\documentclass[12pt]{article}

\usepackage{theorem,amsmath,amssymb,russcorr,fancyheadings}

\newcommand{\version}{���� ���������, v. 1.3, 12.10.2006}

% CHANGELOG
% v. 1.0, 6.10.2006
% v. 1.1, 7.10.2006: ��������� ��������� ����� �� [*]
% v. 1.2 12.10.2006: ����� ������ ����������

\input{listki-new.tex}

\begin{document}


\listok{3}{������ ����� 3: ������������ ��������}


\subsection{���������������� ��������� ������������}


\�����������
����� $H$ - ��������� ������������ ��� $\R$, � 
$\nu:\; H \arrow \R^{\geq 0}$ �����������, �������
������������� ��������� ��������.
\begin{enumerate}
\item $\nu(h)>0$, ���� $h\neq 0$.
\item $\nu(\lambda h) = |\lambda| \nu(h)$, ��� ������
$\lambda\in \R$.
\item (����������� ������������) $\nu(h_1+h_2) \leq \nu(h_1)+\nu(h_2)$
\end{enumerate}
����� $\nu$ ���������� {\�� ������} �� ������������ $H$.
����� ����������� ���������� ��� $|v|$.
\��

\������
����� $g:\; H\otimes H \arrow \R$ - ����������,
������������ ������������ ����� ��� $H$. 
��������, ��� $h \arrow \sqrt{g(h,h)}$ ������ ����� ��
$H$.
\��

\������
��������, ��� ������������ � ������ �������� 
������������ ��������,  �� �������
$d(a,b)=\nu(a-b)$.
\��

\���������
��������� ������������ � ������ �������� �����
�����������, �� ��� ���������� ������������ ���������.
����� ������������ � ���� ��������� �������� �������� ����.
\���

\�����������
 ���� $H$ ����� ��� �����������
������������, �� $(H, \nu)$ ���������� {\�� ���������
�������������}. ����, � ���� ��, $\nu$ ������
����������� ���������� ������������ ������������ �����
��� ������� ����, �������� ������������ $H$ ����������
{\�� ������������}. � ����������� ���������� ����������� ������������ 
���������� ��� $\C$, � ������� �������� ��������� ������
$g:\; H\otimes H \arrow \R$.
\��



\������ 
{\�� ��������� ������} � ������������ � ������ ����������
��������� ���� ��������, ��� ������� $|x|=1$.

\����
\����[*]
��������, ��� ��������� ����� � ���������������� 
������������ ������������ ���������� (��������� ��������������
��������������� � ������).

\����[**]
����� �� ��� � ������������ ���������������� 
������������ � ������?
\��
\��

\�����������
{\�� �������} �������� ������������ $H$ ���������� �����
$S$ ������� ����������� �������� �����, ��� �� ��������� �����
$H$. ����, � ���� ��, $H$ �����������, � �������
������ ������� ������������, $S$ ���������� 
{\�� ������������� �������}. ���� � ���� 
�� ��� �������� $S$ ����� ����� 1, ����
����� ���������� {\�� �����������������}.
\��

\������
���������� ������������ ����������������� 
������� �� $n$-������ ���� $T^n = \R^n /\Z^n$,
� ��������, �������� $|f|^2 = \int |f|^2\Vol T^n$, ���
$\Vol T^n$ - ����������� ����� ������ �� ����,
�������������� � $\R^n$. ��������� �� $L^2(T^n)$
����������� ������������, ���������� ����������� ��
$C^\infty(T^n)$ �� ����� �������. ��������, ���
��������� ������� �������� ����� � $L^2(T^n)$:
\[
e^{2\pi\1 \sum_{i=1}^n k_i t_i}
\]
��� $\{k_i\in \Z\}$  ��������� ��� $n$-�� ����� �����.
\��

\���������
� ���� ���������� ������, ����� ������� �������
�������������� � ����
\[
f = \sum_{k_1, ... k_n \in \Z^n} \tau_{k_1, ... k_n} 
e^{2\pi\1 \sum_{i=1}^n k_i t_i}
\]
��� $\tau_{k_1, ... k_n}$ - ����� ����������� �����.
��� ���������� ���������� {\�� ����� �����} ��� ������� $f$.
\���


\�����������
����� $V_1$, $V_2$ - ������������ � ������.
�������� �������� $E:\; V_1 \arrow V_2$ ����������
{\�� ������������}, ���� ���������� ��������� $C$ �����,
���
\[
\frac {|E(v)|}{|v|}< C
\]
��� ������ ���������� $v\in V_1$.
\��

\������
��������, ��� ������������ ��������� �� $V_1$ � $V_2$ 
�������� �������� ������������. ��������, ��� ��������
��������� ����� � ������ �����, ����� �� ���������� 
� ���������, �������� ������.
\��

\���������
�������� ����� ������ {\�� ����������� ��������}
������\-���\-�� ��� ������� � {\�� ������������ ��������}.
\���

\������
���������� ������� ${\cal E} \arrow \R^{>0}$ 
�� ������������ ${\cal E}(V_1, V_2)$ ������������ ����������
�� $V_1$ � $V_2$ 
\[
E \arrow \sup\limits_{v\in (V_1\backslash 0)} \frac {|E(v)|}{v}
\]
\����
\���� ��������, ��� ��� �����
\����[!] �����������, ��� �����������a $V_1$, $V_2$
��������. ��������, ��� ${\cal E}(V_1, V_2)$ 
���� ��������.
\����[*] ����� ������������ $V_1$, $V_2$ �����������.
����� �� ${\cal E}(V_1, V_2)$ ������������?
\��
\��

\��������� 
{\�� ��������� ���} � ������������ � ������ - ��� 
��������� ����� $v\in V$ �����, ��� $|v|\leq 1$
("��������� ���") ��� $|v|< 1$ ("�������� ���").
"��� ������� $r$" � ������������ � ������ - 
��������� ����� $v\in V$ �����, ��� $|v|\leq r$
��� $|v|< r$. "������������ ���������" - ������������ $V$,
������������ � �����-�� ����.
� ���� ��������, ����������� �������������
��������� ����� ������������ ���: "������������
�������� ��� ��������, ����������� �����������
��������� � ������������".
\���

\������
\hfill\����
\����
����� $V$ - ����������������
������������ � ������, ������� ������������
��� ������ �� ���������� ������������. ��������, ���
��������� ��� � $V$ �� ���������� � ��������.
\����[*] ������� ����� (Riesz). �������� �� �� ��� �������������,
��� ����� ���������� ��������� �������������.
\��
\��

\��������� ���������, ������������ � ��������,
���������� {\�� ��������������}.
\���


\�����������
����� $V_1$, $V_2$ - ������������ � ������. 
�������� $E;\; V_1\arrow V_2$ ���������� {\�� ����������},
���� ����� ������ ������������� ��������� ������������.
\��



\�����������
 ����������� ������������
���������� {\�� �������������}, ���� � ���� ����
�������� ��� ������� �����.
\��

\������[*]
����� $H$ - ����������� ������������.
��������, ��� $H$ ������������ ����� � ������
�����, ����� $H$ �������� ������� ������� ������������.
\��

\������
����� $H$ - ������������� ����������� ������������, 
\[ 
   \{z_i\}, i = 0, 1, 2, ...
\] 
��� 
����������������� �����, � $K:\; H \arrow H$
��������, ����������� $z_i$ � $\alpha_i z_i$.
��������, ��� $K$ ���������� ����� � ������
�����, ����� $\lim |\alpha_i|=0$.
\��

\������[*]
����� $A:\; H \arrow H$ - ���������� ��������, �
$B_1$ - ��������� ��� ������� 1 � $H$.
��� ����� $A$ ��� ����� $A(B_1)$ ���������?
\��


\������[!]
����� $E;\; V_1\arrow V_2$ - ���������� �������� ��������.
��������, ��� $E$ ��������
�������������� ����� � ������ �����, ����� ����������
��������� $C_1, C_2$, �����, ��� ���������
\[
C_1|v| < |�(v)| < C_2 |v|,
\]
��� ������ $v\in V_1$.
\��

\������
����� $E= E_1+K$ - ���������� �������� ��������,
�����, ��� $E_1$ ��� ������������, � $K$ ���������.
��������, ��� $E$ - ���� ������������.
\��



\�����������
����� $V$ - ��������� ������������ (������ ������, 
����������������), � $|\ |_1$, $|\ |_2$ - ��� 
����� �� $H$. ��� ���������� {\�� ��������������}, ����
������������� �������� 
\[
(H, |\ |_1) \arrow (V, |\ |_2)
\]
�������� ��������������.
\��


\������[*] ��������, ��� �� ������������� ������������
��� ����� ������������.
\��


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{����������� ������������}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\�����������
����� $f:\; \R^n \arrow \R$ - ������� ������� � ����������
���������. ��� ������� ������ 
\[
   P_\alpha = \frac
   {\partial ^{k_1}}{\partial x_1^{k_1}}\frac {\partial ^{k_2}}{\partial x_2^{k_2}}... \frac{\partial ^{k_n}}{\partial x_1^{k_n}}
\]
���������� ��������������� ������� ����������� $f$
\[
P_\alpha(f) = \frac
   {\partial ^{k_1}}{\partial x_1^{k_1}}\frac{\partial ^{k_2}}{\partial x_2^{k_2}}... 
   \frac{\partial ^{k_n}}{\partial x_1^{k_n}}f
\]
{\�� $s$-� ����������� �����} $|f|_s$ ������������ ���:
\[
|f|_s^2= \sum_{\deg P_\alpha\leq s} 
 \int \left|P_\alpha(f) \right |^2\Vol
\]
��� ����� ��������� ��� ������ ������� �� ���� �� $s$,
� $\Vol= dx_1\wedge dx_2\wedge ... dx_n$ - �����������
����� ������.
��������, ��� ��� ����������, ������������ ����� �� 
������������ �������; �� ������ � ������ ����������� �����.

����� ������ ������ ������� ������� ����������� ����������
$F$ � ��������. ����������� ����� �� �������� $F$
����������� �� ��� �� ����� �������, ��� ������� �����������
������������ ����������� �������������, � $|\ |^2$
����������� � �������������� ������� �� $F$.
\��

\������ 
E����������� ����������� $\R^n \arrow T^n$ �� $\R^n$ � ���
���������� �� ���� $B$ ������� $1/2$. ��� ���������
 ������������� ������� � ��������� � $B$ ��� ������� ��
$T^n$. ���������� ��� ����� ��� ������� $f$:
\[
f = \sum_{k_1, ... k_n \in \Z^n} \tau_{k_1, ... k_n} 
e^{2\pi\1 \sum_{i=1}^n k_i t_i}
\]
��������, ���
\[
|f|_s^2 = \sum_{k_1, ... k_n \in \Z^n} 
  \bigg(|\tau_{k_1, ... k_n}|^2 \sum_{i=1}^n(1+k_i^2+k_i^4+
  ... + k_i^{2s}\bigg)
\]
\��

\������ 
(����� �������) ��������, ��� ������������ �����������
$L^2_s(\R^n)\arrow L^2_{s-i}(\R^n)$ ��������� �� ��������
�� ���������� � ���� $B\subset \R^n$, ��� ������ $i>0$.
\��

\��������
�������������� ���������� �������
\��

\������
���������� ��� ����� �� ����� ���������� $t$,
\begin{equation}\label{_Fourrier_1_dim_Equation_}
\sum_{k\in\Z} \tau_k e^{2\pi\1kt}
\end{equation}
�����������, ��� $\sum_{k\in\Z} k^{2+2l} |\tau_k|^2$ ��������.
��������, ��� \eqref{_Fourrier_1_dim_Equation_}
�������� � ������� ������ $C^l$ ($l$-������ ����������������).
\��

\������
����� ������������ ���� �����
\begin{equation}\label{_Fourrier_n_dim_Equation_}
\sum_{k_1, ... k_n \in \Z^n} \tau_{k_1, ... k_n} 
e^{2\pi\1 \sum_{i=1}^n k_i t_i}
\end{equation}
������, ��� ��� 
\[ 
   \sum_{k_1, ... k_n \in \Z^n} \bigg(|\tau_{k_1, ... k_n}|^2
   \sum k_i^{\frac n 2 + 1}\bigg)
\]
��������.
��������, ��� \eqref{_Fourrier_n_dim_Equation_}
�������� � ����������� �������.
\��
\��������
�������������� ������������
\[
\bigg(\sum_{k_1, ... k_n \in \Z^n} 
\frac{|\gamma_{k_1, ... k_n}|}{\sum k_i^{\frac n 2 + 1}}\bigg)^2
\leq 
\bigg(\sum_{k_1, ... k_n \in \Z^n}|\gamma_{k_1,
... k_n}|^2)\bigg)^2
\bigg(\sum_{k_1, ... k_n \in \Z^n}\frac 1 {\sum k_i^{n+2}})\bigg)^2
\]
������� ������� �� ����������� $|(a,b)|^2 < |a|^2 |b|^2$,
������������ � ����� ������������ ������������.
\��

\������[!]
����� ������������ ���� �����
\[
f = \sum_{k_1, ... k_n \in \Z^n} \tau_{k_1, ... k_n} 
e^{2\pi\1 \sum_{i=1}^n k_i t_i}
\]
������, ��� ����� 
\[
  \sum_{k_1, ... k_n \in \Z^n} 
   |\tau_{k_1, ... k_n}|^2\sum_{i=1}^n k_i^{\frac n 2 + 1
   + l} 
\]
��������. ��������, ��� ���� ��� �������� � ������� ��
$C^l(T^n)$.
\��

\��������
�������������� ���������� �������.
\��

\������[!]
(����� ��������)
����� ������������������ $\{f_i\}$ ������� ������� 
� ��������� � ���� $B\subset \R^n$, ������� ��������
� ����������� ����� $L^2_s(\R^n)$, ������ 
$s> l+\frac n 2$. ��������, ��� $\{f_i\}$
�������� � $L^2_s(\R^n)$-��������� �
������� �� $C^l(\R^n)$.
\��

\��������
�������������� ���������� �������.
\��

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{����������� ����� �� ������������}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\�����������
����� $F$ - ���������� �� ���������� �� $M$, � $g$ -
������� �� $M$ (�� ����������� �������).
��������� {\�� ����������� �����, ��������������� 
�� ���������� � ��������} �� �������
\[
|f|^2_s= \sum_{i=0}^s \int |\nabla^i f|\Vol
\]
��� 
\[ \nabla^i :\; F \arrow F\otimes 
   \underbrace{\Lambda^1M\otimes ...}_\text{$i$ ���}
\]
$i$-� ������� ��������� (��. ������ "������ ����� 2")
� $|\cdot|$ - ������������ ������� �� ���������� $F\otimes 
   \underbrace{\Lambda^1M\otimes ...}_\text{$i$ ���}$,
�������������� �������� �� $M$ � $F$. ���������������
����������� ������������ ������������ $L^2_s(F)$.
���� $M=\R^n$, � ��������� �� $F$ ����������,
��� ����������� ��������� � ����������� ����.
\��

\������
����� $F$ - ����������� ���������� �� $\R^n$, 
���������� ������������� ����������, ${}^1|\ |^2_s$ -
�������  ��������, ��������� � �����������
���������� �� $F$, � ${}^2|\ |^2_s$ - �������, ��������� � �������������
����������. ��������, ��� ��� ������� � ��������� � ����
$B\subset \R^n$,
\[
{}^2|f|^2_s = {}^1|f|^2_s + C {}^1|f|^2_{s-1}
\]
��� ��������� $C$ ���������� ����� ����� ��������� �� $F$.
\��

\������
����� $F$ - ���������� �� ���������� �� $M$,
$g_1, g_2$ - ������� �� $TM$, ${}^1|\ |^2_s$, ${}^2|\
|^2_s$ -  ����� ��������, ��������� � $g_1$, $g_2$. 
��������, ��� ��� ������� � ��������� � ��������
$B\subset M$, ����� �����
\[
C_2{}^1|f|^2_s \leq {}^2|f|^2_s \leq C_1{}^1|f|^2_s 
\]
��� ��������� $C_1, C_2$ ������� ����� �������, �����
� ����� ����� $B$ ����� ����� �����������
\[
   C_2 |T|_{g_1} \leq |T|_{g_2} \leq C_1 |T|_{g_1}
\]
��� ������ ������� $T$ ��� $\Lambda^1(M)$ �����������
�� ������ $s$.
\��

\������[!]
�������� �� �����, ��� �� $\R^n$ ����������� ����� �� $F$, ������������
�� ��������� �� $F$ � ��������� ������� �� $\R^n$, ������������.
\��

\������[!]
(����� �������) ����� $M$ - ���������� ������������.
����� ������������ �������� $L^2_s(F)\arrow L^2_{s-i}(F)$
���������, ��� ������ $i>0$.
\��

\�������� 
�������������� ���������� ������� � ������ ������� ��� $\R^n$.
\��

\������[*]
����� �� ��� ��� ������������� ������������?
\��

\������[!]
����� ������������������ $\{f_i\}$ ������� ������� $F$
�� ���������� ������������ $M$  ��������
� ����������� ����� $L^2_s(F)$, ������ 
$s> l+\frac n 2$. ��������, ��� $\{f_i\}$
�������� � $L^2_s(M)$-��������� �
������� �� $C^l(M)$.
\��

\�������� 
�������������� ���������� ������� � ������ �������� ��� $\R^n$.
\��


\������[*]
����� �� ��� ��� ������������� ������������?
\��


\������[!]
����� $D:\; F \arrow G$ - ���������������� ��������
������� $i$ �� ���������� ������������. ��������, ��� �� ���������� ����������
$L^2_s(F)$ � $L^2_{s-i}(G)$.
\��

\������[*]
����� �� ��� ��� ������������� ������������?
\��


\������[!]
����� $\psi \in L^2_s(F)$ ����� � ����������� ����
$L^2_s(F)$, �� ���� ��� ������� $s$ ����
������������������ $\psi_i^s$, ���������� � $\psi$ 
� $L^2_p(F)$, ��� ���� $p\leq s$. ��������, ��� ����
������������������ $\psi_i$ ������� �������, ����������
� $\psi$ � ����� �� ���� ���������. ��������,
��� ��� ������������������ ���������� ��������
� �������, $L^2$-������������� �������.
\��


\������[*]
 ���������
$L^2_s(C^\infty M)$ �� $L^2_s(M)$. ����� $x\in M$ �����,
� $L^2_s(M)_x$ - ������������ ���� ���������� �������
$\psi\in L^2_s(M)$ � ��������� � $x$, �� ���� ���������� ���
���������, ��� $(\psi, v)=0$ ��� ����� ������� ������� $v$, 
������������ � ����������� $x$.
������� ����������� $L^2_s(M)_x$.
\��

\������
����� $D_1$, $D_2:\; F \arrow F$ - ����������������
��������� ������� $i, j$ �� ���������� $F$ ��
���������� ������������. ��������, ���
���������� $[D_1, D_2]:\; L^2_s(F) \arrow L^2_{s-i-j}(F)$
���������.
\��


\end{document}