\documentclass[12pt]{article}

\usepackage{theorem,amsmath,amssymb,russcorr}

\input{listki.tex}

\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

��� ������ �� ������� ������ ���������� ����� ��� ������ ��
�����������, ���� ��� ������ ��� ���������. ������ � �����
����������� ����� �� �������. ������� $k$ ����� � ����� �����������
����������� �� ������� $2k$ ����� �� ����������� �� ���� ��
��������. ������, ������������ (!), ������� ������� ����.

\listok{1}{������� 1: ����������� ������, ������, ����}

\subs{������}

{\bf �������������} $A \times B$ �������� $A$ � $B$ ����������
��������� ���� ��� $(a,b)$, ��� $a$ -- ������� $A$, � $b$ -- �������
$B$. ����������� $f:A \to B$ ��������� $A$ � ��������� $B$
���������� {\bf �����������}, ��� {\bf ���������}, ��� {\bf
���������} (��� ��� ��������), ���� ��� ��������� ������ ��������
��������� $A$ � ������ �������� ��������� $B$. �����������
���������� {\bf ������������}, ��� {\bf ����������}, ��� {\bf
����������}, ���� � ������ ������� ��������� $B$ ��������� ���� ��
���� ������� ��������� $A$. ����������� ���������� {\bf ����������}
(��������, ������� �����������), ���� ��� ���������� � �����������.

����� $A$ - ��������� ��������� (�������� ��� ���). ��������� �����
$S(A)$ ��������� ���������� ����������� �� $A$ � ����. ���� $f, g$
-- ��� ����� �����������, �� ����� ``�����������'', ���� ����������
$f\circ g$:
$$
f \circ g (a) = f(g(a)).
$$
��������� $S(A)$, ���������� ����� ���������, ���������� ``������
����������� (��� ������������) ��������� �� $A$''.  �������������
����������� ������������ $1_A$ (����� ����� ����� $\Id_A$, �� �����
identity).

����� $S(A)$ ���������� {\bf �������������� �������}. ���� $A$ --
�������� ��������� �� $n$ ���������, $S(A)$ ������������ $S_n$.

����������� ����� ���������� � ���� ������; ��������, ����������� $1
\mapsto 3$, $2 \mapsto 4$, $3 \mapsto 1$, $4 \mapsto 2$ �����
$1,2,3,4$ ������������ ��� $\sigma =
\left(\begin{array}{cccc}1&2&3&4\\3&4&1&2\end{array}\right)$. �
������� ������ ����� ����� � ������� �����������, � ������ -- ��
������.

\begin{zadacha}
����� ������������ 
$$
\left(\begin{array}{ccccc}1&2&3&4&5\\4&5&2&1&3\end{array}\right) \circ 
\left(\begin{array}{ccccc}1&2&3&4&5\\3&5&4&1&2\end{array}\right).
$$
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
\begin{enumerate}
\item ������� ���������� ����������� ����� $1,2,\dots,5$? �������
�� ��� ��������� ����� $1$ �� �����?
\item ������� �� ��� ��������� $1$ � $5$?
\item ��� �������� �� ��� $\sigma(1) < \sigma(2)$?
\item ��� �������� �� ��� $\sigma(1) < \sigma(2) < \sigma(3)$?
\end{enumerate}
\end{zadacha}

\begin{zadacha} 
������� ��������� � $S(A)$, ���� $A$ -- �������� ��������� �� $n$
���������?
\end{zadacha}

\begin{zadacha}  
����� �� ��� $f\circ g = g\circ f$ ��� ����� $f, g$?
\end{zadacha}

��� ������ ����������� $f\in S(A)$ (����� ``$\in$'' ������������
������� ���������) ���������� � ����������� ``�������� �����������''
$f^{-1}$, �.�. ����� �����������, ��� $f\circ f^{-1} = f^{-1}\circ f
= 1_A$.

{\bf ����������� ������������} ��������� $a,b,c,d, \dots, w$
���������� $a$ � $b$, $b$ � $c$, $c$ � $d$ � ��� ����� �� �����.
����� ������������ ������������ $(a,b,c,d,\dots,w)$. �� ������� --
��� ���������� ��������� � �������. {\bf ������������} -- ���
����������� ������������ ������� 2; ��� ������������ ��� �������� �
��������� �� ����� ��� ���������.

\begin{zadacha}
����� $\sigma = (123)$, $\tau=(34)$. ���� ����� $\tau \circ \sigma
\circ \tau^{-1}$?
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
��������, ��� ������ ����������� ����������� ��� ������������
������������.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*] ����� �� ������������ ��������� �����
������������ ���� ������������� �������������?
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} ��� ���������� � �����������
$(x_1-x_2)(x_1-x_3)\dots(x_1-x_n)(x_2-x_3)\dots$ (������������ $(x_i
- x_j)$ �� ���� $i < j$), ���� �������� ������� $x_i$ � $x_j$?
\end{ukazanie}

�� ������ ����������� $S(A)$ ������ ��������� ���������:
������������, ������ �������� �����������, �������������
�����������. ��� �������� ������ �����������������.

\begin{opredelenie}
����� $G$ -- ���������, ��� ������ �������� ``������������'' $f, g
\mapsto f\cdot g$, ``������ ���������'' $f\mapsto f^{-1}$, � �����
``��������� �������'' $1_G$, � ��� ��� ������������� ���������
��������.
\begin{enumerate}
\item ``���������������'': $(f\cdot g) \cdot h= f\cdot (g \cdot h)$
��� ���� $f$, $g$, $h$.

\item ``�������'': $f \cdot 1_G = 1_G \cdot f = f$ ��� ���� $f$.

\item ``�������� �������'': $f \cdot f^{-1} = f^{-1} \cdot f = 1_G$
��� ���� $f$.
\end{enumerate}
����� $G$ ���������� {\bf �������}.
\end{opredelenie}

������������ $G$, ��������� ������������ ���� ��������, ����������
{\bf ���������� � $G$}.

\begin{zadacha} ���� ������ $G$.
\begin{enumerate}
\item ���� $fg=f$ ��� $gf=f$, �� $g=1$.
\item ���� $fg=1$ ��� $gf=1$, �� $g=f^{-1}$.
\end{enumerate}
\end{zadacha}

\begin{zamechanie}
��� �����, ��� ����, ����� ��������� ���������� ��������� ������ ��
��������� $G$, ���������� ������ �������� ���������. ������� �
�������� �������, ���� ��� ����������, ����������������� ��
��������� ����������.
\end{zamechanie}

\begin{zadacha}\label{grp}
�������� �� �������� ��������� ���������, � ���������� ����������.
\begin{enumerate}
\item ����������� ����� � ��������� ��������.
\item ����� ����� � ��������� ��������.
\item ����� ����� � ��������� ���������.
\item ������������ ����� � ��������� ���������.
\item ������������ ����� � ��������� ��������.
\item ������������ ����� � ��������� ���������.
\item\sttr �������� ��������� � ��������� ����������. 
\item ����� ������ ������ $-1$ � ������ ������ $1$, � ��������� $u *
  v = (u+v)/(1+uv)$ (��������� �����, ��� �������� ���������
  ����������).
\item ������ (��������� �����) �� ��������� � ��������� ����������.
\item\sttr ������ (��������� �����) �� ��������� � ���������
�������������� ��������: $A * B$ ������� �� �����, �������������
����� ����� �� ����� $A$, $B$.
\item\sttr ����������� �� �������������� ��������� $�$ �
  ������������� ������ $G$, � ��������� $(f \cdot g)(s) = f(s)g(s)$.
\end{enumerate}
\end{zadacha}

``������������ �����'' $G_1$ � $G_2$ ���� ��������� ��� $(g_1,
g_2)$, $g_1\in G_1, g_2\in G_2$, � ��������� ���������
$$
(g_1, g_2) \cdot (g_1', g_2') =(g_1\cdot g_1', g_2\cdot g_2')
$$
����������� $f:G \to G'$ �� ������ $G$ � ������ $G'$ ���������� {\bf
�������������}, ���� ��� ��������� ���������: $f(g_1 \cdot g_2) =
f(g_1) \cdot f(g_2)$. ����������� ���������� {\bf �������������},
���� �� ����������, {\bf ������������} ���� �� �����������, � {\bf
������������} ���� �� ���������. ������ $G$, $G'$ {\bf ���������}
���� ����� ���� ���������� ����������. ���������� ������ � ����
���������� {\bf �������������}.

\begin{zadacha} ��������, ��� ���� $f:G \to G'$ -- �����������
�����, �� $f(1_G) = 1_{G'}$ � $f(g^{-1})=(f(g)^{-1})$ ��� ������
$g \in G$.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
���� ����� ����������� $G \to S(A)$ ������ $G$ � ������
$S(A)$ ������������ ��������� $A$, �� �������, ��� {\bf $G$
��������� �� ��������� $A$} (� ����� ����, � ���� ������ ������
������� $G$ �����-�� ������� ������������ �������� $A$). ��������
$G$ �� $A$ ����� �������� ��� ����������� $G \times A
\overset{\rho}{\to} A$, $a, g \mapsto \rho(g, a)$. ������ ��������
������ �� ��������� ������������ �����: $a, g \mapsto g(a)$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha} ��������, ��� ����� ������ ��������� �����������
����������� � ������ ����������� (�� ����������� ���������
���������).
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} ���������, � ��� ����� ���� ����� �����
``������ $G$ ��������� �� ���� ����������� ������''.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha} ����� ��, ���
\begin{enumerate}
\item ����� ������ �� ���� ��������� ��������� ������ ������������
$S_2$.
\item ����� ������ �� ����� ��������� ��������� ��� ������
������������ $S_3$, ��� ������������ ���� ������������� �����.
\end{enumerate}
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*] ��������, ��� ������ ������������ $S_n$ �� ���������
������������ ���� ������������� �����.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
����� $G$ -- ������, $g \in G$ -- �� �������. ����� ��, ���
������������������ $g,g^2,g^3,\dots$ �������������? ����� �� ���,
���� $G$ -- �������� ������?
\end{zadacha}

����� $n$ -- ����������� �����. �������, ��� $g \in G$ -- {\bf
������� ������� $n$} � ������ $G$, ���� $g^n = 1_G$, �� $g^k \neq
1_G$ ��� $k < n$.

\begin{zadacha}[!]
���� �������� ������ �� $n$ ���������. ��������, ��� ������� ������
�������� ������ ����� $n$.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
����������� �������� ������ �� ���� ����������� �����.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[*]
���� ������ � ������ ������ ���������. ��������, ���
� ��� ���� ������� ������� 2.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
����� ��, ���
\begin{enumerate}
\item ������ $D_{12}$ �������� ����������� 12-���������
��������� ������������ $D_{6}\times S_2$, ��� $D_6$ -- ��� ������
�������� ��������������.
\item ������ $D_6$ ��������� ������������ $D_{3}\times S_2$, ���
$D_3$ -- ��� ������ �������� ������������.
\end{enumerate}
\end{zadacha}

������ ���������� {\bf �������������}, ��� {\bf ��������}, ����
$f\cdot g = g \cdot f$ ��� ���� $f, g$. ��� �������� $f, g$ {\bf
�����������}, ���� $f\cdot g = g \cdot f$.

\begin{zadacha}
����� �� �����, ������������� � ������~\ref{grp}, ������������?
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
\begin{enumerate}

\item 
{\bf �������} ������ $G$ ���������� ������������, ���������
�� ���� ��������� $g\in G$ �����, ��� $g g' = g' g$ ��� ����
$g'\in G$. ��������, ��� ����� - ��� ���������.

\item ���� ������ $G$, � ������� ���� �������� ������� $>2$. � ���
���� ��������� $G'$ �����, ��� ��� �������� $g\in G$, ��
������������� $G'$, ����� ������� 2. ��������� ������ ����� ��������
(��� ��������, ��� ��� ����������). ������ �� � ����� �������� $G$
�������?\label{pa}

\item ��������, ��� � ����� �������� $G'$ �������.

\item ����� $G'$ �������� ����� $G$.
��������, ��� ������ $G$ ������������ ������� (� ��������� ��
�����������) �������� �������� �� ������ \thetag{\ref{pa}} �
���������� $G'$.

(����� ������ ���������� ����������� �������).

\item ���� ����������� ������ $G$, ��������� � �������� ������� $G'$
��� ����. ����� $G'$ - ������������ $S_2$ � ��� ����� ��������
������: $G' = S_2 \times G''$. ��������, ��� $G$ -- ������������
$S_2$ � ����������� ������.
\end{enumerate}
\end{zadacha}

\subs{������ � ����}

���������� ������������ �����, ����� ����� ��� �������� ����������
�����. �� ���� ���������� ������
\begin{enumerate}
\item ��������, ������� ������������ � ���������� ���� ��������� �
������ (������������ ������; ������ ��������� ������������ ��������
������������ �������)

\item ���������, ������� ������������, �� ������ �� ������, ������
��� �� ��� ����� �������� (������������ ������; ����� ����� ��������
��� ��������� � ����� ������ $xy$ ������ $x\cdot y$).
\end{enumerate}
��� ��������� ������� �����������������.

\begin{opredelenie} 
����� $R$ -- ��������� � ����� ���������� $a, b \mapsto a+b$
(��������) � $a, b \mapsto a\cdot b$ (���������). ����� � $R$ ������
�������� $0$ � $1$ (���� � �������).  ���� ��������� ��������
���������, $R$ ���������� {\bf �������}.
\begin{enumerate}
\item $R$ �������� ������������� ������� ������������ ��������
��������, $0$ ���� ������� � ���� ��������� ���������

\item $1$ �������� �������� ������������ ���������: $1 \cdot a = a
\cdot 1 =a$ ��� ���� $a$.

\item ��������������� �� ���������: $a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot
  b) \cdot c$.

\item ����������������: $a\cdot (b+c) = a \cdot b + a\cdot c$.
\end{enumerate}
���� ��������� ������������, �������, ��� ������ $R$ ������������.
���� � ���� �� ��������� �������� ��� ���� $a\neq 0$, �.�. $R
\backslash \{0\}$ ���� ������ ������������ ���������, �� $R$
���������� {\bf �����}.
\end{opredelenie}

� ���� � ���������� ��������� �������, �� ����� ������������� ������
������������� ������, � ����� ``�������������'' ����� ��� ���������
��������; ���� ���� �� ������� ��������, ��� ������ ��������������
��������������.

\begin{zadacha}\label{rings}
�������� �� �������� ��������� ��������� (� �������������
����������, ���� ��� �� ������� ����):
\begin{enumerate}
\item ����������� �����.
\item ����� �����.
\item ������ ����� �����.
\item ������������ �����.
\item �������������� �����.
\item �������� ���������� �����.
\item ���� ����� �����, �������� � ��������� ��������������.
\item ���� ����� �����, �������� ��������������, ��������� ��������
�������� $(a,b)\cdot(c,d)=(ac-bd,ad+bc)$.
\item\sttr\label{sqrt2} 
���� ������������ �����, �������� ��������������, ��������� ��������
�������� $(a,b)\cdot(c,d)=(ac+2bd,ad+bc)$.
\item\sttr ������ �� ��������� (�������� -- �������������� ��������, ���������
-- �����������).
\item\sttr ����������� �� �������������� ��������� $�$ �
  ������������� ������ $G$, � ��������� $(f \cdot g)(s) = f(s)g(s)$.
\end{enumerate}
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
����� �� �����, ������������� � ������~\ref{rings}, �������� ������?
\end{zadacha}

\begin{zadacha}\label{poly} 
���� ������ $R$. ���������� ��������� �������������������
$$ 
a=(a_0,a_1,\dots,a_i,\dots,0,0,\dots)
$$
��������� $R$ � �������� ������ ��������� ���������. ����������
�������� � ���� ��������� ���
$$
\begin{aligned}
(a+b)_i &= a_i+b_i,\\
(a \cdots b)_i &= \sum_{j=0}^i a_jb_{i-j}.
\end{aligned}
$$
��������, ��� ��� ��������� �������� ������� (� ���������,
���������, ��� ��������� ������������).
\end{zadacha}

������, ������������ � ������~\ref{poly}, ���������� {\bf �������
��������� �� ����� ����������} ��� $R$, � ������������ �����
$R[x]$. �������� $R[x]$ ���������� ``��������'' ���
``����������''. ��� ������ ������������ ��� $a_0 + a_1x + \dots +
a_ix^i$ (��� $a_j$ � $j>i$ �������).

� ����� ������� �� ����� ������������ ������� ������������� �����
��������� (��������, ����� ������ ��� ������������ ����� ��� ���
����������� ���������� ����� � �������� ���������� ``�
�������''). ������� ����������� ������ � ����� ���������, ���������
� �������. ���, ��� ��� ����� � ����� �������, ���

\medskip

\noindent
{\bf ������ ���������:} ������������ ����� �������� ����.

\medskip

��� ``������ ���������'' ����� ������������ � ����� ���������,
��������� � �������. ����� ����, ����� ��������� ��������:

\begin{zadacha}[*]
��������, ��� ������ ��������� ����
$$
x^{2n+1} + a_{2n} x^{2n} + a_{2n-1} x^{2n-1} + ... + a_1 x + a_0 =0
$$
����� ������������ �������.
\end{zadacha}

��� ������ ���� ������, ����� �� ������� �� ����� �������
����������� ������������ �����, ��� ������� ��� �������������� ��
������.

\begin{zadacha}[*]
����� �� ����� ������, ������������ �
������~\ref{rings}~\ref{sqrt2}, ���� � ����������� ������
``������������ �����'' ������� ``������������ �����''?
\end{zadacha}

\begin{zadacha} ����������� ����� ����� $n$. ��� ������� �� $n$
������ ����� ���� ������� $0$, $1$, $2$, ... $n-1$.  ��������� ���
�������� �� $\mod n$. ��� �����, � ������� ����� ������� $\mod n$,
���������� ���������� �� ������ $n$. ��������� ����� � ������������
�� ��������� ����� $\mod n$ ����� �������, �����
\begin{align*}
(x \mod n) + (y \mod n) &= ((x  + y) \mod n), \\
(x \mod n) \cdot (y \mod n) &= (xy \mod n)
\end{align*}
����������� ��� ����� ����� ����� $x, y$.  ��������, ��� ���
����������� ���������, � ��������� �������� �������� ������.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]\label{modulo}
��������, ��� ��������� �������� $\mod n$ �� ��������� � ����������,
������������� ����, �������� ���� ����� � ������ �����, ����� �����
$n$ �������.
\end{zadacha}

\begin{zamechanie}
���� �� ������ �� ������ ������ ��� ������, �������� ��: �����
��������� �����, ����� �������� �������� ������������� �������, ��
�� ������ ����� ��� ���������.
\end{zamechanie}

\begin{zadacha}
��������� ���� �� 
\begin{enumerate}
\item 2-�, 
\item 3-�,
\item\sttr 4-� ���������.
\end{enumerate}
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
��������, ��� �� ���������� ���� �� ����� ���������.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
��������, ��� ���� $p$ -- ������� �����, �� ���� �� $p$ ���������
����������� � ��������� �� �����������.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie} {\bf ���������������} ���� $k$ ����������
����� $0$, ���� $1 \in k$ ����� ����������� ������� ������������
��������, ��� ������� $p$ �������� $1 \in k$, ���� �� �������.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}
��������, ��� ���� �������������� $p$ ���� $k$ ���������, �� $p$
�������.
\end{zadacha} 

\begin{zadacha}[*]
���� ���� �������������� $p$. ��������, ��� ����������� ����������
$x \mapsto x^p$ ��������� ��������� � �������� (��� � ��� �����,
����� ����������� ���������� �����������).
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} �������������� �������� ������.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[*]
�������� �� ����� ����� ������� �����: ��� ������ ������ ����� $x$,
$x^p$ �������� � $x$ �� ������ $p$.
\end{zadacha}

����� $P= x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0$ -- ��������� �
�������������� � ���� $k$. {\bf ������} $P$ -- ��� ����� �������
$\alpha$ � ���� $k$, ��� $P(\alpha)=0$.

\begin{zadacha} ����� $\alpha$ -- ������ ���������� $P$ ��� ����� $k$.
��������, ��� ��������� $P$ ������� �� $z-\alpha$ � ������ $k[z]$
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} �������������� �������� ����������� � �������:
$$
\arraycolsep=0.05em
\begin{array}{rrr@{\,}r|r}
x^2&{}+2x&{}-12&&\,x+5\\
\cline{5-5}
x^2&{}+5x&&&\,x-3\\
\cline{1-2}
&{}-3x&{}-12\\
&{}-3x&{}-15\\
\cline{2-3}
&&3
\end{array}
$$
\end{ukazanie}

\begin{zadacha} ��������, ��� ��������� ��������� ������� $n$ ��� �����
�� ����� ����� ������ $n$ ������ ������.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} �������������� ���������� �������.
\end{ukazanie}

����� $P$ -- ��������� ��������� ��� ����� $k$. ��������� $P$
���������� {\bf ������������}, ���� ��� ������ ����������� � ����
������������ ����������� ������� �������.

���������������� �������� ����������� � �������, ����������
��������� �������� � ������ $k[x]$ �� ������ $P$.

\begin{zadacha} ��������, ��� ��� ��������� �������� ������
(�� ��������� ��� �� $k[x] \mod P$).
\end{zadacha}

\subs{����������� �����.}

��������� ����� ����� ������������ �� $\Z$, a ������������ ����� --
�� $\R$. ����� $\C$ -- ��������� ��� ������������ ����� $(a,b)$, ��
���������, ������������ ��� $(a, b)+(c,d) = (a+c, b+d)$ � �
����������, ������������ �������� 
$$
(a, b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc).
$$
�������� $\C$ ���������� ������������ �������.

\begin{zadacha} ���������, ��� $\C$ -- ������. ��������, ���
��������� $x^2+1=0$ ����� ������� � $\C$. ������� ������� ��� �����?
\end{zadacha}

\begin{zadacha} ������� ������� ��������� $x^2+1$ � $\C$ � ���������
��� �� $\1$. ��������, ��� ����� ����������� ����� �����
������������ ������� ����������� � ���� $a + b \1$, $a,b \in \R$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
��������� ���������� $\C \cong (\R[x] \mod P)$, ��� $P$ -- ���������
$P= x^2+1$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} ���� ����������� ����� $z:=a+b\1$. �����������
$z$ ����� --- ��� $\bar z := a-b\1$. ��������, ��� �����������
���������� ��������� ��������� � �������� � $\C$ (����� �����������
���������� �������������� ���� $\C$).
\end{zadacha}

\begin{zadacha} ���� ����������� ����� $z:=a+b\1$. ��������, ���
$z\bar z$ ����������� (��� ������, ��� � ������������� ������������
����� � ���� $(x,y)$ ���������� $y$ ����� ����).
\end{zadacha}

\begin{zadacha} ���� ����������� ����� $z:=a+b\1$. ��������, ���
$z\bar z = a^2 + b^2$. � ���������, ��� ����� ������ ��������������,
� ����� ���� ������ ���� $z = 0$. ����� $z\bar z$ ���������� ���
$|z|^2$, ��������� ����� ������� $(a,b)$ �� ��������� ��� $\sqrt{a^2
+ b^2}$ ($|z|$, ���������� �� ��������� �� $z$ �� $0$, ����������
������� $z$).
\end{zadacha}

\begin{zadacha} 
�������� �� ���������� ������, ��� ����������� ����� �������� ����.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} $z^{-1} = \bar z |z|^{-2}$
\end{ukazanie}

\begin{zadacha} �������� ``����������� ������������'': 
$|z_1| - |z_2| \leq |z_1 + z_2| \leq |z_1|+ |z_2|$
\end{zadacha}

\begin{zadacha} ��������, ��� $|z_1 z_2| = |z_1||z_2|$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]\label{povorot}
����� $z=a+b\1$ -- ����������� ����� � ������� 1:
$|z|=1$. ���������� ��������� �� $z$ ��� �������������� ���������
$\R^2$, ��������������� ������������ ������� � $\C$. ��������, ���
���� $z \neq 1$, �� ��� ��������o����� --- �������� � ������������
����������� ������ $0 \in \R^2$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
�� ��������� ��������, ��� �������� � ������������ �����������
������ $0 \in \R^2$ --- ��� ������� �� �����-�� ���� $\phi$ ������
$0$. ��� �������� �� ������~\ref{povorot}, ��� ����� $a$ � $b$, ����
$\phi$?
\end{zadacha}

\begin{zamechanie}
���� $\phi$ ���������� {\bf ����������} ������������ ����� $z$.
\end{zamechanie}

\begin{zadacha}[!]
�������� ������� ��������� $\cos (\phi +\psi)= \cos\phi \sin \psi +
\sin\phi \cos \psi$.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
�������������� ���������� �������.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[!]
��������, ��� ��������� $z^n =1$ ����� ����� $n$ ������� �
����������� ������.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
�������������� ������������������ �������������� ����������� �����.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[*]
��� ������� $P$ ������� ������ $n$, � ����� $\zeta_1, \dots,
\zeta_n$ -- ``����� $n$-� ������� �� 1'', ����� ������, ���
����������� ������� ��������� $z^n =1$. ��������, ��� ������� $\frac
1 n \sum P(\zeta_i)$ �������� $P$ �� ���� $\zeta_i$ ����� $P(0)$.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
�������������� ������������������ �������������� ����������� �����.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[*]
��� ������� $P$ ������� ������ $n$. ����� $\Xi$ -- ����������
$n$-�������� �� ����������� ��������� $\C = \R^2$. ��������, ���
�������� $P$ � ������ $\Xi$ ����� �������� �������� $P$ � ��������
$\Xi$.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} �������������� ���������� �������.
\end{ukazanie}

\begin{zamechanie} ������� ��������� �������� ����������
��� ������ ���������� ��������� � ��� ���������������. ����
��������� ������� ��������, �� ������� ��������� ������� $f$,
������������ �� ����������, ����� ������� ������ (�� $n$) �������
$\frac 1 n \sum f(\zeta_i)$, ��� $z_i$ -- ������� ����������
$n$-����������, ��������� � ��� ����������. �� ���������� ������
����� �������, ��� ������� �������� �������������� ������� $P$ �
��������� ���������� $|z|=1$ ����� �������� $P$ � �� ������.
\end{zamechanie}

\begin{zadacha}
��������� ������ ������������� $\C$, 
\begin{enumerate}
\item\sttr ����������� � ���� ������� $\R\subset \C$.
\item ����������� � ���� ������� $\R\subset\C$, � ����������� ��
����� ��� ��� ��������.
\end{enumerate}
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
� ����������� ����������� ����� �������
$$
(a, b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc).
$$
��
$$
(a, b) \cdot (c,d) = (ac + bd, ad + bc).
$$
��������� ������������ �� $\R_2$. ����� �� $\R_2$ �������? � �����?
����� ��� ������� ��������� $z^2=1$ � $\R_2$.  ����� ��� �������
��������� $z^2=0$ � $\R_2$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
� ����������� ����������� ����� �������
$$
(a, b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc).
$$
��
$$
(a, b) \cdot (c,d) = (ac, ad + bc).
$$
��������� ��� �� $\R_\epsilon$.  ����� �� $\R_\epsilon$ �������? �
�����? ����� �� ��� ��������� $\R_2$ �� ���������� ������?  �����
��� ������� ��������� $z^2=1$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
� ���������� ���� �������, ������� ����� ��� ������� ���������
$z^2=z$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*] 
����� $P=a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0$ �������
������� $n$, � �������� $n$ ������, ������� ������� ���������
����������. ��������, ��� $\frac {a_k}{a_0} < C_n^k$, ��� $C_n^k=
\frac{n!}{k!(n-k)!}$ -- ������������ �����������.
\end{zadacha}

\end{document}
