\documentclass[12pt]{article}

\usepackage{theorem,amsmath,amssymb,russcorr,fancyheadings}

\newcommand{\version}{Миша Вербицкий, v. 2.1, 7.10.2006}

% CHANGELOG
% v. 1.0, 03.10.2006
% v. 1.1, 05.10.2006: две незначительные опечатки
% v. 2.0, 06.10.2006: добавлены кэлеровы дифференциалы,
% исправлены опечатки
% v. 2.1, 07.10.2006: текст v. 1.0 вычитан, исправлены опечатки

\input{listki-new.tex}

\begin{document}


\listok{1}{Теория Ходжа 1: Дифференциальные операторы}

Все кольца предполагаются коммутативными и с единицей,
если не оговорено иначе.


\subsection{Кольцо $C^\infty(M)$ и дифференциальная геометрия}

Пусть задано бесконечно-гладкое многообразие $M$.
$C^\infty(M)$ - это кольцо гладких вещественнозначных 
функций на $M$.

\определение
{\бф Идеалом} в 
кольце $R$ называется множество $I\subset
R$, замкнутое относительно сложения, и такое, что для
каждого $r\in R, a\in I$, произведение $ra$ лежит в $I$.
Факторгруппа $R/I$ наделяется естественной структурой
кольца. Идеал называется {\бф максимальным}, если
$R/I$ это поле. 
\ео

\определение
Пусть $S$ - набор элементов $R$.
Идеал вида $r_1 a_1 + r_2 a_2 + ...$,
где $r_i$ произвольны, а $a_i \in S$, называется
{\бф идеалом, порожденным $S$}. Если задан идеал 
$I\subset R$, {\бф $k$-й степенью $I$} называется идеал,
порожденный произведениями вида
 $f_1 f_2... f_k$, где $f_i$ лежат в $I$.
\ео

\замечание
Если $x\in M$, то идеал всех функций, зануляющихся в $x$,
очевидно, максимален. Этот идеал обозначается ${\goth m}_x$.
\еза


\задача \hfill \енум
\итем Пусть в кольце $C^\infty(M)$ задан идеал $I$.
Обозначим за $S(I)$ множество всех общих нулей $f\in I$.
Найдите нетривиальный идеал, для которого $S(I)$ пусто.

\итем Докажите, что подобного не бывает, если $M$
компактно.
\ee\ез

\указание
Если $f_1, ... f_n$ - функции, не имеющие общих нулей,
то функция $\sum f_i^2$ обратима.
\еу

\задача[!]
Выведите из этого, что максимальный идеал в кольце $C^\infty(M)$
имеет вид ${\goth m}_x$. 
\ез

\задача Пусть $I\subset C^\infty(M)$ - максимальный
идеал, а $M$ не компактно. Докажите, что
$I$ не обязательно имеет вид ${\goth m}_x$. 
\енум \итем[*]
Может ли фактор $C^\infty(M)/I$ быть изоморфен $\C$?
\итем[**]
Заметим, что $I$ и $C^\infty(M)/I$ - векторные
пространства над $\R$.
Может ли фактор $C^\infty(M)/I$ быть одномерен над $\R$?
\ее
\ез




\определение
{\бф Модуль над кольцом $R$} - это абелева группа $A$,
наделенная отображением $R\times A\arrow A$ (называется
"умножение на элементы $R$"), и удовлетворяющая аксиомам

\hfill

{\бф 1} Ассоциативность умножения: $r_1 (r_2 a)= r_1r_2 a$

{\бф 2} Дистрибутивность:  $(r_1+r_2) a = r_1a+ r_2 a$, \
\ \ 
$r (a_1+a_2) = ra_1 + r a_2$.

\hfill

На модулях естественно определена операция {\бф прямой
суммы}: если $A, B$ - модули над $R$, то $A\times B$ тоже 
наделено структурой модуля, обозначаемого $A \oplus B$.
Само кольцо $R$ является модулем над собой. 
Прямая сумма $R$ с собой $n$ раз называется
{\бф свободным модулем}, и обозначается за $R^n$.
\ео

\определение
Модуль $A$ над кольцом $R$ называется {\бф конечно
порожденным}, если существует набор элементов 
$a_1, ... a_n \in A$ (называемых "образующими")
таких, что любой $a\in A$ представляется в виде
$\sum r_i a_i$, для каких-то $r\in \in R$.
\ео

\задача  \hfill
\енум
\итем 
Докажите, что идеал в кольце $R$ является модулем над $R$.

\итем[!]
Приведите пример идеала в $C^{\infty}(M)$, который не
конечно порожден.
\ee\ез

\указание
Пусть $x\in M$ - точка. Рассмотрите идеал функций,
зануляющихся в некоторой окрестности $x$.
\еу


\определение 
Модуль $A$ над кольцом $R$ называется
{\бф проективным}, если он является прямым
слагаемым свободного, т.е. если $A\oplus B$ свободен
для какого-то модуля $B$.
\ео

\задача[*] Пусть $F$ - гладкое векторное расслоение над
компактным многообразием $M$. Докажите, что существует
расслоение $F_1$ такое, что $F\oplus F_1$ тривиально.
\ез

\задача[*]
Пусть $F$ - гладкое векторное расслоение над
компактным многообразием $M$. Рассмотрим множество
гладких сечений $F$ как $C^\infty(M)$-модуль
(мы обозначаем его как $F$). Докажите,
что этот модуль проективный. Докажите, что
любой проективный модуль получается таким образом.
\ез


\subsection{Векторные поля и дифференцирования}

\определение 
Пусть $R$ - кольцо над полем $k$. $k$-линейное
отображение $D$ из кольца $R$ в $R$-модуль (например, в $R$)
называется {\бф дифференцированием}, если оно
удовлетворяет правилу Лейбница:
\[
D(xy) = y D(x) + x D(y)
\]
Очевидно, любое векторное поле задает дифференцирование
на кольце $C^\infty(M)$.
\ео

\определение 
Рассмотрим свободный $R$-модуль $\goth D$, порожденный
символами вида $d(a)$, $a\in R$ (иначе говоря, $\goth D$ есть 
прямая сумма $R$ с собой $|R|$ раз). Рассмотрим подмодуль
${\goth D}_1\subset R$, порожденныый векторами вида
$d\kappa=0$, $\kappa\in k$, и $d(ab)-bd(a)-ad(b)$.
Фактор ${\goth D}/{\goth D}_1$ называется 
{\бф пространством кэлеровых дифференциалов},
и обозначается $\Omega^1_k R$.
\ео

\задача
Докажите, что естественное отображение $a\arrow d(a)$
задает дифференцирование $R \stackrel d \arrow \Omega^1_k R$.
\ез

\замечание
В алгебраической геометрии, кокасательное расслоение 
определяется как $\Omega^1_k R$. В этом случае
оператор $d$ превращается в дифференциал де Рама.
\еза


\задача[!]
Пусть задано дифференцирование
$R\stackrel D\arrow A$ со значениями в $R$-модуле $A$.
Докажите, что существует гомоморфизм $R$-модулей 
$\Omega^1_k R\stackrel \phi\arrow  A$ такой, что
$D= d\circ \phi$. Докажите, что этот гомоморфизм
определен однозначно.
\ез

\замечание
Это свойство называется {\бф универсальное свойство
кэлеровых дифференциалов}. Благодаря универсальному
свойству кэлеровых дифференциалов, можно классифицировать
дифференцирования со значениями в $A$: пространство
таких дифференцирований изоморфно $\Hom_R (\Omega^1_k R, A)$.
\еза

\задача[!]
Пусть $R= k[t_1, ..., t_n]$ - кольцо полиномов над полем
характеристики ноль. 
\енум\итем
Докажите, что $\Omega^1_k R$ -
свободный модуль, порожденный \[ d t_1, dt_2, ..., dt_n.\]
\итем Выведите из этого, что пространство дифференцирований\\
$\Der_k(R,R)$ - свободный $n$-мерный модуль, порожденный
$\frac d {dt_i}$.
\ее
\ез


\задача
Пусть $R$ - поле, содержащее поле $k$ характеристики $0$. 
\енум
\итем[*]
Докажите, что $\Der_k(R,R)$ равно нулю, если $R$
конечномерно как векторное пространство над $k$.
\итем[**]
Докажите, что $\Der_{\Q}(\C, \C)$ не равно нулю.
\ее
\ез


\задача
Пусть ${\goth m}_x$ - идеал всех функций из $C^\infty M$, зануляющихся в
$x\in M$. 
 Докажите, что ${\goth m}_x^2/{\goth m}_x$ изоморфно
кокасательному пространству
$T^*_xM$. 
\ез

\задача
Пусть $D:\; C^\infty M \arrow C^\infty M$ -
дифференцирование. Докажите, что $D$ переводит 
${\goth m}_x^i$  в ${\goth m}_x^{i-1}$.
\ез

\задача
\hfill\енум
\итем Из предыдущей задачи выведите, что
$D$ задает линейное 
отображение $T^*_xM \stackrel {D_x} \arrow \R$ для любой точки
$x\in M$ (то есть вектор в $T_xM$).

\итем [!] Предположим, что $D$ задано векторным полем $v\in TM$.
Докажите, что $D_x(\iota) = (v, \iota)$ для любого
$\iota \in T^*_xM$.
\ee\ез

\задача 
\hfill\енум
\итем[!] Пусть задано дифференцирование 
\[ D:\; C^\infty M
\arrow C^\infty M.\] Рассмотрим связанные с ним отображения
\[ T^*_xM \stackrel {D_x} \arrow \R\] как вектора 
$D_x\in T_x M$. 
Докажите, что $D_x$ гладко зависит от $x\in M$
(и таким образом склеиваются в векторное поле 
$\check D\in TM$).

\итем[!] Докажите, что $D(f)= \check D(f)$.
\ee\ез

\замечание Мы получили, что дифференцирования
\[ C^\infty M \arrow C^\infty M\] взаимно однозначно
соответствуют векторным полям на $M$.
\еза

\задача
\hfill\енум
\итем Рассмотрим оператор де Рама 
$d:\; C^\infty M \arrow Т^* M$. Докажите, 
что это дифференцирование.
\итем[!] По универсальному свойству кэлеровых
дифференциалов, это дает морфизм $C^\infty M$-модулей
$\Omega^1_\R(C^\infty M) \arrow  Т^* M$.
Докажите, что это изоморфизм.
\ее
\ез

\задача[*] Пусть $M$ компактно. Докажите, что
дифференцирования $C^\infty M \stackrel D \arrow \R$
взаимно однозначно соответствуют векторам $v\in TxM$.
\ез

\задача[*]  Пусть $M=\R$ -- это вещественная прямая,
а $I$ -- максимальный идеал в $C^\infty M$,
не имеющий вида ${\goth m}_x$ для какой-то точки $x\in M$.
Постройте дифференцирование 
$C^\infty M \stackrel D \arrow k$ со значением в поле $k=C^\infty/I$.
\ез


\subsection{Дифференциальные операторы}

\определение
Пусть $R$ - кольцо над полем $k$. {\bf Дифференциальный оператор
порядка $0$} --- это отображение $R\stackrel v \arrow R$, которое
$R$-линейно, то есть переводит $r\in R$ в $v(1)r$.
Множество таких операторов обозначается $\Diff^0(R)$.
Дифференциальный оператор порядка $i>0$ определяется
индуктивно, в терминах дифференциальных операторов
порядка $i-1$. А именно, считается, что $k$-линейное отображение 
$a\in \Diff^i(R)$, если для любого $v\in \Diff^0(R)$,
коммутатор $[a, v]$ лежит в $\Diff^{i-1}(R)$.
Мы имеем цепочку вложений
\[
\Diff^0(R)\subset \Diff^1(R) \subset \Diff^2(R) \subset ...
\]
Объединение всех $\Diff^i(R)$ называется {\бф множеством
дифференциальных операторов}. Как мы увидим немного
погодя, $\Diff^*(R)$ образует алгебру (некоммутативное, 
ассоциативное кольцо с единицей). Дифференциальные
операторы на кольце $C^\infty M$ называются
{\бф дифференциальными операторами на $М$},
и обозначаются $\Diff^*(M)$.
\ео

\задача\label{_filtra_diffe_Zadacha_}
Пусть $D^i \in \Diff^i(R)$, $D^j \in \Diff^j(R)$ -
дифференциальные операторы. Докажите, что их композиция
$D^i D^j$ лежит в $\Diff^{i+j}(R)$. 
\ез

\указание
Воспользуйтесь индукцией и тождеством
\[
[ v, D^i D^j] = [v, D^i] D^j + D^i [v, D^j]
\]
\eu


\задача\label{_filtra_commu_Zadacha_}
Пусть $D^i \in \Diff^i(R)$, $D^j \in \Diff^j(R)$ -
дифференциальные операторы. Докажите, что их коммутатор
$[D^i, D^j]$ лежит в $\Diff^{i+j-1}(R)$. 
\ез

\указание
Воспользуйтесь индукцией и тождеством Якоби:
\[
[ v, [D^i D^j]] = [[v, D^i], D^j] + [D^i, [v, D^j]].
\]
\еу

\определение
Пусть $A$ - ассоциативная алгебра над полем, а 
\[
А_0\subset A_1 \subset ...
\]
набор вложенных подпространств, таких, что $A= \bigcup_i A_i$.
Этот набор подпространств называется {\бф фильтрацией},
если $A_i A_j \subset A_{i+j}$.
Из задачи \ref{_filtra_diffe_Zadacha_} 
ясно, что дифференциальные операторы образуют
алгебру с фильтрацией.
\ео

\задача
Пусть $A= \bigcup_i A_i$ - алгебра с фильтрацией.
Рассмотрим пространство $\bigoplus_i A_i/A_{i-1}$.
Определим умножение на $\bigoplus_i A_i/A_{i-1}$
таким образом, чтобы произведение классов
$a \mod A_{i-1}$ и $b \mod A_{j-1}$ давало
$ab \mod A_{i+j-1}$. Докажите, что это
определение корректно.
\ез

\определение 
Алгебра $\bigoplus_i A_i/A_{i-1}$
называется {\бф присоединенной градуированной алгеброй}
алгебры с фильтрацией.
\ео

\задача 
Рассмотрим алгебру $\Diff^*(R)$ с фильтрацией 
\[ \Diff^0(R)\subset \Diff^1(R) \subset \Diff^2(R) \subset ...
\] 
Докажите, что ее присоединенная градуированная алгебра коммутативна.
\ез

\указание 
Воспользуйтесь задачей \ref{_filtra_commu_Zadacha_}.
\еу

\задача 
\hfill\енум
\итем Пусть $D\in \Diff^1(R)$ - дифференциальный оператор первого
порядка. Докажите, что $D- D(1)$ - дифференцирование $R$.
\итем[!] Выведите из этого, что $\Diff^1(R)/\Diff^0(R)$ 
изоморфно пространству дифференцирований $R$.
\ee\ез

\замечание
Из этого следует, что для $R= C^\infty(M)$, 
$\Diff^1(R)/\Diff^0(R)$ изоморфно пространству векторных полей.
\еза

\задача\label{_dlya_k[t]_Zadacha_}
\hfill\енум
\итем Пусть $R= k[t]$ - алгебра полиномов над
полем $k$ характеристики 0, а $D\in \Diff^k(R)$ - дифференциальный
оператор порядка $k$. Докажите, что $D$ однозначно определяется
своим ограничением на полиномы степени $\leq k$.
\итем[*] Верно ли это в характеристике $p$?
\итем[*] Докажите, что $\Diff^k(R)$ - свободный $k[t]$-модуль,
с образующими \hfill $\tau_0, \tau_1, ... \tau_k$, причем
$\tau_i$ переводит все $1, t, t^2, t^3, ... t^k$,
кроме $t^i$, в ноль, а $t^i$ в 1.
\итем[*] Докажите, что алгебра $\Diff^*(R)$ порождена
двумя образующими $t$ и $\frac d {dt}$, с единственным
соотношением $[t, \frac d {dt}] =1$.
\ee\ез

\указание 
Воспользуйтесь индукцией
\еу

\задача[!]
Пусть $I\subset R$ - идеал, а $D\in \Diff^k(R)$ - дифференциальный
оператор порядка $k$. Докажите, что $D(I^{k+1}) \subset I$.
\ез

\указание 
Воспользуйтесь индукцией.
\еу

\определение Пусть $f\in C^{\infty}M$ - гладкая функция на $M$.
{\бф Носитель} $f$ (обозначается $\Sup f$) - это 
множество всех $x\in M$ таких, что
ограничение $f\restrict U$ - ненулевая функция для любой
окрестности $U\ni x$. Иначе говоря, $x\notin \Sup f$ 
тогда и только тогда, когда $f=0$ тождественно в некоторой
окрестности $x$.
\ео

\задача
Докажите, что носитель любой функции замкнут. 
\ез

\задача
Докажите, что $\Sup fg = \Sup f \cap \Sup g$.
Докaжите, что \[ \Sup f+g \subset \Sup f \cup \Sup g.\]
\ез

\определение
Пусть $f, g\in C^\infty M$ - две функции.
Мы говорим, что $f$ {\бф делится на $g$}, если
$f = g f'$ для другой функции $f'\in C^\infty M$.
\ео

\задача 
Пусть $U\subset M$ открытое подмножество 
с гладкой границей, а $\bar U$ - ее замыкание. 
\hfill\енум
\итем[!] Докажите, что существует функция $h_U\in C^\infty M$,
с носителем в $\bar U$,
такая, что для любой $f\in C^\infty M$, с носителем
$\Sup f \subset \bar U$, $f$ делится на $h_U$.
\итем Докажите, что носитель $f$ содержится в
$\bar U$ тогда и только тогда, когда $f$ делится на $h_U$.
\ee\ез

\задача 
\hfill\енум
\итем В условиях предыдущей задачи, пусть
$D\in \Diff^i(M)$ - дифференциальный оператор.
Докажите, что $D(h_U^{i+1} f)$ имеет носитель в $\bar U$.
\итем[!] Докажите, что $\Sup D(f)\subset \bar U$,
 если $\Sup f\subset \bar U$.
\ee\ез

\задача[!]
Пусть $D \in \Diff^i(M)$ - дифференциальный 
оператор, $f\in C^\infty M$ - любая функция.
Докажите, что $\Sup D(f) \subset \Sup f$.
\ез

\замечание Свойство 
\[ \Sup D(f) \subset \Sup f\]
называется {\бф локальностью} дифференциального оператора $D$.
\еза


\subsection{Кольцо символов дифференциальных операторов}

\определение Пусть $R$ - кольцо, 
$\Diff^*(R)$ - алгебра дифференциальных операторов, 
$\oplus S^i \bigoplus_i \Diff^i(R)/\Diff^{i-1}(R)$ - присоединенное
градуированное кольцо. Это кольцо называется
{\бф кольцом символов дифференциальных операторов}.
Его нулевая компонента $S^0$ отождествляется с $R$,
таким образом, кольцо символов является $R$-алгеброй.
\ео

\определение
{\бф Тензорное произведение} $A\otimes_R B$ модулей $A$ и
$B$ над $R$ ---
это факторгруппа абелевой группы, свободно порожденной 
парами вида $a\otimes b$ для всех $a\in A, b\in B$, 
по соотношениям вида $r a \otimes b - a \otimes r b$, 
где $r\in R$.
Тензорное произведение $R$-модулей это снова $R$-модуль.
{\бф Симметрическая степень} $\Sym^i_{R} A$ 
это множество всех 
\[ x\in \underbrace{A\otimes A \otimes ... A}_{\text{$i$ раз}}\]
инвариантных относительно естественного действия  
сим\-мет\-ри\-чес\-кой \\ груп\-пы. Прямая сумма $\bigoplus_i \Sym^i_{R} A$ наделена
естественной структурой коммутативного кольца.
\ео

\задача 
Пусть заданы векторные расслоения над $M$, а $F$, $G$ их
пространства гладких сечений, рассмотренные как 
$C^\infty M$-модули. Докажите, что пространство
сечений их тензорного произведения это $F\otimes_{C^\infty M}G$.
Докажите, что пространство сечений симметрической степени $F$
это $\Sym^i_{C^\infty M} F$
\ез

\задача[!]
Пусть $\bigoplus_i L^i $ - коммутативная, 
градуированная \hfill $R$-алгебра, где $L^0=R$. Докажите,
что тождественное отображение \\ $L^1 \arrow L^1$
продолжается до гомоморфизма алгебр
\[
\bigoplus_i \Sym^i_{R} (L^1) \arrow \bigoplus_i L^i.
\]
\ез

\замечание Это свойство часто выражают словами 
{\ит "алгебра \\ $\bigoplus_i \Sym^i_{R} (L^1)$
является свободной коммутативной алгеброй, натянутой на $L^1$".}
\еза

\задача \label{_Symb_homo_Zadacha_}
Обозначим за $\Der(R)$ пространство дифференцирований $R$,
наделенное естественной структурой $R$-модуля. 
Постройте гомоморфизм колец
\[
\bigoplus_i \Sym^i_{R} (\Der(R)) \arrow \bigoplus_i S^i,
\]
тождественный на $\Der(R)$.
\ез

\задача[*]
Докажите, что гомоморфизм 
\[
\bigoplus_i \Sym^i_{R} (\Der(R)) \arrow \bigoplus_i S^i,
\]
изоморфизм для $R= k[t]$
\ез

\указание
Воспользуйтесь задачей \ref{_dlya_k[t]_Zadacha_}
\еу


\subsection{Кольцо символов дифференциальных операторов на
многообразии}

\задача
\hfill\енум
\итем
Пусть $R= C^\infty M$. Докажите, что 
$\Sym^i_{R} (\Der(R))$ изоморфно пространству однородных
полиномов степени $i$ на $T^*M$.
\итем
Выведите из этого, что алгебра 
$\bigoplus_i \Sym^i_{R} (\Der(R))$ это алгебра гладких функций
на тотальном пространстве расслоения $T^*M$,
полиномиальных на слоях этого расслоения. 
\ee\ез

\указание
Воспользуйтесь изоморфизмом $\Der R \cong T M$.
\еу 

\задача[!]
Пусть $x\in M$ - любая точка. 
Докажите, что пространство ${\goth m}_x^i/{\goth m}_x^{i+1}$
изоморфно симметрической степени $\Sym^i T^*_xM$.
\ез

\задача 
Пусть $D\in \Diff^i ( M)$ - дифференциальный 
оператор порядка $\leq i$. 
\hfill\енум
\итем Докажите, что $D$ переводит
${\goth m}_x^{i+1}$ в ${\goth m}_x$, и таким образом 
задает отображение $\Sym^i T^*_xM\arrow \R$, то есть
элемент в $\Sym^i T_xM$.
\итем Докажите, что это отображение зануляется
на \[ \Diff^{i-1} (M)\subset \Diff^i (M).\]
\итем[!] Докажите, что таким образом, для каждой точки
$x\in M$, возникает гомоморфизм алгебр
$\bigoplus S^i \stackrel {\Psi_x} \arrow \bigoplus \Sym^i T_xM$.
\итем[!] Докажите, что $\Psi_x S^i$ гладко зависит от $x$
\ee\ез

\замечание 
Эта конструкция задает гомоморфизм алгебр
\begin{equation}\label{_symbols_inverse_Equation_}
\bigoplus_i S^i \stackrel \Psi\arrow \bigoplus_i \Sym^i ТМ
\end{equation}
\еза

\задача[!]
Пусть $v = \Phi(u) \in \bigoplus S^i$ лежит в образе гомоморфизма
\begin{equation}\label{_symbols_Equation_}
\bigoplus_i \Sym^i ТМ \stackrel \Phi \arrow \bigoplus_i S^i,
\end{equation}
построенного в задаче \ref{_Symb_homo_Zadacha_}.
Докажите, что $\Psi (v) = u$.
\ез 

\замечание 
Мы получили, что $\Psi \circ \Phi = \Id$.
\еза

\задача  \hfill\енум
\итем  Пусть $D\in \Diff^i(M)$ - такой дифференциальный
оператор, что \[ D({\goth m}_x^i)\subset {\goth m}_x\]  для любой точки $x$.
Докажите, для любого $f\in \Diff^0(M)$, коммутатор $[D,f]$ 
переводит $D({\goth m}_x^{i-1})$ в ${\goth m}_x$.

\итем Воспользовавшись индукцией, 
выведите из этого, что $D$ лежит в 
\[ \Diff^{i-1}(M). \]
\ee\ез

\задача[!] Докажите, что отображение 
$\bigoplus_i S^i \stackrel \Psi\arrow \bigoplus_i \Sym^i ТМ$ не имеет ядра.
\ез

\указание Воспользуйтесь предыдущей задачей
\еу

\задача[!]
Докажите, что отображение \eqref{_symbols_Equation_} - изоморфизм.
\ез

\задача[**]
Может ли случиться, что алгебра $\Diff^*(R)$  не порождена
$\Diff^1(R)$?
\ез

\задача[*] 
Пусть $R= k[t_1, .. t_n]$ - кольцо полиномов.
Докажите, что алгебра $\Diff^*(R)$ порождена образующими
$t_1, t_2, ... t_n, \frac d {dt_1}, \frac d {dt_2}, ... \frac d {dt_n}$,
с соотношениями
\begin{align*}
\  & [ t_i, t_j] =0, \ \ [\frac d {dt_i}, \frac d {dt_j}]=0, 
\ \ \ \ \text{($i$, $j$ - любые)}\\ 
\  & [t_i, \frac d {dt_i}] =1,  \ \ 
 [\frac d {dt_i}, \frac d {dt_j}]=0\ \ \ \  \text{($i\neq j$)}
\end{align*}
\ез

\end{document}