\documentclass[12pt]{article}

\usepackage{theorem,amsmath,amssymb,russcorr}

\input{listki.tex}

\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\listok{10}{������� 10: ���������� ��������� � �������������}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{���������� ���������}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{opredelenie}
����� $G$ -- ������, � $x$, $y$ -- �� ��������.
��������� ����� $x^y$ ������� ���� $y x y^{-1}$.
��������� $G_1 \subset G$ ����������
{\bf ����������}, ���� ��� ����� $x\in G_1$,
$y\in G$ ����� $x^y \in G_1$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha} {\bf �������} ������ $G$ (������������ $Z(G)$)
���������� ��������� ���� ��������� $x\in G$, ������������� 
�� ����� ���������� $G$. ��������, ��� $Z(G) \subset G$ - ����������
���������.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
����� $G_1 \subset G$ -- ���������.
{\bf ������ �������� ��������} �� ��������� $G_1$
���������� ������������ ���� $G_1 \cdot x\subset G$,
��� $x$ ��������� ��� $G$.
{\bf ������� �������� ��������} ���������� ������������ 
���� $x\cdot G_1\subset G$. ��������,
��� ������ (�����) ������� ������ ���� ������������,
���� ���������.  ��������, ��� ������ �������
������ �������� ������ (� ��������) ����� � ������
�����, ����� $G_1$ -- ���������� ���������.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} 
����� $G_1 \subset G$ -- ���������� ���������,
� $S_1$, $S_2$ -- ������� ������ �� ���. �������
$x\in S_1$, $y\in S_2$. ��������, ���
������� ����� ������������ $xy$ �� �������
�� ������ $x, y$ � $S_1, S_2$. ��������,
��� ����� ������� ������������ ������������
������ ��������� ������ �� ��������� $G_2$ 
������� ������� �� $G_1$.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
� ����� �������� �������, ��� 
$G_2$ -- {\bf ������������ $G$ �� $G_1$} (��� ������������
$G_2 = G/G_1$), � $G$ -- {\bf ���������� $G_2$ � ������� $G_1$}.
���������� ����� ������������ ���: $1 \arrow G_1 \arrow G
\arrow G_2\arrow 1$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}
����� $G\stackrel \phi \arrow G'$ -- ����������� �����.
��������, ��� ���� $\phi$ (�.�. ������������ ���������, �������
��������� � $1_{G'}$) -- ���������� ��������� � $G$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} 
����� $G\stackrel \phi \arrow G'$ --
������������ ����������� �����. ��������, ���
$G' \cong G/\ker \phi$, ��� $\ker \phi$ -- ���� $\phi$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} 
���������� ��������� $\Aut(G)$ ������������� ������
$G$, � ��������� ����������. ��������, ���
��� ������. ��������, ��� �������������
$\phi_y(x) \mapsto x^y$ ������ ����������� $G \arrow \Aut(G)$.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
����� $G, G'$ -- ������, ������ 
����� ����������� \[ G\arrow \Aut(G').\]
� ����� �������� �������, ��� $G$
{\bf ��������� �� $G'$ ��������������}.
������������ ���� $x \stackrel {\phi_y}\arrow x^y$
���������� {\bf �����������}. 
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}
������� ������ $\Aut(G)$ ��� $G = \Z/p\Z$
($p$ �������).
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
������� ������ $\Aut(G)$ ��� $G = \Z/n\Z$
($n$ �����).
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
����� ����� ����������� $G_2\stackrel \phi \arrow
\Aut(G_1)$. ��������� �� ��������� ��� $(g_1, g_2)$ ���������
��������: 
$(g_1, g_2)\cdot (h_1, h_2) = (g_1 \phi(g_2, h_1), g_2 h_2)$.
��������, ��� ��������� ������. 
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
��� ������ ���������� {\bf ���������� �������������
$G_1$ � $G_2$} � ������������ $G_1 \rtimes G_2$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}  
� �������� ���������� ������
��������, ��� $(G_1, 1)$ ������ ���������� 
 ��������� � $G$, � ������ �� ���� ��������� 
��������� $G_2$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} 
������� ������ $S_3$ ��� ���������� ������������
���� ������������� �������� �����. 
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
������� ����������� ������ 
��� ���������� ������������ ���� ������������� �������� �����.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
������� ������ ���������� ������ ������������
���� $\pm 1, \pm I, \pm J, \pm K$,
� ������������ ��������� ���������.
����� �� �������� ������ ������ ��� 
���������� ������������ ���� �������� 
�����?
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
����� $1 \arrow G_1 \arrow G
\stackrel \phi \arrow G_2\arrow 1$ -- ���������� �����.
�����������, ��� ����� ����� ����������� 
$G\stackrel \psi \arrow G_1$, �����,
��� $\psi \circ \phi$ -- �������������
����������� $G_2$ (� ����� �������� ���������,
��� $\phi$ {\bf ��������� �������}).
��������, ��� $G$ ����� �������� ���
���������� ������������ $G_1 \rtimes G_2$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
����� ���� ������ $G$.
���������� ��������� $[G, G]\subset G$, �����������
���������� ���� $xy x^{-1}y^{-1}$. ��������, ���
��� ���������� ���������, � ������ �� ��� 
������������.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
$[G, G]$ ���������� {\bf �����������} ������ $G$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}[*]
������� ��������� �������������� ������.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]\label{A5=[A5,A5]}.
���������� ������ ������ ����������� $A_n$, $n \geq 5$.
��������, ��� ��� ��������� �� ����� �����������.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
���������� $xy x^{-1}y^{-1}$, ���
$x$, $y$ -- ����������� ����������� ������� 3.
\end{ukazanie}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subs{���������� ������}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{opredelenie}
������ $G$ ���������� {\bf ����������}, ����
���������� ������������������ 
$1= G_n \subset G_{n-1} \subset \dots \subset G_0 = G$
���������� ��������, ������ ��� $G_i/G_{i-1}$ �������.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}
��������, ��� ��������� ���������� ������ ���������.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} ��������, ��� �������������� ������ $S_3$
���������.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} 
��������, ��� �������������� ������ $S_4$ ���������.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} 
��������, ��� ������ ������ 
$\{\pm 1, \pm I, \pm J, \pm K\}$
���������.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
����� $G_0$ -- ������, $G_1$ -- �� ���������,  
$G_2= [G_1,G_1]$ -- ��������� ����������,
� ��� �����, $G_i= [G_{i-1},G_{i-1}]$. ��������, ��� $G_0$ ���������
����� � ������ �����, ����� �� �����-�� 
���� �� ������� $G_n =1$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
��������, ��� ������ ������ ����������� $A_n$, $n \geq 5$
�����������.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
��������, ��� ������ �������� $\R^3$
�����������.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
��������� ���������� ����� $A_5$ � ������� ��������
���������, � �������������� �������~\ref{A5=[A5,A5]}.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha} 
����� $G$ -- ������ ������� $p^n$.
��������, ��� ����� $G$ �������� ������ ������ ��������.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} 
���������� �������� $G$ �� ���� ��������������
������� $G$ ����� ����� ��������� �������
���� $x^G$, ��� $x^G$ ���� ������������ ���� ���������
���� $x^y$, $y\in G$. �������� �������, ��� ���� $x$ �� ����� � ������,
�� ������� $x^G$ ������� �� $p$.
�� �������� $|G| = 1 + \sum |y_i^G|$,
������ ���� � $G$ ��� ������, ��� $|y_i^G|$
������� �� $p$.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[!]
����� $G$ -- ������ ������� $p^n$. ��������,
��� $G$ ���������.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*] 
����� $G$ -- ������ ������� $p^2$, $p$ �������. ��������,
��� $G$ �������.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
��������� ������ ���������� ������ ������� $p^3$, $p$ -- ����� ������� �����.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
���������� ��������� $S$ ����������������� 
������ $n\times n$ � �������� �� ��������� ��� ����� $k$.
��������, ��� ����� ������� �������� ��������� � $GL(n,k)$.
��������, ��� ��� ������ ���������.
������� �� ������� ��� $k= \Z/p\Z$.
\end{zadacha}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{������������� � ����������}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{opredelenie}
{\bf �������������m ������ $G$ � ��������� ������������}
$V$ ���������� ����������� $G \arrow GL(V)$ �� $G$ � ������
$GL(V)$ ��������� ������������� $V$. ����
������ ������������� $G$ � $V$, �� �������,
��� $G$ {\bf ��������� �� $V$}.
{\bf ����������������} $V$ -- ���
���������������, ������� ����������� 
��������� $G$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha} 
����� $G$ ��������� �� ��������� ������������� $V$, $V'$.
��������� �������� $G$ �� $V\otimes V'$ �� �������
$g(v\otimes v') = g(v)\otimes g(v')$.
��������, ��� ��� ����������� ���������
� ������ ������������� $G$ �� $V\otimes V'$.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
����� $G$ -- ������, �����������
�� ��������� ������������ $V$. ������ $v\in V$
���������� {\bf ������������ ������������ 
�������� $G$}, ��� {\bf ����������� $G$},
����  $g(v)=v$ ��� ������ $g\in V$. ������������
���� $G$-������������ �������� ������������ $V^G$. 
\end{opredelenie}

\begin{zadacha} 
���������� �������� �������������� ������ $S_n$
�� $V=R^n$, �������� �������������� ���������.
������� ������������ �����������.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
� �������� ���������� ������, ������� ������������
����������� �������� $S_n$ �� $V\otimes V$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} 
���������� �������� ����������� ������
$\Z/n\Z$ �� $V=R^n$, �������� ������������ 
�������������� ���������. ������� 
������������ �����������.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
� �������� ���������� ������, ������� ������������
����������� $(V\otimes V)^{\Z/n\Z}$ �������� $\Z/n\Z$ �� $V\otimes V$.
\end{zadacha}

\end{document}
