\documentclass[12pt]{article}

\usepackage{theorem,amsmath,amssymb,russcorr}

\input{listki.tex}

\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

��� ������ �� ������� ������ ���������� ����� ��� ������ ��
�����������, ���� ��� ������ ��� ���������. ������ � �����
����������� ����� �� �������. ������� $k$ ����� � ����� �����������
����������� �� ������� $2k$ ����� �� ����������� �� ���� ��
��������. ������, ������������ (!), ������� ������� ����.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\listok{11}{������� 11: ������ �����}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subs{���������� �����}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{zadacha}[!]\label{_pryamaya_summa_polinom_Zadacha_}
����� ����� ������� $P(t)\in K[t]$ ������� $n$ � ��������������
� ���� $K$, 
� �������� $n$ ������� ��������� ������ � $K$. ��������, ���
������ $K[t]/P$ �������� �� ������ $P$ 
��������� ������ ����� $n$ ����� $K$.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
������� ������ ���� � ������ 9.
\end{ukazanie}

\begin{opredelenie}
����� $K$ -- �������������� ���������� ���� $k$
(��� ����� ������������ ��� $[K:k]$). �������, ��� $[K:k]$
{\bf ���������� �����}, ���� $K\otimes_k K$ ���������
(��� �������) ������ ����� ���������� ����� $K$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}
����� $P(t)\in k[t]$ -- ������������ ������� �������
$n$, ������� $n$ ������� ��������� ������ � $K = k[t]/P$.
��������, ��� $[K:k]$ -- ���������� �����.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
��������, ��� $[\Q[\1]:\Q]$ -- ���������� �����.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
����� $[k:\Q]$ -- ���������� ������� 2 (�.�. $K$ ��������
��� ��������� ������������ ��� $\Q$). 
��������, ��� ��� ���������� �����.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
����� $p$ �������.
��������, ��� ��� ������ ����� �� ������� $\zeta$ ������� $p$,
$[\Q[\zeta]:\Q]$ -- ���������� �����. 
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
����� �� $[\Q[\sqrt[3]{2}]:\Q]$ ����������� �����?
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
����� $F$ -- ���� �������������� $p$, � $k= F(z)$ -- ���� ������������ 
������� ��� $F$. ��������, ��� ������� $P(t) = t^p -z$
���������� ��� $k$. ��������, ��� $[k[t]/P:k]$ -- �� ����������
�����.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
����� $K_1 \supset K_2 \supset K_3$ -- ������������������
���������� �����. ��������, ��� 
\[ K_2 \otimes_{K_3} K_1 \cong (K_2 \otimes_{K_3} K_2)\otimes_{K_2} K_1.\]
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
����� $K_1 \supset K_2 \supset K_3$ -- ������������������
���������� �����. ��������, ��� 
\[  K_1 \otimes_{K_2}(K_2 \otimes_{K_2}\otimes_{K_3} K_2)\otimes_{K_2} K_1 
    \cong K_1 \otimes_{K_3} K_1.
\]
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!] 
����� $K_1 \supset K_2 \supset K_3$ - ������������������
���������� �����, ������ $[K_1: K_2]$ � $[K_2: K_3]$ -
���������� �����. ��������, ��� $[K_1: K_3]$ -- ����������
�����.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
��������, ��� $\Q[\sqrt[3]2, \frac{\sqrt{-3}-1}2]$ --
���������� �����.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} ����� $K_1 \supset K_2 \supset K_3$ -- ������������������
���������� �����. ��������, ��� ������������ �����������
\[
K_1 \otimes_{K_3}K_1 \arrow K_1 \otimes_{K_2}K_1
\]
-- ������������ ����������� ������.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
����� $K_1 \supset K_2 \supset K_3$ -- ������������������
���������� �����, ������ $[K_1:K_3]$ -- ����������
�����. ��������, ��� $[K_1:K_2]$ -- ���� ���������� �����.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
�������������� ������� 9.28 ������ ������� 9.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}
����� $P\in k[t]$ -- ������� ������� $n$ ��� ����� $k$. �������
$K_1= k$, � ���������� ������������������ ����������,
$K_l\supset K_{l-1} \supset \dots \supset K_1$,
���������� ���������� ��������� �������. ����� $K_j$ ���������.
�������� $P$ �� ������������ ����������� $P= \prod P_i$
� $K_j$. ���� ��� $P_i$ �������, �� ���������.
� ��������� ������, ����� $P_0$ -- ������������
����������� $P$ ������� $>1$. ������� 
$K_{j+1}=K_j[t]/P_0$. ��������, ���
���� ������� ���������� ����� ��������
����� ����� � ���� ��������� ���� $K \supset k$.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
��� ���� ���������� {\bf ����� ����������}
���������� $P$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}[!]
����� $K$ -- ���� ���������� ��� ���������� $P(t)\in k[t]$.
��������, ��� $K$ ��������� ������� � ��������������
��������� $\bar k$, ������������ ����� ������� $P$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
����� $P(t)$ -- ��������� ������� $n$.
��������, ��� ������� ��� ���� ����������
�� ������ $n!$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
����� $P\in k[t]$ -- ��������� ������� $n$,
������� $n$ ������� ��������� ������ � ��������������
��������� $k$, � ����� $[K:k]$ -- ��� ���� ����������, �
$K_l\supset K_{l-1} \supset \dots \supset K_1$
��������������� ������� ����������. ��������, 
���  $K\otimes_{K_{i-1}}K_i$ ��������� 
������ ����� ���������� ����� $�$.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} 
��� ����� ������� �� ������ 
\ref{_pryamaya_summa_polinom_Zadacha_}.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[!]
����� $P(t)\in k[t]$ -- ������������ ������� �������
$n$, ������� $n$ ������� ��������� ������ � ��������������
��������� $k$ (����� ������� ���������� {\bf �� �������
������� ������}), � $K$ -- ��� ���� ����������. 
��������, ��� $[K:k]$ -- ���������� �����.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
�������������� ���������� �������.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[*]
����� $P(t)\in k[t]$ -- ������������ ��������� ��� �����
$k$ �������������� 0. ��������, ��� � $P$ ��� �������
������.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} 
��������, ��� � $P(t)= t^n + a_{n-1} t^{n-1} + \dots$ ��� ������� ������
����� � ������ �����, ����� $P$ �� �����
����� ���������� � ����������� 
\[ P'(t) = n t^{n-1} + (n-1) a_{n-1} t^{n-2} + \dots + 2 a_2
t + a_1.
\]
��� ����� ��������, ��� $(PQ)'=PQ'+Q'P$, � ��������� $P'(t)$ ��� 
$P=(t-b_1)\dots(t-b_n)$.
\end{ukazanie}

\begin{zamechanie} �� ���������� ������ �������, ��� 
��� ����� �������������� 0, ���� ���������� ������
���������� �������� ����������� �����.
\end{zamechanie}

\begin{zadacha}[*]
��������� ������ ���� $k$
(��������� ��������������) � ������ ������������� 
���������� $P\in k[t]$, ��� ���
���� ���������� �� �������� ����������� �����.
\end{zadacha}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subs{������ �����}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{opredelenie}
����� $[K:k]$ -- ���������� �����. {\bf ������� ����� $[K:k]$}
����������  ������ $k$-�������� ������������� ���� $K$. �� ����������
������ ����� ����� $\Gal([K:k])$ ��� ����� $\Aut_k(K)$.
\end{opredelenie}

� ���������� �� ����� ������������� 
$K\otimes_k K$ ��� $K$-�������, � ��������� $K^*$,
�������� �������� $a(v_1\otimes v_2)= av_1 \otimes v_2$.
����� �������� $K^*$ ���������� {\bf �����}.
��� ���������� �� ``������� ��������'',
��������� �������� $a(v_1\otimes v_2)= v_1 \otimes av_2$.

\begin{zadacha} 
����� $[K:k]$ -- ���������� �����.
��������� ������� ����� ���������� $K$-��������
������������� $K\otimes_k K\arrow K$ � ����������
������������ ������������ � $K\otimes_k K$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
����� $\mu:\; K\otimes_k K\arrow K$ -- ���������
$K$-�������� �����������, � $k\otimes_k K\subset
K\otimes_k K$ -- $k$-����������, ����������� ���������� $K$.
��������, ��� $\mu\mid_{k\otimes_k K}$
������ $k$-�������� ����������� $K\arrow K$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} 
��������, ��� ������ $k$-�������� ����������� $K$ ����������
����� �������.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
����� $\nu\in \Gal([K:k])$.
��������� ����������� $K\otimes_k K$ �� �������
$v_1 \otimes v_2 \arrow v_1 \nu(v_2)$. 
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[!] 
����� $[K:k]$ -- ���������� �����.
��������� ������������ ������� ����� $\Gal([K:k])$
� ���������� ������������ ������������ � $K\otimes_k K$.
��������, ��� ������� ������ ����� ����� �����������
$K$ ��� ���������� ������������ ��� $k$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} \label{_right_left_ide_Zadacha_}
����� $[K:k]$ -- ���������� �����,
$\nu\in \Gal([K:k])$ -- ������� ������ �����, � $e_\nu$ -- ���������������
���������� � $K\otimes_k K$. ��������� ����� $\mu_l$
����������� (�����) �������� $K^*$ �� $K\otimes_k K$,
� �� $\mu_r$ ������ ��������. ��������, ���
$\mu_l(a) e_\nu = \mu_r(\nu(a)) e_\nu$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
����� $[K:k]$ -- ���������� �����, �
$a\in K$ -- �������, ������������ ������������
$\Gal([K:k])$. ��������, ��� $a\otimes 1 = 1 \otimes a$
� $K\otimes_k K$.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} �������������� �������
\ref{_right_left_ide_Zadacha_}.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[!]
����� $[K:k]$ -- ���������� �����, �
$a\in K$ -- �������, ������������ ������������
$\Gal([K:k])$. ��������, ��� $a \in k$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
����� $[K:k]$ -- ���������� �����, � $K'$ -- �������������
����,  $K\supset K' \supset k$. ��������, ���
$K' = K^{G'}$, ��� $G'\subset \Gal([K:k])$ -- ������
$K'$-�������� ������������� $K$, � $K^{G'}$ ����������
��������� $G'$-�����������.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} ��������, ��� $[K:K']$ -- ���������� �����,
� �������������� ���������� �������.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[!]
�������� {\bf �������� ������� ������ �����:}
����� $[K:k]$ -- ���������� �����. �����
$G' \arrow K^{G'}$ ������������� �������
����� ���������� �������� $G' \subset \Gal([K:k])$
� ���������� ������������� �������� 
$K\supset K' \supset k$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
����� $[K:k]$ -- ���������� �����, � $K'$ -- �������������
����,  $K\supset K' \supset k$. ��������� ������������
�������������� ����� ���������� $k$-�������� �������������
$K' \to K$ � ���������� $\Gal([K:k])/\Gal([K:K'])$
������� ������� ������ ����� $\Gal([K:k])$ �� ��������
$\Gal([K:K']) \subset \Gal([K:k])$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
������� ������ ����� $[\Q[\sqrt a]:\Q]$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!] 
����� $[K:k]$ -- ���������� �����, �
$a\in K$ -- �������, ����������� $K$ ��� $k$
(����� ������� ���������� {\bf �����������}).
��������, ��� ���� $\nu_1, \nu_2, \dots, \nu_n$ -- �������
��������� �������� $\Gal([K:k])$, �� $\nu_1(a), \nu_2(a), \dots \nu_n(a)$
������� ���������� ��� $k$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]\label{_primitive_Zadacha_}
����� $[K:k]$ -- ���������� �����, 
� $V\subset K$ -- ����������� ���� 
������������� ����� $k\subset K'\subset K$,
������� ������ ������ $k$. ����� $�$ ����������.
��������, ��� $V\neq K$.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} 
$V$ ���� ����������� ��������� �����
$k$-�������������� � $K$, ������� �����
(��� $k$) ����������� ������, ��� ����������� 
$K$ ��� ��������� ������������ ��� $k$. 
��������, ��� � ����� �������� $V\neq K$.
\end{ukazanie}

\begin{zamechanie}
�� ����� �������, ��� � ����� ����������
����� $[K:k]$ ������������ ���� $k$ ���� ����������� �������.
\end{zamechanie}

\begin{zadacha}[!]
����� $[K:k]$ -- ���������� �����. ��������, ��� ��� ������ $a\in K$
������������ $P(t)=\prod_{\nu_i \in \Gal([K:k])}\in (t- \nu_i(a))$ --
��������� � �������������� � $k$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
� �������� ���������� ������ �����������, ���
$a$ �����������. ��������, ��� $P(t)$ ����������.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
��������, ��� ������ $n$-� ������� �� �������  ����������
{\bf �����������}, ���� �� ��������� ������ ������
$n$-� ������� �� �������. ����� $\xi\in \C$ -- �����������
������ ������� $n$. ��������, ��� 
������ $\Gal([\Q[\xi]:\Q])$ ��������� ������
$\Aut(\Z/n\Z)$ ������������� ������ $\Z/n\Z$. 
������� �� �������.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
����������� ����� ����� $n$.
����� $P(t)= \prod(t-\xi_i)$, ��� $\xi_i$ ���������
��� ����������� ����� ������� $n$ �� �������.
��������, ��� $P(t)$ ����� ������������ ������������
� ���������� ��� $\Q$.
\end{zadacha}

\begin{zamechanie}
���� ��������� ���������� {\bf �������� �����������}.
\end{zamechanie}

\begin{zadacha}[*]
��������� $x^n-1$ �� ������������ ���������
��� $\Q$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} 
����� $a_1, \dots, a_n\in \Z$ -- ������� ������� �����,
�� ���������� ����������. 
��������, ��� 
$[\Q[\sqrt {a_1}, \sqrt {a_2}, \dots, \sqrt {a_n}]:\Q]$ --
���������� �����.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} 
������� ������ ����� ����� ����������.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
��������, ��� $\sqrt {a_1}, \sqrt {a_2}, \dots, \sqrt {a_n}$
������� ���������� ��� $\Q$.
\end{zadacha}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subs{�������� ����}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


�� ���������� ������� ��� �������� ���������
���� ��� �������� ����. ������� ��������� ����
����� $p^n$, ��� $p$ -- ��� ��������������.
�� ����� ���� $k$ �������������� $p$
����� {\bf ����������� ����������},
$Fr:\; k \arrow k$, $x \arrow x^p$.
� ����� ���� �������������� $p$
����������� ������� �������� ����
$\F_p$ �� $p$ ���������.

�� ����������  ���� ������� $p^n$ �����
$\F_{p^n}$.

\begin{zadacha} 
����� $x \in \F_{p^n}$, $x\neq 0$. ��������, ���
$x^{p^n-1}=1$.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} 
�������������� �������� �������� (������� �������� ����� �����
��������� � ������).
\end{ukazanie}

\begin{zamechanie} 
�� ����� �������, ��� ��������� $P(t) = t^{p^n-1}-1$
����� ����� $p^n-1$ ������ � $\F_{p^n}$.
\end{zamechanie}

\begin{zadacha}[!]
��������, ��� 
$\prod_{\xi\in \F_{p^n}\backslash 0} = t^{p^n-1}-1$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
��������, ��� 
$[\F_{p^n}: \F_{p}]$ -- ���������� �����.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
��������, ��� $Fr, Fr^2, \dots, Fr^{n-1}$ --
������� ��������� ������������ $\F_{p^n}$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
��������, ��� $\Gal([\F_{p^n}: \F_{p}])$ -- �����������
������ ������� $n$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
��������, ��� ���� ���������� ���������� $t^{p^n-1}-1$
��� $\F_p$ ����� ������� $p^n$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
��������, ��� ���� ������� $p^n$ ����������� � ��������� ��
�����������.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
����������� ��� ������� �  $\F_{p^n}$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
����� $[K:k]$ -- ���������� �����.
��������, ��� � $K$ ���� ����������� �������.
\end{zadacha}

\begin{zamechanie}
��� ����������� ����� �� ��� ��� ��������, ��. ���������
� ������ \ref{_primitive_Zadacha_}.
\end{zamechanie}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subs{������� �����}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

������� ����� ����������, ��� ����� ���������
����� ������� ���������� � ���������; ����� ������,
��� ������� ������ ��������� ����� ������� 
������ �������� ����� ���������� ��������������
�������� (���������, ��������, �������)
� �������� ���������� ����� $n$-� �������.
� ���� ������� �� �������� ������ 
���������, ������������� � ���������.

\begin{zadacha}
����� $[K:k]$ -- ���������� �����.
��������, ��� ��������� $G'\subset \Gal([K:k])$
��������� ����� � ������ �����, �����
$[K^{G'}:k]$ -- ���������� �����.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
����� $G'\subset \Gal([K:k])$ -- ����������
���������. ��������, ��� ������ $\Gal([K^{G'}:k])$
��������� ������� $\Gal([K:k])/G'$.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie} 
���������� ����� $[K:k]$
���������� {\bf �����������},
���� ��� ������ ����� �����������.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}[!]
����� ������ ����� $[K:k]$
���������. ��������, ���
$[K:k]$ ����� ����������� � ����
������������������ ���������� �����
$k=K_0 \subset K_1 \subset ... \subset K_n =K$,
����� �������, ��� ��� ������� $i$, $\Gal([K_i: K_{i-1}])$ - 
����������� ������.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
����� ���� $k$ �������� ��� ����� �� ������� ������� $n$,
� $[K:k]$ -- ���� ���������� ���������� $t^n -a$,
�� �������� ������ ��� $k$. 
��������, ��� ��� ���������� �����������.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
����� $\alpha$ -- �����-�� ������ ���������� $t^n -a$.
����� ��� ����� $t^n -a$ ����� ��� 
$\alpha, \alpha\xi, \alpha\xi^2, \dots, \alpha\xi^{p-1}$,
��� $\xi$ -- ������ �� �������.
��������, ��� �����������, �����������
$\alpha$ � $\alpha\xi^i$, ���������
$\alpha\xi^q$ � $\alpha\xi^{q+i}$.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[*]
����������� $n\in \N$ � $n \in \Q$.
����� ��� ������ $k>1$, �������� $n$, $a\in \Q$ �� ����� $k$-� 
������� �������� ������������� �����, � $[K:\Q]$ --
���� ���������� ���������� $t^n -a$.
��������, ��� $�$ �������� ��� �����
$n$-� ������� �� �������, � $\Gal([K:\Q])$ ���������
����������� ������������ $\Z/n\Z \rtimes \Aut(\Z/n\Z)$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
����� $k$ -- ���� �������������� 0, � 
$[K:k]$ -- ���� ���������� ���������� $t^n -a$.
��������, ��� ������ ����� $\Gal([K:k])$ ���������.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
���� $k$ �������� ����� $n$-� ������� �� 1, �� ��� ��������.
���� ���, ��������, ��� $K$ �� ��������. �����������
������������� ���������� $K'$, ���������� �����������
���� ������ � $k$, � ��������, ��� $[K:K']$ �
$[K':k]$ -- ���������� ����� � ��������� �������� �����.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha} 
����� $[K:k]$ -- ����������� ���������� ������� $n$,
$\nu$ -- ���������� ������ $\Gal[K:k]$, $\xi\in k$ --
����������� ������ �� ������� ������� $n$, 
� $\alpha\in K$ -- ����������� �������.
������� {\bf ����������� ��������}
\[
L = a + \xi^{-1} \nu(a) + \xi^{-2} \nu^2(a) + \dots + \xi^{-n+1} \nu^{n-1}(a)
\]
��������, ��� $\nu(L)= \xi L$. ��������, ��� $L\neq 0$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
��������, ��� $\prod_{i=0}^{n-1}(t-\nu^i(L))= t^n-L^n$.
��������, ��� $L$ ��������� $K$ ��� $k$, � ��� $L^n\in k$.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
����� ��������� � ���, ��� $L$ ��������� $K$ ��� $k$,
�������������� ���, ��� $\Gal[k[\sqrt[n]{L^n}],k]=\Z/n\Z$,
� �������������, ����������� $k[L]$ ��� $k$
����� ��, ��� ����������� $K$ ��� $k$.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[*]
����� $[K:k]$ -- ���������� ����� ������� $n$,
������ $k$ �������� ��� ����� $n$-� ������� �� �������.
��������, ��� $[K:k]$ ����������� ����� � ������
�����, ����� ��� ����� �������� �����������
����� $n$-� ������� �� $a\in k$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
(������� �����)
�������� �� ����� ����� �������.
���������� ����� $[K:k]$ ����������� ����������������
����������� ������� ��������� $t^n -a$ �����
� ������ �����, ����� ������ $\Gal [K:k]$ ���������.
\end{zadacha}

\begin{zamechanie}
����� $P(t)\in k[t]$ -- ���������.
{\bf ������� �����} $P$ ���������� ������ �����
��� ���� ����������. ������� ����� ����������, ���
��������� $P(t)=0$ ��������� � ��������� ����� � ������ �����,
����� ������ ����� $P(t)$ ���������.
\end{zamechanie}

\begin{opredelenie}
����� ������ $G$ ��������� �� ��������� $\Sigma$.
�������� ���������� {\bf ������������}, ����
����� $x\in \Sigma$ ����� ��������� � �����
$y\in \Sigma$ ����������� ����������� $g\in G$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha} 
����� $G\subset S_n$ -- ���������, ���������� ������������
� ����������� ����������� �� $\{1, 2, 3, \dots, n\}$.
��������, ��� $G= S_n$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} 
����� $P\in k[t]$ -- ������������ ���������,
$\xi_1, \dots, \xi_n$ -- ��� �����, � ����� ��� ��� ����� ��������. 
��������, ��� ������ ����� $P$ ���������
�� $\{\xi_1, \dots, \xi_n\}$ �����������.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
�������� $\{\xi_1, \dots, \xi_n\}$ 
�� ������� ������ �� �������� $\Gal(P)$.
����� $S$ ����� �����.
��������, ��� ������� $\prod_{\xi_i\in S}(t-\xi_i)$
����� ������������ � $k$, � ����� $P$.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[!]
����� $P\in \Q[t]$ -- ������������ ��������� 
������� $n$, � �������� ����� $n-2$ ������������ �����.
��������, ��� ��� ������ ����� ����� $S_n$.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} 
��������, ��� $\Gal(P)$ ����������� ��������� �� ������ $P$,
� ����������� ���������� ��������� ���� ����������
$P$ � ��������� �� ��������� ������ ��� ������������.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[!]
(������� �����������)
����� $Q= t^n + t^{n-1} a_{n-1} + t^{n-2} a_{n-2} + \dots + a_0$ --
����� ��������� � ������ ��������������, ��� 
��� $a_i$ ����� �������� ������� ����� $p$,
� $a_0\not\vdots p^2$. ��������, ��� $Q$ ����������
��� $\Q$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
��������, ��� $Q(t) = x^5 - 10 x +5$ -- ������������
(��� $\Q$) ���������, � �������� ����� 3 ������������ �����.
�������� �� �����, ��� ��� ������ ����� ��� $S_5$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
��������, ��� ��������� $x^5 - 10 x +5=0$ 
����������� � ���������.
\end{zadacha}

\end{document}
