\documentclass[12pt]{article}

\usepackage{theorem,amsmath,amssymb,russcorr}

\input{listki-new.tex}

\begin{document}

\listok{5}{Теория Меры 5: Мера на гладких многообразиях}

\subsection{Мера Лебега и дифференциальные формы}

\замечание
Пусть $M$, $N$ -  открытые подмножества в $\R^n$,
а $\phi:\;  M \arrow N$ - гладкое отображение. Дифференциал
$D\phi:\; T_x M \arrow T_{\phi(x)} N$ лежит в
пространстве $\Hom(T_x M, T_{\phi(x)} N)$.
Пользуясь евклидовой метрикой на $T_x M, T_{\phi(x)} N$,
можно определить метрику на $\Hom(T_x M, T_{\phi(x)} N)$
(тензорное произведение пространств с метрикой наделено
естественной метрикой). Аналогичным образом определяется
метрика на $\Hom(T_{\phi(x)} N, T_x M)$ и других
подобных пространствах.
\еза


\задача
\label{_metrika_ogra_diff_Zadacha_}
Зафиксируем константу $C$. 
Пусть задано гладкое отображение
$\phi:\;  M \arrow N$ открытых подмножеств $\R^n$, причем
дифференциал $D\phi:\; T_x M \arrow T_{\phi(x)} N$
удовлетворяет $|D\phi|<C$
по отношению к естественной евклидовой 
метрике $|\cdot |$ на пространстве 
$\Hom(T_x M, T_{\phi(x)} N)$. Докажите, что
$ C d(x,y) \geq d(\phi(x), \phi(y))$,
где $d$ есть естественная (евклидова)
метрическая структура на $\R^n$.
\ез

\задача[*]
В условиях предыдущей задачи, обозначим за $\mu$
меру Лебега, и пусть $\mu^*$ соответствующая
внешняя мера. Докажите, что $\mu^*(\phi(A))\leq C^n\mu(A)$,
для любого измеримого множества $A$.
\ез

\задача[!]
\label{_phi^-1_izmerimo_abso_nepre_Zadacha_}
В условиях задачи
\ref{_metrika_ogra_diff_Zadacha_}, предположим, что
$\phi$ биективно, и $D\phi$ всюду невырожден. 
Докажите, что  $\phi^{-1}$ измеримо, и, более того,
$\phi^{-1}_*\mu \leq  C^n\mu$.
\ез

\задача
Из предыдущей задачи следует, 
что $\phi^{-1}_*\mu$ абсолютно непрерывно
относительно $\mu$. По теореме Радона-Никодима,
$\phi^{-1}_*\mu= f\mu$, где $f$ измеримая функция.
Найти $f$ для обратимого линейного отображения 
$\phi\in GL(n,\R)$.
\ез

\задача
Пусть задано гладкое биективное отображение
$\phi:\;  M \arrow N$ открытых подмножеств $\R^n$.
Пользуясь линейной структурой на $M$ и $N$,
отождествим касательные пространства
$T_x M, T_{\phi(x)} N$. Обозначим
тождественное отображение $\Id\in \Hom(T_x M, T_{\phi(x)} N)$
за ${\Bbb I}$. Предположим, что 
$|D\phi-{\Bbb I}|<\epsilon$ (т.е. 
$D\phi$ близок к тождественному).
\енум

\итем Докажите, что $|D\phi|< 1+\epsilon$ и 
$|D\phi^{-1}|< \frac 1 {1-\epsilon}$.

\итем Докажите, что 
\[ \frac 1 {{(1-\epsilon)}^n}\mu \leq \phi^{-1}_*\mu \leq  (1+\epsilon)^n\mu
\]
\итем 
Пользуясь Задачей \ref{_phi^-1_izmerimo_abso_nepre_Zadacha_}
и теоремой Радона-Никодима, запишем 
$\phi^{-1}_*\mu= f\mu$, где $f$ - измеримая функция.
Докажите, что вне множества меры нуль
\[ 
   \frac 1 {{(1-\epsilon)}^n}\leq f\leq(1+\epsilon)^n.
\]
\ее
\ез

\задача[!]
Пусть задано гладкое биективное отображение
$\phi:\;  M \arrow N$ открытых подмножеств $\R^n$.
Пользуясь линейной структурой на $M$ и $N$,
отождествим касательные пространства
$T_x M, T_{\phi(x)} N$. 
По теореме Радона-Никодима,
запишем  $\phi^{-1}_*\mu= f\mu$, где $f$ - измеримая функция.
Докажите, что вне множества меры нуль, $f=\det(D\phi)$.
\ез

\задача
В условиях предыдущей задачи,
обозначим за $Vol_N$ единичное сечение 
детерминантного расслоения. Другими словами,
$Vol_N$ есть дифференциальная $n$-форма
на $N$, которая в естественных координатах
$x_1, ... x_n$ на $N\subset\R^n$ записывается в виде 
$d x_1\wedge d x_2 \wedge ... \wedge d x_n$.
Докажите, что $\phi^{-1}_*\mu= \phi^* \mu$,
где $\phi^* \mu$ есть обратный образ дифференциальной
формы.
\ез



\задача
Пусть $(N, \omega)$ - $n$-многообразие с заданной 
на нем $n$-формой $\omega$, а $\phi:\; M \arrow N$
обратимая гладкая биекция из открытого
подмножества $M\subset \R^n$ в $N$. Обозначим
единичную дифференциальную форму на $M$ за $\det_M$.
Запишем $\phi^*(\omega)$ в виде $f\det_M$.

\енум
\итем
Докажите, что $f(x)=\det(D\phi\restrict x)$.

\итем Рассмотрим меру $|f| \phi_*\mu$ на $N$.
Докажите, что эта мера не зависит от выбора
отображения $\phi$.
\ее
\ез

\определение
Пусть $(N, \omega)$ - ориентированное
$n$-многообразие с заданной 
на нем положительной 
$n$-формой $\omega$, $\phi_i:\; U_i\arrow N$ некоторый атлас,
где $U_i$ реализованы как открытые подмножества в $\R^n$,
а $u_i:\; N \arrow \R$ соответствующее этому атласу разбиение единицы.
Запишем обратный образ формы $u_i\omega$
в виде $f_i\det_{U_i}=\phi_i^*(u_i\omega)$.
Определим меру $\mu_\omega$ на $N$ таком образом:
\[ 
\mu_\omega= \sum_i |f_i| \phi_*\mu
\]
Эта мера называется {\бф мерой, связанной с формой $\omega$.}
Расслоение $\Lambda^n(M)$ $n$-форм на $n$-многообразии
называется {\бф расслоением форм объема}.
\ео

\задача[*]
Пусть $(N, \omega)$ - $n$-многообразие с заданной 
на нем $n$-формой $\omega$. Докажите, что мера $\mu_\omega$
корректно определена и не зависит от выбора разбиения единицы
и атласа на $N$.
\ез

\subsection{Производная Ли}

\задача
Пусть $M$ ориентируемое многообразие,
а $\omega\in \Lambda^n(M)$ форма объема
(не обязательно положительная и невырожденная).
Представим $\omega$ в виде $\omega=\omega_1-\omega_2$,
где $\omega_1$ и $\omega_2$ положительные и невырожденные
формы. Докажите, что заряд
\[
\mu_\omega:= \mu_{\omega_1}-\mu_{\omega_2}
\]
не зависит от выбора $\omega_1$, $\omega_2$.
\ез

\определение
В такой ситуации
$\int_M \mu_\omega$ обозначается
как $\int_M \omega$ и называется {\бф интегралом
дифференциальной формы $\omega$ по многообразию $M$}
\ео

\задача
Пусть $\phi:\; М \arrow M$ - диффеоморфизм многообразия $M$.
Докажите, что $\int_M \omega = \int_M\phi^*\omega$
для любой формы объема $\omega$.
\ез

\определение
Пусть $\phi_t$ - однопараметрическое семейство
диффеоморфизмов многообразия $M$, такое, что
$\frac{d\phi_t}{dt}\restrict{t=0} = \vec X$,
где $\vec X$ - векторное поле.
Производная Ли дифференциальной формы $\nu$ вдоль
векторного поля $\vec X$ определяется так: 
\[
\Lie_{\vec X}\nu := \frac{d\phi_t}{dt}\restrict{t=0}\phi^*_t\nu.
\]
\ео

\задача
Докажите, что производная Ли $\Lie_{\vec X}f$  
функции (рассмотренной как 0-форма) равна ее производной
вдоль $\vec X$.
\ез

\задача
Докажите, что производная Ли удовлетворяет правилу
Лейбница: 
\[ 
  \Lie_{\vec X}(\nu\wedge\eta) =\Lie_{\vec X}\nu\wedge
  \eta +\nu\wedge \Lie_{\vec X}\eta  
\]
\ез

\задача Докажите, что производная Ли 
коммутирует с дифференциалом де Рама:
\[ \Lie_{\vec X} d\eta =  d(\Lie_{\vec X}\eta ).
\]
\ез

\задача[!]
Докажите, что производную Ли можно записать так
\begin{equation}\label{_Lie_formula_Equation_}
\Lie_{\vec X}\nu = d\nu \cntrct {\vec X} - d(\nu \cntrct {\vec X}),
\end{equation}
где $\eta\cntrct {\vec X}$ это подстановка в $\eta$
векторного поля $\vec X$.
\ез

\указание
Воспользовавшись правилом Лейбница, докажите, что
формулу \eqref{_Lie_formula_Equation_}
достаточно проверить для функций и замкнутых 1-форм
(это следует из того, что обе части уравнения
\eqref{_Lie_formula_Equation_} удовлетворяют
правилу Лейбница). Из леммы Пуанкаре и тождества 
$\Lie_{\vec X} d\eta =  d(\Lie_{\vec X}\eta )$
выведите, что достаточно проверять для функций.
Для функций воспользуйтесь определением дифференциала
де Рама.
\еу

\замечание
Из этой задачи следует, что производная Ли не зависит от
выбора однопараметрического потока диффеоморфизмов
$\phi_t$.
\еза

\задача[!]
Пусть $M$ компактное $n$-многообразие
\енум
\итем Докажите, что
$\int d(\omega \cntrct \vec X)=0$
для любой формы объема $\omega$ и любого
векторного поля $\vec X$.

\итем Докажите, что $\int d\eta=0$
для любой $n-1$-формы $\eta$.
\ее
\ез


\subsection{Гладкие меры}

\определение
Пусть $M$ есть ориентируемое многообразие с мерой $\mu_\omega$,
определенной как выше, исходя из нигде невырожденной гладкой 
формы объема $\omega$. Такая мера называется {\бф мерой
  Лебега на многообразии}.
$L_1$-топология на интегрируемых функциях задается
посредством нормы $|f|_1\arrow \int_M |f|\mu$.
\ео

\задача 
Пусть $M$ - компактное многообразие с мерой $\mu_\omega$.
Докажите, что гладкие функции на $М$
интегрируемы. Докажите, что $L_1$-топология на 
пространстве $C^\infty(M)$ гладких функций 
не зависит от выбора формы объема $\omega$.
\ез

\задача[*]
В условиях предыдущей задачи, докажите, что
гладкие функции плотны в пространстве $L_1(M)$ 
 интегрируемых функций на $M$ с $L_1$-топологией.
\ез

\задача[*]
Пусть задан линейный функционал $\nu$ на пространстве
ограниченных ступенчатых интегрируемых функций. Докажите, что
$\nu$ непрерывен в $L_1$-топологии тогда и только
тогда, когде $\nu$ получается из заряда $\mu$ на $M$
как $\nu(f)= \int_M f\mu$. 
\ез

\задача[*] Пусть $M$ гладкое компактное многообразие,
а $(C^\infty(M), L_1)$ пространство гладких функций на
$М$ с $L^1$-топологией. Докажите, что пространство
зарядов на $M$ это $(C^\infty(M), L_1)^*$
\ез

\определение
Заряд $\mu$ на гладком многообразии $M$ называется
{\бф $C^1$-гладким}, если для любого векторного поля $\vec X\in TM$,
функционал
\[ f\arrow \int \vec X(f) \mu
\]
заданный на гладких функциях с компактным носителем, 
непрерывен в $L_1$-топологии. В этой ситуации
\[ f\arrow \int \vec X(f) \mu
\]
это опять заряд, как показывает предыдущая задача.
Заряд называется $C^k$-гладким, если 
для любого векторного поля $\vec X\in TM$,
заряд 
\[ f\arrow \int \vec X(f) \mu
\]
$C^k$-гладкий.
Заряд называется $C^\infty$-гладким, если 
он $C^k$-гладкий, для любого $k$.
\ео

\задача[!]
Пусть задана гладкая положительная
форма объема $\omega$ на компактном многообрзии
$M$. Докажите, что форма $\mu_\omega$ гладкая.
\ез

\указание 
Докажите, что
\[ 
\int \vec X(f) \mu_\omega =- \int f \mu_{\Lie_{\vec X}\omega}.
\]
\еу

\задача[**]
Пусть задана гладкая мера $\mu$
на  ориентируемом многообразии. Докажите, что 
$\mu = \mu_\omega$ для какой-то неотрицательной
формы $\omega$.
\ез

\end{document}
