\documentclass[12pt]{article}

\usepackage{theorem,amsmath,amssymb,russcorr}

\input{listki-new.tex}

\begin{document}

\listok{4}{Теория Меры 4: Теорема Радона-Никодима и
  теорема Фубини}


\subsection{Разложение Хана}

\определение
Напомним, что {\бф зарядом} называется счетно-аддитивная
функция на $\sigma$-алгебре, принимающая значения в $\R$.
\ео

\задача[!]
\label{_beta_Han_Zadacha_}
Пусть $\rho$ - заряд на сигма-алгебре ${\goth U}\subset 2^S$, а 
$\beta:= \inf \rho(B_\alpha)$, где $\inf$
берется по всем $B_\alpha$ таким, что 
$\rho(B_\alpha)<0$. 

\енум

\итем Докажите, что $\beta > -\infty$.

\итем Пусть $E$ измеримое множество, такое, что
$\rho(E)\leq \beta +\epsilon$. Докажите, что 
для любого $E'\subset S\backslash E$, 
$\rho(E') \geq -\epsilon$.

\итем Пусть $E_1, E_2$ измеримые множества,
причем $\rho(E_i)\leq \beta +\epsilon_i$.
Докажите, что $\rho(E_1\triangle E_2) \geq -\epsilon_1 -\epsilon_2$.
Выведите из этого, что $\rho(E_1\cup E_2) \leq \beta +\epsilon_1 +\epsilon_2$
и $\rho(E_1\cap E_2) \leq \beta +\epsilon_1 +\epsilon_2$.

\итем 
Пусть $E_i$ - последовательность измеримых множеств,
такая, что $\rho(E_i) \leq \beta + \frac 1 {2^i}$.
Докажите, что последовательность $B_{j}:= \cup_{i>j} E_j$
обладает тем же свойством.

\итем
В этих условиях, покажите, что $\rho(B)=\beta$,
где $B=\bigcap B_i$.
\ее
\ез

\задача
В условиях предыдущей задачи,
обозначим $S\backslash B$ за $A$.
Докажите, что $\rho(V)\geq 0$
для любого измеримого $V\subset A$.
\ез

\определение
В этой ситуации говорится, что
заряд $\rho$ {\бф положителен на $А$},
обозначается $\rho \geq 0$. Ясно, что в
таком случае $\rho\restrict A$ является мерой.
Если $-\rho$ положителен, говорится, что
$\rho$ отрицателен. Если же $\rho(V)=0$
для любого измеримого $V\subset A$, говорится, 
что множество $A$ {\bf $\rho$-пренебрежимо}.
\ео

\задача[!]
В условиях Задачи \ref{_beta_Han_Zadacha_},
докажите, что $\rho$ отрицателен на $B$,
положителен на $A:= S\backslash B$, и разложение
$S=A\coprod B$ определено однозначно с точностью
до $\rho$-пренебрежимого множества.
\ез

\определение
Это разложение называется {\бф разложением Хана}.
\ео

\задача 
Обозначим за $\rho^+$ меру
$V \arrow \rho(V\cap A)$ и за
$\rho^-$ меру $V \arrow -\rho(V\cap B)$.
Докажите, что $\rho = \rho^+- \rho^-$.
Докажите, что такое разложение единственно для
любого заряда $\rho$, в предположении, что 
$\rho^+=0$ на некотором 
множестве $B_1$, $\rho^-=0$ на 
некотором множестве $A_1$,
и $A_1\cup B_1=S$.
\ез


\определение
Это разложение называется {\бф разложением Жордана}.
\ео

\задача
Пусть $f$ интегрируемая функция на пространстве 
с мерой $\mu$. Докажите, что $\rho(A) := \int_A f\mu$ 
это заряд. Напишите разложение Жордана и разложение
Хана для меры $\rho$.
\ез


\subsection{Абсолютная непрерывность}

\определение
Пусть $S$ - пространство с сигма-алгеброй, а 
$\mu$ и $\nu$ две меры. Мы говорим, что
$\nu$ {\бф абсолютно непрерывна} относительно
$\mu$ (обозначается $\nu \ll\mu$) если
для любого измеримого множества $A$, 
из $\mu(A)=0$ следует $\nu(A)=0$.
\ео

\замечание
Алгебру измеримых (по Лебегу) множеств на
$\R^n$ мы предполагаем фиксированной.
Когда говорится о мере на $\R^n$, всегда
речь идет о мере на этой алгебре.
\еза

\задача
Приведите пример меры на $\R^n$, не 
равномерно непрерывной относительно меры 
Лебега
\ез

\задача 
Найдите бесконечный набор $M$ мер на $\R^n$,
таких, что никакая мера $\mu \in M$ не равомерно
непрерывна относительно другой $\mu'\in M$.
\ез

\задача[**]
Найдите такой набор мощности больше континуума.
\ез

\задача
Пусть $\mu$ мера на пространстве с сигма-алгеброй,
а $f$ - интегрируемая функция со значениями
в $\R^{\geq 0}$. Определим меру
$f\mu$ как $A\arrow \int_A f \mu$.
Докажите, что $f\mu \ll \mu$.
\ез

\задача[!]
\label{_abso_nepre_epsilo_del_Zadacha_}
Пусть  на пространстве $S$ с сигма-алгеброй заданы
меры $\nu\ll\mu$, причем $\nu(S)<\infty$.  
Докажите, что для любого
$\delta>0$ найдется $\epsilon>0$ такой, что
из $\mu(V)<\epsilon$ вытекает $\nu(V)<\delta$.
\ез

\замечание
Довольно часто это свойство предлагается в качестве
определения абсолютной непрерывности.
\еза

\задача[*]
Найдите контрпример к утверждению
предыдущей задачи, в ситуации, когда $\nu(S)=\infty$.
\ез

\задача
В условиях задачи \ref{_abso_nepre_epsilo_del_Zadacha_},
предположим, что $\mu(S)<\infty$ и $\nu(S)>0$.
Рассмотрим заряд $\nu - \epsilon \mu$,
где $\epsilon >0$, и пусть $S= A_\epsilon \coprod B_\epsilon$
соответствующее ему разложение Хана.
\енум
\итем 
Докажите, что $\nu(B_\epsilon) \leq \epsilon \mu(S)$,
и $\lim\limits_{\epsilon \arrow 0} \nu(B_\epsilon)=0$.

\итем Выведите из этого, что $\nu(A_\epsilon)> \frac 1 2 \nu(S)$
для достаточно маленьких $\epsilon$. 

\итем Докажите, что $\mu(A_\epsilon)>0$ для какого-то
$\epsilon$
\ее
\ез

\задача[!]
\label{_ograni_abso_nepre_Zadacha_}
Пусть  на пространстве $S$ с сигма-алгеброй заданы
меры $\nu\ll\mu$, причем $0<\nu(S)<\infty$ и
$\mu(S)< \infty$. Докажите, что
для какого-то измеримого множества 
$A$ с $\mu(A)>0$, и какого-то
$\epsilon >0$ заряд $\nu - \epsilon \mu$
положителен на $A$.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей
\еу

\задача[!]
Приведите контрпример к утверждению задачи
\ref{_ograni_abso_nepre_Zadacha_}, где $\mu$
мера Лебега на единчном кубе $S\subset \R^n$, 
а $\nu$ не обязательно удовлетворяет $\nu\ll\mu$.
\ез


\задача
Пусть  на пространстве $S$ с 
с сигма-алгеброй заданы меры $\nu\ll\mu$,
причем $\mu(S)< \infty$ и $\nu(S)<\infty$.
Рассмотрим множество ${\cal F}$ интегрируемых 
функций $f:\; S\arrow \R^{\geq 0}$ таких, что  
$\int_E f\mu \leq \nu(E)$ для любого измеримого
множества $E\subset S$. Пусть
$\alpha$ есть супремум 
$\sup\limits_{f\in \cal F} \int_S f\mu $.
Докажите, что $\alpha =\int_S \nu$,
и этот супремум реализуется для измеримой
функции $f\in \cal F$.
\ез

\указание
Рассмотрим последовательность
$\{f_i\}\in {\cal F}$ таких, что 
\[ 
\lim_i \int_S f_i \mu = \alpha.
\]
Докажите, что $f:=\sup f_i$ это измеримая функция,
лежащая в ${\cal F}$ и удовлетворяющая $\alpha =\int_S f\mu$.
Воспользовавшись задачей
\ref{_ograni_abso_nepre_Zadacha_},
найдите $A$, $\mu(A)>0$ и $\epsilon$ такие,
что $\nu' > \epsilon \mu$ на $A$,
где $\nu' := \nu - f\mu$.
Функция $f':= f+ \epsilon \chi_A$ принадлежит ${\cal F}$
и удовлетворяет $\int_S f' > \int_S f$.
\еу

\замечание
На протяжении этого листка полезно пользоваться следующей
леммой. Пусть $\{f_i\}$ - монотонно убывающая
или возрастающая последовательность интегрируемых
функций, ограниченная по норме $|\cdot|_1$. Тогда $\{f_i\}$ это
последовательность Коши в смысле $L_1$-топологии,
(топологии, заданной нормой $|\cdot|_1$), и сходится
(в смысле $L_1$-топологии) к поточечному
пределу $f_i$. Докажите ее.
\еза


\задача[!]
(теорема Радона-Никодима)
Пусть  на пространстве $S$ 
с сигма-алгеброй заданы меры $\nu\ll\mu$,
причем $\mu(S)< \infty$ и $\nu(S)<\infty$.
Докажите, что существует интегрируемая функция
$f:\; S\arrow \R^{\geq 0}$ такая, что
$\nu = f\mu$. 
\ез

\указание
Воспользовавшись предыдущей задачей,
найдите измеримую функцию $f\in \cal F$ такую, что
$\int_S f\mu = \nu(S)$. Выведите из этого,
что $\int_E f\mu = \nu(E)$ для любого измеримого
множества $E$.
\еу

\задача[*]
Определите абсолютную непрерывность для зарядов.
Сформулируйте и докажите теорему Радона-Никодима
в такой ситуации.
\ез

\subsection{Прямой образ меры}

\определение
Пусть $M$, $N$ пространства с заданными
на них сигма-алгебрами ${\goth U}_M$ и ${\goth U}_N$,
а $f:\; M \arrow N$ - измеримое отображение.
Определим {\бф прямой образ меры} $f_*\mu:\; {\goth
U}_N\arrow \R$ посредством 
\[ f_*\mu (Z):= \mu (f^{-1}(Z))).
\]
\ео

\задача Докажите, что это определение задает 
меру на $N$.
\ез

\задача[!]
Рассмотрим измеримую функцию $f:\; I \arrow I$,
и пусть $\pi:\; I\times I \arrow I$
проекция на первый множитель.
Рассмотрим $K\subset I\times I$
состоящий из всех 
\[ 
   \{ x, y\in I\times I\ \ | \ \ f(x)\geq y\}. 
\]
$K$ следует рассматривать как область под графиком $f$ в $I\times I$.
В предположении, что мера произведения
на $I\times I$ $\sigma$-аддитивна, докажите, что 
$K$ измеримо, а $\pi_* \mu= f\mu$, где $\mu$ 
это мера Лебега.
\ез


\определение
Пусть $M$, $N$ топологические 
пространства, ${\goth U}_M$ и ${\goth U}_N$
алгебры борелевских множеств,
а $f:\; M \arrow N$ - непрерывное
отображение. Пусть на $M$ задана мера $\mu$.
Определим {\бф прямой образ меры}
$f_*\mu:\; {\goth U}_N\arrow \R$ так: 
\[ f_*\mu (Z):= \mu (f^{-1}(Z))).
\]
Прямой образ меры Лебега при
непрерывном отображении компактных подмножеств из
$\R^n$ продолжается до  меры на алгебре измеримых
множеств. Полученная мера называется
{\бф прямым образом меры Лебега}.
\ео

\задача
Приведите пример непрерывного отображения
$f:\; M \arrow N$ открытых подмножеств $\R^n$ такого,
что прямой образ меры Лебега не абсолютно
непрерывен по отношению к мере Лебега на $N$.
\ез

\задача[!]
Пусть $L:\; \R^n \arrow \R^n$ невырожденный 
линейный оператор. Докажите, что $L_* \mu = |\det L| \mu$.
\ез

\задача[*]
Пусть $\phi:\; [0,1] \arrow [0,1]\times [0,1]$ - 
отображение Пеано (непрерывное сюрьективное 
отображение из отрезка в квадрат, построенное
в листке Геометрия 8). Докажите, что 
$\phi_*\mu=\mu$, где $\mu$ это мера Лебега. 
\ез

\задача[*]
Пусть $(A, \mu_A)$, $(B, \mu_B)$  пространства с мерой, а 
$\phi:\; A\arrow B$, $\psi:\; B\arrow A$ инъективные
измеримые отображения, которые удовлетворяют $\psi_* \mu_B=\mu_A$,
$\phi_* \mu_A=\mu_B$. Предположим,
что образ $\psi$ и $\phi$ также измерим, и
обратные отображения (определенные на образе)
измеримы. Докажите, что есть биекция
$\xi:\; A\arrow B$, которая удовлетворяет
$\xi_* \mu_A=\mu_B$.
\ез

\задача[*] Пусть $(A, \mu_A)$, $(B, \mu_B)$ - единичные кубы в  $\R^n$ 
и в $\R^m$, с мерой Лебега. Постройте измеримую 
биекцию $\xi:\; A\arrow B$, которая удовлетворяет
$\xi_* \mu_A=\mu_B$, $\xi^{-1}_* \mu_B=\mu_A$.
\ез

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Теорема Фубини}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
Пусть $(X, \mu_X)$ и $(Y, \mu_Y)$ пространства с
$\sigma$-алгеброй и счетно-аддитивной мерой.
Напомним, что цилиндрическим множеством называется
подмножество вида $A\times B\subset X\times Y$, где
$A$ и $B$ измеримы в $X$, $Y$. Рассмотрим алгебру,
порожденную цилиндрическими подмножествами в $X\times Y$,
и положим $\mu(A\times B):= \mu_X(A)\mu_Y(B)$.
Пусть $L(X\times Y)$ - пополнение этой алгебры,
по внешней мере $\mu^*$, связанной с $\mu$, определенное
в листке 2.
\ео

\задача
В этих условиях, обозначим за $\pi:\;  X\times Y\arrow Y$
естественную проекцию. Рассмотрим измеримое подмножество
$A\subset X\times Y$, и пусть $\pi_* \mu_A:= \pi_* (\chi_A \mu^*)$
прямой образ меры с $A$. Предположим, что
$X$ является счетным объединением подмножеств конечной
меры (такие пространства называются {\бф $\sigma$-конечными}.
Докажите, что 
$\pi_* \mu_A$ абсолютно непрерывно относительно $\mu_Y$:
$\pi_* \mu_A\ll \mu_Y$
\ез

\замечание
\label{_prya_obra_R_N_Zamechanie_}
Согласно теореме Радона-Никодима, 
$\pi_* \mu_A= f_A \mu_Y$, для какой-то 
измеримой функции $f_A$ на $Y$. 
\еза


\задача 
Пусть $A\subset X\times Y$ - цилиндрическое измеримое множество,
представленное в виде счетного объединения цилиндрических:
$A = \coprod A_i$. Докажите, что 
$\pi_*(\chi_A \mu)=\sum\pi_*( \chi_{A_i}\mu)$.
Выведите из этого, что мера $\mu$ на $X\times Y$
$\sigma$-аддитивна.
\ез

\замечание
Из этого следует, например, что мера Лебега от единичного
куба равна 1. Доселе мы не могли этого утверждать.
\еза



\задача
Пусть $A\subset X\times Y$ множество меры нуль. 
Докажите, что $f_A=0$, где $f_A$ - функция, определенная
выше
\ез

\указание
Воспользуйтесь тем, что $\int_Y f_A \mu_Y= \int_A \mu^*=0$.
\еу


\задача
Пусть задана последовательность Коши измеримых множеств
$A_i\subset X\times Y$, сходящаяся к $A\subset X\times Y$,
а $f_{A_i}$, $f_A$ - функции на $Y$, построенные выше. Докажите, что 
$f_{A_i}$ сходится к $f_A$ в метрике, заданной $|\cdot |_1$.
\ез

\указание
Если $\mu(B)=\epsilon$, то $\int_Y f_B \mu_Y=\epsilon$.
\еу


\определение
Пусть $A\subset X\times Y$ измеримо.
Рассмотрим функцию $f_A$ на $Y$ 
(Замечание \ref{_prya_obra_R_N_Zamechanie_}).
Подмножество $A\subset X\times Y$
называется $\pi$-измеримым, если 
$A_y:= A\cap \pi^{-1}(y)\subset X\times \{y\}$
измеримо для почти всех $y\in Y$ (т.е. вне множества
меры нуль на $Y$), и $\mu_X(A_y) = f_A(y)$ почти везде.
\ео

\задача[!]
Докажите, что цилиндрические множества $\pi$-измеримы.
Докажите, что конечные объединения и пересечения 
$\pi$-измеримых множеств $\pi$-измеримы. Докажите,
что множества меры нуль $\pi$-измеримы.
\ез

\определение
Последовательность подмножеств $\{A_i\}\subset S$
называется {\бф монотонной}, если $A_i\subset A_j$ для всех $j>i$,
либо $A_i\supset A_j$ для всех $j>i$. В первом случае
говорится, что $\{A_i\}$ возрастающая последовательность,
во втором случае - убывающая.
\ео

\задача
\енум
\итем
Пусть задана монотонная последовательность 
$A_i\subset X\times Y$ $\pi$-измеримых множеств. Докажите, что
функция $y\arrow \mu_X({A_i}_y)$ сходится к 
$y \arrow \mu_X(A_y)$, где $A=\bigcup A_i$
для возрастающей последовательности и $A=\bigcap A_i$
для убывающей последовательности.
 
\итем Выведите из этого, что монотонная последовательность
Коши $\pi$-измеримых множеств сходится к $\pi$-измеримому множеству
\ее
\ез

\задача[!]
Докажите, что все измеримые подмножества в $X\times Y$ $\pi$-измеримы.
\ез

\указание
Докажите, что любое измеримое множество,
с точностью до множества меры нуль, приближается
последовательностью Коши вида $\bigcup_{j} \bigcap_{i>j} A_i$,
где все  $A_i$ - конечные объединения цилиндрических.
Выведите из этого, что любое измеримое подмножество
(с точностью до множества меры нуль) получается
посредством монотонных пределов из $\pi$-измеримых множеств.
\еу

\задача[*]
Пусть $I$ есть единичный интервал, а 
$\phi:\; I \arrow I^n$ отображает
число $x$ с десятичной записью $0,a_1 a_2, ...$
в $(x_1, ... x_n)$, где $x_ i$ записывается
в десятичном виде как $0,a_i a_{i+n} a_{i+2n} ...$.
Обозначим за $\mu_I$ меру Лебега на $I^n$.
Докажите, что $\phi_*\mu_{I}$ есть мера Лебега
на кубе $I^n$
\ез


\задача[!]
(теорема Фубини)
Пусть $\phi$ интегрируемая функция на $X\times Y$, с мерой,
заданной выше. Для $y\in Y$, рассмотрим ограничение
$\phi$ на $X\times \{y\}$ как функцию $\phi_y:\; X\arrow \R$.
Докажите, что $\phi_y$ измеримо для почти всех $y\in Y$,
и 
\[ 
\int_{X\times Y} f \mu =
\int_Y \left(\int_X \phi_y \mu_X\right)\mu_Y.
\]
\ез

\задача[*]
Приведите пример неизмеримой функции $f:\; \R \arrow \R$,
график которой измерим.
\ез

\задача[**]
Существует ли функция $f:\; \R \arrow \R$,
график которой неизмерим?
\ез


\end{document}
