareth 2005-03-28 21:04 (link)
	Да я ж с удовольствием. И про торсионные поля и про антигравитацию! При случае. В гости вот приходи! Тут в прошлый раз так вышло, что эти милые люди из клуба мне звонили и сами договаривались. Такие дела Миша (Reply to this) (Parent)

	solomon2 2005-03-28 02:06 (link)
	А разве парадокс это аргумент? (Reply to this) (Thread)

zhecka 2005-03-28 05:23 (link)

Это так называется, "пардокс Банах-Тарского". А на самом деле совершенно строгая математическая теорема. Правда, чтобы ее сформулировать в таком виде, как выше, надо добавить две аксиомы: "кусочек кала -- ограниченное подмножество R^3 с непустой внутренностью" и такую же аксиому для земного шара. Техническая реализация проблематична ИМХО именно из-за этих аксиом. В данный момент американцы работают над обратным преобразованием. (Reply to this) (Parent) (Thread)

	solomon2 2005-03-28 20:23 (link)
	Вспомнил, вся загвоздка в том что кусочки кала неизмеримы и мера на них не продолжаема, ибо иначе парадокс Б-Т не имел бы места. (Reply to this) (Parent)

mancunian 2005-03-28 04:21 (link)

Самое главное в теории лебеговой меры - это то, что 1) мера - это длина 2) мера непрерывна 3) мера нуль-множества равна нулю :) При этом нуль-множества определяются совершенно независимо, через покрытия. Их важность выше, чем у всей остальной теории меры! Если в конце курса студент может внятно объяснить, почему мера прямой на плоскости равна нулю и построить руками толстое канторово множество - значит, mission accomplished. А все эти внешние меры и прочее - от лукавого. (Reply to this) (Thread)

	tiphareth 2005-03-28 21:33 (link)
	Угу. Но мне хочется еще, чтобы люди умели теорему Сарда доказывать и строить меру Хаара. Такие дела Миша (Reply to this) (Parent) (Thread)

mancunian 2005-03-29 02:32 (link)

Я доказываю теорему Сарда третьекурсникам в курсе Calculus of Several Variables. То есть лемму Сарда, в русской терминологии. Идеологически она очень проста, главное - понять ее для линейных отображений, а дальше уже всё тошнотворно-стандартно, все эти опостылевшие оценки и эпсилоны-дельты. При этом большинство моих студентов вообще не знает, что такое мера Лебега! Зато знают, что такое нуль-множество... :-( Но я не понимаю, как ты будешь ее рассказывать первокурсникам. Они должны понимать, что такое дифференциал - разве этому учат на первом курсе?! (Reply to this) (Parent) (Thread)

	kaledin 2005-03-29 02:48 (link)
	http://ium.mccme.ru/trivium_news.html (Reply to this) (Parent) (Thread)

	mancunian 2005-03-29 03:52 (link)
	Понятно. Ну, наверное, идеологически студенту, хорошо впитавшему одномерный анализ, топологию и линейную алгебру, понять это всё было бы нетрудно... но просто по объему может случиться оверлоад. (Reply to this) (Parent) (Thread)

	kaledin 2005-03-29 04:48 (link)
	Ono uzhe bylo. 10 lekcij; vse perechislennoe + teorema Stoksa obzor (bez dokazatel'stv i dazhe bez chetkogo opredelniya integrala) + sushchestvovanie i edinstvennost' reshenij ODE. Chelovek 7 khodilo; vrode vse ponyali. (Reply to this) (Parent) (Thread)

	kinneret 2005-03-29 12:25 (link)
	Большое спасибо Вам! Очень интересный был курс. Язык правда пока непривычный, но это само по себе даже приятно. (Reply to this) (Parent)

	tiphareth 2005-03-29 14:01 (link)
	>но просто по объему может случиться оверлоад. Угу. Тут самое главное - игнорировать ту злопакостную хуйню, которой учат на мех-мате. Потому что если правильно то же самое изучать, будет понятно и просто Такие дела Миша (Reply to this) (Parent) (Thread)

	kaledin 2005-03-30 06:39 (link)
	Ugu. Ya dumayu, chto studenty kotorykh ya uchil ni odnoj zadachi iz Demidovicha ne mogut reshit'. Po krajnej mere ya ikh ehtomu ne uchil. A figli? ya sam ikh ne mogu reshit'; i do sikh por ni razu ne bylo povoda pozhalet'. (Reply to this) (Parent)

	первая порция v_p 2005-03-31 22:49 (link)
	в условиях задач 1.34 и 1.35 содержится одинаковая опечатка (нормировка пропала). Может быть стоит поправить. (Reply to this) (Thread)

	Re: первая порция tiphareth 2005-04-01 02:28 (link)
	Спасибо, да! Там поправлено, просто на сайт не успели выложить Такие дела Миша (Reply to this) (Parent)

	french_man 2005-04-01 22:45 (link)
	Отлично про инвариант Дена. Давно хотел разобраться, да руки не доходили. (Reply to this) (Thread)

kaledin 2005-04-06 04:24 (link)

Ha-ha. Poslednyaya zadacha ehto na samom dele nekotoroe izdevatel'stvo. Est' doklad Cartier na Burbakakh, godu v 84m, gde dokazatel'stvo "kak by" ob'yasneno, no na samom dele klyuchevoe mesto -- nu, odno iz klyuchevykh mest -- propushcheno, i vidno, chto Cartier sam ne razobralsya. No on khot' i ne razobralsya, vse zhe privlek kehlerovy differencialy R nad Q, kakie-to tam differencirovaniya R v R, Q-linejnye, i vsyakuyu druguyu nauku. Po-vidimomu, potom byl eshche progress, i vsya K-teoreticheskaya podopleka ehtogo dela izvestna chelovechestvu v vide otdel'nykh ego predstavitelej vrode Sashi Goncharova. Naverno esli Goncharova lichno sprosit', on rasskazhet. No ssylki ya ne znayu do sikh por!! ssylayutsya na izvestnuyu stat'yu Goncharova-Beilinsona-(i kazhetsya Shekhtmana-Varchenko) pro polilogarifm Aomoto; no tam (a) ne pro to, i (b) ponyat' ni figa nel'zya. (Reply to this) (Parent) (Thread)

	tiphareth 2005-04-06 05:03 (link)
	Kotoraya s **? Oto zh - **. No ssylka est' u Boltyanskogo, vmeste s nabroskom dokazatel'stva. Takie dela Misha (Reply to this) (Parent) (Thread)

kaledin 2005-04-06 07:53 (link)

Da konechno, ** ono i est'. No nabrosok ya i sam znayu -- a dokazatel'stva ne znayu! zhalko. Khorosho by kto-nibud' normal'no ob'yasnil. Grubo govorya, trudnost' vot gde: vse mnogogranniki faktor po prizmam svodyatsya k tetraedram; dalee berut tetraedry vida ABCD gde AB, BC i CD poparno perpendikulyarny. No oni zavisyat ot dvukh parametrov. I vot delaetsya kakoe-to khitroe preobrazovanie, posle chego okazyvaetsya, chto ot dvukh paramterov ono kocikl, posle chego dokazvyaetsya chto kogranica, t.e. na samom dele zavisit ot odnogo; i vot on invariant Dehna. A ponyat', pochemu imenno takoe preobrazivanie, i pochemu taki da, kogranica, iz Cartier ya ne smog. I kak ehto svyazano s simvolami Stejnberga, tozhe ne smog (khotya vyglyadit ochen' pokhozhe). (Reply to this) (Parent)