\documentclass[12pt]{article}

\usepackage{theorem,amsmath,amssymb,russcorr,fancyheadings}

\newcommand{\version}{Миша Вербицкий, v. 2.0, 14.01.2007}

% CHANGELOG
% v. 1.0, осень 2006
% v. 1.0, 15.01.2007 - все радикально переработано

\input{listki-new.tex}

\begin{document}


\listok{4}{Теория Ходжа 5: Оператор Грина}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Самосопряженные дифференциальные \\операторы}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
Напомним, что дифференциальный оператор
\[ {\cal D}:\; F \arrow F\] называется {\бф самосопряженным},
если для любых гладких сечений $x, y\in F$, имеем
\[ ({\cal D}(x), y) = (x, {\cal D}y). \]
\ео



\определение
Пусть $F$ - эрмитово расслоение со связностью $\nabla$.
Рассмотрим грубый лапласиан $D_\nabla:\; \nabla^*\nabla:\; F \arrow F$.
Напомним, что соболевскую метрику на сечениях $F$ можно определить
формулой
\begin{equation}\label{_Sobo_via_coarse_Lapla_Equation_}
(f,g)_{L^2_s}:= (f+ D_\nabla f + D_\nabla^2 f + ... + D_\nabla^s f , g)_{L_0^2},
\end{equation}
где $(\cdot, \cdot)_{L_0^2}=(\cdot, \cdot)$ -- обычное скалярное произведение
на сечениях $F$. Обозначим сумму $1+ D_\nabla+ D_\nabla^2+ ... + D_\nabla^s$
за $D_s$. Уравнение
\eqref{_Sobo_via_coarse_Lapla_Equation_}
перепишется в таком виде
\[
(f,g)_{L^2_s}= (D_s f, g).
\]
\ео

\задача
Рассмотрим отображение $D_1:\; L^2_{s+2}(F)\arrow L^2_s(F)$.
Воспользовавшись
\eqref{_Sobo_via_coarse_Lapla_Equation_},
докажите, что это изометрическое вложение.
\ез

\задача 
Пусть ${\cal D}:\; F \arrow F$ - самосопряженный
дифференциальный оператор порядка $i$, а $x\in L^2_s(F)$. 
Докажите, что следующие свойства равносильны
\begin{description}
\item[(i)] $х$ ортогонален замыканию
образа ${\cal D}:\;L^2_{s+i}(F)\arrow L^2_s(F)$.
\item[(ii)] $х\in \ker {\cal D}D_s:\;L^2_{s}(F)\arrow L^2_{0}(F)$.
\end{description}
\ез

\указание
По определению,
$(x, {\cal D}(y))_{L^2_s}=0$ для любого гладкого сечения $y\in F$ 
тогда и только тогда, когда 
\[
(D_s x, {\cal D}(y))=0, \ \  \forall y\in F.
\]
Из самосопряженности ${\cal D}$ следует, что
$({\cal D}D_s(x), y)=0$ для любого  $y\in F$.
\еу

\задача[!]
Докажите, что отображение
$D_s:\; L^2_{s+2}(F)\arrow L^2_s(F)$.
задает биективную изометрию гильбертовых пространств
\ез

\указание
Воспользуйтесь самосопряженностью $D_s$.
\еу

\задача[!]
Пусть $M$ - компактное риманово многообразие, а
$\Delta:\; \Lambda^*(M) \arrow \Lambda^*(M)$ - оператор
Лапласа на формах. 
Докажите, что 
\[ \Delta:\; L^2_{s+2}(\Lambda^*(M))\arrow
    L^2_s(\Lambda^*(M) )
\]
фредгольмов.
\ез

\указание 
Воспользуйтесь предыдущей задачей, леммой Реллиха \\ и формулой Вайценбека:
\[
D_1- \Delta = R,
\]
где $R$ -- оператор нулевого порядка на формах.
\еу

\задача
Пусть $M$ - компактное риманово многообразие, а 
\[ \delta:\; \Lambda^*(M) \arrow \Lambda^*(M)\] - оператор
первого порядка на формах, заданный формулой $\delta=d+d^*$
\енум
\итем Докажите, что $\delta$ самосопряжен, и удовлетворяет
$\delta^2=\Delta$.
\итем Докажите, что $\delta$ эллиптичен.
\итем Докажите, что 
\[ 
   \delta:\; L^2_s(\Lambda^*(M))\arrow L^2_{s-1}(\Lambda^*(M))
\]
фредгольмов.
\итем Докажите, что для гладких форм $\delta(x)=0$
тогда и только тогда, когда $\Delta(x)=0$.
\ее
\ез

\задача[!]
Пусть дифференциальный оператор ${\cal D}:\; F \arrow F$
порядка $i$ фредгольмов, самосопряжен и инъективен. Докажите, что 
он задает биекцию гильбертовых пространств
${\cal D}:\;L^2_{s+i}(F)\arrow L^2_s(F)$.
\ез

\задача[!]
Рассмотрим оператор $1+\Delta\; \Lambda^*(M) \arrow \Lambda^*(M)$,
переводящий $x\in \Lambda^*(M)$ в $\Delta(x) +x$.
Докажите, что 
\[ 1+\Delta\; L^2_{s+2}(\Lambda^*(M))\arrow
   L^2_{s}(\Lambda^*(M))
\] 
обратим.
\ез

\указание 
Этот оператор фредгольмов, самосопряжен и инъективен.
\еу

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Оператор Грина }
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
Рассмотрим обратный оператор
\[
  (1+\Delta)^{-1}:\;  L^2_s(\Lambda^*(M))\arrow
   L^2_{s+2}(\Lambda^*(M))
\]
определенный в силу предыдущей задачи.
{\бф Оператор Грина, обращающий $1+\Delta$}
есть композиция $(1+\Delta)^{-1}:\;  L^2_s(\Lambda^*(M))\arrow
   L^2_{s+2}(\Lambda^*(M))$
с проекцией $L^2_{s+2}(\Lambda^*(M))\arrow
L^2_s(\Lambda^*(M))$.
Из леммы Реллиха ясно, что этот оператор компактен.
Обозначим его за $G_{1+\Delta}$.
\ео

\задача
Докажите, что оператор Грина $G_{1+\Delta}$
диагонализуем, в некотором ортонормальном базисе.
\ез

\указание
Воспользуйтесь спектральной теоремой.
\еу

\задача[!]
Пусть $\eta\in L^2_s(\Lambda^*(M))$ --  собственный вектор 
оператора Грина, $G_{1+\Delta}(\eta)=\alpha\eta$.
Докажите, что $\eta$ лежит в 
\[
   L^2_{s+2}(\Lambda^*(M))\subset L^2_s(\Lambda^*(M)),
\]
и является собственным для действия $G_{1+\Delta}$
на $L^2_{s+2}(\Lambda^*(M))$.
\ез

\указание
Пусть $\{\eta_i\}$ - последовательность гладких
форм, сходящихся к $\eta$ в $L^2_s$. По определению
оператора Грина, $\{ G_{1+\Delta}(\eta_i)\}$
сходится к $\alpha\eta$ в $L^2_{s+2}$.
\еу

\задача
В условиях предыдущей задачи, докажите, что
$\eta$ лежит в $\bigcap_s L^2_s(\Lambda^*(M))$.
\ез

\замечание
В силу леммы Соболева, это значит, что $\eta$ 
представимо гладкой формой.
\еза

\задача
Пусть $\{\tilde\eta_i\}$ - ортонормальный базис в
$L^2_0(\Lambda^*(M))$, диагонализующий $G_{1+\Delta}$,
а $\eta_i\in \Lambda^*(M)$ - гладкие функции,
представляющие $\tilde\eta_i$. 
\енум
\итем
Докажите, что 
$\{\eta_i\}$ является ортонормальным базисом
в пространстве гладких форм.
\итем
Докажите, что
$\Delta$ действует диагонально на пространстве
$\Lambda^*(M)$ гладких форм, имеет
конечномерные собственные пространства,
вещественные собственные значения, и
его множество собственных значений дискретно.
\ее
\ез

\замечание
Замыкание множества собственных значений оператора 
$D$, диагонально действующего на каком-то бесконечномерном
векторном пространстве, называется его {\бф спектром}. 
Спектр оператора Лапласа, действующего на гладких
функциях, дискретен, как доказано выше.
\еза

\задача[*]
Пусть ${\cal D}:\; F \arrow F$ самосопряженный
дифференциальный оператор порядка $i>0$, причем
${\cal D}:\; L^2_{s+i}(F)\arrow L^2_{s}(F)$ фредгольмов
для каждого $i$. Докажите, что ${\cal D}$
диагонализуем в некотором ортонормальном
базисе пространства гладких сечений $F$,
и имеет дискретный спектр.
\ез

\задача[*]
Пусть ${\cal D}:\; F \arrow F$ - дифференциальный
оператор порядка $i>0$. Предположим, что
для каждого $s\geq i$ существуют
константы $C_1$, $C_2>0$ 
такие, что $\forall x\in  L^2_s(F)$, имеем
\begin{equation}\label{_Gording_inequa_Equation_}
|x|_s^2 \leq C_1 |{\cal D}(x)|^2_{s-i} + C_2 |x|_0.
\end{equation}
Докажите, что ${\cal D}$ фредгольмов.\footnote{Это 
неравенство называется {\бф неравенством Гординга} 
(G$\stackrel{{}_{{}_\circ}}{\text a}$rding).}
\ез

\задача[**]
Докажите, что любой эллиптический оператор 
на компактном многообразии удовлетворяет неравенству Гординга.
\ез


\определение
Пусть $M$ - компактное риманово многообразие, $\Delta$ лапласиан,
а $\{\eta_i\}$ - ортонормальный базис в $\Lambda^*(M)$,
диагонализующий $\Delta$. {\бф Оператор Грина для $\Delta$}
есть эндоморфизм $G_\Delta:\; \Lambda^*(M)\arrow \Lambda^*(M)$, 
действующий диагонально в этом же базисе, 
следующим образом. Если $\eta_i\in \ker \Delta$, 
то $G_\Delta(\eta_i)=0$. Если же $\Delta(\eta_i)=\alpha_i\eta_i$,
с ненулевым собственным значением
$\alpha_i$, то $G_\Delta(\eta_i)=\alpha_i^{-1}\eta_i$.
\ео

\определение
Форма называется {\бф гармонической}, если она лежит в ядре $\Delta$.
\ео

\задача
Докажите, что пространство гармонических форм на $M$ конечномерно.
Докажите, что пространство гармонических функций (0-форм) одномерно.
\ез

\задача
Докажите, что $\Delta G_\Delta= G_\Delta \Delta = \Id-\Pi$,
где $\Pi$ - ортогональная проекция на пространство
гармонических форм.
\ез

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Гармонические формы и когомологии}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Пусть $M$ - компактное риманово многообразие, $d$ дифференциал
де Рама, $d^*= - *d*$ - сопряженный оператор, $\Delta= dd^*+d^*d$
оператор Лапласа, действующий на дифференциальных формах.

\задача
Докажите, что образ $d$ ортогонален образу $d^*$.
\ез

\указание
\[
(d\eta, d^*\xi)= (d^2\eta, \xi).
\]
\еу

\задача
Пусть $\eta$ - дифференциальная форма.
Докажите, что следующие условия равносильны
\begin{description}
\item[(i)] $\Delta(\eta)=0$
\item[(ii)] $d\eta=d^*\eta=0$
\end{description}
\ез

\указание
\[
(\Delta\eta, \eta)= (dd^*\eta, \eta) + (d^*d\eta, \eta) = 
(d\eta, d\eta)+(d^*\eta, d^*\eta)
\]
\еу

\задача
Докажите попарную ортогональность следующих
подпространств $\Lambda^*(M)$: 
\[ \im d, \ \ \im d^*, \ \ \ker \Delta.\]
\ез

\задача[!]
Обозначим за $\Lambda^*_{\alpha_i}(M)$ собственное пространсво
Лапласа, которое соответствует собственному значению $\alpha_i$.
Рассмотрим разложение $\Lambda^*(M)=\oplus \Lambda^*_{\alpha_i}(M)$.
построенное выше. Докажите, что операторы $d$, $d^*$ сохраняют
это разложение.
\ез


\указание
Операторы $d$, $d^*$ коммутируют с $\Delta$.
\еу

\задача
Пусть $\alpha_i$ - ненулевое собственное значение Лапласа,
а $\Lambda^*_{\alpha_i}(M)$ -- соответствующее собственное пространство.
Докажите, что 
\[ 
   \Lambda^*_{\alpha_i}(M) = 
   d\left(\Lambda^*_{\alpha_i}(M)\right)\oplus 
   d^*\left(\Lambda^*_{\alpha_i}(M)\right)
\]
\ез
\указание
\[
\eta = \alpha_i^{-1} dd^*\eta + \alpha_i^{-1} d^*d\eta
\]
\еу

\замечание 
Мы получили разложение такого вида
\[
\Lambda^*(M)= \Lambda^*_0(М) \oplus
\bigoplus\limits_{\alpha_i\neq 0}d\left(\Lambda^*_{\alpha_i}(M)\right)
 \oplus\bigoplus\limits_{\alpha_i\neq 0} d^*\left(\Lambda^*_{\alpha_i}(M)\right)
\]
\еза

\задача[!]
Докажите, что имеет место следующее ортогональное
разложение на пространстве гладких форм
\[
\Lambda^*(M)= \Lambda^*_0(М) \oplus \im d \oplus \im d^*.
\]
где $\Lambda^*_0(М)$ - пространство гармонических форм.
\ез

\указание 
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\задача 
Пусть $\alpha_i$ - ненулевое собственное значение Лапласа.
Рассмотрим комплекс
\[
\Lambda^0_{\alpha_i}(M) \stackrel d\arrow
\Lambda^1_{\alpha_i}(M) \stackrel d\arrow ...
\]
Докажите, что он точен.
\ез

\указание
Воспользуйтесь формулой $Gd+dG=1$, где
$G$ действует на $\Lambda^*_{\alpha_i}(M)$
как $\alpha^{-1}d^*$.
\еу

\задача[!]
Докажите, что когомологии $d$ изоморфны пространству
гармонических форм $\Lambda^*_0(М)$.
\ез

\указание 
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Дзета-функция многообразия}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%




\задача[*]
Пусть $M$ - компактное риманово многообразие,
размерности $d$. 
Обозначим за $C^0(M)$ пространство
непрерывных функций, с топологией, заданной нормой 
$|f|_{C^0}=\sup_M |f|$.
\енум
\итем 
Воспользовавшись леммой Соболева, докажите, что
$L^2_{d}$-ин\-тег\-ри\-ру\-е\-мые функции 
непрерывны.

\итем
Выведите из этого, что 
естественное отображение 
\[ L^2_d(M)\arrow C^0(M)
\] 
непрерывно. 

\итем 
Пусть $m\in M$. $\delta$-функция Дирака
есть отображение из непрерывных функций в числа,
переводящее $f$ в $f(m)$.
Докажите, что $\delta$-функция непрерывна
в $L^2_{d}$-топологии.
\ее
\ез


\задача[*]
Обозначим за
 $t:=\left[\frac {d+1} 2\right]$ целую часть $\frac {d+1} 2$.

\енум
\итем
Пусть $G_\Delta$ - оператор Грина, $m\in M$ - любая точка. 
Докажите, что функция $L^2(M) \arrow \C$, переводящая
$f$ в $(G_\Delta)^t f(m)$ непрерывна в $L^2$-топологии.

\итем
Пусть $\eta_i$ - ортонормированный базис, диагинализующий 
лапласиан $\Delta$, а $\alpha_i$ - соответствующие собственные значения.
Докажите, что ряд
\[
\sum_i \alpha^{-t} \eta_i(m) \eta_i 
\]
сходится, для любого $m\in M$

\итем
Выведите из этого, что ряд $\sum \alpha^{t}$ сходится.
\ее
\ез

\определение
Пусть $K:\; H \arrow H$ - компактный, самосопряженный
оператор на гильбертовом пространстве, $\eta_i$ 
базис, в котором $K$ диагонализуется, 
$\alpha_i$ - соответствующие собственные значения.
Компактный самосопряженный оператор на гильбертовом
пространстве называется {\бф ядерным}, если ряд $\sum \alpha_i$,
составленный из его собственных значений, абсолютно
сходится.
\ео

\задача[*]
В предположениях предыдущей задачи, 
докажите, что оператор $(G_\Delta)^t$ ядерный.
\ез

\определение
Пусть $M$ - компактное риманово многообразие,
$\eta_i$ - ортонормированный базис в $C^{\infty}(M)$, 
диагонализующий  лапласиан $\Delta$, а $\alpha_i$ - все ненулевые 
собственные значения $\Delta$ (с кратностями).
Определим {\bf $\zeta$-функцию многообразия $M$} формулой
\[
\zeta_M(s)= \sum_i \alpha_i^{-\frac s 2}.
\]
\ео

\задача[*]
Докажите, что $\zeta$-функция сходится для ${\sf Re} (s) > t$
\ез

\задача[*]
Докажите, что  $\zeta$-функция окружности равна
$\zeta$-функ\-ции Римана: \[\zeta_{S^1}(s)= \sum_i \frac 1 {i^s}.\]
\ез


\end{document}