Current mood:	tired
Current music:	League Of Gentlemen - Thrang Thrang Gozinbulx

мера Хаара

Офигительно полезный ресурс!
http://uncyclopedia.org/

Вот например биография Джорджа Буша
Заинтересует конспирологов.

Тем временем, я закончил писать листочки по теории
меры. Добавлено 4 штуки (с 4 по 7-ой).
Заканчивается наука на мере Хаара, существовании
ее и единственности.

Вот что это такое вкратце (лекция)

Все подробности, определения и наброски доказательств
есть в листочках:

[ 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 ]

Пусть задана хаусдорфова, локально компактная
топологическая группа. Алгебра борелевских множеств
на топологическом пространстве это сигма-алгебра,
порожденная компактными подмножествами. (Левая) мера Хаара
есть ненулевая, локально конечная мера на алгебре борелевских
множеств, левоинвариантная относительно действия группы
(то есть группа, действуя на себе слева, индуцирует
изоморфизм пространств с мерой).

Мера Хаара существует и (в разумной ситуации) единственна.

Единственность ее вытекает из теоремы Радона-Никодима.
На мерах задан частичный порядок: говорится,
что мера nu абсолютно непрерывна относительно
mu, если каждое множество меры нуль отн. mu
имеет меру нуль относительно nu. Если mu и
nu конечные меры, причем nu абс. непр. отн.
mu, то $\nu = f\mu$ для интегрируемой измеримой
функции f. С другой стороны, nu всегда относительно
непрерывна по отношению к nu+mu. Если на группе
заданы две конечные меры Хаара nu, mu, то
(по теореме Радона-Никодима) $\nu = f(\nu+\mu)$.
Поскольку nu, mu левоинвариантны, $f$ инвариантна
с точностью до $\nu+\mu$-пренебрежимой функции.
Из этого следует, что nu пропорциональна nu+mu.

Применяя этот аргумент к открытым подмножествам, на
которых nu и mu конечны (таковые существуют в силу
локальной компактности) мы получим, что
nu пропорциональна nu+mu на любом компактном
множестве, полученном как пересечение счетного
числа открытых.

Сигма-алгебра, порожденная таковыми множествами,
называется алгеброй бэровских множеств.
Из вышеуказанного аргумента вытекает, что
мера Хаара единственна на алгебре бэровских
множеств. Если у G есть счетная база,
бэровские и борелевские множества
совпадают, и мера Хаара единственна.

Если ж у G нет счетной базы, лекго привести
контрпример к единственности. А именно,
возьмем "длинную прямую", то есть произведение
$[0, \infty[$ с первым несчетным
(или любым терминальным несчетным) ординалом,
с естественной топологией связного многообразия.
Длинная прямая есть полугруппа, и порожденная
ею группа Ли это просто объединение двух
копий длинной прямой, соединенных в нуле.

На длинной прямой есть две меры Хаара:
одна стандартная (Лебега), другая кладет
каждому подмножеству, содержащемуся
в замкнутом отрезке, ноль, а не
содержащемуся в замкнутом отрезке - 1.
Эти меры очевидно непропорциональны.

Мера Хаара строится, исходя из общей
теории борелевских мер. Пусть на множестве
компактных подмножеств топологического
пространства задана аддитивная, монотонная,
полуаддитивная неотрицательная функция. Такая
функция называется объем. Если на многообразии
задан объем, можно определить "внутренний объем"
открытого множества как супремум объемов
всех содержащихся в нем компактных множеств,
и "внешний объем" множества как инфимум
внутренних объемов всех окрестностей.

Это будет мера, причем
любая бэровская мера (мера на сигма-алгебре
бэровских подмножеств) получается таким образом.
В разумной ситуации, бэровские и борелевские
множества совпадают, и тогда объемы
эквивалентны мерам.

В любом случае, чтобы построить меру Хаара,
достаточно построить левоинвариантный объем,
а делается это таким образом.

Пусть задано открытое подмножество U\subset G
и компактное C\subset G. Определим частное
C:U как число элементов в минимальном наборе
\{x_i\} таких, что $\bigcup_i Ux_i$ покрывает
C. Зафиксируем компактное A с непустой внутренностью $A_0$,
и пусть $\lambda_U$ функция на множестве компактных подмножеств
G, ставящая в соответствие $C\subset G$
частное $\frac{C:U}{A:U}$.

Эта функция левоинвариантна,
полуаддитивна, равна единице
на A, монотонна, и аддитивна в некотором
(весьма слабом) смысле: если два компактных
множества E и F таковы, что $U$-окрестности
$EU^{-1}$ и $FU^{-1}$ не пересекаются, то
$\lambda_U(E+F) = \lambda_U(E) + \lambda_U(F)$.

Мера Хаара получается "пределом" $\lambda_U$
по последовательности окрестностей единицы
$U$, стремящейся к нулю. Делается это
с помощью теоремы Тихонова о компактности.

Рассмотрим тихоновское произведение $K$
отрезков $[0, C:A_0]$ по всем компактным
подмножествам $G$. Оно компактно.
$\lambda_U$ может быть
рассмотрена как функция из множества всех
компактов в числа, то есть как точка этого
пространства. Пусть $U\subset A_0$ это окрестность
единицы в $G$, а $\Delta_U^0$ - множество
всех точек $\lambda_V\in K$ таких, что
$V\subset U$ есть окрестность единицы.
Обозначим за $\Delta_U$ его замыкание.
$\Delta_U$ компактно, а пересечение
всех $\Delta_U$ непусто, по теореме
Кантора, ибо непусты их конечные
пересечения.

Точка пересечения всех $\Delta_U$ есть
левоинвариантный объем, а определенная
им мера есть мера Хаара.

Очень простое доказательство
теоремы Тихонова (использующее лемму Цорна) есть здесь вот.

Теорема Тихонова равносильна аксиоме выбора
(Кэли доказал). Интересно, насколько существование меры Хаара
зависит от аксиомы выбора. Поскольку она практически
единственна, должна зависеть весьма мало.

Вот здесь вот интересно рассказывают, когда
и зачем Хаар придумал меру Хаара. Оказывается,
он хотел решить пятую проблему Гильберта
(доказать, что топологическая группа, которая
является многообразием, есть группа Ли).
И фон Нойман, много общаясь с Хааром, эту проблему
действительно решил.

Примерно так вот

Привет

(Post a new comment)

	ded_maxim 2005-04-28 10:32 (link)
	если каждое множество меры нуль отн. mu имеет меру нуль относительно mu. Миша, исправь это дело -- в конце предложения должно быть nu, а не mu. $\nu = f\mu$ для интегрируемой измеримой функции f. Производная Радона-Никодима еще и почти всюду неотрицательна. (Reply to this) (Thread)

	tiphareth 2005-04-28 10:38 (link)
	Spasibo! Popravil vot Takie dela Misha (Reply to this) (Parent)

	magister_ 2005-04-28 10:39 (link)
	Особенно хорошо про Буша в конце - "See Also"... (Reply to this) (Thread)

	tiphareth 2005-04-28 10:49 (link)
	Еще вот прекрасное http://uncyclopedia.org/wiki/Russian_Ocean (Reply to this) (Parent) (Thread)

	magister_ 2005-04-28 11:04 (link)
	О! Спасибо! (Reply to this) (Parent)

ignat 2005-04-28 11:11 (link)

Теорема Тихонова равносильна аксиоме выбора (Кэли доказал). Не Кэли (Cayley), чьи октавы, а Келли (Kelley), чья "Общая топология". Оказывается, он хотел решить пятую проблему Гильберта (доказать, что топологическая группа, которая является многообразием, есть группа Ли). И фон Нойман, много общаясь с Хааром, эту проблему действительно решил. Всё-таки, пятую проблему Гильберта решили Монтгомери, Зиппин, Глисон и Ямабе, а не фон Нейман. "Такие дела", ага. (Reply to this) (Thread)

tiphareth 2005-04-28 14:42 (link)

Угу. Cayley - скорее Кэйли. И он умер лет за 60 до теоремы Тихонова. >Всё-таки, пятую проблему Гильберта решили Монтгомери, >Зиппин, Глисон и Ямабе, а не фон Нейман. Цитирую: Haar and von Neumann were in close contact at the time of this work, and a paper of von Neumann on Hilbert's Fifth Problem, "Die Einfuhrung analytischer Parameter in topologischen Gruppen" ([29], vol. 2, pp. 366-386) was submitted to the Annals the same day as Haar's paper and published right next to it. In it, von Neumann proves that every compact group which is topologically locally Euclidean is a Lie group, i.e., admits an analytic structure. From this and the Peter-Weyl Theorem, it follows that every compact group is an inverse limit of Lie groups. Такие дела Миша (Reply to this) (Parent) (Thread)

ignat 2005-04-29 09:51 (link)

Haar and von Neumann were in close contact at the time of this work, and a paper of von Neumann on Hilbert's Fifth Problem, "Die Einfuhrung analytischer Parameter in topologischen Gruppen" ([29], vol. 2, pp. 366-386) was submitted to the Annals the same day as Haar's paper and published right next to it. In it, von Neumann proves that every compact group which is topologically locally Euclidean is a Lie group, i.e., admits an analytic structure. From this and the Peter-Weyl Theorem, it follows that every compact group is an inverse limit of Lie groups. Процитировано верно, но источник врёт. Фон Нейман (в 1933-м, а не в 1929-м, как пишет ваш источник) решил пятую проблему Гильберта только для линейных групп. А для произвольных групп Ли это было сделано лишь в 1952-м году Монтгомери и Зиппином (основываясь на результатах Глисона о малых подгруппах и той самой работы фон Неймана). Можно посмотреть здесь: http://www.reed.edu/~wieting/essays/LieHilbert.pdf (пункты 12-13). А вот сканы нужных страниц реферативного журнала Zentralblatt: Про работу фон Неймана: http://www.emis.de/cgi-bin/Zarchive?an=0006.30003 Про работу Монтгомери и Зиппина: http://www.emis.de/cgi-bin/Zarchive?an=0049.30106 (Reply to this) (Parent)

	oblomov_jerusal 2005-04-28 12:13 (link)
	$[0, \infty[$ с первым несчетным (или любым терминальным несчетным) ординалом, с естественной топологией связного многообразия. Длинная прямая есть полугруппа, и порожденная Если взять не первый несчетный ($\Omega$) а больший, то это не будет многообразием т.к. в окрестности $(0, \Omega)$ не будет карты. Такие дела. (Reply to this) (Thread)

	oblomov_jerusal 2005-04-28 12:38 (link)
	да, и как в этом примере определяется групповая операция? Сложение ординалов ведь имеет всякие пакостные свойства вроде $1+\omega=\omega$ (Reply to this) (Parent) (Thread)

	tiphareth 2005-04-28 14:36 (link)
	Ну, по науке, видимо, надо взять соответствущее неархимедово поле, с бесконечно малыми, упорядоченными ординалом, и его аддитивную группу Такие дела Миша (Reply to this) (Parent) (Thread)

	marina_p 2005-04-29 08:19 (link)
	"неархимедово поле, с бесконечно малыми, упорядоченными ординалом" Это как? (Reply to this) (Parent) (Thread)

	tiphareth 2005-04-29 08:43 (link)
	Можно взять например упорядоченное поле $\R(\epsilon_i)$, где $\epslilon_i$ нумерованы ординалом, и каждый бесконечно малый по отношению к предыдущим. В общем, любая группа без счетной базы на бесконечности сгодится. Такие дела Миша (Reply to this) (Parent) (Thread)

marina_p 2005-04-29 22:16 (link)

Так при чем тут ординалы, я не понимаю? Вы ведь хотите пример группы, в которой мера Хаара определяется не единственным образом. Как нумерация этих $\epslilon_i$ ординалами поможет вам определить "необычную" меру на этой группе? Если вы хотите воспользоваться идеей из поста ("другая кладет каждому подмножеству, содержащемуся в замкнутом отрезке, ноль, а не содержащемуся в замкнутом отрезке - 1."), то: 1) для этой идеи не надо нумерации ординалами, достаточно взять группу, порожденную одной бесконечно малой, 2) эта идея вообще не задает конечно-аддитивную меру: чему будет равна мера объединения двух таких "больших" множеств? ;-) (Reply to this) (Parent) (Thread)

	tiphareth 2005-04-30 03:28 (link)
	>1) для этой идеи не надо нумерации ординалами, достаточно > взять группу, порожденную одной бесконечно малой, Не будет счетной аддитивности >эта идея вообще не задает конечно-аддитивную меру: чему >будет равна мера объединения двух таких "больших" >множеств? ;-) Они всегда пересекаются Такие дела Миша (Reply to this) (Parent) (Thread)

	marina_p 2005-04-30 03:54 (link)
	"Они всегда пересекаются" Ага, это я пропустила слова "сигма-алгебра, порожденная компактными подмножествами". С учетом этого замечания о компактности, конструкцию с бесконечно большими поняла (мера 1 у тех и только тех множеств, которые содержат окрестность бесконечности). (Reply to this) (Parent) (Thread)

marina_p 2005-04-30 04:06 (link)

Кстати. здесь тоже локальная коспактность сомнительна. Для любой окрестности нуля можно взять счетную убывающую последовательность положительных бесконечно малых в этой окрестности, и предельной точки у этой последовательности не будет, так как всегда есть бесконечно малая большего порядка, и соответственно окрестность нуля, не пересекающаяся с этой последовательностью. (Reply to this) (Parent) (Thread)

	tiphareth 2005-04-30 04:15 (link)
	Упорядоченная группа $R[x_1, x_2, ...]$, где $x_1$ пробегают первый несчетный ординал, локально изоморфна $\R$. Бесконечно малых, действительно, лучше не добавлять, хватит бесконечно больших. Такие дела Миша (Reply to this) (Parent) (Thread)

	marina_p 2005-04-30 04:26 (link)
	А что такое $R[x_1, x_2, ...]$? Я как-то не очень поняла. (Reply to this) (Parent) (Thread)

	tiphareth 2005-04-30 05:58 (link)
	Например, линейное пространство, порожденное этими векторами, наделенное естественным порядком. Или полиномы. (Reply to this) (Parent) (Thread)

marina_p 2005-04-30 06:22 (link)

Имеется в виду лексикографический порядок для линейного пространства? И база порождается отрезками, как вы писали? Но ведь тогда никакой отрезок, у концов которого различны координаты с бесконечным номером, не будет лежать в сигма-алгебре, порожденной компактными подмножествами. То есть достаточно взять ординалы не до первого несчетного, а все конечные + первый счетный, и получим то же самое. Для любого множества из сигма-алгебры, его проекция на прямую, соответствующую бесконечному ординалу, будет либо не более чем счетным, либо косчетным множеством (то есть эти проекции образуют сигма-алгебру, порожденную конечными множествами). Ну и определить двузначную меру через эту проекцию. Вроде бы это проще, чем несчетный ординал брать. (Reply to this) (Parent) (Thread)

tiphareth 2005-04-30 07:39 (link)

>Имеется в виду лексикографический порядок для линейного >пространства? Нам нужно построить групповую структуру на длинной прямой, то есть на произведении прямой и первого несчетного ординала. Проще всего это сделать так - породить свободную коммутативную группу $C$ первым ординалом и тензорно умножить на $\R$. Введем на $C$ топологию таким образом, что замкнуты только конечные подмножества. На $C\otimes \R$ определена топология произведения. Вот об этой топологической группе и идет речь. Борелевское подмножество $C\otimes \R$ есть счетное объединение борелевских подмножеств на каждой из прямых, либо дополнение к оному, и эти два класса не пересекаются, что и влечет аддитивность меры. Вместо этого можно рассматривать аналогичную меру на $C$. Она очевидно не пропорциональна дискретной мере. Это менее наглядно, конечно. >Но ведь тогда никакой отрезок, у концов которого различны >координаты с бесконечным номером, не будет лежать в >сигма-алгебре, порожденной компактными подмножествами. Счетное объединение компактов компактно => все прямые компактны, и их счетные объединения тоже. Такие дела Миша (Reply to this) (Parent) (Thread)

	marina_p 2005-04-30 07:48 (link)
	С двузначной мерой на $C$ понятно. А как вы определяете на $C$ другую меру, непропорциональную первой? Ведь речь же была о том, что мера в этой ситуации определяется не единственным образом. (Reply to this) (Parent) (Thread)

	tiphareth 2005-04-30 07:54 (link)
	Вторая - дискретная (число точек) (Reply to this) (Parent) (Thread)

	marina_p 2005-04-30 08:00 (link)
	Тогда опять же непонятно, зачем брать такой сложный пример (ординалы, свободная группа...). Мой пример с произвольной несчетной группой (например, R) с дискретной топологией вполне проходит. Две меры: двузначная и дискретная. (Reply to this) (Parent) (Thread)

	tiphareth 2005-04-30 08:22 (link)
	Da, tak luchshe, navernoe Takie dela Misha (Reply to this) (Parent)

	marina_p 2005-04-30 07:54 (link)
	"Счетное объединение компактов компактно" ??? (Reply to this) (Parent) (Thread)

	tiphareth 2005-04-30 07:55 (link)
	borelevskoe, pardon (Reply to this) (Parent)

marina_p 2005-04-30 06:34 (link)

И вообще, зачем такие сложности? "Пусть задана хаусдорфова, локально компактная топологическая группа. Алгебра борелевских множеств на топологическом пространстве это сигма-алгебра, порожденная компактными подмножествами." Берем R^2 с дискретной топологией -- и порядок!!! Одна мера -- 0/1 в зависимости от мощности проекции на одну ось, вторая -- на другую ось. :-))) (Reply to this) (Parent) (Thread)

	tiphareth 2005-04-30 07:22 (link)
	Это не аддитивная мера, увы. Потому что можно взять объединение двух непересекающихся несчетных, и его мера не может быть 1. (Reply to this) (Parent) (Thread)

	marina_p 2005-04-30 07:34 (link)
	В этой сигма-алгебре все несчетные косчетны, поэтому любые два несчетные пересекаются :-) (Reply to this) (Parent)

	marina_p 2005-04-30 07:38 (link)
	Хотя с проекциями не получится -- эти две меры совпадают на самом деле. А в вашем примере с бесконечномерным линейным пространством как вы вторую меру определяете? (Reply to this) (Parent)

	tiphareth 2005-04-28 14:38 (link)
	Да, конечно. Но то, что это группа Ли, никакой роли не играет, нам нужна только топология. Она, возможно, группой Ли и не будет (особенно если учесть, что полугруппа там действительно пакостная) Такие дела Миша (Reply to this) (Parent) (Thread)

	marina_p 2005-04-29 22:18 (link)
	"то, что это группа Ли, никакой роли не играет, нам нужна только топология" Как это не играет, когда это рассуждение приводится как пример неединственности меры Хаара? (Reply to this) (Parent) (Thread)

	tiphareth 2005-04-30 03:24 (link)
	Мера Хаара определена на любой топологической группе (Reply to this) (Parent) (Thread)

	marina_p 2005-04-30 03:33 (link)
	Вопрос же был: "как в этом примере определяется групповая операция? Сложение ординалов ведь имеет всякие пакостные свойства вроде $1+\omega=\omega$" На что вы сказали: "нам нужна только топология" (Reply to this) (Parent) (Thread)

	tiphareth 2005-04-30 03:47 (link)
	Топология на группе, не гладкая структура. Надо взять, например, $R[x_1, x_2, ...]$, где $x_1$ пробегают первый несчетный ординал), это будет линейно) упорядоченная группа, изоморфная (как упорядоченное пространство) двум копиям длинной прямой. Из порядка извлекается топология (баз порождается отрезками). Такие дела Миша (Reply to this) (Parent) (Thread)

	marina_p 2005-04-30 04:01 (link)
	А разве при этом получится локальная компактность? (Reply to this) (Parent)

	jodf 2005-04-28 14:17 (link)
	uncyclopedia.org - класс! (Reply to this)

	aspirantus 2005-04-28 22:41 (link)
	Миша, а что выы думаете по поводу Википедии? (Reply to this) (Thread)

	tiphareth 2005-04-29 04:12 (link)
	Очень полезная штука (это я об англоязычных википедиях). Полезных википедий на русском нет, кажется. Возможно будет. Такие дела Миша (Reply to this) (Parent)