\documentclass[12pt]{article}

\usepackage{theorem,amsmath,amssymb,russcorr,fancyheadings}

\newcommand{\version}{���� ���������, v. 1.1, 7.10.2006}

% CHANGELOG
% v. 1.0, 5.10.2006
% v. 1.1, 7.10.2006: ����� �������, ���������� ��������,
% ��������� ��������� �����


\input{listki-new.tex}

\begin{document}


\listok{2}{������ ����� 2: ������������� ���������}

��� ������ �������������� �������������� � � ��������,
���� �� ��������� �����.


\subsection{���������������� ��������� � �������������� �
  ������}

\�����������
����� $A, B$ - ������ ��� ������� $R$, ������� ����������
��� ����� $k$.
������������ $\Diff^i(A,B)$ ���������������� ���������� 
������� $i$ ������������ ����������.

���������������� ��������� �������� ������� 
$\Diff^0(A,B)$ - ��� $R$-�������� ����������� 
�� $A$ � $B$. $k$-�������� ����������� $D:\; A \arrow B$ ����� �
$\Diff^i(A,B)$, ���� ��� ������ $r\in R$, ����������
\[
[D, r](a) = D(ra) - r D(a) 
\]
����� � $\Diff^{i-1}(A,B)$.
\��

\������
����� $A, B, C$ -- $R$-������, � 
 $D_1:\ A \arrow B$, $D_2:\; B \arrow C$ -
���������������� ��������� ������� $i$, $j$. ��������, ���
���������� $D_1D_2$ - ���������������� �������� �������
$i+j$.
\��

\������ 
����� $R$ -- ������ ��������� $k[t]$,
� $B$ - $R$-������, ���������� ��� ���������
������������ ��� $k$, � ����������, ������������
����������� $t R=0$. ��������, ��� 
$\Diff^i(R, B)$ - ��� ������������
���� $k$-�������� ����������� �� $k[t]$ 
� $k$, ������� ��������� $t^{i+j}$ � 0, 
��� ���� $j>0$.
\��

\������[*]
����� $R$ ��� ������ ��������� $k[t]$, � $A$ � $B$ -
$R$-������, ������������� ��� $k$. ��������, ���
$\Diff^*(A, B)$ - ��� ������������ ���� $k$-��������
����������� �� $A$ � $B$.
\��

\������
���������� ������������ ���� ���������������� ����������
$\Diff^*(A,B)$ ��� ������������ � �����������, � �����
$S^i(A, B):= \Diff^i(A,B)/\Diff^{i-1}(A,B)$ -
�������������� ��������������� ����������. 
���������� �� ������������ $\oplus_i S^i(A, B)$
������������ ��������� ������ ��� �������� $\oplus_i S^i$
�������� ���������������� ����������.
\��

\�����������
������������
$\oplus_i S^i(A, B)$ ���������� \\ {\�� ������������� ��������
���������������� ����������, ����������� �� $A$ � $B$}.
\��

\������[!] ����� $M$ - ������� ������������, �� ������� ������
��� ������������� ��������� ����������, � $F$ � $G$ -
������������ �� �������. ��������, ��� ����������������
��������� �� $F$ � $G$ {\�� ��������}: ���� 
$f\in F$ ������� � ��������� � $K\subset M$, ��
�������� $D(f)$ ���� ���������� � $K$, ��� ������
$D\in \Diff^i(F, G)$.
\��

\������[!]
� �������� ���������� ������,
 ��������, ��� 
\begin{equation}\label{_Symb_from_F_to_G_Equation_}
\oplus_i S^i(F, G)\cong \Sym^i TM \otimes
\Hom_{C^\infty M}(F, G),
\end{equation}
��� $\Hom_{C^\infty M}(F, G)$ - ������������ �������
���������� ������������� �� $F$ � $G$ (�����
��������������).
\��

\�������� 
�������� ���� ���� ��� ������, ����� ���������� $F$ � $G$
����������, � �� ������������ ������� ��������� ���������
������� ���� $C^\infty M^n$.
���� �� ������ ��������, ��� $F$ � $G$ - ������ ���������
��������� �������, �������� ����������
\eqref{_Symb_from_F_to_G_Equation_} �� ����, ��� ��
����������� ��� ����������� ����������. ���� �� �� ������
������������ ���� ������, ��������
\eqref{_Symb_from_F_to_G_Equation_}
 �� ����������� ���������������� ����������.
\��

\������[*] ����� $x\in M$ �����, � ${\goth m}_x$ - ��
������������ �����. �������� �� ����������
\eqref{_Symb_from_F_to_G_Equation_} � ������
$F= C^\infty M$, $G= C^\infty M/{\goth m}_x$?
� � ������ $G=C^\infty M$, $F=  C^\infty M/{\goth m}_x$?
\��

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{������������� ���������}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\�����������
����� $F$, $G$ - ��������� ���������� ��� �������
������������� $M$, � $D\in \Diff^i(F,G)$ -
���������������� �������� ������� $i$ 
(�������� ��������� ����, �� ����������
������������ ������� ��� �� ����� ������, ��� 
� ����������). ��������� �� $\Symb(D)$ �����
$D$ � 
\[
S^i(F,G):= \Diff^i(F,G)/\Diff^{i-1}(F,G)
\]
���������������� ������������
\eqref{_Symb_from_F_to_G_Equation_},
�� ����� ������� $\Symb(D)$ �������� 
���������� $\Sym^i TM \otimes\Hom (F, G)$ 
(�������� $\Sym^i TM$ �� ���������� $i$-�
�������������� ������� $TM$).
\�� 

\������[!]\label{_kompozi_elli_Zadacha_}
����� $D_1:\ F \arrow G$, $D_2:\; G \arrow H$ -
���������������� ���������. ��������� ������
���������� $D_1D_2$. ��������, ��� $D_1D_2$
 �������� �������������
����� � ������ �����, ����� ����������
��� ��������� $D_1$ � $D_2$.
\��


\�����������
����� $F$, $G$ - $n$-������ ��������� ���������� ��� �������
������������� $M$, $D\in \Diff^i(F,G)$ ����������������
�������� ������� $i$, � 
$\Symb(D)\in \Sym^i TM \otimes\Hom (F, G)$ - ��� ������. 
���������� $\Symb(D)$ ��� $\Hom (F, G)$-������� �������
�� ������������� ������������ $T^* M$, �������������� 
�� ����� �������� $T^*M \stackrel \pi \arrow M$, �� ���� ��� �������
$s_D\in \pi^* \Hom (F, G)$. ����� $Z\subset T^*M $ -
��������� ���� $x\in T^*M$ �����, ��� �����������
\[ 
  s_D\restrict x\in \Hom (F, G)\in
  \Hom(F\restrict{\pi(x)}, G\restrict{\pi(x)})
\]
������������. �������� $D$ ���������� {\�� �������������},
���� �������� $\pi:\; Z \arrow M$ ����� ���������� ����.
\��

\������
����� $M= \R^n$, � 
$\Delta:\; C^\infty M \arrow C^\infty M$ - 
{\�� ������������ �������� �������}, �������� ��������
\[
\Delta(f) = \sum_i \frac{d^2f}{dx_i^2}
\]
��� $x_i$ -- ����������� ���������� �� $\R^n$.
������� ������ $\Delta$. ��������, ��� �� ����������.
\��

\������[!] ����� $P$ - ���������� ������� ������� $i$ ��
���������� $\frac d {dx_i}$, $i = 1, ... n$.
���������� $P$ ��� ���������������� �������� �� $\R^n$.
��������, ��� ������ ����� ����������������� ��������� ����� $P$.
\��

\������ 
���������� ������������ �� ���� 
$d:\;C^\infty M\arrow \Lambda^1 M$. ������� ��� ������.
\��

\��������� 
�� ���������� ���������������� $i$-����� ������� \\ $\Lambda^i(M)$.
\���

\�����������
����� $B$ - ������� ���������� ��� $M$,
� \[ \nabla:\; B \arrow B \otimes \Lambda^1 M \] 
-- ��������, ��������������� �����������
\[
\nabla(fb) = b \otimes df + f \nabla b,
\]
��� ����� ������� $f\in C^\infty M$. 
����� $\nabla$ ���������� {\�� ����������} �� ���������� $B$.
\��

\������[!]
������� ������ ���������. ��������, ��� �� �� �������
�� ������ $\nabla$. �������� ������ ��������� ����� ������
������������� �� ����.
\��

\�����������
��������� �� $TM$ ���������� {\�� ���������� �� ������������ $M$}.
���� ������ ��������� $\nabla$ �� $TM$, ��������� �������� ��������, �����
������ ��������� �� ���� ��������� ����������� �� $TM$, � ���������
$\Lambda^i M$ � $\Lambda^1M \otimes \Lambda^1M\otimes ...$ ��� ���������
������������ ��� �� ������ $\nabla$.
\��

\������
����� �� ���������� $B$ ������ ��������� $\nabla_0$, � �� ������������
$M$ ������ ��������� $\nabla$. ��������� ���������
\begin{equation}\label{_nabla_i_Equation_}
\nabla_i\; 
B\otimes  \underbrace{\Lambda^1M\otimes ...}_\text{{$i$ ���}}\arrow
B\otimes  \underbrace{\Lambda^1M\otimes ...}_\text{{$i+1$ ���}}
\end{equation}
�� ������� ��������:
\[
\nabla_i(b \otimes \xi_1 \otimes ... \otimes \xi_i) =
\nabla_{i-1}(b \otimes \xi_1 \otimes ... \otimes \xi_{i-1}) \otimes \xi_i+
b \otimes \xi_1 \otimes ... \otimes \xi_{i-1} \otimes \nabla \xi_i.
\]
��������� �� 
\[
\nabla^i:\; B \arrow 
B\otimes \underbrace{\Lambda^1M\otimes ...}_\text{$i$ ���}
\]
���������� $\nabla_0 \circ \nabla_1 \circ ... \circ \nabla_{i}$.
���� �������� ����������
{\�� $i$-� ������� ���������}.
\����
\���� ��������, ��� $\nabla^i$ - ����������������
�������� ������� $i$. 
\���� ��������, ��� ������ $\nabla^2$, �������������, ��� �������
\[
\Sym^2 TM \otimes \Hom (B, B\otimes \Lambda^1M\otimes\Lambda^1M)
\]
����������� �� ������������� ��������� ������������
$\Lambda^1M\otimes\Lambda^1M$.
\����[*] ����� $S$ - ������ $\nabla^i$, 
\[
S\in \Sym^2 TM \otimes \Hom \bigg (B, B\otimes 
\underbrace{\Lambda^1M\otimes ...}_\text{$i$ ���}\bigg)
\]
��������, ��� $S$ ����������� �� ������������� ������������
$\Lambda^1M\otimes\Lambda^1M\otimes ...$
\��
\��


\������[!]
����� 
\[ \underbrace{\Lambda^1M\otimes ...}_\text{$i$ ���}\stackrel \Psi\arrow C^\infty M 
\]
- $C^\infty M$-�������� �����������, � $P$ - ��� �������������,
������������� ��� ������� � $\Sym^i TM$. ���������� ����������
$B$ �� ����������, � �����
\[
\nabla^i:\; B \arrow 
B\otimes \underbrace{\Lambda^1M\otimes ...}_\text{$i$ ���}
\]
�� $i$-� �������. ���������� ���������� 
\[ \nabla^i\circ \left( \Id_B \otimes \Psi\right):\; B \arrow B
\]
��������, ��� ������ $\nabla^i\circ \left(\Id_B \otimes \Psi\right)$
����� $P \otimes \Id_B$.
\��

\������
����� $M$ - �������� ������������, � 
\[ \Psi:\; 
  \Lambda^1 M \otimes \Lambda^1 M\arrow C^\infty M
\] 
-- ����������� ������.
���������� ���������������� ��������
$\nabla^i\circ (- \Id_B \otimes \Psi):\; B \arrow B$, �����������
��� ����. ��������, ��� �� ����������.
\��

\�����������
���� �������� ���������� {\�� ������ �������� �������}
�� $B$.
\��

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{������ �������� �������}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

������ � �� ����� ����� ������, $M$ - ���������������
$n$-������ �������� ������������, ���������� ���������� 
����-������. ����������� ������ �� $M$ ����������
������� �� ���������� $\Lambda^nM$ ���� ������.
������������� ������� $\Lambda^nM$ ����� 1 
���������� {\�� ����� �������� ������ $M$},
��� ���������� ������������ �������� � �����������.
�� ���������� ������� ����� �� $\Vol M$.

\������
����� $v$ - ��������� ���� �� $M$, � $\psi$ - �������, ���������� ��
$\nabla v\in TM \otimes \Lambda^1 M$ �����������. 
��������� �� $\Vol M \cntrct v$ $(n-1)$-�����, 
���������� ������������ $v$ � $\Vol M$.
��������, ���
$\psi \Vol = d (\Vol M \cntrct v)$.
\��

\��������
��������� $\nabla$ - ��������� ����-������, ��� �� ����� ��������,
� �� ����� 
\[
d = \nabla \circ e,
\]
��� $e:\; \Lambda^{k}(M) \otimes \Lambda^1 M$ ����������
������� ��������� (��������� ���). �� ���� ������� ��������
\[ 
 d \left(\Vol M \cntrct v\right)= e (\nabla (\Vol M \cntrct v)) =
e (\Vol \cntrct \nabla v),
\]
��� ��� ��� ����� $\psi \Vol$ (���������).
\��

\������[!]
����� $\theta\in \Lambda^1 M$ - 1-����� � ���������� ���������, �
$\Psi_g:\;  \Lambda^1 M \otimes \Lambda^1 M\arrow C^\infty M$ -
�����������, ������������ ����������� �������� $�$. ��������, ���
\[
\int_M \Psi_g( \nabla \theta)\Vol M = 0
\]
\��
\�������� 
���������� ��������� ���� $\theta^\sharp$, ������������ $\theta$.
�������� ��������� ���������� ������, ��������, ���
\[
\Psi_g( \nabla \theta)\Vol M = d (\Vol M \cntrct\theta^\sharp)
\]
� �������������� �������� ������.
\��

\������[!]
����� $B$ - ���������� � �������� � ����������,
����������� �������. ����������
��������
\[
\nabla^*:\; B\otimes \Lambda^1 M \arrow B,
\]
���������� ��� ���������� ��������� \eqref{_nabla_i_Equation_}
\[
\nabla_1:\;  B\otimes \Lambda^1 M\arrow B\otimes \Lambda^1M\otimes\Lambda^1M
\]
�� ����������� $b \otimes \xi_1 \otimes \xi_2\arrow - g(\xi_1, \xi_2) b$. 
��������� �� $(\cdot, \cdot)_1$ ������� �� $B\otimes \Lambda^1 M$,
����������� �������������� � $B$ � $M$.
����� $a$ - ������� $B\otimes \Lambda^1 M$.
��������, ���
\[
\int_M  (\nabla^* a, b) \Vol M = \int_M  (a, \nabla b)_1 \Vol M
\]
��� ������ ������� $b\in B$ � ���������� ���������.
\��

\�������� 
��������� �� $(\cdot, \cdot)_\circ$ ����������,
����������� �������� 
\[ \Lambda^i M \otimes B, \ \ \Lambda^j M \otimes B
\] 
� $\Lambda^i M \otimes \Lambda^j M$, � �������������� �������� �� $B$.
��������� ��������� ��������� �������, �� �����
\[
\nabla(a,b)_\circ = 
(a, \nabla b)_\circ + (\nabla a, b)_\circ \in \Lambda^1M \otimes \Lambda^1M
\]
�������� $\Psi_g$ � ����� ������ ����� ���������, ��������
\[
\Psi_g(\nabla(a,b)_\circ) = - (\nabla^* a, b) +(\nabla a, b).
\]
��������� $(a,b)_\circ$ - ��� 1-�����,
$\int_M \Psi_g(\nabla(a,b)_\circ)\Vol M=0$
� ���� ���������� ������.
\��

\���������
�� ��������, ��� $\nabla^*$ �������� � $\nabla$ � ������
$L^2$-������� �� $B$-������� ������, ��������
�� �������
\[
(x, y) = \int_M  (x,y) \Vol M 
\]
\���
\���������
����, ��� �������� $\nabla^*\nabla:\; B \arrow B$ �����
������� ���������� �� $B$, ������������� ����.
�� ����������, ���� �������� ����������, � ��� ������ �����
$-g\otimes \Id_B$, ��� $g\in \Sym^2 TM$ - 
����������� ������.
\���


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{�������� ����� $*$}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


� ������� ��������� ������� �� $M$ �������� ������������ 
������� �� ���� ��������� ����������� ��� $M$, � ���������,
�� ���������� ���������������� ���� $\Lambda^k M$. 
������� ����������������� ����� $\xi_1, ... \xi_n$ 
� $\Lambda^1M$. �� ���������
�������  �� $\Lambda^k M$ ����� �������, ��� �����
\[ \xi_{i_1} \wedge \xi_{i_2} \wedge ... \wedge \xi_{i_k}, \ \ \ 
i_1 < i_2 < ... < i_k
\] -- �����������������.

\������
����� $\eta\in \Lambda^k M$ - 
���������������� �����, � $* \eta\in \Lambda^{n-k}M$
�������������
\[
(\eta, \xi)\Vol M = *\eta \wedge \xi.
\]
��� ������ $\xi\in \Lambda^k M$.
\����
\���� ��������, ��� $*\eta$ ������������ ���� ������������
����������.
\���� ��������, ��� $*\eta$ ���������� ��� ������� $\eta$
\���� ��������, ��� � ������ 
$\xi_{i_1} \wedge \xi_{i_2} \wedge ... \wedge \xi_{i_k}$,
������������ ����, $*$ ������������ ���:
\[
* \xi_{i_1} \wedge \xi_{i_2} \wedge ... \wedge \xi_{i_k}=
\sigma\xi_{j_1} \wedge \xi_{j_2} \wedge ... \wedge \xi_{j_{n-k}}
\]
��� $j_1, j_2, ... j_{n-k}$ - ��� ������� �� 1 �� $n$, ��
�������� � ��������� $\{ i_1, i_2, ..., i_k\}$, � �������������
�� �����������, � $\sigma=\pm 1$ - ��������� �����������
$(j_1, j_2, ... j_{n-k}, i_1, i_2, ..., i_k)$.
\��
\��

\������
����� $\xi$ --- $k$-����a, $\eta$ - $(n-k)$-�����. 
��������, ��� 
\����
\���� $(*\eta, \xi)= (-1)^{k (n-k)} (\eta, *\xi)$
\���� $*(*\eta) = (-1)^{k (n-k)}\eta$.
\��
\��

\������[*] 
������� ����������� �������� $\eta$ �� $\Lambda^{\frac n 2}M$,
��� ������������ $M$.
\��

\������[*]
����� $M$ --- �������������� ������������ � �������� ��������� $s$.
���������� $*$ ��������, ����������� ����. ��������, ���
$*(*\eta)=(-1)^{k (n-k)+s}\eta$.
\��

\������[!]
��������� $d^*:\; \Lambda^k(M) \arrow \Lambda^{k-1}(M)$
�������� $d^* = - * d *$. ��������, ���
��� ����� ����� $\xi$ � ���������� ���������, �����
\[
\int_M (d^*\eta, \xi)\Vol M = \int_M (\eta, d \xi)\Vol M 
\]
\��

\�������� 
�������������� �������� ������:
\begin{align*}
\int_M(d^*\eta, \xi)\Vol M 
= & \int_M (d^*\eta, \xi)\Vol M = -\int_M d *\eta \wedge \xi\\ =&
\int_M *\eta \wedge d \xi = \int_M(\eta, d\xi)\Vol M
\end{align*}
\��


\���������
�� ��������, ��� $d^*$ �������� � $d$ � ������
$L^2$-������� �� ���������������� ������, ��������
�� �������
\[
(x, y) = \int_M  (x, y) \Vol M 
\]
\���


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{�������� ������� �� ���������������� ������}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\�����������
��������� �������� ������� �� ���������������� ������ 
�������� \[ \Delta \eta := dd^* \eta + d^* d\eta.\]
\��

\���������
�� �������� ���� �������� ��������� � ������ �����������,
������������ ����.
\���

\������
����� 
\[ \Lambda^k M \otimes \Lambda^1 M
   \stackrel i\arrow \Lambda^{k-1}M
\]
�������� "����������� ���������", �����������
������ $\eta \otimes \theta$ � $\eta \cntrct \theta^\sharp$,
��� $\theta^\sharp$ - ��������� ����, ������������ $\theta$.
��������, ��� 
\[ 
   \iota(\eta \otimes \theta) = - *(*\eta \wedge \theta)
\]
\��

\������
���������� �������� 
�������� ��������� 
\[ \Lambda^k M \otimes \Lambda^1 M
   \stackrel e\arrow \Lambda^{k+1}M.
\]
\����
\����
��������, ��� $d\eta = e (\nabla \eta)$.
\���� 
��������, ��� $d^*\eta = \iota (\nabla \eta)$.
\��
\��

\���������
�������� $d\eta = e (\nabla \eta)$
����������� ���������� �������� � ��������� $\nabla$.
\���

\������[!]
���������� ������� ��������� �� $\Lambda^k M$,
\[
\nabla^2:\; \Lambda^k M \arrow 
\Lambda^k M \otimes \Lambda^1 M \otimes \Lambda^1 M,
\]
������������ ����. ��������, ��� 
$\Delta(\eta) = V(\nabla^2\eta)$, ���
\[
V:\; \Lambda^k M \otimes \Lambda^1 M \otimes \Lambda^1 M\arrow \Lambda^k M 
\]
-- ������, ������������ ��������� �������:
\[ 
   V(\xi \otimes \theta_1 \otimes \theta_2)=
   \iota (e(\xi \otimes \theta_1 ) \otimes \theta_2) +
   \iota (e(\xi \otimes \theta_2 ) \otimes \theta_1)
\]
\��

\��������
�������������� ���������� �������.
\��

\������
��������, ��� 
$V(\xi \otimes \theta_1 \otimes \theta_2)=
 - V(\xi \otimes \theta_2 \otimes \theta_1)$
���� $\theta_1$ ������������ $\theta_2$.
\��

\������[!]
���������� ������ 
\[
V_0:\; \Lambda^k M \otimes \Lambda^1 M \otimes \Lambda^1 M\arrow \Lambda^k M 
\]
������������ ��������
\[
  V_0(\xi \otimes \theta_1 \otimes \theta_2)= \xi \otimes g(\theta_1, \theta_2)
\]
��� $g$ - ��� �������� �����.
\����
\����
��������, ��� $V-V_0$ ��������������� �� ��������� ���� ����������
\����
��������, ��� $V_0(\nabla^2\eta) = \nabla^* \nabla \eta$.
\��
\��

\������\hfill
\����
\����
����� 
\[ 
   W:\; \Lambda^k M \otimes \Lambda^1 M \otimes \Lambda^1 M\arrow B
\]
���������������� �� ��������� ���� ���������� �������� �����������
�� ���������� � $B$. ��������, ��� 
\[  
   \nabla^2 \circ W:\; \Lambda^k M \arrow B
\]
����� $B(R)$, ��� $R$ - ������ �������� $\Lambda^k M$.
\����[!] 
�������� �� ����� ����� �������:
\[
\Delta - \nabla^* \nabla = W(R),
\]
��� $W= V-V_0$, � $R$ --
�������� ���������� $\Lambda^k M $,
��������������� ��� ��� �������
\[ 
  \Lambda^k M\arrow  
  \Lambda^k M \otimes \Lambda^2 M   
  \subset \Lambda^k M \otimes \Lambda^1 M \otimes \Lambda^1 M
\]
\��
\��

\���������
��� ������� ���������� {\�� �������� ����������} \\
(Weitzenb\"ock). ������ ������, "������� ����������"
��� ����� �������� ��� �������� ���� 
$\Delta_1 - \Delta_2 = R$, ��� $\Delta_i$ - �����-����
������������ ��������� ������� �� ��������� ��� ��������� �����,
� $R$ - ������� �� �������� ������������ ����������.
\���

\���������
�� ������� ���������� ���������� �������, ���
��������� ����������. ��������� � ����.
\���

\������
���������� �������� $d+d^*:\; \Lambda^*(M) \arrow \Lambda^*M$.
��������, ��� $d+d^*$ �������������.
\��

\��������
��������, ��� $(d+d^*)^2=\Delta$ � �������������� �������
\ref{_kompozi_elli_Zadacha_}.
\��


\������[*]
���������� ������� ���������� �� 1-������:
\[
\Delta - \nabla^* \nabla = W(R).
\]
� ���� ������, 
$R\in \Hom(\Lambda^1M, \Lambda^1 M \otimes \Lambda^2 M)$,
� $W$ ���������� $R$ � ����������� $\Lambda^1 M$.
��������, ��� $W(R)$ ��������� $\theta$ � ����
� $\operatorname{Tr}_{1,3}R(\theta)$, ��� ���� �������� ������� �� �������
� �������� ���������. ��� ����������� ����������
"������ �����", $\operatorname{Ric}$. ����� �������, ��� 1-���� �������
���������� ������������ � {\�� ��������� �������}:
\[
\Delta - \nabla^* \nabla = \operatorname{Ric}.
\]
\��

\end{document}