\documentclass[12pt]{article}

\usepackage{theorem,amsmath,amssymb,russcorr}

\input{listki-new.tex}

\begin{document}

\listok{8}{Теория Меры 8: Задачи для экзамена}

Листочек называется сданным, если сданы
все задачи без звездочки (кроме, быть может, трех),
либо больше 4/5 задач со звездочкой и восклицательным знаком.
Чтобы сдать экзамен, нужно непосредственно на экзамене
решить $2n$ задач, где $n$ - число несданных листков. 
Если задача относится к несданному листку, 
она засчитывается за две.

\hfill

\subsection{ Задачи к листку 1}

\задача
Рассмотрим кольцо $R$ многоугольников в $\R^2$ (кольцо,
порожденное
замкнутыми треугольниками).
Пусть на $R$ задана функция $\lambda$ со значениями в $[0, \infty[$,
удовлетворяющая следующим свойствам

\енум
\итем $\lambda(I)=0$, где $I$ это отрезок, интервал или полуинтервал

\итем $\lambda(A)=\lambda(B)$, если $A$ может быть
получено из $B$ параллельным переносом.
\итем $\lambda$ аддитивна: $\lambda(A\coprod B) = \lambda(A)+\lambda(B)$.
\ее

Докажите, что $\lambda$ задается этими свойствами
однозначно, с точностью до постоянного множителя.
\ез

\задача
Выведите свойство а. предыдущей задачи из б.
\ез


\задача
Пусть $L$ есть плоскость Лобачевского
(плоскость, заданная аксиомами Евклида, где постулат
о существовании и единственности параллельной прямой,
проходящей через заданную точку, заменен на утверждение
"сумма углов треугольника строго меньше $\pi$"). Определим объем
выпуклого $n$-угольника $N$ как $(n-2)\pi-\alpha$,
где $\alpha$ это сумма углов $N$.  Докажите, что
эта функция продолжается до аддитивной функции $\lambda$
на кольце многоугольников, со значениями в
 $[0, \infty[$. Для каких многоугольников
$\lambda(N)$ равна сумме углов $N$?
\ез

\subsection{ Задачи к листку 2}

\задача
Дана булева алгебра $A$. Рассмотрим множество $Spec(A)$ 
всех максимальных идеалов $A$. Для каждого $a\in A$,
рассмотрим подмножество $U_a\subset Spec(A)$, состоящее
из всех идеалов, не содержащих $a$.
Определим на $Spec(A)$ топологию, с базой, состоящей
из всех $U_a$. Докажите, что $Spec(A)$ хаусдорфово и 
вполне несвязно (не содержит связных подмножеств, кроме точки).
\ез

\задача
Для любого $a\in A$, рассмотрим  функцию
на $f_a:\; Spec(A)\arrow \{0,1\}$, ставящую
$1$ в соответствие идеалу, не содержащму $a$,
и $0$ в соответствие идеалу, содержащему $a$.
Докажите, что все функции $f_a$ непрерывные, и
любая непрерывная функция получается
таким образом.
\ез

\задача
Докажите, что любая булева алгебра получается
как алгебра, порожденная открытыми подмножествами
в некотором хаусдорфовом, вполне несвязном пространстве.
Докажите, что это пространство единственно.
\ез

\subsection{ Задачи к листку 3}

\задача
Дана монотонно возрастающая 
последовательность $\{f_i\}$ интегрируемых функций
на $\R^n$. Предположим, что все $f_i$ ограничены
сверху некоторой интегрируемой функцией.
Докажите, что $\sup f_i$ интегрируемая,
и $f_i$ сходится к $\sup f_i$ в топологии,
заданной нормой $|f|_1$
\ез

\задача
Докажите, что поточечный предел измеримых функций измерим.
\ез

\задача
Приведите пример измеримой функции,
которую нельзя получить как поточечный предел
последовательности непрерывных функций.
\ез

\subsection{ Задачи к листку 4}

\задача
Вещественнозначная функция $f$ на отрезке называется 
{\бф абсолютно непрерывной}, если для любого $\epsilon>0$
существует $\delta>0$ такая, что для любого набора
непересекающихся интервалов $\{ [a_i, b_i]\}$ с суммой
длин, ограниченных $\delta$, справедлива оценка
$\sum |f(a_i)-f(b_i)|<\epsilon$. Докажите, что
абсолютно непрерывная функция дифференцируема почти всюду,
а ее производная интегрируема.
\ез


\задача
Докажите, что в $\R^n$ не существует измеримого множеества
$A$ такого, что $\mu(A\cup B)=1/2 \mu(B)$ для любого куба
$B$ ($\mu$ - мера Лебега).
\ез

\задача
Меры $\mu, \nu$ называются {\бф эквивалентными},
если $\mu$ абсолютно непрерывна относительно $\nu$, а
$\nu$ абсолютно непрерывна относительно $\mu$.
Пусть на $\R^n$ задана мера $\mu$, такая, что
для каждого сдвига $P:\; \R^n \arrow \R^n$,
$P_*\mu$ эквивалентна $\mu$. Докажите, что
$\mu$ эквивалентна мере Лебега.
\ез


\subsection{ Задачи к листку 5}

\задача
Пусть $\mu$ - мера на $\R^n$
абсолютно непрерывная относительно меры Лебега.
Всегда ли $\mu$ принадлежит классу $C^1$?
\ез

\задача
Докажите, что мера Лебега гладкая, и для 
любого векторного поля $\vec v$ заряд
$\Lie_{\vec v} \mu$ абсолютно непрерывен
относительно $\mu$, где $\mu$ есть мера Лебега.
\ез

\задача
{\бф Дивергенцией} $Div(\vec v)$ называется функция
$f$ такая, что $f\mu = \Lie_{\vec v} \mu$. 
Для заданной гладкой функции
$f$ на $\R^n$, найдите векторное поле $v$ такое, что
$f = Div(\vec v)$.
\ез


\subsection{ Задачи к листку 6}

\задача
Пусть $C$ есть пространство непрерывных вещественнозначных
функций на отрезке $[0,1]$, с топологией, заданной нормой
$|f|_2 = \sqrt{\int_{[0,1]} f^2\mu}$, ($\mu$ - мера
Лебега на отрезке), а $L_2([0,1])$ его
пополнение по этой норме. Будет ли открытый
шар в $L_2([0,1])$ борелевским множеством?
\ез

\задача
Существует ли инвариантная относительно параллельных
переносов ненулевая борелевская мера на $L_2([0,1])$?
\ез

\задача
Найдите все инвариантные относительно
параллельных переносов борелевские меры на 
$p$-адическом векторном пространстве $\Q_p^n$.
\ез


\subsection{ Задачи к листку 7}

\задача
Найдите локально компактную хаусдорфову 
топологическую группу, у которой правая мера Хаара не
пропорциональна левой.
\ез

\задача
Верно ли, что правая мера Хаара на 
компактной хаусдорфовой топологической
группе $G$ всегда пропорциональна левой?
\ез

\задача
Рассмотрим группу $G$ обратимых верхнетреугольных 
матриц $2\times 2$ 
\[ A = \begin{pmatrix}
a_{11}& a_{12} \\
0 & a_{22}
\end{pmatrix}
\]
Отображение $A \arrow (a_{11}, a_{12}, a_{22})$
отождествляет $G$ и открытое подмножество в $\R^3$,
заданное условиями $a_{11}\neq 0, a_{22}\neq 0$. 
Докажите, что мера Хаара $h$ на $G$ абсолютно непрерывна
относительно меры Лебега $\mu$ на $\R^3$. Найдите
функцию $f$ такую, что $h = f \mu$. 
\ез


\end{document}
