\documentclass[12pt]{article}

\usepackage{theorem,amsmath,amssymb,russcorr,fancyheadings}

\newcommand{\version}{Миша Вербицкий, v. 1.3, 13.01.2007}

% CHANGELOG
% v. 1.0, 20.10.2006
% v. 1.1, 25.10.2006: Исправлено несколько опечаток,
%                     добавлено про слабую сходимость
% v. 1.2, 26.10.2006: исправлены опечатки
% v. 1.3, 13.01.2007: исправлены серьезные ошибки

\input{listki-new.tex}

\begin{document}


\listok{4}{Теория Ходжа 4: Фредгольмовы операторы
и спектральная теорема}

\subsection{Топология на гильбертовых пространствах}

\задача[!]
Пусть $F:\; H_1\arrow H_2$ --- ограниченное
отображение гильбертовых пространств, а $\{x_i\}$ - базис в $H_1$.
Предположим, что \[ \lim\limits_{i\arrow\infty} \frac{|F(x_i)|}{|x_i|}=0.\]
Докажите, что $F$ компактен.
\ез

\задача
Пусть $F:\; H_1\arrow H_2$ - компактный оператор, $H_2$ бесконечномерно.
Докажите, что $F$ не сюрьективен.

\ез

\указание
Рассмотрим отображение проективных пространств
\[ {\Bbb P}(H_1/\ker F) \stackrel \Psi \arrow {\Bbb P}H_2,\]
индуцированное $F$. Докажите, что образ $\Psi$ совпадает с
проективизацией $F(R)$, где $R=\{ x\in H_1:\ \  | \ \ 1\leq |x|\leq 2\}$,
а значит компактен. Воспользуйтесь теоремой Рисса,
чтобы убедиться, что ${\Bbb P}H_2$ не может быть компактен.
\еу

\задача[!]
Пусть $F:\; H_1 \arrow H_2$ биективный ограниченный оператор 
на гильбертовых пространствах. Докажите, что обратный оператор
тоже ограничен.
\ез

\указание 
В предположении, что не существует $C>0$ такого, что $|F(x)| \geq
C|x|$, постройте подпространство $H_1'\subset H_1$, в ограничении
на которое $F$ компактен. Воспользовавшись предыдущей задачей,
докажите, что $F$ не может отображаться сюрьективно на 
замыкание $F(H_1')$.
\еу

\задача
Пусть $F:\; H_1 \arrow H_2$ ограниченный оператор
на гильбертовых пространствах. Докажите, что следующие
условия равносильны.
\begin{description}
\item[(i)] Существует оператор $F':\; H_2 \arrow H_1$,
такой, что $FF'= \Id_{H_1}$ (в таком случае, $F$ называется
{\бф обратимым слева}). 
\item[(ii)] существует число $C>0$ такое, что $|F(x)| \geq
C|x|$, для любого $x\in H_1$.
\item[(iii)] $\ker F=0$, а $\im F$ замкнут.
\end{description}
\ез

\указание
Импликация (i) $\Rightarrow$ (ii) очевидна из определений
(в качестве $C$ возьмем норму $F'$). Импликация (ii) 
$\Rightarrow$ (iii) тоже очевидна, ибо из $|F(x)| \geq
C|x|$ следует, что для любой последовательности Коши вида
$\{F(z_i)\}$, $z_i\in H_1$, $\{z_i\}$ -- тоже последовательность 
Коши. Импликация (iii) $\Rightarrow$ (i), следует из предыдущей задачи.
\еу



\задача[!]\label{_gomeomo_bie_Zadacha_}
Пусть $F:\; H_1\arrow H_2$ - ограниченное, биективное отображение
гильбертовых пространств. Докажите, что $F$ - гомеоморфизм.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\определение
Последовательность $\{x_i\}$ в гильбертовом пространстве
$H$ называется {\бф слабо сходящейся}, если для любого
непрерывного функционала $\mu\in H^*$, последовательность
$\mu(x_i)\in \C$ сходится. Обычную сходимость
последовательности называют {\бф сильной сходимостью}.
Топологию, которая индуцирует слабую сходимость,
называют {\бф слабой топологией}.
\ео

\задача
Приведите пример последовательности, которая сходится
в слабой топологии, но не в сильной.
\ез

\задача[*]
Существует ли линейное отображение гильбертовых
пространств $H\arrow H_1$, которое не непрерывно 
в слабой топологии?
\ез

\задача[*]
Докажите, что ограниченный
оператор $H\arrow H_1$
компактен тогда и только тогда, когда он переводит
любую слабо сходящуюся последовательность в сильно
сходящуюся.
\ез


\subsection{Фредгольмовы операторы}


\определение
Ограниченный оператор $F:\; H_1\arrow H_2$ на гильбертовых
пространствах называется {\бф фредгольмовым} (Fredholm), если 
его  ядро и коядро конечномерны.
\ео

\задача 
Пусть $F:\; H_1\arrow H_2$ - фредгольмов оператор.
Докажите, что он индуцирует гомеоморфизм
из $H_1/\ker F$ в $\im F$.
\ез

\указание Воспользуйтесь задачей \ref{_gomeomo_bie_Zadacha_}.
\еу

\задача\label{_Fredho_invertible_Zadacha_}
Пусть $F:\; H_1\arrow H_2$ - фредгольмов оператор.
Докажите, что существует фредгольмов оператор $F_1:\; H_2\arrow H_1$
такой, что оператор $\Id_{H_1}- FF_1$ конечномерен 
(имеет конечномерный образ).
\ез

\указание Воспользуйтесь предыдущей задачей
\еу

\замечание Из этого утверждения следует, в частности,
что $\Id_{H_1}-FF_1$ компактен.
\еза

\определение 
Назовем линейную форму $\lambda:\; H \arrow \R$ на гильбертовом 
пространствве {\бф ограниченной}, если существует $C>0$ такое, что
$|\lambda(x)| < C |x|$.
\ео

\задача
Пусть $H$ - гильбертово пространство, $H_1$ - пространство
ограниченных форм на $H$, а $x\stackrel\arrow (\cdot, x)$ естественное
отображение из $H$ в $H_1$, переводящее $x$ в форму $y\mapsto (y,x)$.
Докажите, что это изоморфизм.
\ез

\задача\label{_Soprya_Zadacha_}
Пусть $F:\; H_1\arrow H_2$ - ограниченный оператор,
а $F^*:\; H_2\arrow H_1$  - оператор,
переводящий $x\in H_2$ в вектор $y\in H_1$,
который удовлетворяет
\[
(x, F(h)) = (y, h)
\]
для любого $h\in H_1$.
\енум
\итем Докажите, что это уравнение определяет $F^*$ однозначно.
\итем Докажите, что такой оператор $F^*$ всегда существует.
\итем Докажите, что $F^*$ - ограниченный оператор.
\итем Докажите, что $F$ фредгольмов тогда и только тогда,
когда $F^*$ фредгольмов. 

\итем Докажите, что $F$ компактен 
тогда и только тогда, когда $F^*$ компактен.
\ее\ез

\указание
Для того, чтобы доказать существование сопряженного
оператора, воспользуйтесь предыдущей задачей
\еу

\замечание
В этих условиях, $F^*$ называется {\бф сопряженным оператором} к $F$.
\еза

\задача
Пусть $F:\; H_1\arrow H_2$ - ограниченный оператор,
$F^*$ - его сопряженный. Докажите, что $\ker F^* = H_2/\overline{\im F}$,
где $/\overline{\im F}$ - замыкание образа $F$.
\ез

\задача[!]\label{_compo_fredho_Zadacha_}
Пусть  $F:\; H_1\arrow H_2$,  $G:\; H_2\arrow H_3$ -
ограниченные операторы. 
\енум
\итем Докажите, что $GF$ фредгольмов, если $F$ и $G$
фредгольмовы.
\итем Пусть $GF$ и $FG$ фредгольмовы. Докажите, что $F$ и $G$ 
оба фредгольмовы.
\ее\ез

\задача
Пусть $GF$ фредгольмов. Верно ли, что $F$ и $G$ фредгольмовы?
\ез

\задача
Пусть $F:\; H_1\arrow H_2$ - фредгольмов
оператор. Докажите, что гильбертовы пространства $H_1$ и
$H_2$ изоморфны.
\ез

\замечание 
Для упрощения обозначений, отныне мы будем рассматривать
только фредгольмовы операторы, действующие из пространства
$H$ в себя. В силу предыдущей задачи, это не ограничивает
общности.
\еза

\задача
Пусть $K:\; H \arrow H$ - компактный оператор. Докажите,
что образ $\Id_H+K$ замкнут.
\ез

\указание
Предположим, что $z$ лежит в замыкании образа $\Id_H+K$,
то есть является пределом последовательности $z_i = y_i +
K(y_i)$. Поскольку $K$ ограничен, последовательность $\{y_i\}$ 
ограничена. Заменив $y_i$ на подпоследовательность, можно
считать, что $K(y_i)$ сходится к $k$. Это значит, что
$y_i = z_i - K(y_i)$ сходится к $y=z-k\in H$. Выведите 
из этого, что $z=y+ K(y)$.
\еу 

\задача[!]\label{_Id+K_Fredholm_Zadacha_}
Пусть $K:\; H \arrow H$ - компактный оператор. Докажите,
что $\Id_H+K$ фредгольмов.
\ез

\указание
Конечномерность ядра $\Id_H+K$ очевидна, поскольку $K$
действует на этом ядре как $-\Id$, и этот оператор может
быть компактен только если $\ker(\Id_H+K)$ конечномерно,
по теореме Рисса. Фактор $H$ по замыканию образа 
$\Id_H+K$ отождествляется
с ядром $\Id_H+K^*$, a $К^*$ компактен в силу задачи
\ref{_Soprya_Zadacha_}. Чтобы доказать замкнутость
образа $\Id_H+K$, воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\определение {\бф Двусторонний идеал} в алгебре $A$
это такое подпространство $I\subset A$, что $aI\subset I$
и $Ia\subset I$ для всех $a\in A$. Факторпространство
$A/I$ по двустороннему идеалу наделено естественной
структурой алгебры. 
\ео 

\задача
Пусть $\cal C$ - алгебра ограниченных операторов на гильбертовом
пространстве $H$, а ${\cal K}\subset{\cal C}$ - пространство
всех компактных операторов. Докажите, что $\cal K$ - двусторонний
идеал.
\ез

\определение
Факторалгебра ${\cal C}/{\cal K}$ называется {\бф алгеброй Калкина}
гильбертова пространства $H$ (Calkin).
\ео

\задача[*]
Докажите, что алгебра Калкина проста (не содержит
нетривиальных двусторонних идеалов).
\ез

\задача[!]
Пусть $F:\; H \arrow H$ - ограниченный оператор. Докажите, 
что $F$ фредгольмов тогда и только тогда, когда его
класс $[F]$ в алгебре Калкина обратим.\footnote{Это значит, что
существует $G_1, G_2:\; H \arrow H$, что $FG_1-1$ и $G_2F-1$ компактны.}
\ез

\указание
Воспользуйтесь задачей \ref{_Fredho_invertible_Zadacha_}
и задачей \ref{_compo_fredho_Zadacha_}.
\еу

\задача[!]
Пусть $F_1 F= \Id_H +K$, где $K$ компактен. 
Всегда ли $F$ фредгольмов?
\ез

\определение
Напомним, что {\бф обратимым оператором} на гильбертовом
пространстве называется ограниченный оператор $F\in \End(H)$
такой, что существует ограниченный оператор $F_1:\; H \arrow H$,
причем $FF_1 = F_1F =\Id_H$.
\ео

\задача[*] Пусть $F:\; H \arrow H$ - фредгольмов оператор,
$[F]$ - его класс в алгебре Калкина. Всегда ли 
у $[F]$ существует представитель $F'$, который обратим?
\ез

\указание
{\бф Индексом} фредгольмова оператора $F$ называется
число \[ \dim \ker F - \dim \coker F.\] Докажите, что
индекс $F'$ не зависит от выбора представителя в классе $[F]$.
\еу

\задача[!] \label{_Fredho_otkryto_Zadacha_}
Пусть оператор $F:\; H \arrow H$
фредгольмов. Докажите, что существует $\epsilon>0$ такое,
что для любого оператора $G\in \End(H)$, удовлетворяющего
$|G-F|<\epsilon$, оператор $G$ также фредгольмов.
\ез

\указание
Проверьте это для случая тождественного $F$, записав
\[
(Id_H+G_1)^{-1} = Id_H- G_1 + G_1^2 - G_1^3 + ...
\]
где $G_1= G-F$. Затем
воспользуйтесь тем, что
\[
GF_1 = \Id_H + G_1 F + G_1 K
\]
где $F_1$ - оператор, удовлетворяющий
$FF_1 = \Id_H + K$. 
\еу

\задача[*] Пусть ${\cal C}$ - алгебра всех ограниченных
операторов на гильбертовом пространстве, а 
${\cal F}\subset {\cal C}$ - множество всех фредгольмовых операторов.
Из предыдущей задачи следует, что ${\cal F}$ открыто, в топологии,
заданной нормой. Найдите все связные компоненты ${\cal F}$.
\ез

\указание
Попробуйте доказать, что множество фредгольмовых
операторов с фиксированным индексом связно.
\еу

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Спектральная теорема}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение 
Пусть $F:\; H\arrow H$ - ограниченный оператор
на гильбертовом пространстве. {\бф Спектром} $F$
называется множество \[ \Spec F\subset \C\] всех чисел
$\lambda\in \C$ таких, что оператор $F-\lambda\Id_H$ не
обратим.
\ео

\задача 
Пусть $F:\; H\arrow H$ - ограниченный оператор,
$\lambda\in \C$ число.
Докажите, что следующие условия равносильны.
\begin{description}
\item[(i)] $\lambda\notin \Spec F$ 
\item[(ii)] Ядро $F-\lambda\Id_H$ пусто, a образ
$F-\lambda\Id H$ совпадает с $H$
\end{description}
\ез

\задача[!]
Пусть $F:\; H\arrow H$ - ограниченный оператор, а
$\lambda\in \C$ число, не лежащее в его спектре.
Докажите, что существует $C>0$ такое, что 
$|F(x)-\lambda x|> c |x|$, для любого $x\in H$.
\ез

\задача[!]
Докажите, что $\Spec F$
замкнут в $\C$.
\ез

\указание Воспользуйтесь задачей \ref{_Fredho_otkryto_Zadacha_}.
\eu


\задача[!]
Докажите, что $\Spec F$ ограничен (содержится в 
круге).
\ез

\задача[*]
Постройте оператор, спектр которого - это 
замкнутый круг.
\ез


\задача[!]\label{_finite_dim_eigensp_Zadacha_}
\label{_eigenspa_compa_Zadacha_}
Пусть $K:\; H\arrow H$ компактен, $\lambda\in \Spec K$, 
$\lambda\neq 0$. Докажите, что пространство 
$H_{\lambda,n}:=\ker(K-\lambda \Id_H)^n$ непусто и конечномерно,
для любого целого $n$, причем его размерность ограничена
константой $\operatorname{mult}(\lambda)$,
не зависящей от $n$. Докажите, что $K(H_{\lambda,n})\subset H_{\lambda,n}$.
\ез

\указание
Воспользуйтесь тем, что $K-\lambda \Id_H$ фредгольмов.
\еу

\задача
Пусть $\epsilon$ - положительное вещественное число,
а $K$ - компактный оператор. Докажите, что множество
$\{ \lambda\in \Spec K\ \ \ | \ \ |\lambda| > \epsilon\}$
конечно.
\ез

\указание
Воспользуйтесь теоремой Рисса.
\еу

\замечание
Согласно предыдущей задаче, спектр компактного оператора
счетен и не имеет предельных точек, кроме нуля. Согласно
задаче \ref{_eigenspa_compa_Zadacha_}, каждое ненулевое число
$\alpha\in \Spec K$ является собственным значением $K$.
Эти утверждения в совокупности называют "спектральной теоремой
для компактных операторов".
\еза

\задача[*]
Докажите, что компактный оператор
является пределом последовательности конечномерных,
в топологии, заданной стандартной нормой  на пространстве ограниченных
операторов.
\ез

\задача[*]
Пусть $K$ - компактный оператор, а $s$ ---
супремум функции $x\arrow |K(x)|$ на единичном шаре $B_1$.
Докажите, что $s= |K(x_0)|$ для какого-то $x_0\in B_1$
\ез

\задача[*]
Постройте инъективный компактный оператор 
$K:\; H \arrow H$ с нулевым спектром.
Может ли образ $K$ быть плотен в $H$?
\ез


\задача
Пусть $K$ -- инъективный оператор на гильбертовом пространстве,
квадрат которого компактен. Верно ли, что $K$ тоже
компактен? 
\ез

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Самосопряженные компактные операторы}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение 
Оператор $A:\; H \arrow H$ на гильбертовом пространстве называется
{\бф самосопряженным}, если $(Ax,y)= (x, Ay)$ для любых
$x,y\in H$. 
\ео

]\задача
Пусть  $A:\; H \arrow H$ самосопряженный. Докажите,
что $(A(x), x)$ вещественно для любого $x\in H$.
\ез

\задача 
Пусть $H_1\subset H$ - подпространство в гильбертовом
пространстве, $A$ самосопряженный оператор,
причем $A(H_1)\subset H_1$. Докажите, что $A$
сохраняет ортогональное дополнение $H^\bot_1$.
\ез


\задача[!]
Докажите, что спектр самосопряженного оператора 
{\бф вещественный}, то есть лежит в
$\R\subset \C$.
\ез

\указание
Из вещественности $(A(x), x)$ получите, что
\[ |{\sf Im}(A(x)-\lambda x, x)| > |{\sf
   Im}(\lambda)|\cdot |x|.
\]
Выведите из этого, что $|A(x)-\lambda x| > C |x|$, для какого-то
$C>0$. Из этого получите, что  образ $A$ замкнут, а ядро
пусто. Теперь воспользутесь тем, что коядро 
$A$ равно ядру $A^*$. 
\еу

\определение
Самосопряженный оператор $A$ называется {\бф положительным},
если $(A(x), x)\geq 0$, и {\бф строго положительным},
если это неравенство строгое для любого ненулевого $x$.
\ео

\задача
Докажите, что квадрат самосопряженного оператора \\
всегда положителен.
\ез

\задача
Докажите, что спектр положительного компактного оператора
лежит на положительной вещественной оси.
\ез

\указание Воспользуйтесь спектральной теоремой
\еу

\задача[!]
Пусть $A$ - положительный, самосопряженный фредгольмов
оператор, причем $\ker A=0$. Докажите, что существует
$\epsilon\in \R$, такое, что $A-\epsilon \Id_H$
тоже положителен.
\ез

\указание
Возьмите $\epsilon:= |A^{-1}|$.
\еу

\задача[!]
Пусть $A$ - самосопряженный, компактный оператор,
причем $\Spec A$ лежит на положительной вещественной оси.
Докажите, что $A$ положителен. 
\ез

\указание
Докажите, что $A+\lambda \Id_H$ положителен для
достаточно больших $\lambda\in \R$. Обозначим за
$\lambda_0$ инфинум всех $\lambda$, для которых 
$A+\lambda \Id_H$ положителен. Докажите, что 
$-\lambda_0$ лежит в спектре $A$. Для этого
воспользуйтесь предыдущей задачей,
\еу

\замечание
Мы доказали, что спектр компактного самосопряженного
оператора лежит
в $[0,\infty[$ {\ит тогда и только тогда},
когда он положителен.
\еза

\задача
Пусть $A$ - самосопряженный компактный оператор с
нулевым спектром. Докажите, что $A=0$.
\ез

\указание 
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\задача[!]
Пусть $A$ - компактный, самосопряженный оператор
на гильбертовом пространстве $H$. Обозначим за $H_\alpha$
пространство \[ \bigcup_{n\in \N} \ker (A-\alpha\Id_H)^n\]
(поскольку $A$ компактен, это объединение стабилизируется
на конечном шаге, а, значит, все $H_\alpha$ конечномерны).
Докажите, что
\[
\bigoplus\limits_{\alpha\in\Spec A} H_\alpha
\]
плотно в $H$. 
\ез

\указание
Воспользуйтесь спектральной теоремой, и примените
предыдущую задачу.
\еу

\задача[*]
Верно ли это без предположения
о самосопряженности $A$?
\ез

\задача[!]
Пусть  $A:\; H \arrow H$ - компактный, самосопряженный
оператор. Докажите {\бф спектральную теорему 
для самосопряженных операторов}:
в каком-то ортонормальном базисе базисе $x_1, x_2, ...$, действие
$A$ записывается диагонально: $A(x_i)=\alpha_i x_i$.
\ез

\указание
Докажите аналогичную теорему для самосопряженных
операторов в конечномерных пространствах,
и воспользуйтесь разложением
\[
\bigoplus\limits_{\alpha\in\Spec A} H_\alpha.
\]
\еу

\задача[*]
Пусть $A_\alpha$ - семейство попарно коммутирующих
самосопряженных операторов (возможно, бесконечное).
Докажите, что найдется ортонормированный базис,
в котором все $A_\alpha$ диагональны.
\ез

\задача[*]
Оператор $U$ на гильбертовом пространстве 
называется {\бф унитарным},
если $UU^*= U^*U=\Id$. Докажите, что спектр унитарного
оператора лежит на единичной окружности.
\ез

\указание Докажите, что
\[ (U+\alpha Id(x), U-\bar \alpha Id(x))= (1-|\alpha|^2)|x|^2
\]
\еу

\задача[*]
Пусть $U$ - унитарный оператор, такой, что 
$U-\Id$ компактно. Докажите, что $U$
диагонализуем в каком-то ортонормированном базисе.
\ез

\задача[*]
Верно ли это без предположения, что $U-\Id$ компактно?
\ез

\end{document}