\documentclass[12pt]{article}

\usepackage{theorem,amsmath,amssymb,russcorr}

\input{listki-new.tex}

\begin{document}

\listok{6}{Теория Меры 6: Мера Бореля}

\subsection{Мера и объем}

На протяжении этого листа, $M$ есть 
хаусдорфово топологическое пространство, а ${\bf C}$ -
множество компактных подмножеств $M$. 

\определение
{\бф алгеброй борелевских множеств на $M$}  называется
$\sigma$-алгебра ${\bf S}$, порожденная ${\bf C}$. 
{\bf Мера Бореля} - это мера на $(M, {\bf S})$.
\ео

\задача
Предположим, что $M$ локально компактное и 
имеет счетную базу открытых
множеств. Докажите, что ${\bf S}$ - $\sigma$-алгебра, 
порожденная открытыми множествами.
\ез

\задача
Предположим, что любое замкнутое подмножество в 
$M$ может быть получено как счетное объединение
компактов (в такой ситуации, говорится, что
$M$ {\бф $\sigma$-компактно}).  Докажите, что  
${\bf S}$ - $\sigma$-алгебра, 
порожденная открытыми множествами.
\ез

\задача
\енум
\итем 
Приведите пример связного хаусдорфова топологического
пространства, которое локально компактно, но не $\sigma$-компактно. 

\итем Вытекает ли из $\sigma$-компактности локальная компактность?
\ее
\ез


\определение
Пусть задана функция 
$\lambda:\; {\bf C}\arrow \R^{\geq 0}$,
где ${\bf C}$ есть множество компактных подмножеств $M$.
Мы говорим, что $\lambda$
\енум
\item {\бф Монотонна}, если $\lambda(A)\leq \lambda(B)$ для $A\subset B$
\item {\бф аддитивна}, если $\lambda(A \coprod B) = \lambda(A)+\lambda(B)$
\item {\бф полуаддитивна}, если $\lambda(A \cup B) \leq \lambda(A)+\lambda(B)$
\ее
В таком случае, $\lambda$ называется {\бф объемом}.
\ео

\определение
Пусть на $M$ задан объем 
$\lambda:\; {\bf C}\arrow \R^{\geq 0}$.
{\bf Внутренним объемом} подмножества $S\subset M$
называется число $\lambda_*(S):= \sup\limits_C \lambda(C)$,
где супремум берется по всем компактным $C\subset S$.
{\бф Внешней мерой} подмножества $S\subset M$
называется число $\lambda^*(S):= \sup\limits_U \lambda(U)$,
где инфимум берется по всем открытым множествам $U$,
содержащим $S$.
\ео

\задача
Докажите, что для любого открытого множества
$U\subset M$, $\lambda_*(U)=\lambda^*(U)$.
\ез

\определение
Напомним, что {\бф внутренностью} подмножества $A\subset M$
называется множество всех $x\in A$ таких, что некоторая
окрестность $x$ содержится в $A$.
\ео

\задача
Докажите, что внутренность любого множества открыта.
Докажите, что внутренность $A\subset M$ совпадает
с $M\backslash \overline{(M\backslash A)}$,
где $\overline{(M\backslash A)}$ обозначает
замыкание $M\backslash A$ в $M$.
\ез

\задача
Докажите, что для любого компактного подмножества
$C\subset M$, 
\[ \lambda^*(C)\geq \lambda(C) \geq \lambda_*(C_0),
\]
где $C_0$ обозначает внутренность $C$.
\ез

\задача[*]
Пусть $M$ локально компактно и имеет счетную базу. Докажите, что
$C= \bigcap U_i$, для некоторой последовательности
открытых множеств, содержащих $C$. 
\ез

\задача[*]
В этих условиях, предположим, что 
$\lambda(\bigcap C_i) = \lim \lambda(C_i)$
для любой последовательности компактных множеств
$C_0\supset C_1\supset ...$ такой, что $\bigcap C_i$
компактно. Докажите,
что для любого компактного подмножества
$C\subset M$, $\lambda^*(C)=\lambda(C)$, 
\ез

\задача[!]
Пусть  $M\subset \R^n$.
Докажите, что мера Лебега на $M$ задает объем 
\[ \lambda:\; {\bf C}\arrow \R^{\geq 0}. \]
Докажите, что в такой ситуации  
$\lambda^*(C)=\lambda(C)$
для любого компактного подмножества $C\subset M$.
\ез

\задача
Пусть $M$ - хаусдорфово топологическое пространство,
на котором  задан объем $\lambda:\; {\bf C}\arrow \R^{\geq 0}$.
Предположим, что $C\subset U\cup V$
компактное подмножество объединения открытых
множеств $U$ и $V$. Докажите, что найдутся
компактные подмножества $C_U\subset U$,
$C_V\subset V$ такие, что $C_U\cup C_V = C$.
\ез

\указание
Докажите, что два непересекающихся компактных
подмножества хаусдорфова пространства имеют
непересекающиеся окрестности. Воспользуйтесь
этим, чтобы найти непересекающиеся открытые
окрестности $U_1$ у $C\backslash V$ и
$V_1$ у $C\backslash U$. Докажите, что
$C_V:=\backslash U_1$, $C_U:=\backslash V_1\subset U$
удовлетворяют условиям задачи.
\еу

\задача[!]
Пусть $M$ - хаусдорфово топологическое пространство,
на котором  задан объем $\lambda:\; {\bf C}\arrow \R^{\geq 0}$.
Пусть $U, V$ открытые множества. Докажите, что
$\lambda_*(U\cup V) \leq \lambda_*(U)+\lambda_*(V)$.
\ез

\указание Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\задача
Выведите из этого, что $\lambda^*$ полуаддитивна, то есть
$\lambda^*(\bigcup A_i) \leq \sum \lambda^*(A_i)$
для любого конечного набора $A_i\subset M$.
\ез


\задача[!]
Докажите, что $\lambda^*$ счетно полуаддитивно, то есть
удовлетворяет $\lambda^*(\bigcup A_i) \leq \sum \lambda^*(A_i)$
для любого счетного набора $A_i\subset M$.
\ез

\указание Сведите утверждение к 
$\lambda_*(\bigcup U_i) \leq \sum \lambda^*(U_i)$, где $U_i$ все
открыты. Если $C\subset \bigcup U_i$ компакт, то
$C$ покрывается конечным набором $U_i$. 
Следовательно, 
\[ \lambda_*(\bigcup U_i)\leq \lambda_*(U_1\cup U_2 \cup ... U_n)
\]
для конечного поднабора. Воспользуйтесь предыдущей
задачей, чтобы получить
$\lambda_*(U_1\cup U_2 \cup ... U_n)\leq \sum_{i=1}^n\lambda_*(U_i)$.
\еу

\задача[!]
Пусть $U$ открыто, $C$ компактно. Докажите, что
\[ \lambda^*(U) = \lambda^*(U\backslash C) + \lambda^*(U\cap C).\]
\ез

\указание
В силу уже доказанного, достаточно установить
\[ \lambda^*(U) \geq \lambda^*(U\backslash C) + \lambda^*(U\cap C).\]
$\lambda^*(U\backslash C)= \lambda_*(U\backslash C)$ есть 
$\sup \lambda(D)$, где супремум берется по всем компактным 
$D$, лежащим в $U\backslash C$. Для каждого такого $D$, 
$U\backslash D$ это окрестность $C\cup U$, и 
$\lambda^*(C\cup U)\leq \lambda_*(U\backslash D) =\sup\lambda(E)$,
где супремум берется по всем компактам $E$, лежащим в
$U\backslash D$. По построению $D$ и $E$ не пересекаются.
Докажите, что
\[ 
   \lambda(D) + \lambda^*(U\cap C)
    \geq \lambda(E)+\lambda(D)= \lambda(D\cup E) \leq \lambda_*(U) =\lambda^*(U) 
\]
\еу

\определение
Пусть $M$ - хаусдорфово топологическое пространство,
на котором  задан объем $\lambda:\; {\bf C}\arrow \R^{\geq 0}$.
Подмножество $A\subset M$ называется {\бф $\lambda^*$-измеримым},
если 
\[ 
\lambda^*(B) = \lambda^*(B\backslash A) + \lambda^*(B\cap A)
\]
для любого $B\subset M$.
\ео

\задача[!]
Пусть 
\begin{equation}\label{_izmerimo_otn_otkr_Equation_}
\lambda^*(U) = \lambda^*(U\backslash A) + \lambda^*(U\cap A)
\end{equation}
для любого $U\subset M$.
Докажите, что $A$ $\lambda^*$-измеримо.
\ез

\указание
$\lambda^*(B)= \inf\lambda^*(V)$, где инфимум берется
по всем открытым окрестностям $V$. Поэтому из 
\eqref{_izmerimo_otn_otkr_Equation_} следует
\[
\lambda^*(B)= \inf_V\lambda^*(V)= 
\inf_V \bigg(\lambda^*(V\backslash A) + \lambda^*(V\cap A)\bigg)
\leq \lambda^*(V\backslash A)+\lambda^*(V\cap A)\leq
\lambda^*(B\backslash A) + \lambda^*(B\cap A)
\]
Обратное неравенство вытекает из полуаддитивности.
\еу

\задача[!]
Докажите, что $\lambda^*$-измеримые множества образуют алгебру.
\ез

\задача[!]
Докажите, что счетное объединение $\lambda^*$-измеримых
множеств $\lambda^*$-измеримо. Выведите из этого,
что любое борелевское множество $\lambda^*$-измеримо.
Докажите, что $\lambda^*$ задает меру
на алгебре борелевских множеств.
\ез

\определение
Эта мера называется {\бф борелевской мерой, связанной
с объемом $\lambda :\; {\bf C}\arrow \R^{\geq 0}$}.
\ео

\задача
Пусть $M=\R^n$, а $\lambda:\; {\bf C}\arrow \R^{\geq 0}$
это мера Лебега.  Докажите, что внешняя мера $\lambda^*$ на
борелевских множествах равна мере Лебега.
\ез


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Мера Хаусдорфа}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\diam}{\operatorname{diam}}

\определение
Пусть $M$ - компактное метрическое пространство.
Для подмножества $S\subset M$, определим
$\diam S$ как $\sup_{x,y\in S} d(x,y)$.
Для счетного покрытия $\{S_i\}$ и вещественного
числа $d$, определим {\бф $d$-вес}
покрытия как 
\[ w_d(\{S_i\}):= \sum_i (\diam S_i)^d.
\]
Для заданного $\epsilon>0$, обозначим за 
\[ \mu_{d,\epsilon}(M):=\inf_\epsilon w_d(S_i)
\]
где инфимум берется по всем покрытиям $M$
множествами диаметра $\leq \epsilon$.
{\бф Размерность Хаусдорфа} $\dim_h(M)$ это инфимум
в множестве всех $d$, для которых $\mu_{d,\epsilon}(M)=0.$
\ео

\задача 
Докажите, что $\dim_h([0,1])=1$.
\ез

\задача[*]
Пусть $M_1$, $M_2$ - компактные метрические пространства. 
Докажите, что 
\[ \dim_h(M_1\times M_2) = \dim_h(M_1) + \dim_h(M_2).
\]
\ез

\задача[*]
Найдите размерность Хаусдорфа единичного куба в $\R^n$.
\ез

\задача[*]
Определим канторово множество как подмножество $K\subset [0,1]$,
состоящее из всех точек, в троичном разложении которых нет 1.
Найдите $\dim_h(K)$.
\ез

\задача[**]
Постройте метрическое пространство бесконечной
размерности Хаусдорфа.
\ез

\определение 
Пусть $M$ - компактное метрическое пространство,
$\dim_hM=d$, а $K\subset M$ компактное подмножество.
Определим меру Хаусдорфа $\Vol_h(K)$ как
\[ \lim\limits_{\epsilon\arrow 0} \mu_{d,\epsilon}(К)
\]
\ео

\задача
Докажите, что этот предел всегда существует.
\ез

\задача
окажите, что $\Vol_h(K)$  является объемом, в смысле
определения, данного в начале листка.
\ез


\задача[*]
Пусть $M$ это единичный куб.
Докажите, что $\Vol_h(K)$ всегда определен,
и пропорционален мере Лебега.
\ез

\задача[**]
Пусть $M$ - канторовское множество, а $K$ - подмножество,
состоящее из всех чисел, в троичной записи которых
нет последовательности 00. Найдите $\frac{\Vol_h(K)}{\Vol_h(M)}$.
\ез














\end{document}
